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Stationary and stable varifolds with singularities

यह शोध पत्र $\mathbb{R}^{m+1}$ में एक $C^{1,\alpha}$ मेट्रिक वाले न्यूनतम $m$ -आयामी इमर्शन (immersions) का निर्माण करता है, जिनमें कैटेनॉइडल नेक्स (catenoidal necks) या फ्लोटिंग डिस्क (floating disks) का एक अनुक्रम एक पृथक, गुणक-दो विलक्षण समतल बिंदु (multiplicity-two singular flat point) की ओर अभिसरित होता है।

मूल लेखक: Camillo De Lellis, Jonas Hirsch, Luca Spolaor

प्रकाशित 2026-04-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Camillo De Lellis, Jonas Hirsch, Luca Spolaor

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ "Stationary and Stable Varifolds with Singularities" पेपर का सरल भाषा और रचनात्मक उपमाओं (analogies) के साथ विवरण दिया गया है।

मुख्य विचार: एक "परफेक्ट" साबुन का बुलबुला जो वास्तव में नहीं है

कल्पना कीजिए कि आप एक साबुन का बुलबुला हैं। आपके जीवन का लक्ष्य न्यूनतम संभव सतह क्षेत्र (surface area) रखना है। यदि आप एक पूर्ण गोला (sphere) हैं, तो आप खुश हैं। लेकिन क्या होता है जब आप दो छल्लों को जोड़ने के लिए एक साबुन की फिल्म बनाने की कोशिश करते हैं? आपको एक कैटनॉइड (catenoid) मिलता है (एक आकार जो घंटे या गर्दन जैसा दिखता है)।

गणितज्ञों ने यह समझने में 50 साल बिता दिए हैं कि जब ये साबुन की फिल्में अजीब हो जाती हैं तो क्या होता है। विशेष रूप से, वे जानना चाहते हैं कि: यदि कोई साबुन की फिल्म दूर से देखने में सपाट और चिकनी दिखती है, तो क्या उसे नीचे हर जगह चिकना होना ही चाहिए?

आमतौर पर, उत्तर "हाँ" होता है। लेकिन यह पेपर कहता है: "नहीं, यदि ब्रह्मांड के नियम (ज्यामिति/geometry) थोड़े से टूटे हुए हों।"

लेखकों (डे लेलिस, हिरश और स्पोलाोर) ने यह सिद्ध करने के लिए एक गणितीय "दानव" (monster) बनाया कि यदि वह स्थान जिसमें आप रहते हैं पूरी तरह से चिकना नहीं है (उसमें थोड़ी सी "खुरदरापन" या "दानेदारपन" है), तो आप एक ऐसी साबुन की फिल्म बना सकते हैं जो:

एक विशिष्ट बिंदु पर पूरी तरह से सपाट और दोहरी-परत वाली दिखती है।
वास्तव में उस बिंदु के ठीक बगल में अनंत रूप से उलझी हुई और गांठदार है।
पूरी तरह से स्थिर (stable) है (यह फटेगी या आकार नहीं बदलेगी)।

दो मुख्य पात्र

यह पेपर इस "दानव" को बनाने के दो अलग-अलग तरीके प्रस्तुत करता है। इन्हें दो अलग-अलग निर्माण परियोजनाओं के रूप में सोचें।

1. "अनंत कैटनॉइड नेकलेस" (Theorem 1.1)

कल्पना कीजिए कि आपके पास कागज की दो सपाट शीट हैं जो एक-दूसरे के ऊपर रखी हैं और केंद्र में एक-दूसरे को छू रही हैं।

चाल (The Trick): इन दोनों शीटों के बीच केवल सपाट रहने के बजाय, लेखक अनंत संख्या में सूक्ष्म, नन्हे कैटनॉइड नेक (catenoid necks) (जैसे छोटे घंटे के आकार की आकृतियाँ) "सीते" (stitch) हैं।
परिणाम: जैसे-जैसे आप केंद्र बिंदु के करीब पहुँचते हैं, ये नेक छोटे होते जाते हैं, लेकिन इनकी संख्या अनंत होती है।
भ्रम (The Illusion): यदि आप दूर से देखते हैं, तो यह एक सपाट, दोहरी-परत वाली शीट की तरह दिखता है। लेकिन यदि आप ज़ूम इन करते हैं, तो आप नेक का एक अनंत, अराजक जाल देखते हैं।
शर्त (The Catch): इस आकार को स्थिर (stationary) रखने के लिए, वह "स्थान" जिसमें यह रहता है, थोड़ा खुरदरा होना चाहिए (गणितीय रूप से, $C^{1,\alpha}$ )। यह पूरी तरह से चिकना नहीं है।

2. "तैरते हुए डिस्क" (Floating Disks) (Theorem 1.2)

यह अधिक स्थिर संस्करण है। कल्पना कीजिए कि पैनकेक का एक ढेर है, लेकिन सपाट होने के बजाय, वे छोटे पुलों द्वारा जुड़े हुए तैरते हुए डिस्क हैं।

चाल (The Trick): वे स्थान में "तैरते हुए डिस्क" (जो दो घुमावदार कैटनॉइड टुकड़ों के बीच दबे हुए एक सपाट डिस्क की तरह दिखते हैं) डालते हैं।
परिणाम: ये डिस्क केंद्र बिंदु पर जमा (accumulate) होते हैं।
स्थिरता (Stability): पहले उदाहरण के विपरीत, यह संरचना स्थिर (stable) है। यदि आप इसे चुभाते हैं, तो यह वापस अपने आकार में आ जाती है। यह साबुन की फिल्म से बने एक बहुत ही जटिल, स्थिर निलंबन पुल (suspension bridge) की तरह है।
शर्त: फिर से, इस संरचना को थामे रखने के लिए स्थान को थोड़ा खुरदरा होना आवश्यक है।

"खुरदरे फर्श" की उपमा

स्थान को खुरदरा क्यों होना चाहिए?

कल्पना कीजिए कि आप जेन्गा (Jenga) ब्लॉक्स का एक टॉवर संतुलित करने की कोशिश कर रहे हैं।

परफेक्ट फर्श (चिकना स्थान - Smooth Space): यदि फर्श पूरी तरह से चिकना और सपाट है, तो भौतिकी के नियम कहते हैं कि टॉवर एक सीधा, सरल स्तंभ होना चाहिए। आप एक पागल, गांठदार टॉवर नहीं बना सकते जो स्थिर रहे।
खुरदरा फर्श (खुरदरा मीट्रिक - Rough Metric): यदि फर्श में छोटे उभार और गड्ढे हैं (गणित में "खुरदरापन"), तो आप उन उभारों का उपयोग एक पागल, गांठदार टॉवर को सहारा देने के लिए कर सकते हैं। वे उभार संरचना को अपनी जगह बनाए रखने में मदद करते हैं।

लेखकों ने सिद्ध किया कि यदि आप "फर्श" (स्थान का मीट्रिक) को थोड़ा ऊबड़-खाबड़ (विशेष रूप से $C^{1,\alpha}$ ) होने की अनुमति देते हैं, तो आप ऐसी अनंत रूप से जटिल, गांठदार संरचनाएं बना सकते हैं जो दूर से सरल दिखती हैं।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

दशकों से, गणितज्ञ यह सिद्ध करने की कोशिश कर रहे हैं कि यदि साबुन की फिल्म एक बिंदु पर सरल (सपाट) दिखती है, तो उसे पास में हर जगह सरल होना ही चाहिए। इसे एलार्ड की रेगुलरिटी थ्योरम (Allard's Regularity Theorem) कहा जाता है।

पुरानी धारणा: "यदि यह सपाट दिखता है, तो यह सपाट है।"
नई खोज: "यदि फर्श ऊबड़-खाबड़ है, तो यह सपाट दिख सकता है लेकिन वास्तव में यह एक अव्यवस्था (mess) हो सकता है।"

यह पेपर भौतिकी के नियमों को नहीं तोड़ता; यह बस यह दिखाता है कि "नियम" (स्थान की चिकनाई) मायने रखते हैं। यदि स्थान थोड़ा सा भी अपूर्ण है, तो नियम बदल जाते हैं, और आप ऐसी अजीब, अनंत विलक्षणताएं (singularities) बना सकते हैं।

"कैलिब्रेशन" का गुप्त सूत्र

उन्होंने कैसे सिद्ध किया कि ये आकार स्थिर रहते हैं? उन्होंने कैलिब्रेशन (calibration) नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग किया।

कैलिब्रेशन को एक चुंबकीय क्षेत्र या बल क्षेत्र (force field) के रूप में सोचें जो आकार को पूरी तरह से गले लगाता है।

यदि कोई आकार "कैलिब्रेटेड" है, तो इसका अर्थ है कि वह उस विशिष्ट चुंबकीय क्षेत्र में न्यूनतम ऊर्जा अवस्था को पकड़े हुए है।
लेखकों ने एक कस्टम "बल क्षेत्र" (एक गणितीय रूप/form) बनाया जो उनकी गांठदार साबुन की फिल्म को पूरी तरह से लपेट लेता है।
क्योंकि फिल्म इस क्षेत्र द्वारा "गले लगाई" (hugged) गई है, इसलिए यह गणितीय रूप से स्थिर और stationary होने की गारंटी देती है। यह ऐसा है जैसे आकार को एक आदर्श, अदृश्य शिकंजे (vice) में पकड़ा गया है जो इसे हिलने से रोकता है।

एक वाक्य में सारांश

लेखकों ने साबुन की फिल्म का एक गणितीय मॉडल बनाया जो एक एकल बिंदु पर एक साधारण दोहरी-परत वाली शीट की तरह दिखता है, लेकिन वास्तव में यह नेक (necks) या डिस्क का एक अनंत रूप से जटिल गांठ है, जो यह सिद्ध करता है कि ऐसी "छिपी हुई अराजकता" (hidden chaos) संभव है यदि वह स्थान जिसमें वह रहती है थोड़ा सा अपूर्ण हो।

यहाँ कैमिलो डे लेलिस, जोनास हिरश और लुका स्पोलाओर के शोध पत्र "Stationary and Stable Varifolds with Singularities" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण और संदर्भ

यह शोध पत्र स्टेशनरी इंटीग्रल वारफोल्ड्स (stationary integral varifolds) के सिंगुलर सेट की संरचना के संबंध में ज्योमेट्रिक मेजर थ्योरी (Geometric Measure Theory) के एक मौलिक प्रश्न को संबोधित करता है।

पृष्ठभूमि: अलार्ड के प्रसिद्ध रेगुलैरिटी थ्योरम के बाद, यह ज्ञात है कि स्टेशनरी इंटीग्रल वारफोल्ड्स लगभग हर जगह स्मूथ होते हैं। हालाँकि, सिंगुलर सेट का इष्टतम आयाम (dimension) और संरचना अभी भी खुले प्रश्न बने हुए हैं, विशेष रूप से उन वारफोल्ड्स के लिए जिनमें मल्टीप्लिसिटी (multiplicity) $\ge 2$ हो।
बाधा: सिंगुलर सेट के आकार पर सीमाएँ सिद्ध करने में एक प्रमुख बाधा चिकने भाग (smooth part) पर टोपोलॉजी (topology) (जैसे हैंडल या नेक्स) का संचय (accumulation) होने की संभावना है, जो एक फ्लैट सिंगुलर पॉइंट की ओर अभिसरित (converge) होती है।
लक्ष्य: लेखक स्पष्ट प्रति-उदाहरण (counterexamples) निर्मित करने का लक्ष्य रखते हैं जो यह प्रदर्शित करते हैं कि जब एम्बिएंट मेट्रिक (ambient metric) की रेगुलैरिटी कम ( $C^{1,\alpha}$ $C^{1, α}$ ) हो, तो इस प्रकार का टोपोलॉजिकल संचय हो सकता है। विशेष रूप से, वे निम्नलिखित का निर्माण करना चाहते हैं:
1. एक आइसोलेटेड सिंगुलैरिटी और मल्टीप्लिसिटी 2 के साथ एक स्टेशनरी मिनिमल सरफेस (Theorem 1.1)।
2. एक आइसोलेटेड सिंगुलैरिटी और मल्टीप्लिसिटी 2 के साथ एक स्टेशनरी और स्टेबल (stable) मिनिमल सरफेस, जहाँ सिंगुलैरिटी तक अलग-थलग "फ्लोटिंग डिस्क" (floating disks) के एक अनुक्रम द्वारा पहुँचा जाता है (Theorem 1.2)।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

निर्माण एक परिष्कृत इटरेटिव ग्लूइंग तकनीक (iterative gluing technique) और मेट्रिक परटर्बेशन (metric perturbation) पर आधारित है।

A. मॉडल (The Models)

लेखक $\mathbb{R}^{m+1}$ में तीन ज्यामितीय मॉडल परिभाषित करते हैं:

बेस मॉडल (The Base Model): दो मिनिमल ग्राफ्स ( $u$ और $-u$ ) का संघ (union) जो मूल बिंदु (origin) पर स्पर्श करते हैं। 2D में, इसे वीयरस्ट्रैस डेटा (Weierstrass data) का उपयोग करके बनाया जाता है जिसमें एक होलोमॉर्फिक फंक्शन $h(z)$ शामिल है ताकि परिणामी सतह का मूल बिंदु पर मल्टीप्लिसिटी 2 के साथ एक फ्लैट टेंजेंट कोन (tangent cone) हो। उच्च आयामों में, वे मूल बिंदु से दूर ट्रांसवर्सल इंटरसेक्शन सुनिश्चित करने के लिए $N$ -होमोजेनियस हार्मोनिक पॉलीनोमियल्स का उपयोग करते हैं।
कैटेनॉइड (The Catenoid - Theorem 1.1 के लिए): बेस मॉडल की दो शीट्स को जोड़ने वाले कैटेनॉइडल नेक्स (catenoidal necks) का एक अनुक्रम। जैसे-जैसे नेक्स मूल बिंदु की ओर सिकुड़ते हैं, वे अनंत टोपोलॉजी (genus) पेश करते हैं।
फ्लोटिंग डिस्क (The Floating Disk - Theorem 1.2 के लिए): एक अधिक जटिल स्थानीय मॉडल जिसमें दो कैटेनॉइडल हिस्से और एक फ्लैट डिस्क शामिल है, जो एक सामान्य वृत्त पर समान कोणों ( $2\pi/3$ ) पर मिलते हैं। यह एक 'साइकिल मोड 3' बनाता है और स्थानीय रूप से एरिया-मिनिमाइजिंग (स्थिर) है।

B. ग्लूइंग रणनीति (The Gluing Strategy)

मुख्य प्रमाण में इन स्थानीय मॉडलों (कैटेनॉइड या फ्लोटिंग डिस्क) को घटते स्केल $r_k \to 0$ पर बेस मॉडल में सम्मिलित करने की प्रक्रिया शामिल है।

पार्टिशन ऑफ यूनिटी (Partition of Unity): वे बेस ग्राफ $u$ को स्थानीय मॉडल (कैटेनॉइड या फ्लोटिंग डिस्क) के साथ एक एनुलर क्षेत्र में जोड़ने के लिए एक स्मूथ पार्टिशन ऑफ यूनिटी का उपयोग करते हैं।
कैलिब्रेशन फॉर्म्स (Calibration Forms): यह सुनिश्चित करने के लिए कि ग्लूइंग के बाद परिणामी सतह स्टेशनरी (और Theorem 1.2 के लिए स्टेबल) बनी रहे, वे केवल यूक्लिडियन मेट्रिक का उपयोग नहीं कर सकते। इसके बजाय, वे ग्लू की गई सतह के ट्यूबलर नेबरहुड में एक कैलिब्रेशन फॉर्म $\omega$ $ω$ का निर्माण करते हैं।
- $\omega$ एक क्लोज्ड फॉर्म है ( $d\omega = 0$ )।
- $\omega$ सतह पर वॉल्यूम फॉर्म ( $\omega|_S = d\text{vol}_S$ ) के रूप में प्रतिबंधित है।
- ऐसे फॉर्म का अस्तित्व यह दर्शाता है कि सतह एक विशिष्ट मेट्रिक के सापेक्ष स्थानीय रूप से एरिया-मिनिमाइजिंग (या स्टेशनरी) है।

C. मेट्रिक परटर्बेशन (Metric Perturbation)

कैलिब्रेशन फॉर्म को वैध बनाने के लिए, लेखक यूक्लिडियन मेट्रिक $g = \lambda^2 \delta$ को परटर्ब करते हैं।

वे एक कॉन्फॉर्मल फैक्टर $\lambda$ को परिभाषित करते हैं ताकि $g$ के सापेक्ष $\omega$ का कोमास (comass) 1 हो।
रेगुलैरिटी विश्लेषण: महत्वपूर्ण तकनीकी चुनौती $\lambda$ $λ$ की रेगुलैरिटी को नियंत्रित करना है। लेखक सिद्ध करते हैं कि जबकि मेट्रिक मूल बिंदु से दूर स्मूथ है, यह मूल बिंदु पर केवल $C^{1,\alpha}$ है।
- उच्च रेगुलैरिटी का नुकसान सिंगुलैरिटी के पास बेस मॉडल के डेरिवेटिव अनुमानों के कारण होता है, जो अनंत सर्जरी अनुक्रम के साथ मिलकर $C^{2,\alpha}$ मेट्रिक का समर्थन करने के लिए पर्याप्त "फ्लैट" नहीं हैं।
- वे दिखाते हैं कि किसी भी $\alpha \in [0, 1)$ के लिए, वे पैरामीटर्स (विशेष रूप से हार्मोनिक पॉलीनोमियल की डिग्री $N$ ) को चुनकर $C^{1,\alpha}$ रेगुलरिटी प्राप्त कर सकते हैं।

D. इटरेटिव कंस्ट्रक्शन (Iterative Construction)

निर्माण पुनरावृत्ति (iteratively) में किया जाता है:

बेस मॉडल से शुरू करें।
स्केल $r_k$ पर, एक स्थानीय मॉडल (कैटेनॉइड या फ्लोटिंग डिस्क) को ग्लू करें।
स्टेशनैरिटी/स्टेबिलिटी बनाए रखने के लिए ग्लूइंग क्षेत्र में मेट्रिक को परटर्ब करें।
$r_k \to 0$ के अनुक्रम के लिए दोहराएं ताकि जोड़े गए बॉउंड्रीज़ (फ्लोटिंग डिस्क के लिए) का कुल मास परिमित (finite) हो।
अंतिम वारफोल्ड $V$ और करंट $T$ प्राप्त करने के लिए सीमा (limit) लें।

3. मुख्य परिणाम

Theorem 1.1 (अनंत जेनस के साथ स्टेशनरी)

अस्तित्व: प्रत्येक $\alpha \in [0, 1)$ के लिए, एक $C^{1,\alpha}$ मेट्रिक $g$ और एक $m$ -डायमेंशनल इंटीग्रल करंट $T$ मौजूद है जो $g$ के सापेक्ष स्टेशनरी है।
गुणधर्म:
- $T$ एक मिनिमल इमर्स्ड सरफेस $\Sigma$ के अनुरूप है जो $B_1(0) \setminus \{0\}$ में स्थित है।
- मूल बिंदु पर टेंजेंट कोन एक फ्लैट प्लेन है जिसकी मल्टीप्लिसिटी 2 है ( $2 \llbracket \mathbb{R}^m \times \{0\} \rrbracket$ )।
- अनंत जेनस (Infinite Genus): $\Sigma \cap B_r(0) \setminus \{0\}$ का जेनस प्रत्येक $r > 0$ के लिए अनंत है।
निहितार्थ: यह इस प्रश्न का नकारात्मक उत्तर देता है कि क्या एक डबल-प्लेन टेंजेंट कोन वाला स्टेशनरी वारफोल्ड दो मिनिमल ग्राफ्स का संघ होना चाहिए (जैसा कि मजबूत टोपोलॉजिकल धारणाओं के तहत हालिया परिणामों में सुझाव दिया गया था)।

Theorem 1.2 (स्टेशनरी और स्टेबल)

अस्तित्व: प्रत्येक $\alpha \in [0, 1)$ के लिए, एक $C^{1,\alpha}$ मेट्रिक $g$ और एक स्टेशनरी, स्टेबल इंटीग्रल वारफोल्ड $V$ मौजूद है।
गुणधर्म:
- $V$ एक इमर्स्ड स्टेबल मिनिमल सरफेस $\Sigma$ पर समर्थित है जिसमें अलग-थलग एम्बेडिंग्स $\gamma_k$ (फ्लोटिंग डिस्क) का एक अनुक्रम है जो मूल बिंदु पर संचित (accumulate) होता है।
- 0 पर टेंजेंट कोन एक फ्लैट प्लेन है जिसकी मल्टीप्लिसिटी 2 है।
- सतह तीन घटकों से बनी है जो $\gamma_k$ के साथ समान कोणों पर मिलते हैं।
महत्व: यह उदाहरण दिखाता है कि भले ही स्टेबिलिटी (जो स्टेशनैरिटी से एक मजबूत स्थिति है) मौजूद हो, फिर भी यदि मेट्रिक रेगुलरिटी $C^{1,\alpha}$ तक सीमित है, तो वह एक सिंगल फ्लैट पॉइंट पर टोपोलॉजी के संचय को नहीं रोक सकती। यह सुझाव देता है कि हालिया रेगुलरिटी थ्योरम्स (जैसे बेललेटिनी [3]) में $H^{n-2}$ की परिमितता (finiteness) की धारणा सटीक है, क्योंकि $H^{n-1}$ की परिमितता अपर्याप्त है।

4. तकनीकी महत्व और योगदान

रेगुलरिटी धारणाओं की इष्टतमता (Optimality): यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि एम्बिएंट मेट्रिक की $C^{1,\alpha}$ रेगुलरिटी एक महत्वपूर्ण दहलीज (threshold) है। $C^{1,\alpha}$ मेट्रिक्स में, रेगुलरिटी के लिए "टोपोलॉजिकल बाधा" (हैंडल/डिस्क का संचय) वास्तविक रूप में प्रकट हो सकती है। यह उच्च रेगुलरिटी वाले परिवेशों के विपरीत है जहाँ ऐसी विकृतियाँ खारिज की जा सकती हैं।
परिकल्पनाओं का खंडन:
- यह इस विचार को खारिज करता है कि एक डबल-प्लेन टेंजेंट कोन यह संकेत देता है कि सतह दो ग्राफ्स का संघ है (Theorem 1.1)।
- यह स्टेबल वारफोल्ड्स के सिंगुलर सेट्स के लिए $H^{n-1}$ -फाइनाइटनेस की पर्याप्तता को चुनौती देता है, और $H^{n-2}$ या कैपेसिटी (capacity) स्थितियों की आवश्यकता का समर्थन करता है (Theorem 1.2)।
कैलिब्रेशन तकनीक: लेखक ग्लू की गई सतहों के ट्यूबलर नेबरहुड में कैलिब्रेशन फॉर्म बनाने के लिए एक मजबूत विधि विकसित करते हैं। यह उन्हें जटिल ज्यामिति के बावजूद फर्स्ट वेरिएशन (स्टेशनैरिटी) और सेकंड वेरिएशन (स्टेबिलिटी) को नियंत्रित करने की अनुमति देता है।
मेट्रिक निर्माण: मेट्रिक का निर्माण स्पष्ट और ज्यामितीय है। लेखक दिखाते हैं कि मेट्रिक मूल बिंदु के बाहर स्मूथ है, जियोडेसिकली पूर्ण (geodesically complete) है, और इसका एक अद्वितीय जियोडेसिक स्प्रे (geodesic spray) है, जो सिंगुलैरिटी को ज्यामितीय अर्थ में "सौम्य" (mild) बनाता है, फिर भी वारफोल्ड की उच्च-क्रम रेगुलरिटी को तोड़ने के लिए पर्याप्त है।

5. निष्कर्ष

यह शोध पत्र स्थापित करता है कि $C^{1,\alpha}$ मेट्रिक्स के संदर्भ में, स्टेशनरी और स्टेबल वारफोल्ड्स का सिंगुलर सेट पहले की उम्मीदों की तुलना में बहुत अधिक जटिल हो सकता है, विशेष रूप से मल्टीप्लिसिटी 2 के एक एकल बिंदु पर अनंत टोपोलॉजी (जेनस) या अलग-थलग सिंगुलर घटकों (फ्लोटिंग डिस्क) के संचय की अनुमति देता है। ये परिणाम हाइलाइट करते हैं कि एम्बिएंट मेट्रिक की रेगुलरिटी और मिनिमल सरफेस की स्ट्रक्चरल रेगुलरिटी के बीच का संबंध कितना सूक्ष्म है, जो वारफोल्ड थ्योरी में क्या सिद्ध किया जा सकता है, उसकी एक सीमा निर्धारित करता है।