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Differentially Private Spectral Graph Clustering: Balancing Privacy, Accuracy, and Efficiency

यह शोधपत्र एक विभेदक रूप से निजी (differentially private) स्पेक्ट्रल ग्राफ क्लस्टरिंग पद्धति प्रस्तुत करता है जो लुप्तप्राय गोपनीयता गारंटी (vanishing privacy guarantees) और $\tilde{O}(1/n)$ गलत वर्गीकरण दर प्राप्त करने के लिए एक मैट्रिक्स शफ़लिंग तंत्र का उपयोग करता है, जो एक एकीकृत त्रुटि विश्लेषण ढांचे और समुदायों की संख्या का अनुमान लगाने के लिए एक निजी एल्गोरिदम प्रदान करते हुए मौजूदा निजी PCA बेसलाइनों से काफी बेहतर प्रदर्शन करता है।

मूल लेखक: Antti Koskela, Mohamed Seif, H. Vincent Poor, Andrea J. Goldsmith

प्रकाशित 2026-05-12

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Antti Koskela, Mohamed Seif, H. Vincent Poor, Andrea J. Goldsmith

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक शहर का एक विशाल नक्शा है जहाँ हर व्यक्ति एक बिंदु (dot) है और हर दोस्ती उन्हें जोड़ने वाली एक रेखा है। यह नक्शा गुप्त समूहों को प्रकट करता है, जैसे हाई स्कूल में बनने वाले गुट (cliques) या गुप्त समाज। आप इन समूहों को खोजने के लिए एक कंप्यूटर का उपयोग करना चाहते हैं, लेकिन आप हर एक व्यक्ति की गोपनीयता (privacy) की रक्षा भी करना चाहते हैं। आप नहीं चाहते कि कोई अंतिम समूह सूची को देखकर यह कह सके, "अहा! मुझे पता है कि कौन किसका दोस्त है!"

यह शोध पत्र इन समूहों (जिसे क्लस्टरिंग/clustering कहा जाता है) को खोजने के लिए एक कंप्यूटर प्रोग्राम बनाने के बारे में है, जबकि दोस्ती को गुप्त रखा जाता है। लेखक एक कठिन संतुलन बनाने की कोशिश कर रहे हैं: आप गोपनीयता कानूनों को संतुष्ट करने के लिए रहस्यों को कितनी अच्छी तरह से छिपा सकते हैं, लेकिन नक्शे को इतना सटीक कैसे रख सकते हैं कि वास्तव में समूह खोजे जा सकें?

यहाँ उन्होंने इसे सरल उपमाओं (analogies) के माध्यम से समझाया है:

1. समस्या: "फुसफुसाता हुआ" नक्शा

आमतौर पर, समूहों को खोजने के लिए, कंप्यूटर कनेक्शनों के पूरे नक्शे को देखता है। लेकिन यदि आप कनेक्शनों को छिपाने के लिए थोड़ा सा "शोर" (random static) जोड़ देते हैं, तो नक्शा इतना धुंधला हो जाता है कि समूह गायब हो जाते हैं।

पुराना तरीका: कल्पना कीजिए कि आप एक कमरे में फुसफुसाहट को छिपाने के लिए एक बार "मैं छिप रहा हूँ!" चिल्लाकर शोर मचा रहे हैं। यदि कमरा छोटा है, तो लोग फुसफुसाहट सुन लेंगे। यदि कमरा बहुत बड़ा है, तो चिल्लाना मदद तो करेगा, लेकिन पर्याप्त नहीं। बड़े ग्राफों (हजारों लोगों) की दुनिया में, एक दोस्ती को छिपाने के लिए केवल रैंडम शोर जोड़ना पर्याप्त नहीं है क्योंकि जैसे-जैसे नेटवर्क बढ़ता है, गोपनीयता की गारंटी कमजोर होती जाती है।

2. समाधान: "कार्डों को फेंटने" वाला जादू (The "Shuffled Deck" Trick)

लेखकों ने मैट्रिक्स शफलिंग (Matrix Shuffling) नामक एक चतुर दो-चरणीय जादू निकाला है।

चरण 1: रैंडम फ्लिप (शोर): सबसे पहले, वे नक्शे को लेते हैं और हर एक दोस्ती के लिए एक सिक्का उछालते हैं। कभी वे दोस्ती को रखते हैं, और कभी वे नाटक करते हैं कि वह मौजूद नहीं है या एक नकली दोस्ती मौजूद है। यह रेडियो सिग्नल में स्टेटिक (static) जोड़ने जैसा है।
चरण 2: शफल (एम्पलीफायर): यह असली गुप्त मंत्र है। स्टेटिक जोड़ने के बाद, वे पूरे नक्शे को लेते हैं, उसे टुकड़ों में काटते हैं, और लोगों के नामों को रैंडम तरीके से मिला (shuffle) देते हैं। वे बिंदुओं को इतनी अच्छी तरह से मिला देते हैं कि भले ही आप खेल के नियम जानते हों, आप यह नहीं बता सकते कि कौन सा बिंदु किस व्यक्ति का है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास ताश की एक गड्डी है जहाँ सूट (suits) अलग-अलग समूहों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

पुराना तरीका: आप बस कुछ कार्डों को रैंडम तरीकेली बदल देते हैं। यदि कोई गड्डी को जानता है, तो वह अभी भी पैटर्न का अनुमान लगा सकता है।
नया तरीका: आप कुछ कार्ड बदलते हैं, और फिर आप पूरी गड्डी को हवा में उछाल देते हैं, हवा को उन्हें बिखेरने देते हैं, और फिर उन्हें पूरी तरह से रैंडम क्रम में उठाते हैं।
लेखक सिद्ध करते हैं कि यह "शफलिंग" चरण एक प्राइवेसी एम्पलीफायर (privacy amplifier) के रूप में कार्य करता है। यह एक कमजोर गोपनीयता गारंटी को एक सुपर-स्ट्रॉन्ग गारंटी में बदल देता है। जैसे-जैसे शहर (ग्राफ) बड़ा होता जाता है, गोपनीयता बेहतर होती जाती है, खराब नहीं। "प्रभावी शोर" इतना मजबूत हो जाता है कि जैसे-जैसे लोगों की संख्या बढ़ती है, गोपनीयता की गारंटी पूर्णता के करीब पहुँच जाती है।

3. परिणाम: कम शोर के साथ स्पष्ट चित्र

लेखकों ने एक गणितीय ढांचा बनाया है जिससे यह मापा जा सके कि चित्र कितना धुंधला हो जाता है। उन्होंने अपने "शफल्ड डेक" तरीके की तुलना दो अन्य मानक तरीकों से की:

तरीका A (Analyze Gauss): पूरे नक्शे में भारी स्टेटिक जोड़ना।
तरीका B (Noisy Power Method): शोर जोड़ते हुए समूहों का अनुमान लगाने की एक चरण-दर-चरण प्रक्रिया।

निष्कर्ष:
उनका "शफल्ड डेक" तरीका विजेता है।

पुराने तरीके: जैसे-जैसे शहर बढ़ता है, त्रुटि दर (गलत समूह का अनुमान लगाने की आवृत्ति) उच्च स्तर पर अटकी रहती है। यह धुंधले दर्पण में चेहरा देखने की तरह है; चाहे दर्पण कितना भी बड़ा क्यों न हो जाए, चेहरा धुंधला ही रहता है।
नया तरीका: जैसे-जैसे शहर बढ़ता है, त्रुटि दर नाटकीय रूप से गिरती है। यह ऐसा है जैसे जैसे-जैसे कमरा बड़ा होता है, कोहरा जादुई रूप से साफ हो जाता है। उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि उनका तरीका नेटवर्क के आकार के बढ़ने के साथ काफी अधिक सटीक हो जाता है, जबकि अन्य नहीं होते हैं।

4. पूछे बिना समूहों की गिनती करना

कभी-कभी, आपको यह भी नहीं पता होता कि कितने समूह मौजूद हैं (जैसे, क्या 3 गुट हैं या 10?)। लेखकों ने शोर वाले, शफल्ड डेटा से समूहों को स्वचालित रूप से गिनने के लिए एक उपकरण भी बनाया है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक गायक मंडली (choir) को सुन रहे हैं जहाँ हर कोई थोड़ा बेसुरा गा रहा है (शोर)। आमतौर पर, आप यह नहीं बता सकते कि कितने विभाग (सोप्रानो, ऑल्टो, आदि) हैं। लेकिन क्योंकि उनकी शफलिंग विधि संगीत के "आकार" को बरकरार रखते हुए गायकों की पहचान छुपा देती है, उनका टूल अभी भी विशिष्ट विभागों को सुन सकता है और उन्हें सही ढंग से गिन सकता है, भले ही शोर हो।

5. ट्रेड-ऑफ: गति बनाम गोपनीयता

इसमें एक पेच भी है, जैसा कि हर अच्छी चीज़ में होता है।

लागत: इस अद्भुत गोपनीयता और सटीकता को प्राप्त करने के लिए, कंप्यूटर को अधिक काम करना पड़ता है। इसे पूरे नक्शे को एक घने ब्लॉक के रूप में प्रोसेस करना होता है, जिसमें बहुत अधिक मेमोरी लगती है और इसमें अधिक समय लगता है, विशेष रूप से बहुत विरल (sparse) मानचित्रों के लिए (जहाँ लोगों के मित्र बहुत कम होते हैं)।
लाभ: आपको समूहों का बहुत स्पष्ट चित्र और बहुत मजबूत गोपनीयता सुरक्षा मिलती है।

सारांश

यह शोध पत्र सामाजिक नेटवर्क में गुप्त समूहों को खोजने का एक नया तरीका पेश करता है। कनेक्शनों को रैंडमली फ्लिप करके और फिर लोगों की पूरी सूची को शफल करके, वे एक ऐसी प्रणाली बनाते हैं जहाँ नेटवर्क बड़ा होने पर गोपनीयता और मजबूत होती जाती है। यह उन्हें पिछले तरीकों की तुलना में बहुत अधिक सटीकता के साथ समूहों को खोजने की अनुमति देता है, यह सिद्ध करते हुए कि आप अपनी मर्जी की चीज़ पा सकते हैं (मजबूत गोपनीयता) और सटीकता भी हासिल कर सकते हैं, बशर्ते आप थोड़े अधिक कंप्यूटेशनल काम के लिए तैयार हों।

तकनीकी सारांश: डिफरेंशियल प्राइवेट स्पेक्ट्रल ग्राफ क्लस्टरिंग

समस्या विवरण

यह शोध पत्र नेटवर्क डेटा पर स्पेक्ट्रल ग्राफ क्लस्टरिंग करने की चुनौती को संबोधित करता है, जबकि एज डिफरेंशियल प्राइवेसी (edge DP) का पालन किया जाता है। इस सेटिंग में, लक्ष्य एक ग्राफ $G=(V, E)$ के वर्टिसिस (vertices) को $k$ विलगित समुदायों (disjoint communities) में विभाजित करना है, ताकि किसी भी एकल किनारे (edge) के शामिल होने या हटने का आउटपुट पर सीमित प्रभाव पड़े। लेखक उन परिदृश्यों पर ध्यान केंद्रित करते हैं जहाँ समुदायों की संख्या $k$ अज्ञात हो सकती है और जहाँ अंतर्निहित ग्राफ मॉडल (जैसे स्टोकेस्टिक ब्लॉक मॉडल) घनत्व और विषमता में भिन्न हो सकते हैं। यह कार्य अपने प्रस्तावित तरीकों की तुलना दो कैनोनिकल बेसलाइन के विरुद्ध करता है जिन्हें एज DP के लिए अनुकूलित किया गया है: एनालाइज़ गॉस (Analyze Gauss) तंत्र (एडजसेंसी मैट्रिक्स में सीधे गॉसियन शोर जोड़ना) और नॉइजी पावर मेथड (Noisy Power Method) (शोर के साथ पुनरावृत्ति आइजनवेक्टर अनुमान)।

यह कार्य विशेष रूप से उन परिदृश्यों को लक्षित करता है जहाँ समुदायों की संख्या $k$ अज्ञात हो सकती है और जहाँ अंतर्निहित ग्राफ मॉडल (जैसे स्टोकेस्टिक ब्लॉक मॉडल) घनत्व और विषमता में भिन्न हो सकते हैं। यह पेपर अपने प्रस्तावित तरीकों की तुलना दो कैनोनिकल बेसलाइन के विरुद्ध करता है जो एज DP के लिए अनुकूलित हैं: एनालाइज़ गॉस (Analyze Gauss) तंत्र (एडजसेंसी मैट्रिक्स में सीधे गॉसियन शोर जोड़ना) और नॉइजी पावर मेथड (Noisy Power Method) (शोर के साथ पुनरावृत्ति आइजनवेक्टर अनुमान)।

कार्यप्रणाली (Methodology)

यह शोध पत्र एक एकीकृत विश्लेषणात्मक ढांचे और निजी स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग के लिए तीन अलग-अलग तंत्रों का प्रस्ताव करता है:

1. एकीकृत त्रुटि विश्लेषण ढांचा (Unified Error Analysis Framework)

लेखक किसी भी निजी स्पेक्ट्रल तंत्र के लिए मिसक्लासिफिकेशन एरर रेट (misclassification error rate) को बाउंड करने के लिए एक सैद्धांतिक ढांचा विकसित करते हैं जो एडिटिव-नॉइज़ डिकंपोजिशन को स्वीकार करता है। यह ढांचा निम्नलिखित को संयोजित करता है:

डेविस-काहन पर्टरबेशन थ्योरी (Davis–Kahan Perturbation Theory): स्पेक्ट्रल गैप ( $\Delta_k$ ) और पर्टरबेशन की मात्रा के आधार पर वास्तविक आइजनस्पेस (eigenspace) और पर्टर्बड आइजनस्पेस के बीच विचलन को बाउंड करने के लिए।
प्रोक्रस्टेस एलाइनमेंट (Procrustes Alignment): आइजनस्पेस की दूरी को एम्बेडिंग के फ्रोबेनियस एरर (Frobenius error) से जोड़ने के लिए।
क्लासिफिकेशन-मार्जिन बाउंड्स (Classification-Margin Bounds): एम्बेडिंग एरर को अंतिम k-मीन्स क्लस्टरिंग एरर से जोड़ने के लिए, जो स्पष्ट रूप से क्लस्टर सेंटर सेपरेशन ( $\Delta^\star$ ) और विदिन-क्लस्टर रेडियस ( $r^\star$ ) को ध्यान में रखता है।

2. मैट्रिक्स शफ़लिंग तंत्र (Matrix Shuffling Mechanism - प्रस्तावित)

यह पेपर का मुख्य योगदान है। यह तंत्र दो चरणों में कार्य करता है:

ग्राफ पर्टरबेशन (Graph Perturbation): एडजसेंसी मैट्रिक्स $A$ को रैंडमाइज्ड रिस्पांस (RR) का उपयोग करके पर्टर्ब किया जाता है। प्रत्येक किनारे को प्रायिकता $\mu = 1/(e^{\epsilon_0} + 1)$ के साथ बदला (flip) जाता है।
मैट्रिक्स शफ़लिंग (Matrix Shuffling): पर्टर्ब किए गए मैट्रिक्स को एक रैंडम परम्यूटेशन मैट्रिक्स $P$ से गुणा किया जाता है (अर्थात, $P \tilde{A} P^\top$ )।
प्राइवेसी एम्प्लीफिकेशन (Privacy Amplification): लेखक सिद्ध करते हैं कि जबकि RR अकेले ग्राफ के आकार $n$ के बढ़ने के साथ एक स्थिर $\epsilon$ गारंटी प्रदान करता है, रैंडम परम्यूटेशन प्राइवेसी को बढ़ाता है। प्रभावी $\epsilon$ , $n \to \infty$ होने पर शून्य की ओर बढ़ता है, विशेष रूप से $O(n^{-1/2})$ के रूप में स्केल करता है।
गैप डिटेक्शन (Gap Detection): पर्टर्ब किए गए आउटपुट से सीधे $k$ का अनुमान लगाने के लिए एक निजी स्पेक्ट्रल गैप डिटेक्शन एल्गोरिदम प्रस्तावित किया गया है। इसमें ग्लोबल डेंसिटी प्रभावों को हटाने के लिए शफल्ड मैट्रिक्स को सेंट्रिंग करना और ऑल-वन्स वेक्टर के ऑर्थोगोनल स्पेस पर प्रोजेक्ट करना शामिल है, जिसके बाद सबसे बड़े आइजनवैल्यू गैप की पहचान की जाती है।

3. बेसलाइन तंत्र (Baseline Mechanisms)

यह तुलना के लिए दो मौजूदा दृष्टिकोणों को अनुकूलित और विश्लेषित करता है:

एनालाइज़ गॉस (Analyze Gauss): एडजसेंसी मैट्रिक्स के तत्वों में सीधे सममित गॉसियन शोर जोड़ता है।
नॉइजी पावर मेथड (Noisy Power Method): पावर इटरेशन के प्रत्येक चरण में कैलिब्रेटेड गॉसियन शोर जोड़कर पुनरावृत्ति से आइजनवेक्टरों की गणना करता है।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

मैट्रिक्स शफ़लिंग तंत्र: लेखक रैंडम एज फ्लिपिंग और यूनिफॉर्म रैंडम परम्यूटेशन को संयोजित करने वाला एक नया तंत्र पेश करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि यह $(\epsilon, \delta)$ -एज DP प्राप्त करता है जिसमें प्रभावी प्राइवेसी लीकेज नेटवर्क के आकार के बढ़ने के साथ कम होता जाता है, जो मानक RR की तुलना में एक महत्वपूर्ण सुधार है।
एकीकृत त्रुट_एनालिसिस: एक व्यापक सैद्धांतिक ढांचा स्थापित किया गया है जो सभी तीन तंत्रों के लिए स्पष्ट मिसक्लासिफिकेशन दरें प्रदान करता है। यह ढांचा स्पष्ट रूप से बताता है कि त्रुटि प्राइवेसी बजट, आइजनगैप, समुदायों की संख्या और ग्राफ के आकार के साथ कैसे स्केल करती है।
सैद्धांतिक स्केलिंग सुधार: विश्लेषण प्रदर्शित करता है कि मैट्रिक्स शफ़लिंग तंत्र $\tilde{O}(1/n)$ का एरर रेट स्केलिंग प्राप्त करता है। इसके विपरीत, एज-DP सेटिंग में एनालाइज़ गॉस और नॉइजी पावर मेथड $\tilde{O}(1)$ के रूप में स्केल करते हैं।
निजी स्पेक्ट्रल गैप डिटेक्शन: पर्टर्ब किए गए डेटा से समुदायों की संख्या का अनुमान लगाने के लिए एक प्रक्रिया प्रस्तावित की गई है, जो शफ़लिंग तंत्र के प्राइवेसी एम्प्लीफिकेशन लाभों को विरासत में लेती है।
प्रायोगिक सत्यापन: सिंथेटिक स्टोकेस्टिक ब्लॉक मॉडल (SBM) और वास्तविक दुनिया के डेटासेट (Facebook Social Circles और Cora Citation Network) पर सैद्धांतिक निष्कर्षों को मान्य किया गया है।

परिणाम (Results)

सैद्धांतिक निष्कर्ष

एरर रेट्स: मैट्रिक्स शफ़लिंग तंत्र $\tilde{O}\left(\frac{1}{n(e^\epsilon - 1)^2} \cdot \frac{k}{\Delta_k^2}\right)$ का एसिम्प्टोटिक एरर रेट प्राप्त करता है। यह बेसलाइनों की तुलना में एक स्पष्ट सुधार है, जो क्रमशः $\tilde{O}\left(\frac{k^2}{\epsilon^2 \Delta_k} \cdot \frac{k}{\Delta_k^2}\right)$ (नॉइजी पावर) और $\tilde{O}\left(\frac{1}{\epsilon^2} \cdot \frac{k}{\Delta_k^2}\right)$ (एनालाइज़ गॉस) के रूप में स्केल करते हैं।
जटिलता ट्रेड-ऑफ (Complexity Trade-offs):
- स्पेस: शफ़लिंग तंत्र और एनालाइज़ गॉस दोनों को पर्टर्ब किए गए एडजसेंसी मैट्रिक्स की सघन प्रकृति के कारण $O(n^2)$ स्टोरेज की आवश्यकता होती है। नॉइजी पावर मेथड अधिक स्पेस-एफिशिएंट है ( $O(n)$ स्पार्स ग्राफ के लिए)।
- समय: शफ़लिंग तंत्र में डेंसिफिकेशन शामिल है, जिससे स्पार्स-फ्रेंडली नॉइजी पावर मेथड की तुलना में उच्च कम्प्यूटेशनल लागत आती है, हालांकि यह एरर स्केलिंग के मामले में बेहतर सटीकता प्रदान करता है।

प्रायोगिक निष्कर्ष

सिंथेटिक डेटा (SBM): विभिन्न समुदायों ( $k=3$ और $k=10$ ) वाले SBMs पर, मैट्रिक्स शफ़लिंग तंत्र ने लगातार सबसे मजबूत प्राइवेसी-यूटिलिटी ट्रेड-ऑफ प्रदर्शित किया, $\epsilon$ कम होने पर भी कम एरर रेट बनाए रखा। नॉइजी पावर मेथड और एनालाइज़ गॉस का प्रदर्शन चुनौतीपूर्ण सेटिंग्स (जैसे, उच्च $k$ ) में अधिक तेजी से गिरा।
वास्तविक दुनिया का डेटा: फेसबुक सोशल सर्कल्स और कोरा साइटेशन नेटवर्क पर प्रयोगों ने सैद्धांतिक भविष्यवाणियों की पुष्टि की। मैट्रिक्स शफ़लिंग तंत्र ने विभिन्न क्लस्टर काउंट और ग्राफ संरचनाओं में बेसलाइनों को पछाड़ दिया।
गैप डिटेक्शन: प्रस्तावित एल्गोरिदम सिंथेटिक प्रयोगों में उच्च संभाव्यता के साथ समुदायों की वास्तविक संख्या को सफलतापूर्वक रिकवर करने में सफल रहा, बशर्ते कि पॉपुलेशन आइजनगैप शोर से पर्याप्त रूप से अलग हो।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

यह पेपर दावा करता है कि यह बिना किसी प्रतिबंधात्मक धारणा के स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग में प्राइवेसी, सटीकता और दक्षता के बीच मौलिक ट्रेड-ऑफ का पहला व्यवस्थित अध्ययन प्रदान करता है।

प्राइवेसी एम्प्लीफिकेशन: यह कार्य रेखांकित करता है कि शफ़लिंग क्लस्टरिंग के प्राइवेसी-एक्यूरेसी लैंडस्केप को मौलिक रूप से बदल सकती है, जिससे घटते एरर रेट प्राप्त होते हैं, जो कि एडजसेंसी मैट्रिक्स पर सीधे लागू किए गए मानक एज-DP तंत्रों का गुण नहीं है।
एकीकृत ढांचा: क्लासिफिकेशन मार्जिन और आइजनगैप के आधार पर स्पष्ट एरर बाउंड्स व्युत्पन्न करके, यह पेपर निजी स्पेक्ट्रल विधियों की तुलना के लिए एक कठोर उपकरण प्रदान करता है।
व्यावहारिक उपयोगिता: परिणाम बताते हैं कि घने या मध्यम आकार के ग्राफों के लिए जहाँ स्टोरेज अनुमति देता है, मैट्रिक्स शफ़लिंग मौजूदा निजी PCA और पावर मेथड दृष्टिकोणों के लिए एक बेहतर विकल्प है।

लेखक अपनी सीमाओं को स्वीकार करते हैं, यह नोट करते हुए कि उनके गारंटी केवल एज DP (न कि अधिक मजबूत नोड DP) के लिए विशिष्ट हैं, शफ़लिंग तंत्र मैट्रिक्स को डेंसिफाई करता है (जो बहुत बड़े स्पार्स ग्राफ के लिए स्केलेबिलिटी को सीमित करता है), और एरर बाउंड्स आइजनगैप जैसे ग्राफ-विशिष्ट मात्राओं पर निर्भर करते हैं। भविष्य के काम के लिए इन परिणामों को एट्रिब्यूटेड ग्राफ और नोड DP सेटिंग तक विस्तारित करने का सुझाव दिया गया है।