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A Split-Client Approach to Second-Order Optimization

यह शोधपत्र स्प्लिट-क्लाइंट (Split-Client) फ्रेमवर्क प्रस्तुत करता है, जो एक डिले-अडेप्टिव (delay-adaptive) सेकंड-ऑर्डर ऑप्टिमाइज़ेशन विधि है जो बेहतर वॉल-क्लॉक स्पीडअप प्राप्त करने के लिए ग्रेडिएंट और कर्वेचर गणनाओं को अलग करती है और इष्टतम लेज़ी हेसियन (Lazy Hessian) प्रदर्शन से मेल खाते हुए विशिष्ट संरचनात्मक स्थितियों के तहत तेज़ अभिसरण (convergence) प्रदान करते हुए ट्यूनिंग-फ्री कन्वर्जेंस रेट सुनिश्चित करती है।

मूल लेखक: El Mahdi Chayti, Martin Jaggi

प्रकाशित 2026-05-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: El Mahdi Chayti, Martin Jaggi

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ "A Split-Client Approach to Second-Order Optimization" शोध पत्र का सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों के साथ विवरण दिया गया है।

बड़ी समस्या: "वेटिंग रूम" (प्रतीक्षा कक्ष) की बाधा

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, धुंधली घाटी में सबसे निचले बिंदु को खोजने की कोशिश कर रहे हैं (यह एक मशीन लर्निंग मॉडल को प्रशिक्षित करने का प्रतिनिधित्व करता है)। इसे कुशलतापूर्वक करने के लिए, आपको दो प्रकार की जानकारी की आवश्यकता है:

ढलान (Gradient): ढलान किस दिशा में है? यह पता लगाना आसान और तेज़ है।
ज़मीन का आकार (Hessian): क्या ज़मीन एक कटोरे, एक सैडल (saddle), या एक सपाट मैदान की तरह मुड़ी हुई है? यह बताता है कि आपको अपने कदम का आकार (step size) कैसे समायोजित करना चाहिए। यह बहुत शक्तिशाली है लेकिन इसे कैलकुलेट करने में बहुत समय लगता है।

पुराना तरीका (वैनिला विधि):
पारंपरिक तरीकों में, आप एक ऐसे हाइकर (पर्वतारोही) की तरह हैं जो हर बार ज़मीन का आकार चेक करने के लिए पूरी तरह रुक जाता है। आप ढलान की गणना करते हैं, फिर रुकते हैं, एक धीमी टीम के ज़मीन के आकार को कैलकुलेट करने का इंतज़ार करते हैं, फिर उनके द्वारा एक विशाल गणितीय पहेली को हल (factorize) करने का इंतज़ार करते हैं, और उसके बाद ही आप एक कदम बढ़ाते हैं।

परिणाम: आप अपना अधिकांश समय "वेटिंग रूम" में खड़े होकर बिता देते हैं, भले ही ढलान की गणना करना तेज़ था। धीमा हिस्सा (गणितीय पहेली को हल करना) सब कुछ रोक देता है।

"आलसी" (Lazy) तरीका:
इस प्रतीक्षा को ठीक करने के लिए, कुछ लोगों ने "Lazy" विधि का प्रयास किया। वे ज़मीन के आकार को एक बार कैलकुलेट करते हैं, इसका उपयोग कुछ कदमों के लिए करते हैं, और फिर इसे बाद में दोबारा कैलकुलेट करते हैं।

समस्या: जब वे वास्तव में इसे दोबारा कैलकुलेट करते हैं, तब भी आपको रुकना और इंतज़ार करना पड़ता है। साथ ही, आपको यह अंदाज़ा भी लगाना होता है कि दोबारा कैलकुलेट करने से पहले कितने कदम लेने हैं। यदि आपका अंदाज़ा गलत निकलता है, तो या तो आप बहुत लंबा इंतज़ार करते हैं या खराब जानकारी का उपयोग करते हैं।

नया समाधान: "स्प्लिट-क्लाइंट" (Split-Client) दृष्टिकोण

लेखक काम करने का एक नया तरीका प्रस्तावित करते हैं, जो एक सुव्यवस्थित फैक्ट्री असेंबली लाइन की तरह है जहाँ दो विशेषज्ञ कार्यकर्ता कभी भी रुकते नहीं हैं।

दो कार्यकर्ता

ग्रेडिएंट वर्कर (तेज़ हाइकर): यह व्यक्ति लगातार दौड़ रहा है, ढलान की गणना कर रहा है और कदम उठा रहा है। वह कभी नहीं रुकता।
कर्वेचर वर्कर (धीमा गणितज्ञ): यह व्यक्ति एक अलग कमरे (बैकग्राउंड थ्रेड) में काम करता है। वह धीरे-धीरे जटिल ज़मीन के आकार की गणना कर रहा है और विशाल गणितीय पहेलियों को हल कर रहा है।

यह कैसे काम करता है

ग्रेडिएंट वर्कर को कर्वेचर वर्कर का इंतज़ार करने के बजाय, ग्रेडिएंट वर्कर बस उपलब्ध नवीनतम ज़मीन-आकार की जानकारी ले लेता है।

यदि कर्वेचर वर्कर ने अभी-अभी एक नया पहेली हल किया है, तो ग्रेडिएंट वर्कर ताज़ा जानकारी का उपयोग करता है।
यदि कर्वेचर वर्कर अभी भी व्यस्त है, तो ग्रेडिएंट वर्कर उस पुराने डेटा का उपयोग करता है जो उसके पास उपलब्ध है।

जादू: "प्रतीक्षा का समय" (गणितीय पहेली को हल करने में लगने वाला समय) ग्रेडिएंट वर्कर के तेज़ कदमों के पीछे पूरी तरह से छिप जाता है। ग्रेडिएंट वर्कर आगे बढ़ता रहता है जबकि कर्वेचर वर्कर बैकग्राउंड में उसका पीछा करता है।

यह एक बड़ी बात क्यों है

1. कोई अंदाज़ा लगाने की ज़रूरत नहीं (स्व-अनुकूलित/Self-Adaptive)
"Lazy" विधि में आपको एक नॉब (knob) ट्यून करना पड़ता है: "दोबारा कैलकुलेट करने से पहले मुझे कितने कदम लेने चाहिए?" यदि आपका कंप्यूटर तेज़ है, तो आप इसे एक तरह से ट्यून करते हैं; यदि यह धीमा है, तो आप इसे दूसरी तरह से ट्यून करते हैं।
Split-Client विधि "सेल्फ-ड्राइविंग" है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितीय पहेली को हल करने में 1 सेकंड लगता है या 100 सेकंड। यह सिस्टम स्वचालित रूप से औसत देरी (average delay) के अनुसार खुद को ढाल लेता है। यह बिना किसी ट्यूनिंग के, ट्यून किए गए "Lazy" विधि के सर्वोत्तम प्रदर्शन से मेल खाता है।

2. "भारी ट्रैफ़िक" को संभालना (परिवर्तनीय देरी/Variable Delays)
कभी-कभी, गणितीय पहेली को उम्मीद से ज़्यादा समय लग सकता है (शायद कंप्यूटर किसी अन्य काम में व्यस्त हो)।

पुराने तरीके बहुत अधिक देरी होने पर भ्रमित हो जाते हैं या बहुत धीमे हो जाते हैं।
Split-Client विधि मज़बूत (robust) है। यह समय के साथ औसत देरी को देखती है। भले ही एक पहेली को लंबा समय लगे, सिस्टम सुचारू रूप से चलता रहता है क्योंकि ग्रेडिएंट वर्कर ने उस प्रतीक्षा के दौरान भी आगे बढ़ना जारी रखा।

3. "धुंधले" जवाबों से निपटना (अस्पष्टता/Inexactness)
कभी-कभी, कर्वेचर वर्कर एक आदर्श उत्तर नहीं दे पाता (शायद वे समय बचाने के लिए शॉर्टकट का उपयोग करते हैं)।

शोध पत्र दिखाता है कि इन "धुंधले" उत्तरों के साथ भी, यह विधि समाधान तक पहुँच जाती है।
यदि ये शॉर्टकट कुछ नियमों (जैसे L-BFGS में उपयोग किया जाने वाला "Secant condition") का पालन करते हैं, तो यह विधि और भी तेज़ हो जाती है और रिकॉर्ड समय में समाधान तक पहुँचती है।

परिणाम: हाइकिंग की गति बढ़ाना

लेखकों ने दो कठिन, नॉन-कॉन्वेक्स (non-convex) समस्याओं पर इसका परीक्षण किया (सोचिए एक ऐसी घाटी के बारे में जिसमें केवल एक चिकने कटोरे के बजाय कई छोटी पहाड़ियाँ और गड्ढे हों)।

सेटअप: उन्होंने मानक कंप्यूटरों का उपयोग किया जहाँ "गणितीय पहेली" (factorization) मुख्य बाधा थी।
परिणाम:
- पुराने "वैनिला" तरीके (जो रुकता है और इंतज़ार करता है) की तुलना में, नया तरीका वॉल-क्लॉक टाइम (वास्तविक समय) में 30 से 800 गुना तेज़ था।
- "Lazy" विधि की तुलना में, यह 30 गुना तेज़ था।
- एक विशिष्ट परीक्षण में, नया तरीका 0.02 सेकंड में समाप्त हो गया, जबकि पुराने तरीके में 80 सेकंड लगे। यह 4,000 गुना तेज़ है।

सारांश उपमा (Summary Analogy)

एक रेस्टोरेंट के किचन की कल्पना करें:

पुराना तरीका: शेफ (ग्रेडिएंट) सब्जियां काटता है, फिर सॉस तैयार करने के लिए सू-शेफ (कर्वेचर) के पूरा होने का इंतज़ार करता है। शेफ खाली खड़ा रहता है।
Lazy तरीका: शेफ तीन व्यंजनों के लिए एक ही सॉस का उपयोग करता है, फिर एक नया बैच बनाने के लिए रुककर इंतज़ार करता है।
Split-Client: शेफ लगातार सब्जियां काटता और व्यंजन परोसता रहता है। एक अलग स्टेशन बैकग्राउंड में लगातार सॉस बना रहा है। शेफ उस सॉस को पकड़ लेता है जो अभी-अभी बनकर तैयार हुआ है। यदि सॉस बनाने में लंबा समय लगता है, तो शेफ पिछले सॉस का उपयोग करता है और अपना काम जारी रखता है। किचन कभी नहीं रुकता, और भोजन परोसने का कुल समय नाटकीय रूप से कम हो जाता है।

मुख्य बात: तेज़ काम को धीमे काम से अलग करके और उन्हें समानांतर (parallel) में चलाकर, यह विधि "वेटिंग रूम" की बाधा को हटा देती है, जिससे सेकंड-ऑर्डर ऑप्टिमाइज़ेशन (एक शक्तिशाली लेकिन आमतौर पर धीमी तकनीक) अविश्वसनीय रूप से तेज़ और व्यावहारिक बन जाता है।

तकनीकी सारांश: सेकंड-ऑर्डर ऑप्टिमाइज़ेशन के लिए एक स्प्लिट-क्लाइंट दृष्टिकोण

1. समस्या विवरण

सेकंड-ऑर्डर ऑप्टिमाइज़ेशन विधियाँ, जैसे कि न्यूटन विधि और क्यूबिक रेगुलराइजेशन (Cubic Regularization), फर्स्ट-ऑर्डर विधियों की तुलना में बेहतर अभिसरण दर (जैसे, लोकल क्वाड्रेटिक कन्वर्जेंस) और इल-कंडीशनिंग के प्रति मजबूती प्रदान करती हैं। हालाँकि, मशीन लर्निंग में उनका उपयोग हेसियन फैक्टराइजेशन (Hessian factorization) की कम्प्यूटेशनल लागत के कारण एक "वॉल-क्लॉक" (wall-clock) बाधा से सीमित है।

मध्यम-आयामी शासन (moderate-dimensional regime, $d \in [10^2, 10^4]$ ) में, जहाँ पूर्ण हेसियन मेमोरी में समा सकता है, हेसियन को फैक्टराइज़ करने की लागत ( $O(d^3)$ ) आमतौर पर ग्रेडिएंट मूल्यांकन ($O(nd)$) की लागत से अधिक होती है। मानक सिंक्रोनस कार्यान्वयन प्रत्येक इटरेशन पर हेसियन गणना और फैक्टराइजेशन के पूरा होने की प्रतीक्षा करने के लिए ऑप्टिमाइज़र को रोक देते हैं। यह सिंक्रोनाइज़ेशन बैरियर शास्त्रीय सेकंड-ऑर्डर विधियों की प्रति-इटरेशन प्रगति को निष्प्रभावी कर देता है।

मौजूदा "लेजी हेसियन" (Lazy Hessian) दृष्टिकोण इस समस्या को कम करने का प्रयास करते हैं, लेकिन वे कई चरणों के लिए हेसियन का पुन: उपयोग करने पर ध्यान केंद्रित करते हैं। हालाँकि, उनका सैद्धांतिक विश्लेषण अक्सर अंकगणितीय जटिलता (factorization समय को अनदेखा करते हुए) पर केंद्रित होता है या उन्हें पुन: उपयोग की इष्टतम आवृत्ति ( $m^*$ ) के पूर्व ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो BLAS कार्यान्वयन और समस्या की कंडीशनिंग जैसे हार्डवेयर-विशिष्ट कारकों पर निर्भर करती है। इसके अतिरिक्त, वर्स्ट-केस डिले ( $\tau_{\max}$ ) पर आधारित मानक विश्लेषण परिवर्तनशील विलंबता (variable latency) वाले सिस्टम के लिए अत्यधिक रूढ़िवादी हैं।

2. कार्यप्रणाली: स्प्लिट-क्लाइंट फ्रेमवर्क

लेखक स्प्लिट-क्लाइंट फ्रेमवर्क प्रस्तावित करते हैं, जो एक टास्क-पैरेलल एब्स्ट्रैक्शन है जो ऑप्टिमाइज़ेशन को दो स्वतंत्र, समवर्ती प्रक्रियाओं में अलग करता है:

ग्रेडिएंट क्लाइंट (Gradient Client): निरंतर सटीक ग्रेडिएंट की गणना करता है और मॉडल पैरामीटर्स ( $x_k$ ) को अपडेट करता है बिना प्रतीक्षा किए। यह सबसे हाल ही में प्रकाशित कर्वेचर जानकारी का उपयोग करता है, चाहे उसकी आयु कुछ भी हो।
कर्वेचर क्लाइंट (Curvature Client): एसिंक्रोनस रूप से हेसियन मैट्रिक्स की गणना करता है, फैक्टराइजेशन करता है, और परिणाम प्रकाशित करता है।

मुख्य तकनीकी घटक

टू-टाइमलाइन मॉडल (Two-Timeline Model): फ्रेमवर्क ग्रेडिएंट इटरेशन ( $k$ ) और वॉल-क्लॉक समय के बीच अंतर करता है। डिले $\tau_k$ को उस वॉल-क्लॉक समय के रूप में परिभाषित किया गया है जो चरण $k$ पर उपयोग किए गए कर्वेचर की गणना के बाद से बीता है। हाइपरपैरामीटर्स के विपरीत, $\tau_k$ एक सिस्टम वेरिएबल है जो ग्रेडिएंट और कर्वेचर जॉब्स की सापेक्ष लागत द्वारा निर्धारित होता है।
डिले-एडेप्टिव रेगुलराइजेशन (Delay-Adaptive Regularization): एल्गोरिदम एक रेगुलराइजेशन शेड्यूल $\rho_k = 20L(1 + \tau_k)$ का उपयोग करता है, जहाँ $L$ हेसियन का लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक (Lipschitz constant) है। यह शेड्यूल औसत डिले ( $\bar{\tau}$ ) के अनुकूल होता है न कि वर्स्ट-केस डिले के, जो एक नए ओवरलैप काउंट लेम्मा (Overlap Count Lemma) का लाभ उठाता है। यह लेम्मा भविष्य के उन इटरेशन की संख्या को सीमित करता है जो एक विशिष्ट डिले को "देखते" हैं, यह दिखाते हुए कि अभिसरण दर वर्स्ट-केस डिले $\tau_{\max}$ के बजाय औसत डिले $\bar{\tau}$ पर निर्भर करती है।
इनएक्सैक्ट कर्वेचर को संभालना: फ्रेमवर्क दो त्रुटि मॉडलों को समायोजित करता है:
- स्ट्रक्चर्ड इनएक्सटनेस (Structured Inexactness): क्वाज़ी-न्यूटन विधियों (जैसे, L-BFGS) और सबसैम्प्ल्ड हेसियन्स के लिए, त्रुटि को स्टेप साइज के समानुपाती दिखाया गया है (जो सेकेंट कंडीशन को संतुष्ट करता है)। एक सत्यापन योग्य सबस्पेस-अलाइनमेंट स्थिति के तहत, यह एक तेज़ अभिसरण दर प्रदान करता है।
- यूनिफॉर्म इनएक्सटनेस (Uniform Inexactness): एक नॉइज़-एडेप्टिव शेड्यूल ( $\rho_k = \max(20L(1+\tau_k), \nu \delta^{3/2}\sqrt{k+1})$ ) शोर-अनुकूलनशीलता प्रदान करता है जब स्ट्रक्चरल गारंटी उपलब्ध नहीं होती है, जिससे सिंक्रोनस सेटिंग्स में बढ़ी हुई रेगुलराइजेशन द्वारा प्राप्त दरों के समान दरें प्राप्त होती हैं।

3. मुख्य योगदान

स्प्लिट-क्लाइंट मॉडल: एक टास्क-पैरेलल एब्स्ट्रैक्शन जो हेसियन असेंबली प्लस फैक्टराइजेशन समय को स्पष्ट रूप से चार्ज करता है, जो वॉल-क्लॉक समय को ग्रेडिएंट इटरेशन से अलग करता है।
एवरेज-डिले कॉम्प्लेक्सिटी: एक औपचारिक ओवरलैप काउंट लेम्मा (थ्योरम 3) जो सिद्ध करता है कि टू-साइडेड कॉस्ट स्टेबिलिटी के तहत, वॉल-क्लॉक स्पीडअप $O(\sqrt{1 + \bar{\tau}})$ के रूप में स्केल करता है। यह स्वचालित रूप से अनुकूलित रूप से ट्यून किए गए लेजी हेसियन रेट $O(\varepsilon^{-3/2}\sqrt{\tau})$ से मेल खाता है, जिसके लिए पुन: उपयोग की आवृत्ति $m$ के पूर्व ट्यूनिंग की आवश्यकता नहीं होती है।
स्ट्रक्चर्ड क्वाज़ी-न्यूटन थ्योरी:
- एक सेकेंट एरर लेम्मा (थ्योरम 10) जो L-BFGS के लिए स्टेप-प्रोपोर्शनल एरर बाउंड स्थापित करता है।
- एक हाइब्रिड थ्योरम (थ्योरम 12) जो $O(T^{-1})$ दर (जब क्यूबिक स्टेप सेकेंट सबस्पेस के साथ संरेखित होता है) और $\tilde{O}(T^{-3/4})$ दर (वर्स्ट-केस, जो बढ़ी हुई रेगुलराइजेशन के साथ कामज़ोलोव एट अल. [2023] से मेल खाता है) के बीच इंटरपोलेट करता है।
सबसैम्प्ल्ड एक्सटेंशन: एडेप्टिव बैच साइज के साथ सबसैम्प्ड क्यूबिक न्यूटन का विस्तार, जो एक लीनियर $T$ में कुल सैंपल बजट सुनिश्चित करता है।
अनुभवजन्य सत्यापन (Empirical Validation): गैर-कॉन्वेक्स समस्याओं (Geman–McClure और tanh रिग्रेशन) पर प्रयोगों के माध्यम से महत्वपूर्ण वॉल-क्लॉक स्पीडअप प्रदर्शित करना।

4. परिणाम

लेखकों ने LIBSVM डेटासेट्स ( $d \approx 120$ ) और सिंथेटिक डेटा ( $d$ अप टू 2000 तक) का उपयोग करके दो गैर-कॉन्वेक्स समस्याओं पर वैनिला क्यूबिक रेगुलराइजेशन और लेजी हेसियन विधियों के विरुद्ध स्प्लिट-क्लाइंट दृष्टिकोण का मूल्यांकन किया।

वॉल-क्लॉक स्पीडअप: स्ट्रॉन्गली फैक्टराइजेशन-डोमिनेटेड शासन में, स्प्लिट-क्लाइंट ने वैनिला क्यूबिक रेगुलराइजेशन पर 30× से 800× और लेजी हेसियन पर 30× की स्पीडअप हासिल की।
- 'a9a' डेटासेट (tanh रिग्रेशन) पर, स्प्लिट-क्लाइंट $\sim 0.02$ सेकंड में अभिसरित हुआ, जबकि वैनिला को $\sim 80$ सेकंड लगे, जो 4000× त्वरण है।
- 'a1a' डेटासेट (Geman–McClure) पर, स्प्लिट-क्लाइंट लेजी से 25× तेज़ और वैनिला से 300× तेज़ था।
स्केलेबिलिटी: स्पीडअप आयाम $d$ के साथ स्केल करता है, जो फैक्टराइजेशन लागत ( $O(d^3)$ ) और ग्रेडिएंट लागत ($O(nd) $) के अनुपात को ट्रैक करता है। अनुभवजन्य परिणामों ने दिखाया कि स्पीडअप$ d=200 $पर$ 9.5\times $से बढ़कर$ d=2000 $पर$ 53.7\times$ हो गया।
अतुलना (Assumption) सत्यापन: प्रयोगों ने पुष्टि की कि प्राकृतिक डिले ( $\tau_t$ ) सीमित रहते हैं (अतुलना A4 को मान्य करता है) और हेसियन इनएक्सटनेस (रैंडमाइज्ड-SVD के माध्यम से) एक संकीर्ण बैंड के भीतर रहती है (अतुलना A5 को मान्य करता है)।

5. महत्व और दावे

यह पेपर दावा करता है कि स्प्लिट-क्लाइंट फ्रेमवर्क मध्यम-आयामी समस्याओं के लिए सेकंड-ऑर्डर ऑप्टिमाइज़ेशन में निहित सिंक्रोनाइज़ेशन बैरियर को प्रभावी ढंग से हटा देता है। वक्रता (curvature) गणना को ग्रेडिएंट अपडेट से अलग करके, यह विधि निरंतर ग्रेडिएंट स्टेप्स के पीछे महंगी फैक्टराइजेशन ऑपरेशन्स की विलंबता (latency) को छिपा देती है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनका दृष्टिकोण पूरी तरह से डिले-एडेप्टिव है, जिसमें पुन: उपयोग आवृत्तियों के ट्यूनिंग की आवश्यकता नहीं है, और यह परिवर्तनशील सिस्टम विलंबता (जैसे, साझा क्लस्टर्स में हेवी-टेल्ड डिले) के प्रति मजबूत है। इनका सैद्धांतिक योगदान वर्स्ट-केस डिले ( $\tau_{\max}$ ) से औसत डिले ( $\bar{\tau}$ ) में जटिलता विश्लेषण को स्थानांतरित करने और क्वाज़ी-न्यूटन विधियों के लिए एक संरचित विश्लेषण प्रदान करने में है जो सबस्पेस अलाइनमेंट के तहत तेज़ अभिसरण दरें प्रदान करता है।

यह कार्य वैज्ञानिक कंप्यूटिंग, सांख्यिकीय मॉडल और AutoML इनर लूप के लिए एक व्यावहारिक समाधान के रूप में प्रस्तुत किया गया है जहाँ पूर्ण हेसियन मेमोरी में समा सकता है लेकिन फैक्टराइजेशन प्राथमिक बाधा है। लेखक सीमाओं को नोट करते हैं: यह विधि मध्यम-आयामी शासन ( $d \lesssim 10^4$ ) के लिए डिज़ाइन की गई है; उच्च आयामों के लिए, हेसियन-फ्री विधियों या स्ट्रक्चर्ड एप्रोक्सिमेशन (जैसे K-FAC) की आवश्यकता बनी रहती है।