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Globalization of perturbative Chern-Simons theory on the moduli space of flat connections in the BV formalism

यह शोध पत्र स्थापित करता है कि चपटे कनेक्शनों (flat connections) के इर्द-गिर्द विस्तारित विचलित चेर्न-साइमन्स पाथ इंटीग्रल (perturbative Chern-Simons path integral), BV फॉर्मलिज्म में चपटे कनेक्शनों के मॉड्युली स्पेस (moduli space) पर एक क्षैतिज परिवार (horizontal family) बनाता है, जो इस मॉड्युली स्पेस पर एक मीट्रिक-स्वतंत्र वॉल्यूम फॉर्म (metric-independent volume form) के निर्माण को सक्षम बनाता है जो कि एक 3-मैनिफोल्ड इनवेरिएंट (3-manifold invariant) के रूप में कार्य करता है।

मूल लेखक: Pavel Mnev, Konstantin Wernli

प्रकाशित 2026-04-30

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Pavel Mnev, Konstantin Wernli

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: एक डगमगाते परिदृश्य का मानचित्रण

कल्पना कीजिए कि आप एक खोजकर्ता हैं जो एक विशाल, धुंधले परिदृश्य का मानचित्र बनाने की कोशिश कर रहे हैं जिसे मोडुली स्पेस ऑफ फ्लैट कनेक्शन्स (Moduli Space of Flat Connections) कहा जाता है। यह कोई भौतिक स्थान नहीं है जिसमें पहाड़ और नदियाँ हों, बल्कि यह एक गणितीय "स्थान" है जहाँ प्रत्येक बिंदु एक 3D आकार (3-मैनिफोल्ड) पर एक विशिष्ट, स्थिर चुंबकीय-जैसे क्षेत्र (कनेक्शन) के विन्यास को दर्शाता है।

अतीत में, गणितज्ञों को इस परिदृश्य के विशिष्ट, अलग-थलग बिंदुओं पर माप लेने का तरीका पता था जहाँ क्षेत्र "पूरी तरह से स्थिर" (acyclic) था। हालाँकि, उन्हें उन बिंदुओं पर माप लेने में संघर्ष करना पड़ा जहाँ क्षेत्र "डगमगाता" था या जिसमें अतिरिक्त स्वतंत्रता के स्तर (non-acyclic) थे। यह एक झील का आयतन मापने की कोशिश करने जैसा था, लेकिन पानी लहरों की तरह हिलता रहता था, जिससे हर बार पलक झपकने पर माप बदल जाता था।

इस शोध पत्र का लक्ष्य:
लेखकों, पावेल म्नेव (Pavel Mnev) और कॉन्स्टेंटिन वर्नली (Konstantin Wernli) ने इस परिदृश्य के पूरे चिकने भाग के लिए एक एकल, सुसंगत "वॉल्यूम फॉर्म" (कुल आकार को मापने का एक तरीका) बनाना चाहा। वे यह सिद्ध करना चाहते थे कि यह माप एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट (topological invariant) है—अर्थात यह ब्रह्मांड के आकार (3-मैनिफोल्ड) पर निर्भर करता है और उस विशिष्ट उपकरण (जैसे कि रूलर या ग्रिड) पर नहीं जिसका उपयोग माप के लिए किया गया है।

उपकरण: "डीसिंक्रोनाइज्ड" (Desynchronized) दृष्टिकोण

इसे हल करने के लिए, उन्होंने एक चतुर तरकीब ईजाद की जिसे वे "डीसिंक्रोनाइजेशन" (Desynchronization) कहते हैं।

दो नाविकों की उपमा:
कल्पना कीजिए कि आप एक नदी (भौतिकी की गणना) के माध्यम से एक नाव (भौतिकी की गणना) चलाने की कोशिश कर रहे हैं।

नाविक A (काइनेटिक ऑपरेटर): यह नाविक नदी के तल के आकार और पानी के प्रवाह को जानता है। वह नाव चलाने की "लागत" निर्धारित करता है।
नाविक B (गेज फिक्सिंग ऑपरेटर): यह नाविक नियम निर्धारित करता है कि नाव को लूप में फंसने से बचने के लिए कैसे स्टीयरिंग करनी चाहिए।

पिछले तरीकों में, नाविक A और नाविक B को एक ही व्यक्ति होने के लिए मजबूर किया जाता था (एक ही फ्लैट कनेक्शन का उपयोग करके)। यह शांत पानी में तो ठीक काम करता था, लेकिन "डगमगाते" क्षेत्रों में नाव को पलट देता था।

नवाचार:
म्नेव और वर्नली ने नाविक A और नाविक B को दो अलग-अलग लोग बनने की अनुमति दी जो एक-दूसरे के बहुत करीब खड़े हैं लेकिन बिल्कुल एक के ऊपर एक नहीं हैं।

नाविक A, कनेक्शन $A$ के आधार पर नदी के तल को देखता है।
नाविक B, एक थोड़े अलग कनेक्शन $A'$ के आधार पर स्टीयरिंग के नियम निर्धारित करता है।

उन्हें एक-दूसरे से थोड़ा "आउट ऑफ सिंक" रखकर, लेखकों ने गणितीय बाधाओं को सुचारू बनाने का एक तरीका खोजा। उन्होंने दिखाया कि भले ही दोनों नाविक अलग हों, यात्रा का अंतिम परिणाम (पार्टीशन फंक्शन) स्थिर और सुसंगत रहता है, बशर्ते आप उनके बीच के सूक्ष्म अंतर को ध्यान में रखें।

यात्रा: स्थानीय से वैश्विक तक

"लोकल" (स्थानीय) मानचित्रों के साथ समस्या:
आमतौर पर, भौतिक विज्ञानी एक विशिष्ट बिंदु पर "पार्टीशन फंक्शन" (कुल प्रायिकता या आयतन) की गणना करते हैं। यदि आप थोड़े से पड़ोसी बिंदु पर जाते हैं, तो गणना अव्यवस्थित तरीके से बदल जाती है। यह एक ऐसे क्विल्ट (quilt) को सिलने की कोशिश करने जैसा है जहाँ प्रत्येक पैच का पैटर्न थोड़ा अलग होता है; उनके जोड़ आपस में नहीं मिलते।

समाधान: "ग्रोथेंडिक कनेक्शन" (Grothendieck Connection):
लेखकों ने एक विशेष "गाइड रेल" (गणितीय रूप से कनेक्शन कहा जाता है) बनाई जो आपको जानकारी खोए बिना एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक अनुवाद करने का निर्देश देती है।

उन्होंने सिद्ध किया कि यदि आप इस गाइड रेल के साथ चलते हैं, तो आपका माप एक बहुत ही विशिष्ट, अनुमानित तरीके से बदलता है (गणितीय रूप से यह "होरिज़ोंटल" है)।
कोई भी "अव्यवस्थित" परिवर्तन जो इस पैटर्न में फिट नहीं बैठता है, वह केवल "शोर" (जिसे BV-exact टर्म कहा जाता है) है जिसे अनदेखा किया जा सकता है या रद्द किया जा सकता है।

परिणाम: "ग्लोबल पार्टीशन फंक्शन" (Global Partition Function)

इस "गाइड रेल" और "डीसिंक्रोनाइज्ड" तरकीब का उपयोग करके, उन्होंने एक ग्लोबल पार्टीशन फंक्शन का निर्माण किया।

यह क्या है? यह फ्लैट कनेक्शन्स के पूरे चिकने परिदृश्य पर परिभाषित एक एकल, एकीकृत वॉल्यूम फॉर्म है।
यह क्यों विशेष है?
1. यह मजबूत है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप 3D आकार को मापने के लिए किस विशिष्ट "रूलर" (मेट्रिक) का उपयोग करते हैं। यदि आप रूलर बदलते हैं, तो कुल आयतन (एक ज्ञात, हानिरहित सुधार के अलावा) समान रहता है।
2. यह एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट है: क्योंकि यह रूलर पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए यह स्वयं आकार का एक वास्तविक गुण है। यह 3D आकारों को वर्गीकृत करने का एक नया तरीका है।
3. यह "डगमगाते" स्थानों को ठीक करता है: पिछले तरीकों के विपरीत जो जटिल बिंदुओं पर विफल हो गए थे, यह तरीका तब भी काम करता है जब क्षेत्र में "जीरो मोड्स" (डगमगाहट) होते हैं।

"डीसिंक्रोनाइज्ड" फॉर्मूला

शोध पत्र एक "डीसिंक्रोनाइज्ड पार्टीशन फंक्शन" ( $Z_{A, A'}$ ) भी पेश करता है। इसे एक "सुपर-फंक्शन" के रूप में सोचें जो किसी भी पास के दो नाविकों के लिए उत्तर रखता है।

जब नाविक A और नाविक B एक ही होते हैं ( $A = A'$ ), तो यह सुपर-फंक्शन वापस मानक, परिचित उत्तर में सिमट जाता है।
जब वे अलग होते हैं, तो यह एक सेतु (ब्रिज) के रूप में कार्य करता है, जो यह दिखाता है कि परिदृश्य के माध्यम से चलते समय उत्तर कैसे बदलता है।

एक वाक्य में सारांश

लेखकों ने एक नया गणितीय "जीपीएस" विकसित किया है जो भौतिकविदों को एक 3D आकार पर स्थिर चुंबकीय क्षेत्रों के पूरे स्थान के लिए एक सुसंगत, रूलर-स्वतंत्र आयतन की गणना करने की अनुमति देता है, यहाँ तक कि उन सबसे जटिल और "डगमगाते" क्षेत्रों में भी जहाँ पिछले तरीके विफल हो गए थे।

यह शोध पत्र क्या दावा नहीं करता है

यह सीधे तौर पर क्वांटम ग्रेविटी या स्ट्रिंग थ्योरी की समस्याओं को हल करने का दावा नहीं करता है, हालांकि यह उन क्षेत्रों से जुड़े उपकरणों का उपयोग करता है।
यह कोई नया चिकित्सा अनुप्रयोग या भौतिक उपकरण बनाने का तरीका प्रदान नहीं करता है।
यह दावा नहीं करता है कि इसने "एसिम्प्टोटिक एक्सपेंशन कॉन्जेक्चर" (बहुत उच्च ऊर्जा पर ये संख्याएँ कैसे व्यवहार करती हैं, इसके बारे में एक प्रसिद्ध खुला प्रश्न) को हल कर दिया है, लेकिन यह सुझाव देता है कि उनका नया "ग्लोबल पार्टीशन फंक्शन" भविष्य में इसे सिद्ध करने के लिए आवश्यक मुख्य घटक हो सकता है। यह शोध पत्र उस विशिष्ट प्रमाण को बाद के कार्यों के लिए छोड़ देता है।

यहाँ पावेल मनेव और कॉन्स्टेंटिन वर्नली के शोध पत्र "Globalization of Perturbative Chern-Simons Theory on the Moduli Space of Flat Connections in the BV Formalism" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र गैर-एसाइक्लिक (non-acyclic) फ्लैट कनेक्शन के आसपास विस्तारित होने पर पर्टर्बेटिव चेर्न-साइंसन विभाजन फलन (partition function) के गणितीय निरूपण को संबोधित करता है।

संदर्भ: चेर्न-साइंसन सिद्धांत में, पाथ इंटीग्रल (path integral) को आमतौर पर क्रिटिकल पॉइंट्स (फ्लैट कनेक्शन) के आसपास स्टेशनरी फेज एप्रोक्सिमेशन (stationary phase approximation) के माध्यम से निकाला जाता है। एसाइक्लिक (acyclic) फ्लैट कनेक्शनों के लिए (जहाँ ट्विस्टेड डी रॅम कोहोमोलॉजी शून्य होती है), पर्टर्बेटिव सीरीज़ एक सुपरिभाषित (well-defined) वस्तु होती है जो टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट्स (जैसे एक्सलरोड और सिंगर का कार्य) प्रदान करती है।
चुनौती: जब फ्लैट कनेक्शन $A_0$ $A_{0}$ गैर-एसाइक्लिक होता है (विशेष रूप से, जब $H^1_{A_0} \neq 0$ $H_{A_{0}}^{1} \neq = 0$ हो), तो सिद्धांत में जीरो मोड्स (zero modes) होते हैं। मानक पर्टर्बेटिव विस्तार मॉडुलि स्पेस (moduli space) पर एक सुपरिभाषित वैश्विक वस्तु (global object) उत्पन्न करने में विफल रहता है क्योंकि:
1. विभाजन फलन बैकग्राउंड कनेक्शन $A_0$ के चयन पर निर्भर करता है।
2. यह रिमानियन मेट्रिक (framing anomaly) के चयन पर निर्भर करता है।
3. यह $\mathcal{M}$ पर एक "ग्लोबल" सेक्शन नहीं है; बल्कि, यह एक स्थानीय वस्तु है जो मॉडुलि स्पेस में चलते समय गैर-तुच्छ (non-trivially) रूप से बदलती है।
लक्ष्य: लेखकों का लक्ष्य मॉडुलि स्पेस $\mathcal{M}$ के स्मूथ इर्रिड्यूसिबल स्ट्रैटम (smooth irreducible stratum) $\mathcal{M}'$ पर एक ग्लोबल विभाजन फलन (जो कि एक वॉल्यूम फॉर्म है) का निर्माण करना है, जिसका कोहोमोलॉजी क्लास फ्रेमड 3-मैनिफोल्ड का एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट है, जो मेट्रिक और बैकग्राउंड कनेक्शन के विशिष्ट चयन से स्वतंत्र है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक बैटलिन-विलिकोव्सकी (BV) फॉर्मलिज्म को फॉर्मल ज्योमेट्री (formal geometry) और होमोलॉजिकल पर्टर्बेशन थ्योरी (homological perturbation theory) के साथ जोड़कर उपयोग करते हैं।

अ. "डिसिंक्रोनाइज्ड" विभाजन फलन (The "Desynchronized" Partition Function)

बैकग्राउंड कनेक्शन पर निर्भरता को संभालने के लिए, वे एक "डिसिंक्रोनाइज्ड" विभाजन फलन $Z_{A, A'}$ पेश करते हैं।

काइनेटिक बनाम गेज-फिक्सिंग: मानक सिद्धांत में, काइनेटिक ऑपरेटर ( $d_A$ ) और गेज-फिक्सिंग ऑपरेटर ( $d^*_A$ ) एक ही कनेक्शन $A$ का उपयोग करते हैं। यहाँ, वे उन्हें अलग-अलग होने की अनुमति देते हैं: काइनेटिक टर्म एक कनेक्शन $A$ का उपयोग करता है, जबकि गेज-फिक्सिंग एक आस-पास के कनेक्शन $A'$ का उपयोग करता है।
डिसिंक्रोनाइज्ड हॉज डीकंपोजिशन: वे एक जोड़े $(A, A')$ पर आधारित हॉज डीकंपोजिशन का निर्माण करते हैं, जो $(A, A')$ -हारमोनिक फॉर्म्स को परिभाषित करता है। यह विभिन्न बैकग्राउंड कनेक्शनों के बीच एक सुचारू इंटरपोलेशन (smooth interpolation) की अनुमति देता है।

ब. फॉर्मल ज्योमेट्री और ग्रोटेंडिएक कनेक्शन (Formal Geometry and the Grothendieck Connection)

मॉडुलि स्पेस संरचना: वे मॉडुलि स्पेस के स्मूथ इर्रिड्यूसिबल लोक $\mathcal{M}'$ का विश्लेषण करते हैं। हॉज डीकंपोजिशन से प्राप्त स्ट्रॉन्ग डिफॉर्मेशन रिट्रैक्शन (SDR) डेटा का उपयोग करके, वे एक फॉर्मल एक्सपोनेंशियल मैप (सम-ओवर-ट्रीज़) $\phi: T\mathcal{M}' \to \mathcal{M}'$ का निर्माण करते हैं।
ग्रोटेंडिएक कनेक्शन: यह एक्सपोनेंशियल मैप मॉडुलि स्पेस पर औपचारिक हाफ-डेंसिटीज (formal half-densities) के बंडल पर एक फ्लैट कनेक्शन $\nabla_G$ (ग्रोटेंडिएक कनेक्शन) प्रेरित करता है। एक सेक्शन तब "ग्लोबल" होता है जब वह इस कनेक्शन के सापेक्ष हॉरिजॉन्टल (horizontal) हो।

स. गैर-होमोजेनियस फॉर्म्स तक विस्तार (Extension to Non-Homogeneous Forms)

मुख्य तकनीकी नवाचार ट्रिपल $(A, A', g)$ (काइनेटिक कनेक्शन, गेज-फिक्सिंग कनेक्शन, मेट्रिक) के स्पेस पर एक गैर-होमोजेनियस डिफरेंशियल फॉर्म तक विभाजन फलन का विस्तार करना है।

वे एक विस्तारित विभाजन फलन $\check{Z}$ का निर्माण करते है जो एक डिफरेंशियल क्वांटम मास्टर इक्वेशन (dQME) को संतुष्ट करता है:
$(\nabla_D - i\hbar\Delta_a - \frac{i}{\hbar}\frac{1}{2}\langle a, F_{\nabla} a \rangle) \check{Z} = 0$
यहाँ, $\nabla_D$ एक गॉस-मैनिन सुपरकनेक्शन है, $\Delta_a$ जीरो मोड्स पर BV लैपलेसियन है, और $F_{\nabla}$ कोहोमोलॉजी बंडल की वक्रता (curvature) है।
यह समीकरण $A$ , $A'$ , और मेट्रिक $g$ में परिवर्तनों के संबंध में विभाजन फलन के विचरण (variations) को एनकोड करता है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

1. पर्टर्बेटिव विभाजन फलन की हॉरिजॉन्टेलिटी (Horizontality of the Perturbative Partition Function)

लेखक सिद्ध करते हैं कि पर्टर्बेटिव विभाजन फलन $Z$ , ग्रोटेंडिएक कनेक्शन $\nabla_G$ के सापेक्ष हॉरिजॉन्टल है—एक BV-एक्सैक्ट टर्म तक।

प्रमेय: $\nabla_G Z = -i\hbar \Delta_a R$ , जहाँ $R$ एक विशिष्ट डिग्री $-1$ जनरेटर है जिसे एक चिह्नित किनारे या लीफ वाले फिंगर ग्राफ से बनाया गया है।
महत्व: इसका अर्थ है कि $Z$ का ग्लोबल सेक्शन न होने का मामला BV कोहोमोलॉजी के अर्थ में "तुच्छ" (trivial) है। इसे एक BV-एक्सैक्ट टर्म जोड़कर सुधारा जा सकता है।

2. ग्लोबल विभाजन फलन ( $Z_{\text{glob}}$ ) का निर्माण

उपयुक्त BV-एक्सैक्ट टर्म के साथ $Z$ को सुधार कर और ज़ीरो-सेक्शन ( $a=0$ ) पर प्रतिबंधित करके, वे ग्लोबल विभाजन फलन को परिभाषित करते हैं:
$Z_{\text{glob}} = Z|_{a=0} + \text{correction terms}$

फॉर्मूला: सुधार में उन ग्राफ्स का योग शामिल है जहाँ "जीरो-मोड" वेरिएबल्स को ज़ीरो मोड्स के सापेक्ष दूसरे डेरिवेटिव वाले एक विशिष्ट ऑपरेटर का उपयोग करके इंटीग्रेट किया जाता है।
गुण: $Z_{\text{glob}}$ मॉडुलि स्पेस $\mathcal{M}'$ पर एक वॉल्यूम फॉर्म को परिभाषित करता है। इसकी कोहोमोलॉजी क्लास मेट्रिक और बैकग्राउंड कनेक्शन के चयन से स्वतंत्र है।

3. मेट्रिक स्वतंत्रता (टोपोलॉजिकल इनवेरिएंस)

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि रेनोर्मलाइज्ड (renormalized) ग्लोबल विभाजन फलन रिमानियन मेट्रिक $g$ से स्वतंत्र है (BV-एक्सैक्ट टर्म्स को छोड़कर)।

रेनोर्मलाइजेशन: वे मानक फ्रेमिंग एनोमली करेक्शन (जिसमें ग्रेविटेशनल चेर्न-साइंसन टर्म $S_{\text{grav}}$ और एक पावर सीरीज़ $c(\hbar)$ शामिल है) को शामिल करते हैं।
परिणाम: रेनोर्मलाइज्ड $Z_{\text{glob}}$ का मेट्रिक के सापेक्ष विचरण एक BV-एक्सैक्ट टर्म है: $\delta_g Z_{\text{glob}}^{\text{ren}} = -i\hbar \Delta_{\mathcal{M}'} R_{\text{glob}}$ । फलस्वरूप, कोहोमोलॉजी क्लास $[Z_{\text{glob}}^{\text{ren}}] \in H^{\text{top}}(\mathcal{M}')$ फ्रेमड 3-मैनिफोल्ड का एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट है।

4. "डिसिंक्रोनाइज्ड" फ्रेमवर्क

डिसिंक्रोनाइज्ड विभाजन फलन $Z_{A, A'}$ का परिचय एक महत्वपूर्ण मध्यवर्ती चरण है। यह लेखकों को काइनेटिक ऑपरेटर (बदलते $A$ ) के विचरण को गेज-फिक्सिंग (बदलते $A'$ ) से अलग करने की अनुमति देता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि विभाजन फलन बैकग्राउंड कनेक्शन के शिफ्ट के तहत कोवेरिएंट रूप से रूपांतरित होता है।

4. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

जीरो-मोड समस्याओं का समाधान: यह शोध पत्र गैर-एसाइक्लिक फ्लैट कनेक्शनों के आसपास पर्टर्बेटिव विस्तार को संभालने के लिए एक कठोर गणितीय ढांचा प्रदान करता है, जो गणितीय भौतिकी में एक लंबे समय से चली आ रही समस्या है।
टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट्स: यह स्थापित करता है कि पर्टर्बेटिव चेर्न-साइंसन सिद्धांत मॉडुलि स्पेस पर एक सुपरिभाषित टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट (चेर्न-साइंसन वॉल्यूम क्लास) प्रदान करता है, जो पिछले परिणामों का सामान्यीकरण करता है जो केवल एसाइक्लिक कनेक्शनों या रैशनल होमोलॉजी स्फेयर्स तक सीमित थे।
गैर-पर्टर्बेटिव सिद्धांत से संबंध: लेखक अनुमान लगाते हैं कि इस ग्लोबल विभाजन फलन का मॉडुलि स्पेस घटकों पर समाकलन, रेशेटिक-तुराएव (RT) इनवेरिएंट्स (गैर-पर्टर्बेटिव क्वांटम इनवेरिएंट्स) के एसिम्प्टोटिक एक्सपेंशन (asymptotic expansion) के अनुरूप होता है। यह पर्टर्बेटिव फिंगर डायग्राम दृष्टिकोण और सटीक क्वांटम ग्रुप दृष्टिकोण के बीच के अंतर को पाटता है।
QFT में फॉर्मल ज्योमेट्री: यह कार्य मॉडुलि स्पेस पर क्वांटम फील्ड थ्योरीज को व्यवस्थित करने के लिए फॉर्मल ज्योमेट्री (ग्रोटेंडिएक कनेक्शन, फॉर्मल एक्सपोनेंशियल मैप्स) की शक्ति को प्रदर्शित करता है, जो अन्य सिद्धांतों के लिए एक टेम्पलेट प्रदान करता है जिनमें जीरो मोड्स होते हैं।

5. तकनीकी प्रवाह का सारांश (Summary of Technical Flow)

सेटअप: एक फ्लैट कनेक्शन $A_0$ के साथ पर्टर्बेटिव CS थ्योरी को परिभाषित करें जिसमें जीरो मोड्स हों।
डिसिंक्रोनाइजेशन: काइनेटिक और गेज-फिक्सिंग कनेक्शनों को अलग करने के लिए $Z_{A, A'}$ पेश करें।
विचरण विश्लेषण: सिद्ध करें कि $Z_{A, A'}$ $A$ , $A'$ , और $g$ के परिवर्तनों के तहत हॉरिजॉन्टेलिटी शर्तों (dQME) को संतुष्ट करता है।
ग्लोबलाइजेशन: 'हॉरिजॉन्टल' भाग की पहचान करने के लिए ग्रोटेंडिएक कनेक्शन का उपयोग करें।
सुधार (Correction): $Z_{\text{glob}}$ को बनाने के लिए इसमें उपयुक्त BV-एक्सैक्ट सुधार जोड़ें ताकि यह पूरी तरह से हॉरिजॉन्टल हो जाए और फिर $a=0$ पर प्रतिबंधित करें।
इनवेरिएंस: सिद्ध करें कि $Z_{\text{glob}}$ मेट्रिक-स्वतंत्र है (रेनोर्मलाइजेशन के बाद) और मॉडुलि स्पेस पर एक टोपोलॉजिकल वॉल्यूम फॉर्म को परिभाषित करता है।