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Moduli space of connections on rational irregular curves

यह शोध पत्र एक अतिरिक्त जटिल पैरामीटर के साथ युक्त परिमेय अनियमित वक्रों (rational irregular curves) की पहचान करके और अनियमित स्थिर नोडल वक्रों (irregular stable nodal curves) की अवधारणा को प्रस्तुत करके, एक द्वि-ध्रुवीय (double pole) और दो सरल ध्रुवों (simple poles) वाले रीमान स्फीयर पर रैंक-दो अनियमित कनेक्शनों के मोडुलि स्पेस के एक त्रि-आयामी अर्ध-प्रोजेक्टिव कॉम्पैक्टिफिकेशन (three-dimensional quasi-projective compactification) का निर्माण करता है।

मूल लेखक: Mattia Morbello

प्रकाशित 2026-04-23

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CC0 1.0

मूल लेखक: Mattia Morbello

मूल पेपर CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/) के तहत सार्वजनिक डोमेन को समर्पित है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक वास्तुकार (architect) हैं जो एक आदर्श, स्थिर शहर का डिज़ाइन तैयार करने की कोशिश कर रहे हैं। लेकिन यह इमारतों का शहर नहीं है; यह गणितीय संबंधों (mathematical connections) का एक शहर है।

इस कागज़ की दुनिया में, एक "संबंध" (connection) एक अदृश्य नियमों के सेट की तरह है जो एक यात्री को एक परिदृश्य (विशेष रूप से, पृथ्वी की तरह एक गोले/sphere पर) के माध्यम से आगे बढ़ने के निर्देश देता है। कभी-कभी, परिदृश्य में "गड्ढे" (singularities) होते हैं जहाँ नियम अजीब हो जाते हैं। कुछ गड्ढे छोटे होते हैं (simple poles), लेकिन एक बहुत बड़ा, गहरा क्रेटर (double pole) है।

लेखक, मैटिया मोरबेलो (Mattia Morbello), एक मानचित्र (moduli space) बनाने की कोशिश कर रहे हैं जो हर उस तरीके को सूचीबद्ध करता है जिससे ये नियम अस्तित्व में रह सकते हैं। लेकिन पेच यह है कि उनका वर्तमान मानचित्र अधूरा है। इसमें छेद हैं। यदि आप मानचित्र के किनारे पर जाने की कोशिश करते हैं, तो आप गिर जाते हैं क्योंकि जब कुछ बिंदु एक-दूसरे के बहुत करीब आते हैं, तो गणित टूट जाता है।

उनका लक्ष्य इस मानचित्र को कॉम्पैक्टिफाई (compactify) करना है। गणितीय भाषा में, इसका अर्थ है "मानचित्र के छेदों को भरना" और "किनारों को सील करना" ताकि यह एक पूर्ण, ठोस, सीमित वस्तु बन सके जिसमें हर संभव परिदृश्य शामिल हो, यहाँ तक कि वे भी जो अजीब या ढहते हुए प्रतीत होते हैं।

यहाँ उनके द्वारा इसे करने का तरीका दिया गया है, जिसे सरल उपमाओं में विभाजित किया गया है:

1. समस्या: "सिकुड़ता हुआ" शहर

कल्पना कीजिए कि आपके पास चार विशेष मील के पत्थर हैं: एक क्लॉक टॉवर (0), एक फव्वारा (1), एक पर्वत शिखर (∞), और एक भटकता हुआ यात्री (𝑊)।

क्लॉक टॉवर और पर्वत के नियम निश्चित हैं।
फव्वारे का नियम दोहरा है (यह एक "डबल पोल" है)।
यात्री (𝑊) कहीं भी हो सकता है।

लेखक ने शहर को तीन नंबरों का उपयोग करके वर्णित करने का एक तरीका खोजा है:

𝑊: यात्री कहाँ खड़ा है।
𝑡: एक "समय" या "गति" पैरामीटर (यह फव्वारे के पास चीजें कितनी तेज़ी से बदलती हैं, इससे संबंधित है)।
𝑝̂: एक "दिशा" पैरामीटर (यात्री किस दिशा में देख रहा है)।

समस्या: यह विवरण तब तक बहुत अच्छा काम करता है जब तक यात्री क्लॉक टॉवर, फव्वारे, या पर्वत पर खड़ा नहीं होता। लेकिन क्या होता है जब यात्री फव्वारे से टकरा जाता है? गणित विस्फोट कर देता है। मानचित्र में वहाँ एक छेद है।

2. समाधान: एक "स्थिर" पड़ोस बनाना

छेद को ठीक करने के लिए, लेखक डेलिग्ने और ममफोर्ड (प्रसिद्ध मानचित्रकार) से प्रेरित एक तकनीक का उपयोग करते हैं। यात्री को फव्वारे से टकराकर गायब होने देने के बजाय, वे कहते हैं: "जब वे टकराते हैं, तो शहर विभाजित हो जाता है!"

उपमा: कल्पना कीजिए कि एक रबर की शीट है जिस पर चार बिंदु हैं। यदि आप दो बिंदुओं को एक साथ धकेलते हैं, तो शीट केवल फटती नहीं है; यह खिंचती है और एक नोड (node) (एक संकुचन बिंदु) बनाती है। शहर दो अलग-अलग द्वीपों में बदल जाता है जो एक छोटे से पुल से जुड़े होते हैं।
परिणाम: लेखक "इर्रेगुलर स्टेबल नोडल कर्व्स" (Irregular Stable Nodal Curves) पेश करते हैं। ये वे "द्वीप" हैं जो बिंदुओं के टकराने पर दिखाई देते हैं। एक द्वीप "टकराए हुए" बिंदुओं को थामे रखता है, और दूसरा द्वीप बाकी चीजों को थामे रखता है। यह टकराव के दौरान भी गणित को सुचारू रूप से जारी रखने की अनुमति देता है।

3. "ओकामोटो" स्पेस: शहर के पार्क

लेखक खोजते हैं कि किसी विशिष्ट "समय" (𝑡) के लिए, शहर एक प्रसिद्ध उद्यान की तरह दिखता है जिसे ओकामोटो नामक गणितज्ञ ने डिज़ाइन किया था।

ओकामोटो स्पेस को एक मानक 2D सतह के ऊपर बने एक सुंदर, 8-स्तरित पार्क के रूप में सोचें।
अधिकांश समय (𝑡 ≠ 0) के लिए, मानचित्र इन 8-स्तरित पार्कों का एक संग्रह मात्र है।
लेकिन "समय के किनारे" (𝑡 = 0 या 𝑡 = ∞) पर क्या होता है? पार्क अपना आकार बदल लेते हैं। वे मुड़ते हैं, विलीन होते हैं और नई, जटिल संरचनाओं में बदल जाते हैं।

4. भव्य निर्माण: 3D टॉवर

लेखक एक विशाल 3D टॉवर (एक वैरायटी) बनाते हैं जिसे $\mathfrak{Con}^V_\Theta$ कहा जाता है।

फ्लोर प्लान: यदि आप किसी भी बिंदु पर इस टॉवर को क्षैतिज रूप से काटते हैं, तो आपको उन 8-स्तरित ओकामोटो पार्कों में से एक प्राप्त होगा।
बेसमेंट (𝑡=0): फ्लोर प्लान बदल जाता है। यह एक साधारण पहाड़ी और एक दोहरी परत वाली पहाड़ी के मिश्रण में बदल जाता है।
पेंटहाउस (𝑡=∞): फ्लोर प्लान और भी विचित्र हो जाता है, जो चार अलग-अलग खंडों में विभाजित हो जाता है।

वह यह सिद्ध करते हैं कि यह टॉवर एक पूर्ण, ठोस वस्तु है। इसमें कोई छेद नहीं है। यह कनेक्शन के हर संभव संस्करण को कैप्चर करता है, शांत और स्थिर दिनों से लेकर उन अराजक क्षणों तक जब बिंदु आपस में टकराते हैं।

5. "सिमिट्रीज़": जादुई दर्पण

अंत में, लेखक देखते हैं कि इस टॉवर में जादुई दर्पण हैं।

यदि आप "क्लॉक टॉवर" को "पर्वत" के साथ बदलते हैं, तो पूरा शहर खुद को पूरी तरह से पुनर्गठित कर लेता है।
यदि आप यात्री की "दिशा" को पलट देते हैं, तो शहर भी पलट जाता है।
ये सिमिट्री (Symmetries) हैं। ये दर्शाते हैं कि अंतर्निहित संरचना अविश्वसनीय रूप से संतुलित और सुरुचिपूर्ण है, जैसे कि एक कैलीडोस्कोप (kaleidoscope)।

सारांश: यह क्यों मायने रखता है?

वास्तविक दुनिया में, पेनलेवे V (Painlevé V) जैसे समीकरण (जिसका यह शोध पत्र अध्ययन करता है) क्रिस्टल के विकास से लेकर लेजर में प्रकाश के व्यवहार तक सब कुछ वर्णित करते हैं।

इस शोध पत्र से पहले: गणितज्ञों के पास "सामान्य" व्यवहार का एक मानचित्र था, लेकिन उन्हें चरम सीमाओं (टकराव) पर क्या होता है, इसकी जानकारी नहीं थी।
इस शोध पत्र के बाद: हमारे पास एक पूर्ण एटलस (complete atlas) है। हम जानते हैं कि चरम स्थितियों में ब्रह्मांड कैसा दिखता है। हम जानते हैं कि जब बिंदु टकराते हैं, तब भी ब्रह्मांड टूटता नहीं है; यह बस एक स्थिर, जुड़े हुए ढांचे में विभाजित हो जाता है।

संक्षेप में: मैटिया मोरबेलो ने एक ऐसे गणितीय मानचित्र को लिया जिसमें खतरनाक चट्टानें और छेद थे, और उन्होंने चट्टानों के ऊपर एक पुल बनाया और छेदों को भर दिया, जिससे एक पूर्ण, सुंदर और सममित परिदृश्य का निर्माण हुआ जो यह बताता है कि जटिल प्रणालियाँ चरम सीमाओं तक पहुँचने पर कैसे व्यवहार करती हैं।

यहाँ मैटिया मोर्बेलो के शोध पत्र "Moduli Space of Connections on Rational Irregular Curves" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र रीमैन स्फीयर ( $\mathbb{P}^1$ ) पर रैंक-दो मेरोमोर्फिक कनेक्शन (meromorphic connections) के एक विशिष्ट पोलर डैविज़र कॉन्फ़िगरेशन (polar divisor configuration) वाले मॉडुली स्पेस के कॉम्पैक्टिफिकेशन (compactification) के निर्माण को संबोधित करता है: एक डबल पोल और दो सिंपल पोल्स। इन कनेक्शनों को पेनलेवे V (PV) प्रकार के कनेक्शन (या कन्फ्लुएंट ह्यून समीकरण) कहा जाता है।

जबकि जेनेरिक पैरामीटर्स के लिए मॉडुली स्पेस अच्छी तरह से समझा जा चुका है (जो पेनलेवे V समीकरण के ओकामोटो स्पेस ऑफ इनिशियल कंडीशंस से संबंधित है), एक पूर्ण बीजगणितीय कॉम्पैक्टिफिकेशन की कमी थी जिसमें सीमावर्ती मामलों (जहाँ सिंगुलैरिटीज़ आपस में मिल जाती हैं या पैरामीटर्स डीजेनरेट होते हैं) को शामिल किया जा सके। विशेष रूप से, लेखक का लक्ष्य है:

एक कॉम्पैक्टिफाइड मॉडुली स्पेस $\mathfrak{Con}^V_\Theta$ का निर्माण करना जो ज्ञात ओकामोटो स्पेस का विस्तार करता हो।
समय पैरामीटर ( $t=0$ और $t=\infty$ ) के सीमा बिंदुओं (boundary points) पर फाइबर्स की ज्यामिति का वर्णन करना।
घटते हुए ज्यामितीय डेटा को कठोरता से वर्णित करने के लिए इररेगुलर स्टेबल नोडल कर्व्स (irregular stable nodal curves) की अवधारणा को परिभाषित करना।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक बीजगणितीय ज्यामिति (algebraic geometry), आइसोमोनोड्रोमिक डिफॉर्मेशन (isomonodromic deformations) के सिद्धांत और बिरेशनल ज्योमेट्री (birational geometry) के संयोजन का उपयोग करते हैं। कार्यप्रणाली तीन मुख्य चरणों में आगे बढ़ती है:

A. नॉर्मल फॉर्म और पैरामीटर पहचान (Normal Form and Parameter Identification)

डियारा और लोरे द्वारा स्थापित नॉर्मल फॉर्म का उपयोग करते हुए, लेखक यह पहचानते हैं कि कोई भी PV कनेक्शन (मेरोमोर्फिक गेज इक्विवेलेंस तक) तीन जटिल पैरामीटर्स द्वारा अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है:

$q$ : एक "अपैरेंट सिंगुलैरिटी" (apparent singularity) का स्थान (एक ऐसा बिंदु जहाँ कनेक्शन मैट्रिक्स के पूर्णांक आइजनवैल्यू होते हैं लेकिन ट्रिवियल मोनोड्रोमी होती है)।
$t$ : एक इररेगुलर सिंगुलैरिटी से जुड़ा पैरामीटर (जो पेनलेवे V समीकरण में टाइम वेरिएबल के रूप में कार्य करता है)।
$\hat{p}$ : अपैरेंट सिंगुलैरिटी पर रेसिडुअल मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर से संबंधित एक पैरामीटर।

लेखक इन पैरामीटर्स की ज्यामितीय व्याख्या करते हैं:

$q$ और $t$ एक रेशनल इररेगुलर कर्व (एक गोला जिसमें चार चिह्नित बिंदु और एक बिंदु पर एक चिह्नित टेंजेंट वेक्टर है) को परिभाषित करते हैं।
$\hat{p}$ एक फाइब्रल कोऑर्डिनेट के रूप में कार्य करता है।
इस प्रकार, मॉडुली स्पेस को इन इररेगुलर कर्व्स के मॉडुली स्पेस पर लाइन बंडल्स के एक परिवार के रूप में देखा जाता है।

B. बेस का कॉम्पैक्टिफिकेशन (Compactification of the Base - Irregular Curves)

मॉडुली स्पेस को कॉम्पैक्टिफाई करने के लिए, लेखक पहले बेस $\mathcal{M}$ (रेशनल इररेगुलर कर्व्स का स्थान) को कॉम्पैक्टिफाई करते हैं।

प्रेरणा: यह तकनीक $\mathbb{P}^2$ में मार्क किए गए कॉनिक्स (marked conics) का उपयोग करके $\mathcal{M}_{0,n}$ के कप्रानोव कॉम्पैक्टिफिकेशन का अनुसरण करती है।
निर्माण: लेखक $\mathcal{M}$ और तीन निश्चित बिंदुओं से गुजरने वाले तथा एक निर्धारित टेंजेंट दिशा वाले स्मूथ मार्क किए गए कॉनिक्स के मॉडुली स्पेस के बीच एक आइसोमॉर्फिज्म स्थापित करते हैं।
परिणाम: कॉम्पैक्टिफाइड बेस $\overline{\mathcal{M}}$ को एक वीक डेल पेज़ो सरफेस (weak Del Pezzo surface) की डिग्री 5 वाली एक विशिष्ट $(-2)$ -कर्व को कॉन्ट्रैक्ट करके प्राप्त किया जाता है। इसके परिणामस्वरूप एक सतह प्राप्त होती है जिसमें $A_1$ -प्रकार की सिंगुलैरिटी होती है।

C. लाइन बंडल का विस्तार और सीमा विश्लेषण (Extension of the Line Bundle and Boundary Analysis)

लेखक इस बात का अध्ययन करते हैं कि ट्रिवियल लाइन बंडल $\mathcal{M} \times \mathbb{C}$ (जिसे $\hat{p}$ द्वारा पैरामीटराइज किया गया है) कॉम्पैक्टिफाइड बेस $\overline{\mathcal{M}}$ के ऊपर कैसे विस्तारित होता है।

डिविसर गणना: सीमा घटकों (जहाँ $q \to 0, 1, \infty$ या $t \to 0, \infty$ ) के पास सेक्शन $\hat{p}=1$ के व्यवहार का विश्लेषण करके, लेखक आवश्यक डिविसर $D$ का निर्धारण करते हैं ताकि बंडल का विस्तार किया जा सके।
इररेगुलर स्टेबल नोडल कर्व्स: डेलिग्ने-ममफोर्ड से प्रेरित होकर, लेखक "इररेगुलर स्टेबल नोडल कर्व्स" को परिभाषित करते हैं ताकि जब पैरामीटर्स डीजेनरेट होते हैं, तो लिमिट कर्व्स का वर्णन किया जा सके। ये दो स्मूथ कंपोनेंट्स वाले कर्व्स हैं जो एक नोड पर जुड़े होते हैं, जो सिंगुलैरिटीज के संगम (confluence) को दर्शाते हैं।
कनेक्शन लिमिट्स: लेखक कनेक्शन मैट्रिक्स के सीमा (limit) की गणना स्पष्ट रूप से करते हैं जब पैरामीटर्स सीमा के करीब पहुँचते हैं। यह दिखाया गया है कि सीमा के अस्तित्व के लिए, बिंदु $(q, \hat{p})$ को रिकाटी फोलिएशन (Riccati foliation) के विशिष्ट इनवेरिएंट ट्रेजेक्टरीज (टेयलर एक्सपेंशन) का पालन करना चाहिए।
ब्लो-अप्स (Blow-ups): कॉम्पैक्टिफिकेशन के लिए उन विशिष्ट सेक्शन के ब्लो-अप की आवश्यकता होती है जो केवल विशिष्ट उप-लोकी (sub-loci) (जैसे अभिसरण के विशिष्ट ढलान) पर दिखाई देते हैं।

3. प्रमुख योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

प्रमेय A: बेस का कॉम्पक्टिफिकेशन (Theorem A: Compactification of the Base)

रेशनल इररेगुलर कर्व्स के मॉडुली स्पेस का कॉम्पैक्टिफिकेशन $\overline{\mathcal{M}}$ , डिग्री 5 की वीक डेल पेज़ो सरफेस में अद्वितीय $(-2)$ -कर्व को कॉन्ट्रैक्ट करके प्राप्त सिंगुलर सतह के आइसोमोर्फिक है। परिणामी सिंगुलैरिटी $A_1$ -प्रकार की है।

प्रमेय B: लाइन बंडल का विस्तार (Theorem B: Extension of the Line Bundle)

ओपन सेट पर ट्रिवियल लाइन बंडल स्मूथ रेजोल्यूशन $\widetilde{\mathcal{M}}$ पर लाइन बंडल $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{M}}}(D)$ के रूप में विस्तारित होता है, जहाँ डिविसर $D$ है:
$D = A_0 + 2Q_1 + 2B^1_0 - B^0_\infty - B^\infty_\infty$
यहाँ, $A_i, Q_j, B^i_j$ विशिष्ट सीमा घटक (boundary components) हैं जो पैरामीटर्स $t$ और $q$ के डीजनरेशन को दर्शाते हैं।

प्रमेय C: कॉम्पैक्टिफाइड मॉडुली स्पेस का निर्माण (Theorem C: Construction of the Compactified Moduli Space)

कॉम्पैक्टिफाइड मॉडुली स्पेस $\mathfrak{Con}^V_\Theta$ को ब्लो-अप की गई स्पेस के ऊपर एक विशिष्ट प्रोजेक्टिव बंडल के रूप में बनाया गया है। विशेष रूप से, इसे निम्नलिखित चरणों से प्राप्त किया जाता है:

प्रोजेक्टिव बंडल $X = \mathbb{P}(\mathcal{O} \oplus \mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{M}}}(D))$ लेना।
सीमा घटकों $\mathcal{Q}_i$ में विशेष सेक्शन को ब्लो-अप करना।
सीमा डिविसर के स्ट्रिक्ट ट्रांसफॉर्म (strict transforms) और इन्फिनिटी सेक्शन को हटाना।

प्रमेय D: फाइबर्स की ज्यामिति (Theorem D: Geometry of the Fibers)

स्पेस $\mathfrak{Con}^V_\Theta$ एक फाइब्रेशन $\pi: \mathfrak{Con}^V_\Theta \to \mathbb{P}^1$ (जो $t$ द्वारा पैरामीटराइज्ड है) को स्वीकार करता है जिसका फाइब्रल स्ट्रक्चर इस प्रकार है:

जेनेरिक फाइब्र ( $t \in \mathbb{C}^*$ ): फाइब्र $\pi^{-1}(t)$ एक ओकामोटो स्पेस है, जो दूसरी हिरेत्ज़ब्रश सरफेस $\mathbb{F}_2$ का 8-पॉइंट ब्लो-अप है। यह पेनलेवे V के लिए ज्ञात इनिशियल कंडीशन स्पेस को पुनः प्राप्त करता है।
सीमा फाइब्र ( $t=0$ ): फाइब्र दो सतहों का संघ है: $\mathcal{A}_0 \cong \mathbb{F}_1$ और $\mathcal{B}^1_0$ ( $\mathbb{F}_1$ का डबल ब्लो-अप)।
सीमा फाइब्र ( $t=\infty$ ): फाइब्र चार सतहों का संघ है: $\mathcal{B}^0_\infty, \mathcal{B}^\infty_\infty$ (दोनों $\mathbb{F}_1$ के डबल ब्लो-अप हैं) और $\mathcal{F}^\pm_\infty$ (विशिष्ट सेक्शन के ब्लो-अप)।

सिमेट्रीज़ (Symmetries)

शोध पत्र एक समूह की पहचान करता है जिसकी कोटि (order) 16 है, जो इनवॉल्यूशन्स (involutions) द्वारा जनरेट होता है जो रेसिडुअल स्पेक्ट्रल डेटा ( $\kappa^+ \leftrightarrow \kappa^-$ ) को बदलते हैं और सिंगुलैरिटीज की भूमिकाओं को आपस में बदलते हैं (जैसे $0 \leftrightarrow \infty$ )। ये सिमेट्रीज़ कॉम्पैक्टिफाइड स्पेस पर अच्छी तरह से परिभाषित हैं।

4. महत्व (Significance)

पेनलेवे V के लिए बीजगणकीय ढांचा: यह कार्य पेनलेवे V समीकरण के लिए एक कठोर बीजगणकीय ज्यामितीय ढांचा प्रदान करता है, जो ओकामोटो और बोआलच के विश्लेषणात्मक परिणामों का विस्तार करता है।
सीमा ज्यामिति (Boundary Geometry): यह पैरामीटर स्पेस के "इन्फिनिटी" पर मॉडुली स्पेस की ज्यामिति का स्पष्ट वर्णन करता है, जो आइसोमोनोड्रोमिक डिफॉर्मेशन और रीमैन-हिल्बर्ट पत्राचार (Riemann-Hilbert correspondence) के वैश्विक व्यवहार को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।
इररेगुलर स्टेबल कर्व्स: "इररेगुलर स्टेबल नोडल कर्व्स" का परिचय डेलिग्ने-ममफोर्ड कॉम्पैक्टिफिकेशन को इररेगुलर सिंगुलैरिटीज के संदर्भ में सामान्य बनाता है, जो घटते हुए कनेक्शनों के अध्ययन के लिए एक नया उपकरण प्रदान करता है।
भविष्य के अनुप्रयोग: लेखक नोट करते हैं कि यह कॉम्पैक्टिफिकेशन सीमा घटकों पर आइसोमोनोड्रोमिक फोलिएशन के अध्ययन के लिए एक आधार के रूप में कार्य करता है, जो सिस्टम के वैश्विक मोनोड्रोमी और स्टोक्स घटनाक्रम (Stokes phenomena) को समझने के लिए आवश्यक है।

संक्षेप में, मोर्बेल ने एक क्वासी-प्रोजेक्टिव वैरायटी का निर्माण सफलतापूर्वक किया है जो PV कनेक्शन के मॉडुली स्पेस को कॉम्पैक्टिफाई करता है, जो उन्नत बिरेशनल ज्योमेट्री और इररेगुलर कनेक्शन के सिद्धांत का उपयोग करके स्मूथ ओकामोटो स्पेस और उनके सिंगुलर लिमिट्स के बीच के अंतर को पाटता है।