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Learning Dynamics from Input-Output Data with Hamiltonian Gaussian Processes

यह शोध पत्र एक पूर्णतः बेयज़ियन हैमिल्टनियन गॉसियन प्रोसेस ढांचे का प्रस्ताव करता है जो वेग या संवेग मापों की आवश्यकता के बिना, केवल इनपुट-आउटपुट डेटा से भौतिक रूप से सुसंगत, ऊर्जा-विनिमय गतिशीलता को सीखता है, और साथ ही छिपे हुए अवस्थाओं और संरचनात्मक हाइपरपैरामीटरों का अनुमान लगाता है।

मूल लेखक: Jan-Hendrik Ewering, Robin E. Herrmann, Niklas Wahlström, Thomas B. Schön, Thomas Seel

प्रकाशित 2026-04-16

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jan-Hendrik Ewering, Robin E. Herrmann, Niklas Wahlström, Thomas B. Schön, Thomas Seel

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रोबोट को कार चलाना सिखाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन आपके पास एक बड़ी समस्या है: आप केवल एक मानचित्र (मैप) पर कार की स्थिति देख सकते हैं, उसकी गति (स्पीड) नहीं।

आमतौर पर, यह समझने के लिए कि एक कार कैसे चलती है, आपको यह जानने की आवश्यकता होती है कि वह कहाँ है और उसकी गति कितनी है। यदि आप केवल स्थिति जानते हैं, तो आपको यह अनुमान लगाना पड़ता है कि गति क्या है यह देखकर कि समय के साथ स्थिति कैसे बदलती है। लेकिन यदि आपका मानचित्र थोड़ा धुंधला (नॉइजी डेटा) है, तो गति के बारे में आपका अनुमान बहुत गलत होगा, और आपका रोबोट दुर्घटनाग्रस्त हो जाएगा।

यह शोध पत्र उन्हें केवल धुंधले स्थिति मानचित्र का उपयोग करके रोबोट को भौतिकी के नियमों को सिखाने का एक चतुर नया तरीका प्रस्तुत करता है, बिना कभी सीधे गति का अनुमान लगाए।

यहाँ उनके समाधान का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. "ऊर्जा मानचित्र" (द हैमिल्टोनियन - The Hamiltonian)

भौतिकी में, हर चीज़ ऊर्जा के आधार पर चलती है। एक प्रणाली (जैसे झूलता हुआ पेंडुलम या उछलती हुई गेंद) को एक ऊबड़-खाबड़ परिदृश्य पर लुढ़कती हुई गेंद के रूप में सोचें।

पहाड़ और घाटियाँ: ये हैमिल्टोनियन (सिस्टम की कुल ऊर्जा) का प्रतिनिधित्व करते हैं।
ढलान: पहाड़ की ढलान गेंद को बताती है कि किस दिशा में और कितनी तेजी से लुढ़कना है।
लक्ष्य: लेखक इस अदृश्य "ऊर्जा मानचित्र" के आकार को केवल यह देखकर सीखना चाहते हैं कि गेंद कहाँ समाप्त होती है।

2. पुराना तरीका बनाम नया तरीका

पुराना तरीका ("स्पीडोमीटर" की समस्या): पिछले तरीकों ने इस मानचित्र को सीखने की कोशिश की, लेकिन उन्होंने स्पीडोमीटर की मांग की। उन्हें हर क्षण सटीक वेग (मोमेंटम) जानने की आवश्यकता थी। वास्तविक दुनिया में, स्पीडोमीटर महंगे होते हैं, आसानी से टूट जाते हैं, या कई प्रणालियों के लिए मौजूद ही नहीं होते। यदि आप एक धुंधले स्थिति मानचित्र से गति की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो गणित जटिल और शोर भरा (noisy) हो जाता है।
नया तरीका ("इनपुट-आउटपुट" का कमाल): यह शोध पत्र कहता है, "आइए स्पीडोमीटर को अनदेखा करें।" इसके बजाय, वे एक विशेष गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं जिसे गौसियन प्रोसेस (GP) कहा जाता है।
- कल्पना कीजिए कि GP एक अत्यंत बुद्धिमान कलाकार है जो किसी भी आकार को चित्रित कर सकता है, लेकिन वह इस बात को लेकर भी बहुत ईमानदार है कि वह कितना अनिश्चित है।
- लेखकों ने इस कलाकार को केवल इनपुट (जिससे हमने सिस्टम को धक्का दिया) और आउटपुट (जहाँ हमने उसे देखा) का उपयोग करके "ऊर्जा मानचित्र" (पहाड़ों) को चित्रित करना सिखाया।

3. "रिड्यूस्ड-रैंक" शॉर्टकट (द स्केच आर्टिस्ट)

प्रत्येक डेटा बिंदु के लिए एक पूर्ण, उच्च-रिज़ॉल्यूशन वाला 3D परिदृश्य बनाना गणनात्मक रूप से बहुत महंगा है—यह एक जंगल में पेड़ की हर एक पत्ती को पेंट करने जैसा है।

लेखकों ने रिड्यूस्ड-रैंक GP नामक तकनीक का उपयोग किया।
उपमा: हर पत्ती को पेंट करने के बजाय, वे एक "स्टेंसिल" या "स्केच" का उपयोग करते हैं। वे कुछ प्रमुख बिल्डिंग ब्लॉक्स (जैसे साइन वेव्स) का उपयोग करके जटिल परिदृश्य का अनुमान लगाते हैं।
यह क्यों महत्वपूर्ण है: यह गणित को अविश्वसनीय रूप से तेज़ बनाता है। यह वायुमंडल के हर परमाणु के लिए मौसम की गणना करने (असंभव) और तूफान की भविष्यवाणी करने के लिए कुछ प्रमुख दबाव बिंदुओं का उपयोग करने (तेज़ और सटीक) के बीच का अंतर है।

4. "बेयसियन डिटेक्टिव" (अनिश्चितता को संभालना)

चूंकि डेटा शोर भरा है और हम गति को नहीं जानते, इसलिए मॉडल को अनिश्चितता से निपटना होगा।

डिटेक्टिव (जासूस): लेखकों ने एक "बेयसियन" प्रणाली बनाई है। इसे एक ऐसे जासूस के रूप में सोचें जो केवल एक उत्तर का अनुमान नहीं लगाता; बल्कि वह सभी संभावित उत्तरों की एक सूची रखता है, जिन्हें उनकी संभावना के आधार पर रैंक किया गया है।
प्रक्रिया:
1. जासूस धुंधले स्थिति डेटा को देखता है।
2. वह एक संभावित "ऊर्जा मानचित्र" का अनुमान लगाता है।
3. वह उस मानचित्र के आधार पर सिस्टम के चलने का अनुकरण (simulation) करता है।
4. वह जाँच करता है: "क्या यह सिमुलेशन उस धुंधले डेटा से मेल खाता है जो हमने देखा था?"
5. यदि हाँ, तो वह उस मानचित्र को रखता है। यदि नहीं, तो वह दूसरा प्रयास करता है।
परिणाम: उन्हें केवल एक मॉडल नहीं मिलता; उन्हें एक प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन (संभावना वितरण) मिलता है। वे कह सकते हैं, "मुझे 90% यकीन है कि घर्षण इतना अधिक है, और 10% यकीन है कि यह इतना है।" यह सेल्फ-ड्राइविंग कारों जैसी चीजों में सुरक्षा के लिए महत्वपूर्ण है।

5. यह एक बड़ी बात क्यों है

यथार्थवाद: अधिकांश वास्तविक दुनिया की मशीनें (रोबोट, रासायनिक संयंत्र, पावर ग्रिड) हर चर (variable) के लिए सटीक सेंसर नहीं रखती हैं। आमतौर पर, उनके पास केवल इनपुट (जिसे हम नियंत्रित करते हैं) और आउटपुट (जिसे हम मापते हैं) होते हैं। यह विधि उस वास्तविकता के साथ काम करती है।
भौतिकी-प्रथम (Physics-First): यह AI को भौतिकी के नियमों (जैसे ऊर्जा संरक्षण) का पालन करने के लिए मजबूर करता है। यह ऐसा मॉडल नहीं सीखेगा जहाँ एक गेंद बिना ऊर्जा के हमेशा ऊपर की ओर लुढ़कती रहती है। यह एक ऐसा मॉडल सीखता है जो भौतिक रूप से तर्कसंगत है।
दक्षता: अपने "स्केच" तरीके (रिड्यूस्ड-रैंक) के कारण, यह वास्तविक समय के अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाने के लिए पर्याप्त तेज़ है, न कि केवल सुपरकंप्यूटरों पर।

सारांश

लेखकों ने एक फिजिक्स-अवेयर AI बनाया है जो यह सीख सकता है कि एक जटिल मशीन कैसे चलती है, भले ही वह इसे दूर से (इनपुट-आउटपुट डेटा) देख रही हो, भले ही वह गति को नहीं देख सकती। यह तेज़ रहने के लिए एक स्मार्ट "स्केचिंग" तकनीक का उपयोग करता है और यह समझने के लिए कि वह कितनी अनिश्चित है, एक "डिटेक्टिव" दृष्टिकोण का उपयोग करता है। यह इंजीनियरों को महंगे, सटीक सेंसरों की आवश्यकता के बिना रोबोट और मशीनों के लिए बेहतर, सुरक्षित नियंत्रण प्रणाली बनाने की अनुमति देता है।

यहाँ शोध पत्र "Learning Dynamics from Input-Output Data with Hamiltonian Gaussian Processes" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र केवल इनपुट-आउटपुट डेटा (input-output data) से भौतिक रूप से सुसंगत, गैर-संरक्षी (non-conservative) गतिशील प्रणालियों को सीखने की चुनौती को संबोधित करता है, जहाँ पूर्ण अवस्था मापन (विशेष रूप से मोमेंटम या वेग) तक पहुँच उपलब्ध नहीं होती है।

संदर्भ: भौतिकी-सूचित मशीन लर्निंग (PIML) अक्सर ऊर्जा संरक्षण और भौतिक व्याख्यात्मकता सुनिश्चित करने के लिए हैमिल्टोनियन मैकेनिक्स (Hamiltonian mechanics) को शामिल करती है।
मौजूदा कार्य की सीमा: वर्तमान हैमिल्टोनियन गैसियन प्रोसेस (GP) विधियाँ (जैसे, बेकर्स एट अल., 2022) ऐसी प्रशिक्षण डेटा की आवश्यकता रखती हैं जिसमें स्थिति ( $q$ $q$ ) के साथ-साथ मोमेंटम ( $p$ $p$ ) या वेग ( $\dot{q}$ $\overset{q}{˙}$ ) भी शामिल हो।
- कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, केवल स्थिति (इनपुट-आउटपुट) डेटा ही उपलब्ध होता है।
- संख्यात्मक अवकलन (numerical differentiation) के माध्यम से वेग का अनुमान लगाना शोर (noise) के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होता है।
- सामान्यीकृत मोमेंटम (Generalized momenta) को केवल स्थिति डेटा से निर्मित नहीं किया जा सकता है।
लक्ष्य: एक ऐसी विधि विकसित करना जो केवल इनपुट ( $u$ ) और आउटपुट ( $y$ , आमतौर पर स्थिति) डेटा का उपयोग करके अनिश्चितता-निर्धारण (uncertainty-quantifying) और ऊर्जा-सुसंगत (या विसरित/dissipative) गतिशीलता मॉडल सीख सके, और साथ ही अज्ञात संरचनात्मक मापदंडों (जैसे डैम्पिंग गुणांक) और गुप्त अवस्थाओं (latent states) का अनुमान लगा सके।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रस्तावित दृष्टिकोण एक पूर्ण बेयसियन अनुमान (Fully Bayesian Inference) ढांचे के भीतर रिड्यूस्ड-रैंक गैसियन प्रोसेस (Reduced-Rank Gaussian Processes) को हैमिल्टोनियन मैकेनिक्स के साथ जोड़ता है।

A. सिस्टम फॉर्मूलेशन (System Formulation)

सिस्टम को फोर्स्ड हैमिल्टोनियन मैकेनिक्स का उपयोग करके मॉडल किया गया है:
$\dot{x} = (J(x) - R(x)) \nabla_x H(x) + G(x)u + w$
$y = g(x) + e$
जहाँ:

$x = [q, p]^\top$ अवस्था (स्थिति और मोमेंटम) है।
$H(x)$ अज्ञात हैमिल्टोनियन फलन (ऊर्जा परिदृश्य) है।
$J(x)$ एक स्केव-सिमेट्रिक इंटरकनेक्शन मैट्रिक्स (संरक्षी गतिशीलता) है।
$R(x)$ एक सिमेट्रिक पॉजिटिव सेमी-डेफिनिट डिसिपेशन मैट्रिक्स (ऊर्जा हानि) है।
$G(x)$ इनपुट मैट्रिक्स है।
$w$ और $e$ क्रमशः प्रोसेस और मेजरमेंट नॉइज़ हैं।
मुख्य धारणा: $J, R, G$ के संरचनात्मक रूप ज्ञात हैं, लेकिन उनके विशिष्ट पैरामीटर (जैसे डैम्पिंग गुणांक) और फलन $H$ अज्ञात हैं।

B. रिड्यूस्ड-रैंक हैमिल्टोनियन GP (Reduced-Rank Hamiltonian GP)

मानक GPs की कम्प्यूटेशनल जटिलता (जो डेटा आकार के साथ $O(T^3)$ स्केल करती है) से बचने के लिए, लेखक एक रिड्यूस्ड-रैंक GP (सोलिन और सारके, 2020) का उपयोग करते हैं।

अनुमान (Approximation): हैमिल्टोनियन $H(x)$ को कर्नेल के स्पेक्ट्रल डेंसिटी के परिमित-आयामी आइगेनफंक्शन विस्तार (eigenfunction expansion) का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है:
$\hat{H}(x) \approx \sum_{k=1}^M a_k \phi_k(x) = a^\top \phi(x)$
ग्रेडिएंट मॉडलिंग: चूंकि गतिशीलता $\nabla_x H(x)$ पर निर्भर करती है, इसलिए ग्रेडिएंट को बेसिस फंक्शन्स के एक रैखिक रूपांतरण के रूप में मॉडल किया जाता है: $\nabla_x \hat{H}(x) = D_\phi(x) a$ ।
लाभ:
- रैखिकता (Linearity): मॉडल पैरामीटर्स $a$ के लिए रैखिक है, जिससे क्लोज्ड-फॉर्म अपडेट संभव होता है।
- जटिलता (Complexity): कम्प्यूटेशनल लागत प्रशिक्षण डेटा बिंदुओं की संख्या से स्वतंत्र है ( $M$ बेसिस फंक्शन्स के लिए $O(M)$ ), जिससे यह स्केलेबल बनता है।
- शोर प्रबंधन (Noise Handling): हैमिल्टोनियन सीखने और गुप्त अवस्थाओं के अनुमान को अलग करने के लिए एक सहायक चर $h_t = \nabla_x \hat{H}(x_t) + v_t$ पेश किया गया है।

C. पूर्ण बेयसियन अनुमान (पार्टिकल गिब्स) (Fully Bayesian Inference - Particle Gibbs)

लेखक गुप्त अवस्थाओं ( $x, h$ ) और मापदंडों ( $\theta, \vartheta$ ) के संयुक्त पोस्टीरियर वितरण का अनुमान लगाने के लिए एक पार्टिकल मार्कोव चेन मोंटे कार्लो (PMCMC) योजना, विशेष रूप से एक पार्टिकल गिब्स (Particle Gibbs) एल्गोरिदम का प्रस्ताव करते हैं।

पैरामीटर्स (Parameters):
- $\theta$ : GP वेट्स और नॉइज़ स्केल।
- $\vartheta_K$ : कर्नेल हाइपरपैरामीटर्स (लेंथ स्केल, वेरिएंस)।
- $\vartheta_S$ : स्ट्रक्चरल हाइपरपैरामीटर्स (जैसे $R$ में डैम्पिंग गुणांक)।
अनुमान चरण (Inference Steps):
1. स्टेट इंफरेंस (चरण i): वर्तमान मापदंडों के दिए गए होने पर गुप्त प्रक्षेपवक्रों (latent trajectories) $z_{0:T} = \{x_{0:T}, h_{0:T}\}$ को सैंपल करने के लिए कंडीशनल सीक्वेंशियल मोंटे कार्लो (SMC) का उपयोग करें।
2. पैरामीटर लर्निंग (चरण ii):
  - क्लोज्ड-फॉर्म अपडेट: $\theta$ (GP वेट्स) के लिए, पोस्टीरियर को संयुग्मी (conjugate) नॉर्मल-इनवर्स-गामा (NIG) प्रायर्स का उपयोग करके विश्लेषणात्मक रूप से प्राप्त किया जाता है।
  - मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स (MH): गैर-संयुग्मी हाइपरपैरामीटर्स $\vartheta_K$ और $\vartheta_S$ के लिए, गिब्स सैंपलर के भीतर MH स्टेप्स का उपयोग किया जाता है।
परिणाम: यह विधि केवल पॉइंट एस्टीमेट के बजाय गुप्त अवस्थाओं, मॉडल मापदंडों और संरचनात्मक हाइपरपैरामीटर्स के लिए पूर्ण संभाव्यता घनत्व (probability density) अनुमान प्रदान करती है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

केवल इनपुट-आउटपुट लर्निंग: पहला हैमिल्टोनियन GP ढांचा जो केवल इनपुट-आउटपुट डेटा से गैर-संरक्षी गतिशीलता को सीखने में सक्षम है, जो वेग/मोमेंटम मापन की आवश्यकता को समाप्त करता है।
रिड्यूस्ड-रैंक दक्षता: एक रिड्यूस्ड-रैंक GP फॉर्मूलेशन का परिचय जो यह सुनिश्चित करता है कि कम्प्यूटेशनल जटिलता डेटासेट के आकार से स्वतंत्र है, जो मानक हैमिल्टोनियन GPs की स्केलेबिलिटी समस्याओं को हल करता है।
पूर्ण बेयसियन स्ट्रक्चरल लर्निंग: एक एकीकृत योजना जो न केवल गतिशीलता को बल्कि स्ट्रक्चरल हाइपरपैरामीटर्स (जैसे डैम्पिंग गुणांक) और कर्नेल हाइपरपैरामीटर्स को अनिश्चितता निर्धारण के साथ अनुमानित करती है, जो पूर्व कार्यों में उपयोग किए जाने वाले फ्रीक्वेंटिस्ट पॉइंट एस्टीमेट्स से आगे बढ़ती है।
गैर-संरक्षी मॉडलिंग (Non-Conservative Modeling): ऊर्जा क्षय (dissipation) और बाहरी बल (external forcing) को स्पष्ट रूप से संभालती है, जिससे यह मॉडल वास्तविक दुनिया की प्रणालियों के लिए लागू होता है जो पूरी तरह से संरक्षी नहीं हैं।

4. परिणाम (Results)

विधि का मूल्यांकन एक नॉन-हारमोनिक ऑसिलेटर ( $H(q, p) = q^2/2 + p^2/2 + 2\cos q$ ) सिमुलेशन पर किया गया जिसमें अज्ञात डैम्पिंग थी।

सटीकता (Accuracy):
- प्रस्तावित विधि (इनपुट-आउटपुट) ने फ्लो मैग्नीट्यूड RMSE 3.27 J और फ्लो एंगल RMSE 0.12 rad प्राप्त किया।
- यह "एक्ज़ैक्ट GP" के बराबर है जिसे पूर्ण अवस्था डेटा (इनपुट-स्टेट) पर प्रशिक्षित किया गया था, जिसने क्रमशः 3.09 J और 0.08 rad प्राप्त किया।
- इसने उन मानक दृष्टिकोणों से काफी बेहतर प्रदर्शन किया जो मोमेंटम डेटा के बिना विफल हो जाते हैं।
अनिश्चितता निर्धारण (Uncertainty Quantification):
- बेयसियन ढांचे ने डैम्पिंग गुणांक और कर्नेल हाइपरपैरामीटर्स के पोस्टीरियर डेंसिटी को सफलतापूर्वक अनुमानित किया।
- हालांकि इनपुट-आउटपुट डेटा से प्राप्त डैम्पिंग अनुमान में थोड़ा बायस (विशिष्ट सिमुलेशन सेटअप में पहचान संबंधी चुनौतियों के कारण) दिखा, लेकिन विधि ने सिस्टम के फेज स्पेस और ऊर्जा क्षय की मल्टीमॉडल प्रकृति को सही ढंग से कैप्चर किया।
भौतिक सुसंगतता (Physical Consistency):
- पोस्टीरियर से सैंपल किए गए मॉडलों का उपयोग करके किए गए फॉरवर्ड सिमुलेशन वास्तविक सिस्टम प्रक्षेपवक्रों से निकटता से मेल खाते थे।
- मॉडलों ने इनपुट हटाने पर ऊर्जा क्षय (डिसिपेशन) को सही ढंग से कैप्चर किया।
कम्प्यूटेशनल दक्षता:
- रिड्यूस्ड-रैंक दृष्टिकोण ने $O(M)$ प्रेडिक्शन कॉम्प्लेक्सिटी बनाए रखी, जबकि एक्ज़ैक्ट GPs $O(T^3)$ स्केल करते हैं।

5. महत्व और भविष्य का कार्य (Significance and Future Work)

अंतराल को पाटना: यह कार्य भौतिकी-सूचित लर्निंग (जिसमें आमतौर पर पूर्ण अवस्था डेटा की आवश्यकता होती है) और व्यावहारिक सिस्टम आइडेंटिफिकेशन (जहाँ केवल इनपुट-आउटपुट डेटा उपलब्ध है) के बीच के अंतर को पाटता है।
नियंत्रण अनुप्रयोग (Control Applications): सीमित डेटा से अनिश्चितता-निर्धारण करने वाले, भौतिक रूप से सुसंगत मॉडल प्रदान करके, यह विधि जटिल प्रणालियों के लिए सुरक्षित और मजबूत मॉडल-आधारित नियंत्रण (जैसे स्टोकेस्टिक MPC) को सक्षम बनाती है जहाँ वेग/मोमेंटम के लिए सेंसर उपलब्ध नहीं हैं या शोर युक्त हैं।
सीमाएँ और भविष्य की दिशाएँ:
- पहचान क्षमता (Identifiability): सिमुलेशन को एक सिमेट्री बाधा (symmetry constraint) की आवश्यकता थी ताकि हैमिल्टोनियन को इनपुट-आउटपुट डेटा से पहचाना जा सके। भविष्य के कार्य को सामान्य प्रणालियों के लिए पहचान क्षमता की शर्तों को औपचारिक रूप देने की आवश्यकता है।
- आयामीता (Dimensionality): पार्टिकल-आधारित योजना और बेसिस विस्तार की कम्प्यूटेशनल लागत सिस्टम के आयाम के साथ बढ़ती है। भविष्य के अनुसंधान को उच्च-आयामी प्रणालियों को संबोधित करने की आवश्यकता है।
- सिमेट्री बाधाएं: मैनुअल सिमेट्री बाधाओं की आवश्यकता यह सुझाव देती है कि स्वचालित संरचना सीखने या बेहतर प्रायर फॉर्मुलेशन की आवश्यकता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र शोर युक्त इनपुट-आउटपुट डेटा से जटिल, विसरित (dissipative) गतिशील प्रणालियों को सीखने के लिए एक मजबूत, स्केलेबल और पूर्ण बेयसियन ढांचे को प्रस्तुत करता है, जो वास्तविक दुनिया की इंजीनियरिंग समस्याओं में हैमिल्टोनियन मशीन लर्निंग को लागू करने में एक बड़ी बाधा को दूर करता है।