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A Robust GPU-Accelerated Kernel Compensation Solver with Novel Discretization for Photonic Crystals in Anisotropic Media

यह शोध पत्र अनिसोट्रोपिक फोटोनिक क्रिस्टल में 3D मैक्सवेल आइगनप्रॉब्लम (eigenproblem) के लिए एक सुदृढ़, GPU-त्वरित सॉल्वर प्रस्तुत करता है जो ऑफ-डायगोनल परमिटिविटी टेंसरों के एक नवीन विविक्तकरण (discretization) को कर्नेल क्षतिपूर्ति तकनीकों के साथ जोड़ता है ताकि नल स्पेस (null spaces) को समाप्त किया जा सके और कुशल मैट्रिक्स-मुक्त गणनाओं के लिए हर्मिटियन पॉजिटिव डेफिनिटनेस (Hermitian positive definiteness) सुनिश्चित की जा सके।

मूल लेखक: Chenhao Jin, Hehu Xie

प्रकाशित 2026-04-28

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Chenhao Jin, Hehu Xie

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक बड़ी तस्वीर: एक "लाइट ट्रैप" (प्रकाश जाल) डिजाइन करना

कल्पना कीजिए कि आप एक वास्तुकार (architect) हैं जो एक ऐसा घर बनाने की कोशिश कर रहे हैं जहाँ प्रकाश केवल विशिष्ट गलियारों में ही चल सके और कुछ कमरों में प्रवेश करने से रुक जाए। यह फोटोनिक क्रिस्टल्स (photonic crystals) का लक्ष्य है। ये विशेष सामग्रियाँ हैं जो प्रकाश के लिए "ट्रैफिक पुलिस" की तरह काम करती हैं, जिससे ऐसे क्षेत्र बनते हैं जहाँ प्रकाश मौजूद नहीं हो सकता (जिसे बैंडगैप कहा जाता है)।

इन सामग्रियों को डिजाइन करने के लिए, वैज्ञानिकों को एक विशाल गणितीय पहेली को हल करने की आवश्यकता होती है: यह समझना कि इन जटिल संरचनाओं के भीतर प्रकाश तरंगें वास्तव में कैसे व्यवहार करती हैं। जिन और ज़ी (Jin and Xie) का शोध पत्र इस पहेली को हल करने का एक नया, अत्यंत तेज़ और अत्यधिक सटीक तरीका पेश करता है, विशेष रूप से तब जब सामग्रियाँ प्रकाश को संभालने के मामले में "नखरेबाज" (picky) हों (जिसे एनिसोट्रोपिक मीडिया/anisotropic media कहा जाता है)।

समस्या: "घोस्ट" (भूतिया) शोर

जब वैज्ञानिक कंप्यूटरों का उपयोग करके प्रकाश का अनुकरण (simulate) करने की कोशिश करते हैं, तो उन्हें अक्सर नल स्पेस (null space) नामक समस्या का सामना करना पड़ता है। इसे रेडियो ट्यून करने की कोशिश करने जैसा समझें। आमतौर पर, आप संगीत सुनना चाहते हैं (वास्तविक प्रकाश तरंगें)। लेकिन कभी-कभी, रेडियो में कुछ स्टैटिक या "घोस्ट" सिग्नल सुनाई देने लगते हैं जो वास्तविक नहीं होते। गणितीय शब्दों में, ये ऐसे समाधान हैं जो उत्तर की तरह दिखते हैं लेकिन वास्तव में केवल गणितीय त्रुटियां या "शोर" हैं जो वास्तविक भौतिकी (physics) का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं।

अतीत में, इन पहेलियों को हल करने के लिए सामग्री के प्रत्येक बिंदु का हिसाब रखने के लिए एक विशाल, भारी स्प्रेडशीट (मैट्रिक्स) बनाने की आवश्यकता होती थी। यह धीमा था, इसमें बहुत अधिक मेमोरी लगती थी, और इसे तेज करने के लिए शक्तिशाली ग्राफिक्स कार्ड (GPUs) का उपयोग करना कठिन था।

समाधान: एक नया टूलकिट

लेखकों ने एक "रोबस्ट सॉल्वर" (एक विश्वसनीय कैलकुलेटर) विकसित किया है जो तीन मुख्य तरीकों से इन समस्याओं को ठीक करता है:

1. "कर्नेल कंपनसेशन" (भूतों को शांत करना)

कल्पना कीजिए कि आप एक गुब्बारे के वास्तविक आकार को खोजने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन आपके माप को भ्रमित करने के लिए उसके चारों ओर बहुत सारे अदृश्य, भारहीन गुब्बारे तैर रहे हैं।

तरीका: लेखक कर्नेल कंपनसेशन (Kernel Compensation) नामक तकनीक का उपयोग करते हैं। वे गणितीय समीकरण में एक विशेष "भार" (दंड/penalty) जोड़ते हैं। यह भार इतना भारी होता है कि यह "घोस्ट" गुब्बारों (नल स्पेस) को रास्ते से हटा देता है, जिससे केवल वास्तविक, भारी गुब्बारा (वास्तविक प्रकाश तरंग) दिखाई देता है।
परिणाम: उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि इस भार को कितना भारी होना चाहिए ताकि यह वास्तविक उत्तर को कभी कुचले नहीं, जिससे यह सुनिश्चित हो सके कि कंप्यूटर केवल वास्तविक भौतिकी की गणना करे।

2. "मैजिक मिरर" (मैट्रिक्स-फ्री ऑपरेशंस)

आमतौर पर, इन पहेलियों को हल करने के लिए, आपको सामग्री में प्रत्येक संबंध का प्रतिनिधित्व करने वाली संख्याओं की एक विशाल सूची (मैट्रिक्स) लिखनी पड़ती है। यदि सामग्री बहुत बड़ी है, तो यह सूची मेमोरी में फिट होने के लिए बहुत बड़ी होती है।

तरीका: पूरी सूची लिखने के बजाय, लेखक एक 3D डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) का उपयोग करते हैं। इसे एक "जादुई दर्पण" के रूप में सोचें। वस्तु को सीधे देखने के बजाय (संख्याओं की अव्यवस्थित सूची), आप दर्पण में उसके प्रतिबिंब को देखते हैं। दर्पण में, जटिल गणित सरल गुणा बन जाता है।
लाभ: यह उन्हें पूरी विशाल सूची लिखने से बचने की अनुमति देता है। वे उत्तर की गणना तुरंत (on the fly) कर सकते हैं। इसे मैट्रिक्स-फ्री (Matrix-Free) कहा जाता है, और यह प्रक्रिया को अविश्वसनीय रूप से तेज़ बनाता है और GPUs (गेमिंग कंप्यूटरों में मौजूद शक्तिशाली चिप्स) पर चलाने के लिए एकदम सही बनाता है।

3. "स्मार्ट इंटरपोलेशन" (गलत संरेखित टाइल्स को ठीक करना)

यह शोध पत्र एनिसोट्रोपिक मीडिया (anisotropic media) पर केंद्रित है, जहाँ सामग्री उस दिशा के आधार पर अलग तरह से व्यवहार करती है जिससे आप उसे देखते हैं (जैसे लकड़ी के रेशे/grain)।

समस्या: जब कंप्यूटर इस "रेशेदार" सामग्री के माध्यम से प्रकाश के चलने की गणना करने की कोशिश करता है, तो डेटा बिंदु (जैसे फर्श की टाइलें) पूरी तरह से संरेखित नहीं होते हैं। एक टाइल सामग्री की "क्षैतिज" शक्ति का प्रतिनिधित्व कर सकती है, जबकि बगल वाली टाइल "लंबवत" शक्ति का। उन्हें सीधे गुणा करने की कोशिश करना एक चौकोर टुकड़े को गोल छेद में फिट करने जैसा है—इससे त्रुटियां पैदा होती हैं।
तरीका: लेखकों ने इन गलत संरेखित टाइल्स के बीच के मूल्यों को इंटरपोलेट (सुचारू रूप से अनुमान लगाने) करने का एक नया तरीका आविष्कार किया है। उन्होंने एक नया गणितीय नियम बनाया है जो यह सुनिश्चित करता है कि "टाइलें" भौतिकी के नियमों को तोड़े बिना पूरी तरह से फिट बैठें।
प्रमाण: उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि उनका नया नियम हमेशा एक स्थिर, सकारात्मक उत्तर (Hermitian Positive Definite) देता है, जिसका अर्थ है कि कंप्यूटर क्रैश नहीं होगा या बेतुके परिणाम नहीं देगा।

परिणाम: गति और सटीकता

लेखकों ने कई जटिल 3D संरचनाओं (जैसे गोले, हीरे और मुड़े हुए गाइरॉइड आकारों) पर अपनी नई विधि का परीक्षण किया।

गति: "मैजिक मिरर" (DFT) का उपयोग करके और इसे आधुनिक ग्राफिक्स कार्ड (NVIDIA RTX 4090) पर चलाकर, उन्होंने गणनाओं को मानक कंप्यूटर प्रोसेसर की तुलना में 40 गुना तेज़ बना दिया।
सटीकता: उन्होंने दिखाया कि उनके नए तरीके से "गलत संरेखित टाइल्स" (इंटरपोलेशन विधि) को संभालने का तरीका पुराने, सरल तरीकों की तुलना में थोड़ा अधिक सटीक है, विशेष रूप से जटिल सामग्रियों के लिए।
मजबूती (Robustness): यहाँ तक कि जब उन्होंने कंप्यूटर को एक "टूटी हुई" या चरम सामग्री (जहाँ गणित बहुत अस्थिर है) दी, तब भी उनका सॉल्वर बिना क्रैश हुए सुचारू रूप से काम करता रहा।

सारांश

संक्षेप में, यह शोध पत्र वैज्ञानिकों को प्रकाश को नियंत्रित करने वाली सामग्रियों को डिजाइन करने का एक नया, अत्यंत तेज़ और विश्वसनीय तरीका प्रदान करता है। उन्होंने एक सामान्य गणितीय "घोस्ट" समस्या को ठीक किया, शक्तिशाली ग्राफिक्स कार्ड का उपयोग करने के लिए भारी डेटा स्टोरेज को छोड़ने का तरीका निकाला, और जटिल, दिशात्मक सामग्रियों को संभालने के लिए एक नया नियम बनाया। परिणाम स्वरूप, उनके पास एक ऐसा उपकरण है जो इन सामग्रियों के माध्यम से प्रकाश कैसे चलता है, इसका अनुकरण पहले की तुलना में 40 गुना तेज़ी से कर सकता है, जिससे इंजीनियरों को बेहतर लेजर, फिल्टर और ऑप्टिकल चिप्स डिजाइन करने में मदद मिलेगी।

यहाँ शोध पत्र "A Robust GPU-Accelerated Kernel Compensation Solver with Novel Discretization for Photonic Crystals in Anisotropic Media" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र अनिसोट्रोपिक मीडिया (anisotropic media) में बने 3D फोटोनिक क्रिस्टल्स (PCs) के लिए मैक्सवेल आइजनवैल्यू समस्या (Maxwell eigenvalue problem) को हल करने की कम्प्यूटेशनल चुनौती को संबोधित करता है।

शासी समीकरण (Governing Equations): इस समस्या में उन आइजन-फ्रीक्वेंसी ( $\omega$ ) और मैग्नेटिक फील्ड्स ( $\mathbf{H}$ ) को खोजना शामिल है जो $\nabla \times (\varepsilon^{-1} \nabla \times \mathbf{H}) = \omega^2 \mathbf{H}$ को संतुष्ट करते हैं, जिसमें डाइवर्जेंस-फ्री (divergence-free) स्थिति ( $\nabla \cdot \mathbf{H} = 0$ ) और ब्लॉच प्रमेय (Bloch's theorem) द्वारा परिभाषित अर्ध-आवधिक (quasi-periodic) सीमा स्थितियाँ शामिल हैं।
मुख्य चुनौतियाँ:
1. नल स्पेस (Null Space): कर्ल-कर्ल ऑपरेटर (curl-curl operator) का एक विशाल नल स्पेस (ग्रेडिएंट फील्ड्स) होता है, जो आइजनवैल्यू सॉल्वर को जटिल बनाता है।
2. अनिसोट्रॉपी (Anisotropy): जब परमिटिविटी टेंसर ( $\varepsilon$ ) में गैर-शून्य ऑफ-डायगोनल प्रविष्टियाँ होती हैं, तो मानक परिमित अंतर (finite difference) योजनाएँ स्टैगर्ड ग्रिड्स (Yee's scheme) पर डिग्री ऑफ फ्रीडम (DoF) मिसअलाइनमेंट का सामना करती हैं, जिससे एक हर्मिटियन पॉजिटिव डेफिनिट (HPD) सिस्टम बनाना कठिन हो जाता है।
3. स्केलेबिलिटी (Scalability): बड़े पैमाने की 3D समस्याओं को हल करने के लिए स्पार्स मैट्रिसेस (sparse matrices) के कुशल प्रबंधन और व्यापक समानांतरकरण (parallelization) की आवश्यकता होती है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक व्यापक फ्रेमवर्क प्रस्तावित करते हैं जो Yee's finite difference scheme, Kernel Compensation, और Matrix-Free GPU acceleration को जोड़ता है।

A. विवेकीकरण और समन्वय रूपांतरण (Discretization and Coordinate Transformation)

Yee's Scheme: मैग्नेटिक फील्ड को फेस DoFs पर और इलेक्ट्रिक फील्ड को एज DoFs पर विवेकीकृत (discretize) किया जाता है।
समन्वय रूपांतरण (Coordinate Transform): मनमाने लैट्टिस वेक्टर्स (SC, FCC, BCC) को संभालने के लिए, एक समन्वय रूपांतरण भौतिक डोमेन को यूनिट क्यूब $(0,1)^3$ में मैप करता है, जिससे मानक आधार के साथ आवधिकता (periodicity) संरेखित हो जाती है। यह डिफरेंशियल ऑपरेटर्स की सर्कुलेंट संरचना को सुरक्षित रखता है।
मैट्रिक्स-फ्री ऑपरेटर्स (Matrix-Free Operators): स्पार्स मैट्रिसेस को स्टोर करने के बजाय, डिफरेंशियल ऑपरेटर्स को 3D डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) का उपयोग करके लागू किया जाता है। यह मैट्रिक्स-वेक्टर गुणन की लागत को प्रति इटरेशन एक एकल 3D ग्लोबल DFT तक कम कर देता है।

B. कर्नेल कंपनसेशन तकनीक (Kernel Compensation Technique)

कर्ल ऑपरेटर के नल स्पेस को समाप्त करने और डाइवर्जेंस-फ्री स्थिति को लागू करने के लिए, लेखक एक पेनलाइज्ड फॉर्मुलेशन (penalized formulation) का उपयोग करते हैं:
$(\mathcal{A}\mathcal{M}_\varepsilon\mathcal{A}^\dagger + \gamma \mathcal{B}^\dagger\mathcal{B})\mathbf{H}_h = \omega_h^2 \mathbf{H}_h$

$\mathcal{A}$ : डिस्क्रीट कर्ल ऑपरेटर।
$\mathcal{B}$ : डिस्क्रीट डाइवर्जेंस ऑपरेटर।
$\gamma$ : पेनल्टी गुणांक (penalty coefficient)।
सैद्धांतिक योगदान: यह शोध पत्र कठोरता से सिद्ध करता है कि पर्याप्त बड़े $\gamma$ के लिए, इस पेनलाइज्ड सिस्टम के सबसे छोटे धनात्मक आइजनवैल्यू मूल समस्या के समान होते हैं। यह $\gamma$ चुनने के लिए एक स्पष्ट नियम प्रदान करता है जो वेव वेक्टर $\mathbf{k}$ और ग्रिड साइज पर आधारित है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि सिस्टम वेल-कंडीशन्ड रहे (FEM विधियों के विपरीत, जिन्हें अक्सर $\gamma \sim O(h^{-3})$ की आवश्यकता होती है)।

C. अनिसोट्रोपिक मीडिया के लिए नवीन विवेकीकरण (Novel Discretization for Anisotropic Media)

मुख्य नवाचार स्टैगर्ड ग्रिड पर परमिटिविटी टेंसर $\varepsilon_1$ की ऑफ-डायगोनल प्रविष्टियों को संभालने में निहित है:

समस्या: ऑफ-डायगोनल टर्म्स (जैसे, $\varepsilon_{12}E_2$ ) अलग-अलग ग्रिड स्थानों (एज बनाम फेस) पर परिभाषित फील्ड घटकों को जोड़ते हैं, जिससे DoF मिसअलाइनमेंट होता है।
प्रस्तावित समाधान:
- ट्रिवियल विधि (Trivial Method): स्थानिक बेमेल (spatial mismatch) को अनदेखा करती है (DoFs को संरेखित मानकर अनुमान लगाती है)।
- क्रॉस-DoF इंटरपोलेशन (Novel): स्टैगर्ड ग्रिड्स के बीच वैल्यू ट्रांसफर करने के लिए सममित इंटरपोलेशन ऑपरेटर्स का उपयोग करता है। महत्वपूर्ण रूप से, लेखक एक सिमेट्राइज्ड (symmetrized) ऑपरेटर का निर्माण करते हैं ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि परिणामी डिस्क्रीट मैट्रिक्स $\mathcal{M}_\varepsilon$ हर्मिटियन (Hermitian) बना रहे।
HPD प्रमाण: लेखक सिद्ध करते हैं कि भौतिक बाधाओं (आइजनवैल्यूज $\varepsilon_1 \in (0, 1]$ और विशिष्ट डायगोनल डोमिनेंस या जीरो-एंट्री स्थितियों) के तहत, परिणामी डिस्क्रीट परमिटिविटी मैट्रिक्स हर्मिटियन पॉजिटिव डेफिनिट (HPD) है। यह कर्नेल कंपनसेशन विधि की स्थिरता के लिए आवश्यक है।

D. उच्च-क्रम विस्तार और प्रीकंडीशनिंग (High-Order Extension & Preconditioning)

उच्च-क्रम स्टेंसिल (High-Order Stencils): यह फ्रेमवर्क मैट्रिक्स-फ्री संरचना को तोड़े बिना मनमाने इवेन-ऑर्डर (even-order) परिमित अंतर स्टेंसिल (10वें क्रम तक परीक्षण किया गया) का समर्थन करता है।
प्रीकंडीशनिंग (Preconditioning): फूरियर डोमेन में एक डायगोनल प्रीकंडीशनर प्राप्त किया गया है, जो सरल इनवर्जन की अनुमति देता है और यह सुनिश्चित करता है कि सिस्टम का कंडीशन नंबर परमिटिविटी मैट्रिक्स के कंडीशन नंबर द्वारा सीमित (bounded) हो।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

कठोर कर्नेल कंपनसेशन थ्योरी: कर्नेल कंपनसेशन विधि के लिए एक पूर्ण सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है, जिसमें नल स्पेस का सटीक लक्षण वर्णन और पेनल्टी गुणांक $\gamma$ के लिए एक स्पष्ट, ग्रिड-स्वतंत्र फॉर्मूला शामिल है।
नवीन अनिसोट्रोपिक विवेकीकरण: Yee ग्रिड्स पर ऑफ-डायगोनल परमिटिविटी टेंसर को विवेकीकृत करने का एक गणितीय रूप से सिद्ध तरीका पेश करता है जो HPD गुण को बनाए रखता है, जो परिमित-अंतर फोटोनिक क्रिस्टल सिमुलेशनों में एक लंबे समय से चली आ रही समस्या को हल करता है।
मैट्रिक्स-फ्री GPU एक्सेलेरेशन: पूरे सॉल्वर (ऑपरेटर्स, प्रीकंडीशनिंग, और मैट्रिक्स-वेक्टर उत्पाद) को 3D DFT का उपयोग करके GPU पर लागू किया गया है, जिससे स्पार्स मैट्रिक्स स्टोरेज की आवश्यकता समाप्त हो जाती है और भारी गति वृद्धि (speedup) प्राप्त होती है।
उच्च-क्रम सटीकता: यह फ्रेमवर्क स्मूथ समस्याओं के लिए उच्च-क्रम विवेकीकरण तक विस्तार करता है, जिससे मेमोरी ओवरहेड को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाए बिना सटीकता में सुधार होता है।

4. संख्यात्मक परिणाम (Numerical Results)

विधि को विभिन्न लैट्टिस संरचनाओं (SC, FCC, BCC) पर घुमावदार और जायरोइड (gyroid) इंटरफेस, आइसोट्रोपिक और अनिसोट्रोपिक दोनों के साथ मान्य किया गया।

सटीकता (Accuracy):
- "क्रॉस-DoF" इंटरपोलेशन विधि "ट्रिवियल" विधि की तुलना में थोड़ी अधिक सटीकता प्रदान करती है।
- स्मूथ परमिटिविटी वितरण के लिए, 10वें-क्रम के स्टेंसिल ने ~10वें-क्रम की अभिसरण (convergence) प्राप्त की, जो सैद्धांतिक अपेक्षाओं की पुष्टि करती है।
- बैंडगैप अनुपात और वेइल पॉइंट्स (Weyl points) को सटीक रूप से पुनरुत्पादित किया गया, जो मौजूदा साहित्य से मेल खाते हैं।
प्रदर्शन (Performance):
- स्पीडअप: GPU एक्सेलेरेशन ने CPU कार्यान्वयन (NumPy बनाम CuPy का उपयोग करके) की तुलना में औसतन >40x की गति वृद्धि प्राप्त की।
- स्केलेबिलिटी: सॉल्वर ने $120^3$ (लगभग 5 मिलियन DoFs) तक के ग्रिड को कुशलतापूर्वक संभाला।
- मजबूती (Robustness): विधि उन इलिक-कंडीशन्ड (ill-conditioned) परमिटिविटी मैट्रिसेस के लिए भी स्थिर रही और सुचारू रूप से कन्वर्ज हुई (जिनके आइजनवैल्यूज $10^{-1}$ से $10^{-5}$ तक रेंज में थे), जो मानक धारणाओं का उल्लंघन करते हैं, जो पारंपरिक दृष्टिकोणों की तुलना में बेहतर मजबूती प्रदर्शित करता है।
इटरेशन काउंट: अनिसोट्रोपिक सिस्टम को आइसोट्रोपिक की तुलना में थोड़े अधिक इटरेशन की आवश्यकता थी, लेकिन क्रॉस-DoF विधि को ट्रिवियल विधि की तुलना में कम इटरेशन की आवश्यकता थी।

5. महत्व (Significance)

यह शोध पत्र अनिसोट्रोपिक मीडिया में फोटोनिक क्रिस्टल्स के लिए एक स्टेट-ऑफ-द-आर्ट सॉल्वर प्रस्तुत करता है। इसका महत्व यहाँ है:

अंतराल को भरना: यह सफलतापूर्वक जटिल अनिसोट्रोपिक मामलों के लिए कुशल Yee स्कीम (जो आमतौर पर आइसोट्रोपिक मीडिया के लिए उपयोग की जाती है) को कठोर गणितीय औचित्य के साथ अनुकूलित करता है।
दक्षता: मैट्रिक्स-फ्री ऑपरेशन्स और GPU एक्सेलेरेशन का लाभ उठाकर, यह जटिल 3D फोटोनिक संरचनाओं (जैसे जायरोइड और डायमंड लैट्टिस) के बड़े पैमाने के 3D सिमुलेशन को कम्प्यूटेशनल रूप से व्यवहार्य बनाता है।
विश्वसनीयता: HPD गुण और पेनल्टी गुणांक पर सैद्धांतिक गारंटी यह सुनिश्चित करती है कि सॉल्वर संख्यात्मक अस्थिरता के प्रति मजबूत है, जिससे यह अगली पीढ़ी के फोटोनिक उपकरणों को डिजाइन करने के लिए एक विश्वसनीय उपकरण बनता है।

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