तकनीकी सारांश: क्वांटम मशीन लर्निंग के लिए एडेप्टिव कॉन्फॉर्मल प्रेडिक्शन (Adaptive Conformal Prediction)

समस्या विवरण (Problem Statement)

क्वांटम मशीन लर्निंग (QML) का लक्ष्य शास्त्रीय एल्गोरिदम को बेहतर बनाने के लिए क्वांटम प्रोसेसर का लाभ उठाना है, फिर भी इन मॉडलों की उच्च-जोखिम वाले क्षेत्रों (जैसे स्वास्थ्य सेवा, रक्षा) में तैनाती के लिए कठोर अनिश्चितता मात्रात्मककरण (uncertainty quantification) की आवश्यकता होती है। जबकि कॉन्फॉर्मल प्रेडिक्शन (CP) शास्त्रीय मॉडलों के लिए वितरण-मुक्त (distribution-free), परिमित-नमूना गारंटी प्रदान करता है, इसका QML में अनुप्रयोग एक महत्वपूर्ण बाधा का सामना करता है: गैर-स्थिर हार्डवेयर शोर (non-stationary hardware noise)।

मानक कॉन्फॉर्मल प्रेडिक्शन, जिसमें हाल ही में प्रस्तावित क्वांटम कॉन्फॉर्मल प्रेडिक्शन (QCP) ढांचा (पार्क और सिमीओन, 2023) शामिल है, इस धारणा पर निर्भर करता है कि अंशांकन (calibration) और परीक्षण डेटा विनिमेय (exchangeable) हैं। यह धारणा निहित करती है कि क्वांटम हार्डवेयर के भीतर अंतर्निहित शोर प्रक्रियाएं समय के साथ स्थिर रहती हैं। हालांकि, वर्तमान नॉइजी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) उपकरण तापमान के उतार-चढ़ाव, नियंत्रण उपकरणों के दोलन और कॉस्मिक किरण की घटनाओं जैसे कारकों के कारण समय-परिवर्तनीय शोर प्रदर्शित करते हैं। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि जब शोर गैर-स्थिर होता है, तो क्वांटम मापन से प्राप्त कॉन्फॉर्मिटी स्कोर विनिमेय नहीं रह जाते हैं, भले ही इनपुट डेटा वितरण स्थिर हो। फलस्वरूप, मानक QCP की सैद्धांतिक कवरेज गारंटी (अर्थात, वास्तविक परिणाम $1-\alpha$ प्रायिकता के साथ भविष्यवाणी सेट के भीतर रहता है) अमान्य हो जाती है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

समय-निर्भर शोर के कारण विनिमेयता के टूटने को संबोधित करने के लिए, लेखक एडेप्टिव क्वांटम कॉन्फॉर्मल प्रेडिक्शन (AQCP) का प्रस्ताव करते हैं। यह दृष्टिकोण क्वांटम सेटिंग में एडेप्टिव कॉन्फॉर्मल इन्फरेंस (ACI) ढांचे (गिब्स और कैंडेस, 2021) को अनुकूलित करता है।

मुख्य एल्गोरिदम (Core Algorithm)

AQCP एक ऑनलाइन टेस्टिंग सेटिंग में कार्य करता है जहाँ देखे गए अनुभवजन्य कवरेज के आधार पर मिसकवरेज स्तर को गतिशील रूप से समायोजित किया जाता है। एल्गोरिदम इस प्रकार कार्य करता है:

1. आरंभीकरण (Initialization): प्रारंभिक कॉन्फॉर्मिटी स्कोर की गणना करने के लिए एक अंशांकन डेटासेट $D_{cal}$ का उपयोग किया जाता है।
2. क्रमिक प्रसंस्करण (Sequential Processing): प्रत्येक परीक्षण बिंदु $i$ के लिए, एल्गोरिदम वर्तमान मिसकवरेज स्तर $\alpha_i$ का उपयोग करके एक प्रेडिक्शन सेट $C_i(X_{n+i})$ का निर्माण करता है।
3. फीडबैक लूप (Feedback Loop): वास्तविक लेबल $Y_{n+i}$ प्रकट होने के बाद, एल्गोरिदम मिसकवरेज स्तर को अपडेट करता है:
   $$\alpha_{i+1} = \alpha_i + \gamma (\alpha - \text{err}_i)$$
   जहाँ $\gamma$ एक स्टेप-साइज़ हाइपरपैरामीटर है और $\text{err}_i$ 1 है यदि वास्तविक लेबल प्रेडिक्शन सेट के बाहर है, और 0 है अन्यथा।
4. स्कोर फंक्शन (Score Functions): चूंकि क्वांटम मॉडल नियत (deterministic) आउटपुट के बजाय स्टोकेस्टिक नमूने (शॉट्स) उत्पन्न करते हैं, AQCP नमूना-आधारित स्कोर फंक्शन का उपयोग करता है। पेपर चार विशिष्ट फंक्शनों का मूल्यांकन करता है:
   • यूक्लिडियन दूरी (Euclidean Distance): उम्मीदवार $y$ और शॉट नमूनों के माध्य के बीच की दूरी।
   • k-निकटतम पड़ोसी (k-NN): नमूनों के बीच $k$-वें निकटतम पड़ोसी की दूरी।
   • कर्नेल डेंसिटी एस्टीमेशन (KDE): $y$ पर नेगेटिव लॉग-डेंसिटी अनुमान।
   • हाई-डेंसिटी रीजन (HDR): उस क्षेत्र का अनुमानित द्रव्यमान घनत्व जहाँ घनत्व $y$ के समान या उससे अधिक है।

सैद्धांतिक गारंटी (Theoretical Guarantees)

मानक CP के विपरीत जो विनिमेयता के तहत परिमित-नमूना गारंटी प्रदान करता है, AQCP मनमाने शोर की स्थितियों के तहत अनंतस्पर्शी औसत कवरेज गारंटी (asymptotic average coverage guarantees) प्रदान करता है। लेखक सिद्ध करते हैं कि जैसे-जैसे परीक्षण बिंदुओं की संख्या $N \to \infty$ होती है, औसत मिसकवरेज दर लक्षित $\alpha$ के लगभग निश्चित रूप से अभिसरित (converge) होती है। शोर को नियंत्रित करने वाले हिडन मार्कोव चेन के संबंध में विशिष्ट धारणाओं के तहत एक परिमित-नमूना सीमा भी व्युत्पन्न की गई है, हालांकि लेखक नोट करते हैं कि ये धारणाएं व्यवहार में सटीक रूप से लागू नहीं हो सकती हैं।

प्रमुख योगदान (Key Contributions)

यह पेपर तीन प्राथमिक योगदान देता है:

1. समय निर्भरता का औपचारिकीकरण (Formalisation of Time Dependence): लेखक एक सैद्धांतिक ढांचा प्रदान करते हैं जो यह प्रदर्शित करता है कि कैसे क्वांटम प्रोसेसरों में गैर-स्थिर शोर कॉन्फॉर्मिटी स्कोर की विनिमेयता को अमान्य कर देता है, जिससे मानक कॉन्फॉर्मल गारंटी कमजोर हो जाती है।
2. एडेप्टिव एल्गोरिदम (AQCP): वे AQCP पेश करते हैं, जो गैर-स्थिर शोर को संभालने के लिए ऑनलाइन रीकैलिब्रेशन का उपयोग करता है। इसे निहित संभाव्यता वितरणों (क्वांटम शॉट्स) से नमूनों पर काम करने वाले स्कोर फंक्शन के साथ डिज़ाइन किया गया है।
3. व्यापक हार्डवेयर मूल्यांकन: अध्ययन IBM क्वांटम प्रोसेसर (ibm_sherbrooke) और एक क्लासिकल सिम्युलेटर पर व्यापक प्रयोग करता है। यह विभिन्न स्कोर फंक्शनों का विश्लेषण करता है और प्रदर्शित करता है कि AQCP मानक QCP की तुलना में अधिक स्थिरता के साथ लक्षित कवरेज स्तर बनाए रखता है।

प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

प्रयोग एक यूनिवेरिएट मल्टीमॉडल रिग्रेशन कार्य पर किए गए थे, जो पार्क और सिमीओन (2023) के सेटअप को दोहराते हैं।

• कवरेज स्थिरता (Coverage Stability): IBM क्वांटम प्रोसेसर के डेटा का उपयोग करते हुए, लेखकों ने "ऑनलाइन QCP" (जो $\gamma = 0$ के साथ AQIC के समान है, यानी कोई फीडबैक समायोजन नहीं) के विरुद्ध AQCP (स्टेप साइज $\gamma = 0.03$ के साथ) की तुलना की।
  • ऑनलाइन QCP लक्षित कवरेज से महत्वपूर्ण विचलन (जैसे, ओवर-कवरेज के बाद अंडर-कवरेज) प्रदर्शित करता है, जो नाममात्र 90% स्तर को लगातार बनाए रखने में विफल रहता है।
  • AQCP मजबूत स्थिरता प्रदर्शित करता है, सभी परीक्षण किए गए स्कोर फंक्शनों (k-NN, Euclidean, KDE, HDR) में 90% के लक्ष्य के करीब औसत कवरेज को लगातार बनाए रखता है।
• दक्षता (सेट आकार) (Efficiency - Set Size): शॉट नंबरों और स्कोर फंक्शन के प्रभावों को अलग करने के लिए एक क्लासिकल सिम्युलेटर (FakeQuitoV2) का उपयोग करते हुए:
  • KDE और HDR स्कोर फंक्शन सबसे छोटे औसत प्रेडिक्शन सेट आकार उत्पन्न करते हैं, विशेष रूप से जैसे-जैसे शॉट्स की संख्या ($M$) बढ़ती है।
  • Euclidean और 1-NN स्कोर फंक्शन HDR की तुलना में काफी बड़े प्रेडिक्शन सेट (M=1000 पर 1.5–2 गुना बड़े) परिणाम देते हैं, बावजूद इसके कि वे समान कवरेज प्राप्त करते हैं।
  • सभी विधियों ने लक्षित कवरेज प्राप्त किया, लेकिन स्कोर फंक्शन के चुनाव ने प्रेडिक्शन सेट के आकार (दक्षता) को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित किया।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

पेपर का दावा है कि AQCP मनमाने हार्डवेयर शोर की स्थितियों के तहत QML मॉडलों के लिए अनिश्चितता का एक विश्वसनीय प्रतिनिधित्व प्रदान करता है, जो क्वांटम एल्गोरिदम की भरोसेमंद तैनाती के लिए एक महत्वपूर्ण आवश्यकता है।

लेखक अपने दावों में विनम्र हैं, और स्वीकार करते हैं कि:

• उनके सैद्धांतिक गारंटी (विशिष्ट, संभावित रूप से प्रतिबंधात्मक धारणाओं के बिना) अनंतस्पर्शी (asymptotic) हैं, न कि परिमित-नमूना।
• मजबूती का अनुभवजन्य मूल्यांकन एक ही दिन में एकत्र किए गए डेटा पर आधारित है, जिसका अर्थ है कि यह दीर्घकालिक ड्रिफ्ट या संरचित विक्षोभों को पूरी तरह से चित्रित नहीं करता है।
• उनकी विधि अंतर्निहित रूप से क्रमिक (sequential) है, जिसके लिए अगले प्रेडिक्शन से पहले वास्तविक प्रतिक्रिया का प्रकट होना आवश्यक है, जो बैच प्रेडिक्शन सेटिंग्स में इसके प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को सीमित करता है।

इन सीमाओं के बावजूद, यह कार्य स्थापित करता है कि गैर-स्थिर क्वांटम शोर की उपस्थिति में वैधता बनाए रखने के लिए एडेप्टिव रीकैलिब्रेशन आवश्यक है, जो वर्तमान NISQ-युग के अनुप्रयोगों के लिए अनिश्चितता मात्रात्मककरण का एक व्यावहारिक मार्ग प्रदान करता है।