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Topological Order in Neural Wavefunctions

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि अटेंशन-आधारित डीप न्यूरल नेटवर्क ऊर्जा न्यूनीकरण के माध्यम से भिन्नात्मक चेर्न इंसुलेटर (fractional Chern insulator) ग्राउंड स्टेट्स को प्रभावी ढंग से खोज सकते हैं और उनकी टोपोलॉजिकल डिजेनेरेसी (topological degeneracy) को निकाल सकते हैं, जो न्यूरल नेटवर्क वेरिएशनल मोंटे कार्लो (neural network variational Monte Carlo) को पूर्व ज्ञान के बिना दृढ़ सहसंबद्ध टोपोलॉजिकल चरणों के अध्ययन के लिए एक शक्तिशाली उपकरण के रूप में स्थापित करता है।

मूल लेखक: Ahmed Abouelkomsan, Max Geier, Liang Fu

प्रकाशित 2026-05-29

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ahmed Abouelkomsan, Max Geier, Liang Fu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक कमरे में लोगों की भीड़ के बैठने का सबसे आरामदायक तरीका खोजने की कोशिश कर रहे हैं। यदि हर कोई बस बेतरतीब ढंग से बैठता है, तो यह अराजक होगा। लेकिन यदि वे सभी एक सख्त, सरल नियम का पालन करते हैं (जैसे कि "हर कोई एक सीधी रेखा में बैठेगा"), तो आप आसानी से अनुमान लगा सकते हैं कि वे कहाँ होंगे। कंप्यूटर भौतिकी (क्वांटम फिजिक्स) के अधिकांश सिमुलेशन इसी तरह काम करते हैं: वे यह मान लेते हैं कि कण सरल, पूर्वानुमेय नियमों का पालन करते हैं।

हालाँकि, कुछ क्वांटम सामग्रियाँ ऐसी हैं जैसे कि लोगों की एक भीड़ जिन्होंने एक गुप्त, जटिल भाषा विकसित कर ली हो। वे केवल रेखाओं में नहीं बैठते; वे जटिल, अदृश्य पैटर्न बनाते हैं जो उन्हें अजीब, "आंशिक" (fractional) तरीकों से चलने की अनुमति देते हैं (जैसे कि एक सामान्य इलेक्ट्रॉन के केवल एक तीसरे हिस्से के बराबर चार्ज होना)। वैज्ञानिक इस अवस्था को टोपोलॉजिकल ऑर्डर (Topological Order) कहते हैं। यह पदार्थ की एक ऐसी अवस्था है जो अविश्वसनीय रूप से स्थिर और मजबूत है, लेकिन इसे सिम्युलेट करना एक दुःस्वप्न भी है क्योंकि कण इतने मजबूती से जुड़े हुए हैं कि आप उन्हें एक-एक करके नहीं देख सकते।

यह शोध पत्र इस कोड को तोड़ने के लिए आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस (AI) का उपयोग करने का एक नया तरीका पेश करता है, विशेष रूप से एक प्रकार का डीप लर्निंग जिसे "न्यूरल नेटवर्क" कहा जाता है।

समस्या: क्वांटम अवस्थाओं का "ब्लैक बॉक्स"

पारंपरिक रूप से, इन सामग्रियों का अध्ययन करने के लिए वैज्ञानिक दो मुख्य उपकरणों का उपयोग करते हैं:

एक्जैक्ट डायगोनलाइजेशन (Exact Diagonalization): यह हर एक संभावित चाल की जांच करके एक पहेली को हल करने जैसा है। यह छोटे पहेलियों (छोटे सिस्टम) के लिए पूरी तरह से काम करता है, लेकिन जैसे-जैसे पहेली बड़ी होती जाती है, यह असंभव हो जाता है क्योंकि संभावनाओं की संख्या विस्फोट की तरह बढ़ती जाती है।
DMRG: यह एक चतुर शॉर्टकट है जो सामग्री की लंबी, संकीरी पट्टियों के लिए अच्छा काम करता है, लेकिन सपाट, 2D शीट (जैसे कि वे सामग्रियाँ जिनकी हमें वास्तव में परवाह है) के लिए संघर्ष करता है।

दोनों विधियों में एक बड़ी खामी है: उन्हें अक्सर भौतिकी के कुछ हिस्सों (जैसे विभिन्न ऊर्जा बैंड्स का मिश्रण) को नजरअंदाज करना पड़ता है ताकि गणित को प्रबंधनीय बनाया जा सके।

समाधान: "सुपर-इंट्यूटिव" AI

लेखकों ने एक न्यूरल नेटवर्क बनाया है जो एक वैरिएशनल वेवफंक्शन (variational wavefunction) के रूप में कार्य करता है। सरल शब्दों में, यह कणों के व्यवहार के बारे में एक गणितीय अनुमान है।

यह कैसे सीखता है: इसे खेल के नियम बताए जाने के बजाय, बस यह बताया जाता है, "ऊर्जा को कम करो (Minimize the energy)"। यह एक रैंडम अनुमान (एक बहुत उच्च-ऊर्जा, अस्त-व्यस्त अवस्था) के साथ शुरू होता है और धीरे-धीरे खुद को सुधारता है, अपनी गलतियों से सीखता है, जब तक कि यह न्यूनतम ऊर्जा वाली अवस्था न पा ले।
आर्किटेक्चर: उन्होंने एक विशिष्ट प्रकार के AI का उपयोग किया जिसे सेल्फ-अटेंशन नेटवर्क (Self-Attention Network) कहा जाता है (वही तकनीक जो आधुनिक चैटबॉट्स के पीछे है)। यह AI को प्रत्येक कण को देखने और यह पूछने की अनुमति देता है, "यह कण उस दूसरे कण से कैसे संबंधित है?" यह कणों के बीच के जटिल, लंबी दूरी के संबंधों को पकड़ लेता है जिन्हें सरल मॉडल छोड़ देते हैं।

परिणाम: AI ने शुद्ध रूप से ऊर्जा को कम करने के प्रयास से एक "फ्रैक्शनल चेर्न इंसुलेटर" (Fractional Chern Insulator) की ग्राउंड स्टेट (सबसे स्थिर विन्यास) को खोज निकाला। इसे यह बताने की आवश्यकता नहीं थी कि उत्तर कैसा दिखता है। इसने अपने आप ही जटिल, आंशिक अवस्था की खोज की, और इसने पारंपरिक तरीकों से बेहतर काम किया (कम ऊर्जा प्राप्त की) जिन्हें भौतिकी को सरल बनाने के लिए मजबूर किया गया था।

बड़ी चुनौती: अदृश्य को देखना

यहाँ पेचीदा हिस्सा है। टोपोलॉजिकल ऑर्डर "नॉन-लोकल" है। यह एक गुप्त हैंडशेक की तरह है जो पूरी भीड़ एक साथ करती है। यदि आप केवल एक व्यक्ति (या वेवफंक्शन के एक छोटे हिस्से) को देखते हैं, तो आप पैटर्न नहीं देख सकते। AI ने एक ऐसी अवस्था खोजी जो एक उबाऊ, विशेषताहीन तरल की तरह दिखती थी। यह बिल्कुल भी "टोपोलॉजिकल" अवस्था नहीं लग रही थी!

तो, आप कैसे साबित करेंगे कि AI ने सही चीज़ खोजी है?

ट्रिक: "मोमेंटम स्पेक्ट्रोस्कोपी" (Momentum Spectroscopy)

लेखकों ने एक चतुर पोस्ट-प्रोसेसिंग ट्रिक बनाई है जिसे वे मोमेंटम स्पेक्ट्रोस्कोपी कहते हैं।

कल्पना कीजिए कि AI ने एक एकल, पूर्ण गाना (वेवफंक्शन) खोज लिया है। लेकिन यह गाना वास्तव में अपने ही तीन अलग-अलग, थोड़े अलग संस्करणों का मिश्रण है, जो एक साथ बज रहे हैं। ये तीन संस्करण "टोपोलॉजिकल डिजेनेरेसी" (topological degeneracy) हैं, जो टोपोलॉजिकल ऑर्डर की एक पहचान है। वे इतने समान हैं कि उनकी ऊर्जा समान है, लेकिन वे वैश्विक, अदृश्य तरीके से (उनके "मोमेंटम" में) भिन्न हैं।

लेखकों की विधि उस एकल मिश्रित गाने को लेने और उसे एक फिल्टर के माध्यम से चलाने जैसी है जो इसे तीन अलग-अलग घटकों में अलग कर देता है।

वे AI के एकल अनुकूलित वेवफंक्शन को लेते हैं।
वे गणितीय रूप से इसे विभिन्न मोमेंटम सेक्टर्स में "डिकंपोज़" (decompose) करते हैं (जैसे गाने को पिच के आधार पर छाँटना)।
उन्होंने पाया कि AI के एकल अनुमान में स्वाभाविक रूप से तीन अलग-अलग, लगभग समान ऊर्जा अवस्थाएं मौजूद थीं जो अलग-अलग मोमेंटम स्लॉट्स में बैठी थीं।

यह क्यों मायने रखता है: तीन डिजेनरेट (समान ऊर्जा वाली) अवस्थाओं को खोजना टोपोलॉजिकल ऑर्डर के लिए एक निर्णायक प्रमाण (smoking gun) है। यह साबित करता है कि सिस्टम में वे "आंशिक" गुण हैं जिन्हें वैज्ञानिक खोज रहे थे, भले ही कच्चा डेटा एक उबाऊ तरल जैसा दिखता था।

मॉडल: एक ज़ीरो-फ्लक्स रहस्य

इसका परीक्षण करने के लिए, उन्होंने एक सैद्धांतिक मॉडल बनाया जिसमें इलेक्ट्रॉन एक चुंबकीय क्षेत्र में घूम रहे हैं जो इधर-उधर डगमगाता है लेकिन औसत रूप से शून्य शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र (zero net magnetic field) रखता है।

प्रश्न: क्या एक टोपोलॉजिकल अवस्था अस्तित्व में हो सकती है यदि कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य हो?
खोज: हाँ! AI ने पाया कि एक विशिष्ट घनत्व (फिलिंग फैक्टर 1/3) पर, इलेक्ट्रॉनों ने एक स्थिर, गैप्ड लिक्विड (एक फ्रैक्शनल चेर्न इंसुलेटर) बनाया।
प्रतिस्पर्धा: जब उन्होंने मापदंडों को थोड़ा बदला, तो AI ने सही ढंग से एक "चार्ज डेंसिटी वेव" (एक कठोर क्रिस्टल जैसी पैटर्न) खोजने के लिए स्विच किया, जिससे पता चलता है कि यह विभिन्न प्रकार के क्वांटम चरणों के बीच अंतर कर सकता है।

सारांश

यह शोध पत्र दिखाता है कि AI क्वांटम भौतिकी के लिए एक शक्तिशाली सूक्ष्मदर्शी (microscope) हो सकता है।

यह बिना यह जाने कि वे कैसे दिखते हैं, जटिल, मजबूती से जुड़े क्वांटम राज्यों को खोज सकता है।
यह गणित को सरल बनाए बिना सिस्टम की पूरी जटिलता को संभाल सकता है।
लेखकों ने एक नया "डिकोडर रिंग" (मोमेंटम स्पेक्ट्रोस्कोपी) बनाया है जो हमें एक एकल AI-जनित वेवफंक्शन के भीतर छिपे टोपोलॉजिकल ऑर्डर को देखने की अनुमति देता है।

संक्षेप में, उन्होंने एक न्यूरल नेटवर्क को क्वांटम सामग्री की सबसे स्थिर अवस्था को "सपना" देखना सिखाया, और फिर उसे जगाकर पूछने का तरीका विकसित किया, "आप किस तरह का गुप्त हैंडशेक कर रहे थे?" उत्तर एक टोपोलॉजिकल अवस्था थी जो इस विशिष्ट ज़ीरो-फ्लक्स सेटअप में पहले कभी नहीं देखी गई थी।

तकनीकी सारांश: न्यूरल वेवफंक्शंस में टोपोलॉजिकल ऑर्डर (Topological Order)

समस्या विवरण
टोपोलॉजिकल रूप से क्रमबद्ध अवस्थाएं (topologically ordered states), जैसे कि फ्रैक्शनल चेर्न इंसुलेटर (FCI), क्वांटम चरणों का एक वर्ग हैं जो उभरित भिन्नात्मक आवेश (fractional charge) और सांख्यिकी (statistics) द्वारा अभिलक्षित होते हैं। इन अवस्थाओं की सैद्धांतिक जांच उनकी प्रबल-युग्मन (strong-coupling) प्रकृति के कारण बाधित होती है, जो पारंपरिक मीन-फील्ड उपचारों को असंभव बनाती है। मौजूदा कम्प्यूटेशनल विधियों को महत्वपूर्ण सीमाओं का सामना करना पड़ता है: एक्सैक्ट डायगोनलाइजेशन (Exact Diagonalization - ED) छोटे सिस्टम साइज और कुछ ऊर्जा बैंडों तक ही सीमित है क्योंकि इसमें हिल्बर्ट स्पेस का घातांकीय विकास (exponential growth) होता है, जिससे अक्सर प्रबल बैंड-मिक्सिंग प्रभावों को पकड़ने में विफलता होती है। इसके विपरीत, डेंसिटी-मैट्रिक्स रिनॉर्मलाइजेशन ग्रुप (DMRG) अनिवार्य रूप से एक क्वासी-वन-डायमेंशनल विधि है, जिससे इसे सख्ती से दो-आयामी ज्यामिति में लागू करना कठिन हो जाता है। इसके अतिरिक्त, हालांकि न्यूरल नेटवर्क वेरिएशनल मोंटे कार्लो (NN-VMC) दृढ़ता से परस्पर क्रिया करने वाले सिस्टम के लिए एक आशाजनक उपकरण के रूप में उभरा है, टोपोलॉजिकल ऑर्डर पर इसे लागू करना चुनौतीपूर्ण बना हुआ है। एक प्राथमिक कठिनाई एक एकल अनुकूलित (optimized) वेरिएशनल वेवफंक्शन से टोपोलॉजिकल ऑर्डर का निदान करने में निहित है, क्योंकि टोपोलॉजिकल ऑर्डर एक गैर-स्थानीय (non-local) गुण है जिसे स्थानीय अवलोकनों (local observables) द्वारा पता नहीं लगाया जा सकता है। पारंपरिक विधियां, जैसे कि टोपोलॉजिकल एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी निकालना, अत्यंत सूक्ष्म और गणनात्मक रूप से श्रमसाध्य हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक सेल्फ-अटेंशन-आधारित डीप न्यूरल नेटवर्क और एक नवीन पोस्ट-प्रोसेसिंग डायग्नोस्टिक प्रोटोकॉल को संयोजित करने वाला एक ढांचा प्रस्तावित करते हैं।

न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर: अध्ययन में एक "Psiformer" आर्किटेक्चर का उपयोग किया गया है, जो कई-शरी (many-body) वेवफंक्शंस का वर्णन करने के लिए सेल्फ-अटेंशन तंत्र (ट्रांसफॉर्मर के समान) का उपयोग करता है। वेरिएशनल एन्सैट्ज़ (ansatz) को $N_{det}$ स्लेटर डिटर्मिनेंट्स के योग के रूप में निर्मित किया गया है, जहाँ सामान्यीकृत ऑर्बिटल्स (generalized orbitals) एक डीप न्यूरल नेटवर्क द्वारा पैरामीट्राइज्ड होते हैं। नेटवर्क आवधिक सीमा स्थितियों (periodic boundary conditions) को टॉरस पर संतुष्ट करने के लिए आवधिक इलेक्ट्रॉन निर्देशांकों (periodized electron coordinates) को इनपुट के रूप में लेता है। महत्वपूर्ण रूप से, अनुकूलन पूरी तरह से रियल स्पेस में किया जाता है, बिना किसी विशिष्ट मोमेंटम सेक्टर पर प्रोजेक्ट किए या प्रशिक्षण के दौरान सममिति बाधाओं (symmetry constraints) को लागू किए। मापदंडों को वेरिएशनल मोंटे कार्लो (VMC) के माध्यम से ग्राउंड स्टेट एनर्जी को कम करने के लिए KFAC (Kronecker-factored approximate curvature) ऑप्टिमाइज़र का उपयोग करके अनुकूलित किया जाता है।
मोमेंटम स्पेक्ट्रोस्कोपी प्रोटोकॉल: एक एकल अनुकूलित वेवफंक्शन $\Psi(\{r_i\})$ से टोपोलॉजिकल ऑर्डर को निदान करने के लिए, लेखक "मोमेंटम स्पेक्ट्रोस्कोपी" नामक एक पोस्ट-प्रोसेसिंग विधि पेश करते हैं। यह मानते हुए कि सिस्टम में ट्रांसलेशनल सिमेट्री है, एकल वेवफंक्शन को सेंटर-ऑफ-मास (COM) ट्रांसलेशन ऑपरेटर के आइजनस्टेट्स में विघटित किया जाता है। यह अलग-अलग कई-शरी मोमेंटम सेक्टर्स $K$ पर अनुकूलित वेवफंक्शन को प्रोजेक्ट करके प्राप्त किया जाता है:
$\Phi_K(\{r_i\}) = \frac{1}{N_s} \sum_R e^{-iK \cdot R} \Psi(r_1 + R, \dots, r_N + R)$
यदि सिस्टम में टोपोलॉजिकल ऑर्डर है, तो वास्तविक ग्राउंड स्टेट मैनिफोल्ड $m$ डिजेनरेट स्टेट्स से बना होता है जो विशिष्ट मोमेंटा $K_i$ द्वारा लेबल किए जाते हैं। प्रोटोकॉल यह जांचकर टोपोलॉजिकल ऑर्डर के अस्तित्व का अनुमान लगाता है कि: (1) अनुकूलित वेवफंक्शन का भार केवल उन विशिष्ट मोमेंटम सेक्टर्स में गैर-शून्य है जो डिजेनरेट ग्राउंड स्टेट्स के अनुरूप हैं, और (2) इन प्रोजेक्टेड स्टेट्स की वेरिएशनल ऊर्जाएं लगभग डिजेनरेट (nearly degenerate) हैं।

प्रमुख योगदान

FCI ग्राउंड स्टेट्स की खोज: लेखक प्रदर्शित करते हैं कि एक सामान्य-उद्देश्य वाला फर्मिओनिक न्यूरल नेटवर्क, जिसे केवल ऊर्जा न्यूनीकरण के माध्यम से प्रशिक्षित किया गया है (बिना बैंड टोपोलॉजी या विशिष्ट एन्सैट्ज़ रूपों के पूर्व ज्ञान के), फ्रैक्शनल चेर्न इंसुलेटर ग्राउंड स्टेट्स की खोज कर सकता है।
कुशल टोपोलॉजिकल डायग्नोस्टिक: वे एक एकल रियल-स्पेस वेवफंक्शन से ग्राउंड-स्टेट टोपोलॉजिकल डिजेनेरेसी को निकालने के लिए एक मजबूत विधि पेश करते हैं, जो मोमेंटम सेक्टर्स में विघटित होकर काम करती है। यह अलग-अलग मोमेंटम सेक्टर्स में अलग-अलग अनुकूलन करने की कम्प्यूटेशनल लागत से बचाता है।
बैंड मिक्सिंग को संभालना: सीधे रियल स्पेस में काम करके बिना बैंड प्रोजेक्शन के, NN-VMC दृष्टिकोण स्वाभाविक रूप से किसी भी बैंड-मिक्सिंग प्रभावों को कैप्चर करता है, जो ED की एक प्रमुख सीमा को दूर करता है।

परिणाम
लेखकों ने अपने मेथड को शून्य नेट फ्लक्स प्रति यूनिट सेल के साथ एक आवधिक चुंबकीय क्षेत्र में स्पिनलेस फर्मियंस के न्यूनतम निरंतर मॉडल (minimal continuum model) पर लागू किया।

मॉडल वैलिडेशन: उन्होंने एक ऐसा पैरामीटर रिजीम ( $\lambda = -0.23$ ) पहचाना जहाँ गैर-इंटरैक्टिंग बैंड स्ट्रक्चर में एक फ्लैट चेर्न बैंड ( $C=1$ ) और अत्यधिक उतार-चढ़ाव वाला बेरी कर्वेचर (Berry curvature) है।
फेज आइडेंटिफिकेशन: फिलिंग फैक्टर $\nu = 1/3$ पर, अनुकूलित न्यूरल वेवफंक्शन ने एक ट्रांसलेशनल सिमेट्रिक, लिक्विड-लाइक चार्ज डेंसिटी प्रदर्शित की, जिसमें स्टैटिक स्ट्रक्चर फैक्टर में कोई ब्रैग पीक नहीं था, जो एक गैप्ड क्वांटम लिक्विड के अनुरूप है।
टोपोलॉजिकल डिजेनेरेसी: $\nu = 1/3$ पर अनुकूलित वेवफंक्शन पर मोमेंटम स्पेक्ट्रोस्कोपी प्रोटोकॉल लागू करने पर पता चला कि वेवफंक्शन तीन अलग-अलग मोमेंटम सेक्टर्स में गैर-शून्य भार रखता है। इन तीन सेक्टर्स में प्रोजेक्टेड स्टेट्स की वेरिएशनल ऊर्जाएं लगभग डिजेनरेट पाई गईं, जो $\nu = 1/3$ FCI की तीन-गुनी टोपोलॉजिकल डिजेनेरेसी की पुष्टि करती है।
प्रतिस्पर्धी फेसेज़ (Competing Phases): एक अलग पैरामीटर रिजीम ( $\lambda = -0.26$ ) के तहत, समान न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर ने एक चार्ज डेंसिटी वेव (CDW) फेज में संक्रमण को सफलतापूर्वक पहचाना, जो प्रतिस्पर्धी ऑर्डर्स को कैप्चर करने की मॉडल की क्षमता को दर्शाता है।
एनर्जी तुलना: NN-VMC परिणामों ने लोएस्ट बैंड पर प्रोजेक्ट किए गए ED की तुलना में काफी कम ग्राउंड स्टेट एनर्जी प्रदान की। अध्ययन किए गए सिस्टम साइज के लिए, मल्टी-बैंड ED कम्प्यूटेशनल रूप से अव्यवहार्य (intractable) था, फिर भी NN परिणाम स्ट्रक्चर फैक्टर से प्राप्त टोपोलॉजिकल बाउंड्स के साथ सुसंगत रहे।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र न्यूरल नेटवर्क वेरिएशनल मोंटे कार्लो को दृढ़ता से सहसंबद्ध टोपोलॉजिकल फेसेज़ की खोज के लिए एक बहुमुखी उपकरण के रूप में स्थापित करता है। लेखक दावा करते हैं कि उनका दृष्टिकोण बिना किसी टोपोलॉजिकल इनपुट बायस के, शुद्ध ऊर्जा न्यूनीकरण के माध्यम से टोपोलॉजिकल ऑर्डर्ड स्टेट्स की खोज करने में सफल रहा है। "मोमेंटम स्पेक्ट्रोस्कोपी" पद्धति को एक कुशल डायग्नोस्टिक के रूप में प्रस्तुत किया गया है जो एक एकल अनुकूलित वेवफंक्शन से टोपोलॉजिकल डिजेनेरेसी का अनुमान लगाता है, जो इसे पिछले कार्यों से अलग करता है जिन्हें विभिन्न सिमेट्री सेक्टर्स में अलग-अलग अनुकूलन की आवश्यकता थी। अध्ययन पुष्टि करता है कि सेल्फ-अटेंशन न्यूरल नेटवर्क अबेलियन टोपोलॉजिकल ऑर्डर का वर्णन कर सकते हैं और यह सुझाव देता है कि यह ढांचा जटिल क्वांटम सामग्रियों, जैसे कि ट्विस्टेड ट्रांजिशन मेटल डाइकैल्कोजेनाइड्स (twisted transition metal dichalcogenides) की जांच के लिए उपयुक्त है, जहाँ बैंड मिक्सिंग महत्वपूर्ण होती है। लेखक नोट करते हैं कि भविष्य का कार्य इस दृष्टिकोण को नॉन-अबेलियन टोपोलॉजिकल फेसेज़ और गैपलेस स्टेट्स जैसे कंपोजिट फर्मी लिक्विड तक विस्तारित कर सकता है।