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Scalable Distributed Nonlinear Control Under Flatness-Preserving Coupling

यह शोध पत्र नॉनलीन फ्लैट सबसिस्टम्स के नेटवर्क के लिए एक स्केलेबल वितरित नियंत्रण ढांचा प्रस्तावित करता है, जो लोअर-ट्राइएंगुलर कपलिंग्स के एक विशिष्ट वर्ग की पहचान करके सिस्टम की डिफरेंशियल फ्लैटनेस को संरक्षित करता है, जिससे स्थानीय ट्रैकिंग कंट्रोलर्स का संश्लेषण सक्षम होता है जो केवल पड़ोस की जानकारी पर निर्भर करते हैं।

मूल लेखक: Fengjun Yang, Jake Welde, Nikolai Matni

प्रकाशित 2026-03-17

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Fengjun Yang, Jake Welde, Nikolai Matni

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, हाई-टेक डांस ट्रूप (नृत्य दल) के निर्देशक हैं। आपके पास दर्जनों डांसर (रोबोट) हैं, और आप चाहते हैं कि वे एक जटिल, तालमेल से भरा रूटीन (synchronized routine) पेश करें।

समस्या:
एक आदर्श दुनिया में, प्रत्येक डांसर को बस अपना स्वयं का कोरियोग्राफी का पालन करना चाहिए। लेकिन वास्तविकता में, ये डांसर एक-दूसरे के बहुत करीब उड़ रहे हैं। जैसे ही एक डांसर नीचे की ओर झपटता है, वह एक "विंड टनल" (डाउनवॉश) बनाता है जो नीचे वाले डांसरों को धकेलता है। यदि डांसर A नीचे की ओर झपटता है, तो डांसर B (जो उसके नीचे है) हवा के झोंकों से प्रभावित होता है।

यदि आप उन्हें एक एकल कंप्यूटर से नियंत्रित करने की कोशिश करते हैं, तो गणित अविश्वसनीय रूप से जटिल हो जाता है। कंप्यूटर को यह गणना करनी होगी कि हर डांसर अन्य सभी डांसरों को वास्तविक समय (real-time) में कैसे प्रभावित करता है। यह एक ऐसे पहेली को हल करने जैसा है जहाँ हर टुकड़ा दूसरे टुकड़ों की गति के आधार पर अपना आकार बदल लेता है। वास्तविक समय के नियंत्रण के लिए यह बहुत धीमा है, खासकर यदि डांसर फैले हुए हों और वे आपस में लगातार बात न कर सकें।

पेपर का बड़ा विचार:
लेखकों ने इस अराजकता को व्यवस्थित करने का एक चतुर तरीका खोजा जिससे डांसर ज्यादातर अपना ख्याल खुद रख सकें, केवल अपने आस-पास के लोगों से बात करें, फिर भी एक आदर्श सामूहिक रूटीन प्रदर्शित कर सकें।

उन्होंने इसे सरल अवधारणाओं में तोड़कर यहाँ समझाया है:

1. "फ्लैट" का रहस्य (जादुई मानचित्र)

कंट्रोल थ्योरी में, कुछ सिस्टम "डिफरेंशियल फ्लैट" (differentially flat) होते हैं। इसे एक जादुई मानचित्र (Magic Map) के रूप में सोचें।

सामान्य दृश्य: आप डांसर की स्थिति, गति, कोण और वह अपने पंखों से कितना जोर लगा रहा है, देखते हैं। यह जटिल है।
फ्लैट दृश्य: जादुई मानचित्र इस सारी जटिलता को एक सरल "वांछित पथ" (Desired Path) में बदल देता है। यदि आप डांसर को कहते हैं "इस सरल रेखा का अनुसरण करो," तो जादुई मानचित्र स्वचालित रूप से यह तय कर लेता है कि उस रेखा पर बने रहने के लिए उसे अपने पंखों और शरीर को कैसे हिलाना है।

समस्या यह है: जब डांसर आपस में जुड़े होते हैं (हवा के माध्यम से एक-दूसरे को धकेलते हैं), तो पूरे समूह के लिए जादुगर मानचित्र आमतौर पर टूट जाता है। एक डांसर के लिए सरल पथ अचानक अन्य सभी के जटिल और उलझे हुए राज्य पर निर्भर हो जाता है।

2. "लोअर-ट्राइएंगुलर" नियम (एकतरफा रास्ता)

लेखकों ने एक विशिष्ट प्रकार की अंतःक्रिया (interaction) की खोज की जो जादुई मानचित्र को काम करने देती है। वे इसे "लोअर-ट्राइएंगुलर कपलिंग" (Lower-Triangular Coupling) कहते हैं।

कल्पना कीजिए कि डांसर एक ऊर्ध्वाधर स्टैक (vertical stack) में व्यवस्थित हैं।

नियम: एक डांसर ऊपर के डांसरों से आने वाली हवा से प्रभावित हो सकता है। लेकिन नीचे वाला डांसर ऊपर वाले डांसर को प्रभावित करने के लिए हवा को ऊपर नहीं भेज सकता।
रूपक (Metaphor): इसे एक झरने की तरह समझें। पानी नीचे की ओर बहता है। ऊपर का पानी नीचे के पानी को प्रभावित करता है, लेकिन नीचे का पानी वापस ऊपर जाकर ऊपर वाले को नहीं बदल सकता।

क्योंकि प्रभाव केवल एक दिशा में बहता है (नीचे की ओर), लेखकों ने सिद्ध किया कि पूरे समूह के लिए "जादुई मानचित्र" व्यक्तिगत मानचित्रों का एक सरल संयोजन है। समूह की जटिलता बढ़ती नहीं है; यह प्रबंधनीय रहती है।

3. वितरित समाधान (पड़ोस की निगरानी - Neighborhood Watch)

यह सबसे रोमांचक हिस्सा है। क्योंकि प्रभाव केवल "नीचे" की ओर बहता है, इसलिए एक डांसर को यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि समूह के सभी लोग क्या कर रहे हैं।

डांसर #1 (सबसे ऊपर): उन्हें दूसरों के बारे में कुछ भी जानने की आवश्यकता नहीं है। वे बस अपने स्वयं के मानचित्र का पालन करते हैं।
डांसर #2: उन्हें केवल यह जानने की आवश्यकता है कि डांसर #1 क्या कर रहा है।
डांसर #10: उन्हें डांसर #1 से लेकर डांसर #9 तक क्या कर रहे हैं, यह जानने की आवश्यकता है।

वास्तविक दुनिया में, इसका मतलब है कि रोबोट्स को सुपरकंप्यूटर या पूरी टीम के साथ निरंतर कनेक्शन की आवश्यकता नहीं है। उन्हें केवल अपने "पूर्वजों" (जो उनके ऊपर हैं) से बात करने की आवश्यकता है। यदि समूह बहुत बड़ा है, तो ऊपर के डांसर स्वतंत्र होते हैं, और नीचे के डांसरों को केवल स्थानीय जानकारी की आवश्यकता होती है। यह सिस्टम को स्केलेबल (Scalable) बनाता है—आप बिना सिस्टम को बिगाड़े 100 और डांसर जोड़ सकते हैं।

4. "अनुमानित" शॉर्टकट (पर्याप्त अच्छा पड़ोसी)

लेखकों ने यह भी महसूस किया कि कभी-कभी, अपने से 5 स्थान ऊपर के डांसरों के बारे में जानना भी बहुत अधिक काम हो सकता है।

ट्रिक: उन्होंने हवा के मानचित्र का एक "सरलीकृत" संस्करण बनाया। उन्होंने कहा, "यदि कोई डांसर 2 मीटर से अधिक दूर है, तो उनकी हवा हमारे लिए मायने नहीं रखती।"
परिणाम: अब, एक डांसर को केवल अपने तत्काल पड़ोसियों (जो उनके ठीक ऊपर हैं) से बात करने की आवश्यकता है।
समझौता (Trade-off): नृत्य थोड़ा कम 'परफेक्ट' हो सकता है (थोड़ा सा डगमगाना), लेकिन सिस्टम बहुत तेज़ हो जाता है और इसमें बहुत कम संचार की आवश्यकता होती है। यह एक पूर्ण बैले और एक बहुत अच्छे, ऊर्जावान स्ट्रीट डांस के बीच का अंतर है।

प्रयोग: क्वाड्रोटर झुंड (Quadrotor Swarm)

इसे सिद्ध करने के लिए, उन्होंने क्वाड्रोटर्स (छोटे उड़ने वाले ड्रोन) के एक झुंड का अनुकरण (simulate) किया।

परिदृश्य: दो स्टैक में उड़ते हुए ड्रोन, एक-दूसरे के पास से गुजर रहे हैं। ऊपर वाला स्टैक ऐसी हवा पैदा करता है जो नीचे वाले स्टैक को धकेलती है।
परीक्षण 1 (हवा को अनदेखा करना): हवा का ध्यान न रखने के कारण ड्रोन टकरा गए या रास्ते से भटक गए।
परीक्षण 2 (सटीक गणित): उन्होंने पूर्ण, जटिल गणित का उपयोग किया। ड्रोन पूरी तरह से उड़े, लेकिन इसके लिए बहुत अधिक डेटा साझा करने की आवश्यकता थी।
परीक्षण 3 (अनुमानित गणित): उन्होंने "पड़ोस" के नियम का उपयोग किया। ड्रोन लगभग जटिल संस्करण जितने ही उत्तम रूप से उड़े, लेकिन उन्हें केवल अपने ठीक ऊपर के ड्रोन से बात करने की आवश्यकता थी।

यह क्यों मायने रखता है

यह पेपर इंजीनियरों को बड़े समूहों के रोबोट (जैसे खोज और बचाव के लिए ड्रोन झुंड, या स्वायत्त कारों के बेड़े) को नियंत्रित करने के लिए एक ब्लूप्रिंट देता है, जिसके लिए एक केंद्रीय मस्तिष्क की आवश्यकता नहीं है जो अभिभूत (overwhelmed) हो जाए। यह समझकर कि वे एक-दूसरे के साथ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं (झरने का प्रभाव), हम उन्हें कुशलतापूर्वक काम करने दे सकते हैं, केवल स्थानीय जानकारी का उपयोग करते हुए, ठीक वैसे ही जैसे एक अच्छी तरह से व्यवस्थित भीड़ स्टेडियम में चलती है।

यहाँ फेंगजुन यांग, जेक वेल्डे और निकोलाई माटनी के शोध पत्र "Scalable Distributed Nonlinear Control Under Flatness-Preserving Coupling" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र डायनेमिक कपलिंग (dynamic coupling) के अधीन डिफरेंशियल फ्लैट सब-सिस्टम्स (differentially flat subsystems) के नेटवर्क के लिए डिस्ट्रीब्यूटेड कंट्रोल (distributed control) की चुनौती को संबोधित करता है।

मुख्य कठिनाई: जबकि डिफरेंशियल फ्लैटनेस अलग-थलग (isolated) नॉनलीनियर सिस्टम्स के लिए नियोजन और नियंत्रण (planning and controlling) हेतु एक शक्तिशाली उपकरण है (उन्हें लीनियर डायनेमिक्स में मैप करके), सब-सिस्टम्स के बीच डायनेमिक कपलिंग की उपस्थिति अक्सर संपूर्ण संयुक्त सिस्टम (joint system) के फ्लैटनेस गुण को नष्ट कर देती है।
मौजूदा विधियों की सीमाएँ:
- डिस्ट्रीब्यूटेड नॉनलीनियर MPC (DNMPC): तेज़ डायनेमिक्स वाले वास्तविक समय के अनुप्रयोगों के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा और स्केल करने में कठिन है।
- स्मॉल-गेन/पैसिविटी (Small-gain/Passivity) विधियाँ: अक्सर प्रतिबंधात्मक संरचनात्मक धारणाओं (जैसे स्ट्रिक्ट डिसिपेटिविटी) की आवश्यकता होती हैं या अत्यधिक रूढ़िवादी (conservative) नियंत्रण डिजाइनों की ओर ले जाती हैं।
- सामान्य फ्लैटनेस (General Flatness): भले ही एक संयुक्त सिस्टम फ्लैट हो, लेकिन ग्लोबल डिफिमॉर्फिज्म (स्टेट्स और फ्लैट आउटपुट के बीच का मैप) का निर्माण करने के लिए वैश्विक जानकारी की आवश्यकता होती है, जो डिस्ट्रीब्यूटेड कार्यान्वयन को असंभव बना देता है।
लक्ष्य: उन कपलिंग्स के एक वर्ग की पहचान करना जो संयुक्त सिस्टम के लिए डिफरेंशियल फ्लैटनेस को सुरक्षित रखते हैं और एक ऐसा डिस्ट्रीब्यूटेड कंट्रोलर बनाने की अनुमति देते हैं जहाँ प्रत्येक एजेंट केवल स्थानीय या सीमित पड़ोसी जानकारी पर निर्भर करता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक प्योर-फीडबैक सिस्टम्स (pure-feedback systems) और लोअर-ट्राइएंगुलर कपलिंग्स (lower-triangular couplings) पर आधारित एक ढांचा प्रस्तावित करते हैं।

A. सिस्टम मॉडलिंग (System Modeling)

सब-सिस्टम्स: $N$ सब-सिस्टम्स को रिलेटिव डिग्री $r$ के साथ प्योर-फीडबैक फॉर्म में नॉनलीनियर सिस्टम के रूप में मॉडल किया गया है। यह रूप मैकेनिकल सिस्टम्स (जैसे क्वाड्रोटर्स, मैनिपुलेटर्स) में सामान्य है।
कपलिंग: संयुक्त डायनेमिक्स को अनकप्ल्ड डायनेमिक्स ( $\bar{f}$ ) और एक कपलिंग टर्म ( $\Delta(x)$ ) में विभाजित किया गया है।
मुख्य धारणा: अनकप्ल्ड सब-सिस्टम्स डिफरेंशियल फ्लैट हैं।

B. फ्लैटनेस-प्रिजर्विंग कपलिंग (Flatness-Preserving Coupling)

लेखक लोअर-ट्राइएंगुलर कपलिंग्स नामक एक विशिष्ट क्लास की पहचान करते हैं:

परिभाषा: एक कपलिंग टर्म $\Delta^i_j$ $Δ_{j}^{i}$ जो $i$ $i$ -वें सब-सिस्टम के $j$ $j$ -वें स्टेट को प्रभावित करती है, वह केवल निम्नलिखित पर निर्भर करती है:
1. किसी भी सब-सिस्टम के निचले फीडबैक ऑर्डर ( $x_{\le j}$ ) के स्टेट्स।
2. निम्न इंडेक्स वाले सब-सिस्टम्स ( $x^{<i}_{j+1}$ ) के $(j+1)$ -वें फीडबैक ऑर्डर के स्टेट्स।
सैद्धांतिक परिणाम (Theorem 1): यदि अनकप्ल्ड डायनेमिक्स रेगुलर हैं और कपलिंग लोअर-ट्राइएंगुलर है, तो संयुक्त सिस्टम डिफरेंशियल फ्लैट रहता है।
फ्लैट आउटपुट: संयुक्त सिस्टम का फ्लैट आउटपुट व्यक्तिगत सब-सिस्टम के फ्लैट आउटपुट का संयोजन ( $y = [y_1, \dots, y_N]$ ) है।

C. संयुक्त डिफिमॉर्फिज्म का निर्माण (Construction of the Joint Diffeomorphism)

स्पष्ट निर्माण (Theorem 2): शोध पत्र ज्ञात आइसोलेटेड सब-सिस्टम मैप्स का उपयोग करके संयुक्त फ्लैटनेस डिफिमॉर्फिज्म (फ्लैट आउटपुट से स्टेट्स और इनपुट्स तक का मैप) बनाने के लिए एक रिकर्सिव विधि प्रदान करता है।
स्पैरसिटी विश्लेषण (Sparsity Analysis - Section 4):
- लेखक इस संयुक्त डिफिमॉर्फिज्म की स्पैरसिटी संरचना (sparsity structure) का विश्लेषण करते हैं।
- वे एक डायरेक्टेड कपलिंग ग्राफ $G(x)$ को परिभाषित करते हैं जहाँ एक एज $(j, i)$ तब मौजूद होता है जब सब-सिस्टम $j$ , $i$ को प्रभावित करता है।
- कोरोलरी 3: सब-सिस्टम $i$ के लिए कंट्रोल इनपुट की गणना करने के लिए, केवल कपलिंग ग्राफ में $i$ के एन्सेस्टर सेट (ancestor set) ( $Anc_G(i)$ ) की जानकारी की आवश्यकता होती है।
- स्ट्रॉन्गली लोअर-ट्राइएंगुलर कपलिंग (Definition 2): एक सख्त स्थिति जहाँ कपलिंग निम्न-इंडेक्स वाले सब-सिस्टम्स के उच्च-क्रम के स्टेट्स पर निर्भर नहीं करती है। इस स्थिति के तहत, सूचना की आवश्यकता केवल $r$ -हॉप पड़ोसियों ( $N^r_G(i)$ ) तक सीमित हो जाती है, जिससे संचार भार (communication load) कुल एजेंटों की संख्या $N$ से स्वतंत्र हो जाता है।

D. डिस्ट्रीब्यूटेड कंट्रोलर डिज़ाइन (Distributed Controller Design)

रणनीति:
1. नॉनलीनियर कपल्ड डायनेमिक्स को फ्लैट आउटपुट स्पेस में अनकप्ल्ड लीनियर डायनेमिक्स में बदलें।
2. फ्लैट डायनेमिक्स के लिए एक विकेंद्रीकृत लीनियर फीडबैक कंट्रोलर (जैसे LQR या पोल प्लेसमेंट) डिज़ाइन करें।
3. वर्चुअल कंट्रोल इनपुट्स को स्पार्स जॉइंट डिफिमॉर्फिज्म का उपयोग करके भौतिक इनपुट्स में मैप करें।
स्केलेबिलिटी: क्योंकि डिफिमॉर्फिज्म स्पार्स है, इसलिए प्रत्येक एजेंट को केवल अपने विशिष्ट एन्सेस्टर्स या पड़ोसियों के साथ संवाद करने की आवश्यकता होती है, जिससे ग्लोबल कम्युनिकेशन से बचा जा सकता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

फ्लैटनेस-प्रिजर्विंग कपलिंग्स की पहचान: यह शोध पत्र कठोरता से लोअर-ट्राइएंगुलर डायनेमिक कपलिंग्स के एक वर्ग को परिभाषित करता है जो गारंटी देता है कि संयुक्त सिस्टम के लिए डिफरेंशियल फ्लैटनेस सुरक्षित रहेगी, भले ही वे डायनेमिक रूप से कपल्ड हों।
स्पष्ट संयुक्त डिफिमॉर्फिज्म: यह प्रदर्शित करता है कि संयुक्त फ्लैटनेस डिफिमॉर्फिज्म को व्यक्तिगत सब-सिस्टम मैप्स से स्पष्ट रूप से बनाया जा सकता है और महत्वपूर्ण रूप से, यह कपलिंग ग्राफ के समान ही स्पैरसिटी संरचना को भी विरासत में प्राप्त करता है।
स्केलेबल डिस्ट्रीब्यूटेड कंट्रोल: इस स्पैरसिटी का लाभ उठाकर, लेखक एक डिस्ट्रीब्यूटेड ट्रैकिंग कंट्रोलर विकसित करते हैं जिसे केवल स्थानीय जानकारी (या एक निश्चित त्रिज्या के पड़ोस की जानकारी) की आवश्यकता होती है, जो बड़े मल्टी-एजेंट सिस्टम के लिए स्केलेबिलिटी सुनिश्चित करता है।
क्वाड्रोटर्स पर सत्यापन: इस ढांचे को एयरोडायनामिक डाउनवॉश (aerodynamic downwash) द्वारा कपल्ड प्लेनर क्वाड्रोटर्स के स्वार्म (swarm) पर सत्यापित किया गया है, जो एक जटिल, नॉन-डिसिपेटिव डायनेमिक इंटरैक्शन है।

4. प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

लेखकों ने डाउनवॉश ड्रैग (जहाँ ऊपर के ड्रोन हवा नीचे की ओर धकेलते हैं) के अधीन 2D क्वाड्रोटर्स के एक स्वार्म पर इस ढांचे का परीक्षण किया।

सेटअप: स्टैक्ड फॉर्मेशन में उड़ रहे 4 और 10 क्वाड्रोटर्स।
तुलना:
1. एक्ज़ैक्ट कंट्रोलर (Exact Controller): पूर्ण लोअर-ट्राइएंगुलर मॉडल का उपयोग करता है। इसके लिए सभी "एन्सेस्टर्स" (ऊपर के ड्रोन) के साथ संचार की आवश्यकता होती है।
2. एप्रोक्सिमेट कंट्रोलर (Approximate Controller): एक "स्ट्रॉन्गली लोअर-ट्राइएंगुलर" सरोगेट मॉडल का उपयोग करता है (दूर के ड्रोन्स को अनदेखा करता है और थ्रस्ट का अनुमान लगाता है)। इसके लिए केवल तत्काल पड़ोसियों के साथ संचार की आवश्यकता होती है।
3. नॉमिनल कंट्रोलर (Nominal Controller): कपलिंग को पूरी तरह से अनदेखा करता है (डाउनवॉश को डिस्टर्बेंस के रूप में मानता है)।
प्रदर्शन:
- नॉमिनल: अनमॉडल की गई कपलिंग के कारण उच्च ट्रैकिंग एरर (0.0572 m)।
- एक्ज़ेक्ट: लगभग शून्य एरर (0.0001 m), जो सैद्धांतिक फ्लैटनेस संरक्षण को सिद्ध करता है।
- एप्रोक्सिमेट: नॉमिनल से काफी बेहतर (0.015 m), जिसमें कम संचार ओवरहेड के साथ बेहतर प्रदर्शन मिलता है।
ट्रेड-ऑफ: शोध पत्र संचार रेंज (कटऑफ थ्रेशोल्ड $\bar{\delta}$ ) और ट्रैकिंग सटीकता के बीच एक ट्यून करने योग्य ट्रेड-ऑफ को प्रदर्शित करता है। संचार रेंज बढ़ाने से प्रदर्शन में सुधार होता है लेकिन डेटा एक्सचेंज भी बढ़ जाता है।

5. महत्व (Significance)

सैद्धांतिक सफलता: यह दिखाता है कि डायनेमिक कपलिंग अनिवार्य रूप से फ्लैटनेस को नष्ट नहीं करती है, बशर्ते कपलिंग में एक विशिष्ट संरचनात्मक रूप (लोअर-ट्राइएंगुलर) हो। यह नॉनलीनियर कंट्रोल थ्योरी में एक बड़े अंतर को दूर करता है।
व्यावहारिक अनुप्रयोग: यह ढांचा मल्टी-रोबोट सिस्टम (ड्रोन, स्वायत्त वाहन) के लिए अत्यधिक प्रासंगिक है जहाँ एयरोडायनामिक या भौतिक इंटरैक्शन अपरिहार्य हैं।
स्केलेबिलिटी: ग्लोबल नेटवर्क आकार के बजाय लोकल पड़ोस के आकार के साथ स्केल होने वाले कंट्रोलर को डिजाइन करने की क्षमता बड़े रोबोटिक टीमों को तैनात करने के लिए एक महत्वपूर्ण प्रगति है।
भविष्य की दिशाएँ: लेखक हार्डवेयर प्रयोगों तक विस्तार करने, लोअर-ट्राइएंगुलर बाधाओं को कम करने और मॉडल की अशुद्धियों को संभालने के लिए एडेप्टिव कंट्रोल को एकीकृत करने का सुझाव देते हैं।

संक्षेप में, यह शोध पत्र जटिल, कपल्ड नॉनलीनियर मल्टी-एजेंट सिस्टम को प्रबंधित करने के लिए एक कठोर गणितीय आधार और एक व्यावहारिक नियंत्रण वास्तुकला प्रदान करता है, जो न्यूनतम संचार ओवरहेड के साथ उच्च-परिशुद्धता ट्रैकिंग को सक्षम बनाता है।