🔢 mathematics

A Multi-Order Extension of Fractional HBVMs (FHBVMs)

यह शोध पत्र कई, अलग-अलग अवकल क्रमों (derivative orders) वाली भिन्नात्मक अवकल समीकरणों (fractional differential equations) के तंत्रों को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए फ्रैक्शनल HBVMs (FHBVMs) ढांचे का विस्तार करता है, जो एक पिछली सीमा को संबोधित करता है और एक संगत प्रभावी MATLAB कार्यान्वयन प्रदान करता है।

मूल लेखक: Luigi Brugnano, Gianmarco Gurioli, Felice Iavernaro, Mikk Vikerpuur

प्रकाशित 2026-03-09

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Luigi Brugnano, Gianmarco Gurioli, Felice Iavernaro, Mikk Vikerpuur

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

बड़ी तस्वीर: "फ्रैक्शनल" पहेलियों को सुलझाना

कल्पना कीजिए कि आप यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि एक सिस्टम समय के साथ कैसे बदलता है, जैसे कि वायरस का प्रसार, एक नस में रक्त का प्रवाह, या एक अराजक (chaotic) पेंडुलम की गति। आमतौर पर, हम इन परिवर्तनों का वर्णन करने के लिए मानक गणित (कैलकुलस) का उपयोग करते हैं। मानक कैलकुलस एक कैमरे की तरह है जो अगले पल का अनुमान लगाने के लिए वर्तमान क्षण की तस्वीर लेता है।

हालाँकि, कई वास्तविक दुनिया के सिस्टम में याददाश्त (memory) होती है। एक स्पंज केवल अभी पानी के प्रति प्रतिक्रिया नहीं देता; उसे याद रहता है कि वह पाँच मिनट पहले कितना गीला था। एक सामग्री को यह "याद" हो सकता है कि उसे कल कितना खींचा गया था। इसे मॉडल करने के लिए, वैज्ञानिक फ्रैक्शनल डिफरेंशियल इक्वेशंस (FDEs) का उपयोग करते हैं। एक मानक "स्नैपशॉट" डेरिवेटिव के बजाय, ये समीकरण एक "फ्रैक्शनल" डेरिवेटिव का उपयोग करते हैं, जो एक ऐसे कैमरे की तरह है जो एक लॉन्ग-एक्सपोज़र फोटो लेता है, जिसमें वर्तमान को सिस्टम के पूरे अतीत के इतिहास के साथ मिला दिया जाता है।

समस्या: "एक ही आकार के सभी के लिए" वाला उपकरण

कुछ समय से, शोधकर्ताओं के पास इन मेमोरी-आधारित समीकरणों को हल करने के लिए एक बहुत ही शक्तिशाली उपकरण था, जिसे FHBVMs (फ्रैक्शनल हैमिल्टोनियन बाउंड्री वैल्यू मेथड्स) कहा जाता है। इस उपकरण को एक अकेले प्रकार के इलाके में नेविगेट करने के लिए एक अत्यंत सटीक GPS मान लीजिए।

सीमा: अब तक, यह GPS केवल तभी काम करता था जब पूरे सिस्टम में एक ही प्रकार की मेमोरी होती। कल्पना कीजिए कि एक कार जहाँ अगले पहिए को 10 सेकंड पहले की सड़क याद है, लेकिन पिछले पहिए को 20 सेकंड पहले की सड़क याद है। पुराना उपकरण इस मिश्रण को नहीं संभाल सकता था। इसने मान लिया था कि सिस्टम के हर हिस्से की "मेमोरी स्पैन" बिल्कुल एक जैसी है।
वास्तविकता: वास्तविक दुनिया में चीजें अव्यवस्थित होती हैं। एक जैविक मॉडल में, शरीर का एक हिस्सा तेजी से प्रतिक्रिया कर सकता है (छोटी मेमोरी), जबकि दूसरा हिस्सा धीरे प्रतिक्रिया कर सकता है (लंबी मेमोरी)। इसे मल्टी-ऑर्डर प्रॉब्लम (Multi-Order Problem) कहा जाता है।

समाधान: "स्विस आर्मी नाइफ" अपग्रेड

इस पेपर के लेखकों (ब्रूग्नो, गुरियोली, इवेर्नारो और विकरपुर) ने अपने उपकरण को अपग्रेड किया है। उन्होंने FHBVM पद्धति को मल्टी-ऑर्डर समस्याओं को संभालने के लिए विस्तारित किया है।

उन्होंने इसे कैसे किया, इसके लिए यहाँ एक उपमा (analogy) दी गई है:

1. "ट्यूनिंग फोर्क" की समस्या

इन समीकरणों को हल करने के लिए, कंप्यूटर विशेष गणितीय तरंगों जिन्हें जैकोबी पॉलिनोमिअल्स (Jacobi Polynomials) कहा जाता है, का उपयोग करके समस्या को छोटे टुकड़ों में तोड़ देता है।

पुराना तरीका: यदि सिस्टम में एक ही प्रकार की मेमोरी थी, तो कंप्यूटर एक विशिष्ट "ट्यूनिंग फोर्क" (विशिष्ट गणितीय तरंगों का एक सेट) का उपयोग करके सिस्टम को सुनता था।
नई चुनौती: यदि सिस्टम में दो अलग-अलग मेमोरी प्रकार हैं (उदाहरण के लिए, एक हिस्सा 1 सेकंड पहले को याद रखता है, दूसरा 5 सेकंड पहले को), तो आप केवल एक ट्यूनिंग फोर्क का उपयोग नहीं कर सकते। आपको दो अलग-अलग ट्यूनिंग फोर्क की आवश्यकता है।
अवरोध (Bottleneck): यदि आप दो अलग-अलग ट्यूनिंग फोर्क का उपयोग करते हैं, तो कंप्यूटर को भारी काम दो बार करना पड़ता है, यानी हर एक बिंदु के लिए इतिहास की गणना दो बार करनी पड़ती है। यह धीमा और गणनात्मक रूप से महंगा है।

2. "जादुई पुल" (मल्टीपल ऑर्थोगोनल पॉलिनोमिअल्स)

लेखकों ने इन दो अलग-अलग ट्यूनिंग फोर्कों के बीच एक पुल बनाने का एक चतुर तरीका खोजा है। उन्होंने मल्टीपल ऑर्थोगोनल पॉलिनोमिअल्स (विशेष रूप से, जैकोबी-पिनेरो पॉलिनोमिअल्स) नामक एक गणितीय अवधारणा का उपयोग किया।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास दो अलग-अलग भाषाएँ (दो अलग-अलग मेमोरी प्रकार) हैं। आमतौर पर, दोनों को समझने के लिए आपको दो अलग-अलग अनुवादकों की आवश्यकता होती है। लेखकों ने एक यूनिवर्सल ट्रांसलेटर का आविष्कार किया है जो दोनों भाषाओं को एक साथ समझ सकता है।
परिणाम: प्रत्येक भाषा के लिए एक बार (दो बार) इतिहास की गणना करने के बजाय, कंप्यूटर अब इस यूनिवर्सल ट्रांसलेटर का उपयोग करके इसे एक ही बार में गणना करता है। इससे बहुत सारा समय और कंप्यूटिंग पावर बचती है।

नया उपकरण: `fhbvm2 2`

पेपर में एक नया कंप्यूटर कोड fhbvm2 2 पेश किया गया है।

यह क्या करता है: यह उन जटिल सिस्टम को हल करता है जहाँ विभिन्न हिस्सों की "मेमोरी लंबाई" (अलग-अलग फ्रैक्शनल ऑर्डर) अलग-अलग होती है।
यह तेज़ क्यों है: ऊपर बताए गए "यूनिवर्सल ट्रांसलेटर" वाले तरीके के कारण, यह अतिरिक्त गणनाओं के बोझ से दबता नहीं है।
यह सटीक क्यों है: यह स्पेक्ट्रल एक्यूरेसी (Spectral Accuracy) नामक एक तकनीक का उपयोग करता है। कल्पना कीजिए कि आप एक वृत्त (circle) बनाने की कोशिश कर रहे हैं।
- पुराने तरीके: एक वर्ग बनाएँ, फिर एक अष्टकोण, फिर एक 16-भुज वाली आकृति। आप करीब पहुँचते जा रहे हैं, लेकिन इसे एकदम सही दिखाने के लिए आपको हजारों भुजाओं की आवश्यकता होगी।
- FHBVMs: वे केवल कुछ रेखाओं के साथ वृत्त को पूरी तरह से बनाते हैं क्योंकि वे शुरुआत से ही गणितीय रूप से "परफेक्ट शेप" का उपयोग करते हैं। बहुत बड़े स्टेप्स के साथ भी, वे अविश्वसनीय रूप से सटीक रहते हैं।

वास्तविक दुनिया के परीक्षण: दौड़

लेखकों ने कठिन समस्याओं का उपयोग करके अन्य लोकप्रिय उपकरणों (जैसे fde12 और flmm2) के विरुद्ध अपने नए कोड का परीक्षण किया:

स्टिफ ऑसिलेशन (Stiff Oscillations): एक सिस्टम जो बेतहाशा कंपन करता है। नया कोड दूसरों की तुलना में 100 गुना तेज़ और अधिक सटीक था।
शिकारी-शिकार मॉडल (Predator-Prey Models): अलग-अलग प्रतिक्रिया समय के साथ जानवरों के शिकार करने का अनुकरण करना। नए कोड ने कुछ ही सेकंड में समाधान खोज लिया, जबकि अन्य को मिनट या घंटों लग गए।
दीर्घकालिक स्थिरता (Long-Term Stability): उन्होंने 5,000 टाइम यूनिट्स (एक बहुत लंबा समय) के लिए एक सिमुलेशन चलाया। नया कोड स्थिर और सटीक रहा, जबकि अन्य शायद रास्ता भटक जाते।

मुख्य निष्कर्ष

यह पेपर उन वैज्ञानिकों के लिए एक बड़ा अपग्रेड है जो जटिल, मेमोरी-निर्भर सिस्टम का मॉडल बनाते हैं।

पहले: यदि आपके पास मिश्रित मेमोरी प्रकारों वाला सिस्टम था, तो आपको धीमे, कम सटीक उपकरणों का उपयोग करना पड़ता था या आपको अपने मॉडल को तब तक सरल बनाना पड़ता था जब तक कि वह गलत न हो जाए।
अब: आपके पास एक "सुपर-टूल" (fhbvm2 2) है जो मिश्रित मेमोरी प्रकारों को कुशलतापूर्वक, सटीकता से और तेज़ी से संभालता है।

यह एक ऐसे साइकिल में अपग्रेड करने जैसा है जिसमें एक गियर से बदलकर एक हाई-परफॉर्मेंस साइकिल मिल गई है, जिसमें सीमलेस शिफ्टिंग सिस्टम है जो किसी भी इलाके को तुरंत संभाल सकता है। लेखकों ने इस टूल को सभी के लिए उपलब्ध कराया है, जिससे महामारी से लेकर पदार्थ विज्ञान (material science) तक सब कुछ बेहतर ढंग से मॉडल किया जा सके।

यहाँ शोध पत्र "A Multi-Order Extension of Fractional HBVMs (FHBVMs)" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र फ्रैक्शनल डिफरेंशियल इक्वेशन्स (FDEs) के संख्यात्मक समाधान को संबोधित करता है जहाँ सिस्टम में विभिन्न प्रकार के मल्टीपल फ्रैक्शनल ऑर्डर्स (multiple distinct fractional orders) शामिल होते हैं। जबकि पिछले कार्यों ने एकल फ्रैक्शनल ऑर्डर ( $\nu=1$ ) वाले सिस्टम के लिए फ्रैक्शनल हैमिल्टोनियन बाउंड्री वैल्यू मेथड्स (FHBVMs) को स्थापित किया था, वे मल्टी-ऑर्डर समस्याओं (जहाँ $\nu > 1$ और सिस्टम के विभिन्न समीकरणों के डेरिवेटिव ऑर्डर्स $\alpha_i$ अलग-अलग होते हैं) को सीधे संभालने में सक्षम नहीं थे।

विचार किया गया सामान्य प्रश्न कैपूटो (Caputo) FDEs का एक सिस्टम है:
$y_i^{(\alpha_i)}(t) = f_i(y(t)), \quad t \in [0, T], \quad i=1, \dots, \nu$
जहाँ $\alpha_i \in (\ell-1, \ell)$ अलग-अलग फ्रैक्शनल ऑर्डर्स हैं। ऐसे सिस्टम मटेरियल साइंस, जनसंख्या गतिशीलता (population dynamics), और महामारी विज्ञान मॉडलिंग (epidemic modeling) में आते हैं। चुनौती इस तथ्य में निहित है कि मानक FHBVMs एक ही सेट के जैकोबी पॉलिनोमिअल्स (Jacobi polynomials) और क्वाड्रचर नियमों पर निर्भर करते हैं जो एक विशिष्ट वेट फंक्शन (weight function) के लिए अनुकूलित होते हैं। एक मल्टी-ऑर्डर सिस्टम में, प्रत्येक समीकरण को एक अलग वेट फंक्शन की आवश्यकता होती है, जिससे मानक FHBVMs का सीधा अनुप्रयोग कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा और सैद्धांतिक रूप से जटिल हो जाता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक FHBVMs का एक विस्तार प्रस्तावित करते हैं जो मल्टीपल ऑर्थोगोनल पॉलिनोमिअल्स (MOPs), विशेष रूप से जैकोबी-पिनेरो (Jacobi-Piñeiro) पॉलिनोमिअल्स का उपयोग करता है ताकि विभिन्न फ्रैक्शनल ऑर्डर्स से जुड़े अलग-अलग वेट फंक्शन्स को संभाला जा सके।

A. गणितीय सूत्रीकरण (Mathematical Formulation)

लोकल एक्सपेंशन (Local Expansion): वेक्टर फील्ड को प्रत्येक वेट फंक्शन $\omega_i(c) = \alpha_i(1-c)^{\alpha_i-1}$ के लिए विशिष्ट जैकोबी पॉलिनोमिअल्स $\{P_j^i\}$ के आधार (basis) के साथ विस्तारित किया जाता है।
विस्क्रीटाइजेशन चुनौती (Discretization Challenge): एक सहज विस्तार (naive extension) के लिए $\nu$ अलग-अलग क्वाड्रचर एब्सीसे (quadrature abscissae) के सेट और $\nu$ अलग-अलग वेट फंक्शन्स के लिए मेमोरी टर्म (पिछले इतिहास का इंटीग्रल) का मूल्यांकन करने की आवश्यकता होगी। इससे कम्प्यूटेशनल लागत अत्यधिक बढ़ जाती है।
एकीकृत क्वाड्रचर रणनीति (Unified Quadrature Strategy): कई एब्सीसे से बचने के लिए, लेखक $k$ एब्सीसे $\{c_\rho\}$ और वेट्स $\{b_\rho^i\}$ के एक एकल सेट की तलाश करते हैं ताकि परिणामी इंटरपोलेटरी क्वाड्रचर नियम सभी $\nu$ वेट फंक्शन्स के लिए एक साथ $2s-1$ डिग्री के पॉलिनोमिअल्स के लिए सटीक हों।
जैकोबी-पिनेरो एब्सीसे (Jacobi-Piñeiro Abscissae): यह आवश्यकता मल्टीपल ऑर्थोगोनल पॉलिनोमिअल्स (MOPs) की परिभाषा की ओर ले जाती है। एब्सीसे एक पॉलिनोमियल $\pi_k(c)$ के शून्य (zeros) हैं जो सभी $\nu$ वेट फंक्शन्स के विरुद्ध ऑर्थोगोनैलिटी शर्तों को संतुष्ट करता है। इन्हें जैकोबी-पिनेरो एब्सीसे के रूप में जाना जाता है।

B. एल्गोरिद्मिक कार्यान्वयन (Algorithmic Implementation)

पॉलिनोमियल निर्माण (Polynomial Construction): शोध पत्र मल्टीपल ऑर्थोगोनैलिटी शर्तों को संतुष्ट करने वाले मोनिक पॉलिनोमिअल्स $\{\pi_j\}$ के अनुक्रम (sequence) का निर्माण करने के लिए एक रिकरेंस रिलेशन (Theorem 2) का विवरण देता है। इसमें एक लोअर हेसेनबर्ग मैट्रिक्स $H_k$ के गुणांकों को खोजने के लिए एक लीनियर सिस्टम को हल करना शामिल है।
आइजनवैल्यू समस्या (Eigenvalue Problem): एब्सीसे मैट्रिक्स $H_k$ के आइजनवैल्यू के रूप में प्राप्त किए जाते हैं।
डिस्क्रीट सिस्टम (Discrete System): निरंतर समस्या को फूरियर गुणांकों $\gamma^n$ $γ^{n}$ के लिए गैर-रेखीय बीजगणितीय समीकरणों के एक सिस्टम में बदल दिया जाता है।
- $\nu=1$ के लिए, एक अत्यधिक कुशल ब्लेंडेड इटरेशन (blended iteration) (फिक्स्ड-पॉइंट और न्यूटन विधियों का संयोजन) का उपयोग किया जाता है।
- $\nu > 1$ के लिए, लेखक एक सिम्प्लीफाइड न्यूटन इटरेशन (simplified Newton iteration) का उपयोग करते हैं, जिसके लिए एक बड़े ब्लॉक मैट्रिक्स को फैक्टर करना आवश्यक होता है, लेकिन यह व्यवहार्य रहता है।
मेश रणनीतियाँ (Mesh Strategies): यह विधि $t=0$ पर समाधान की सिंगुलैरिटी (singularity) (जो FDEs में सामान्य है) और एकीकरण के बाद आवधिक व्यवहार (periodic behavior) को संभालने के लिए ग्रेडेड (graded), यूनिफॉर्म (uniform), और मिक्स्ड (mixed) मेश का समर्थन करती है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

सैद्धांतिक विस्तार (Theoretical Extension): यह शोध पत्र मल्टी-ऑर्डर FDE सिस्टम ( $\nu > 1$ ) के लिए FHBVMs का पहला कठोर विस्तार प्रदान करता है, जो फ्रैक्शनल सिस्टम के संख्यात्मक विश्लेषण में एक अंतराल को भरता है।
MOPs का उपयोग: यह विभिन्न फ्रैक्शनल ऑर्डर्स वाले सिस्टम के विस्क्रीटाइजेशन को एकीकृत करने के लिए जैकोबी-पिनेरो क्वाड्रचर के उपयोग को पेश करता है, जो प्रत्येक समीकरण के लिए अलग-अलग क्वाड्रचर नियमों का उपयोग करने की तुलना में कम्प्यूटेशनल ओवरहेड को काफी कम करता है।
अभिसरण विश्लेषण (Convergence Analysis): लेखक सिद्ध करते हैं कि जब चरणों (stages) की संख्या $s$ अधिक होती है, तो यह विधि स्पेक्ट्रल सटीकता (spectral accuracy) (अनिश्चित रूप से उच्च क्रम) प्राप्त करती है, बशर्ते कि समाधान पर्याप्त रूप से सुचारू (smooth) हो। वे ग्रेडेड, यूनिफॉर्म और मिक्स्ड मेश के लिए त्रुटि सीमाएं (error bounds) भी निकालते हैं।
स्थिरता विश्लेषण (Stability Analysis): एक लीनियर स्टेबिलिटी विश्लेषण किया गया है, जो दर्शाता है कि ये विधियाँ मल्टी-ऑर्डर लीनियर सिस्टम के लिए A-स्टेबल हैं।
सॉफ्टवेयर रिलीज: लेखकों ने एक नया MATLAB कोड, fhbvm2_2 जारी किया है, जो दो अलग-अलग फ्रैक्शनल ऑर्डर्स ( $\nu=2$ ) वाले सिस्टम के लिए इस विधि को लागू करता है।

4. संख्यात्मक परिणाम (Numerical Results)

शोध पत्र fde12, flmm2, fde pi12 pc, fde pi2 im जैसे मौजूदा कोड के विरुद्ध fhbvm2_2 की तुलना करके व्यापक संख्यात्मक परीक्षणों के माध्यम से विधि को मान्य करता है:

समस्या 1 (Stiff Oscillatory, $\nu=1$ ): fhbvm2_2 (जो $\nu=1$ के लिए कॉन्फ़िगर किया गया है) मूल fhbvm2 के प्रदर्शन से मेल खाता है, जो लगभग 1 सेकंड में ~11 महत्वपूर्ण अंकों (significant digits) तक पहुँचता है, जो प्रेडिक्टर-करैक्टर विधियों से कहीं बेहतर प्रदर्शन है।
समस्या 2 (Multi-order, $\nu=2$ ): fhbvm2_2 लगभग 0.3 सेकंड में मशीन प्रिसिजन (>14 mescd) प्राप्त करता है। प्रतिस्पर्धी मल्टी-ऑर्डर कोड (fde pi12 pc, fde pi2 im) 250+ सेकंड के बाद भी केवल ~3 mescd तक ही पहुँच पाते हैं।
समस्या 3 (Brusselator, $\nu=2$ ): विधि 2 सेकंड से कम समय में उच्च सटीकता (>13 mescd) के साथ लिमिट साइकिल्स (limit cycles) को कैप्चर करती है, जबकि प्रतिस्पर्धी 7.5 mescd तक पहुँचने के लिए संघर्ष करते हैं।
समस्या 4 (दक्षता तुलना): शोध पत्र पुष्टि करता है कि जबकि सिम्प्लीफाइड न्यूटन इटरेशन ( $\nu=2$ के लिए) ब्लेंडेड इटरेशन ( $\nu=1$ के लिए) की तुलना में धीमा है, फिर भी यह अत्यधिक कुशल है। $\nu=1$ का मामला छोटे मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन के कारण ~3.5 गुना तेज़ है।
समस्या 5 (Predator-Prey, $\nu=2$ ): विधि लंबे एकीकरण समय ( $T=5000$ ) पर मजबूत स्थिरता प्रदर्शित करती है, बड़े टाइम स्टेप्स के साथ आवधिक व्यवहार बनाए रखती है, जो स्पेक्ट्रल सटीकता और स्थिरता गुणों की पुष्टि करती है।

5. महत्व (Significance)

उच्च दक्षता (High Efficiency): प्रस्तावित विधि स्पेक्ट्रल सटीकता प्रदान करती है, जिसका अर्थ है कि यह पारंपरिक लो-ऑर्डर विधियों (जैसे एडम्स-बाशफोरट-मुलटन) के विपरीत, जो समान सटीकता प्राप्त करने के लिए बहुत छोटे स्टेप्स की आवश्यकता रखते हैं, अपेक्षाकृत कम टाइम स्टेप्स के साथ अत्यंत उच्च परिशुद्धता प्राप्त कर सकती है।
जटिलता को संभालना: मल्टीपल ऑर्थोगोनल पॉलिनोमिअल्स का उपयोग करके, विधि मल्टी-ऑर्डर FDEs में अंतर्निहित "विभिन्न वेट फंक्शन्स" की समस्या को खूबसूरती से हल करती है, जिससे अलग-अलग क्वाड्रचर नियमों के उपयोग से होने वाली कम्प्यूटेशनल लागत के विस्फोट से बचा जा सकता है।
व्यावहारिक अनुप्रयोग: fhbvm2_2 का रिलीज जीव विज्ञान, भौतिकी और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों के शोधकर्ताओं को जटिल मल्टी-ऑर्डर फ्रैक्शनल सिस्टम को सटीक रूप से और कुशलता से सिम्युलेट करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है, जिन्हें पहले हल करना कठिन था।
भावी कार्य (Future Work): लेखक नोट करते हैं कि हालांकि वर्तमान कोड $\nu=2$ को संभालता है, लेकिन यह ढांचा सामान्य है। भविष्य का कार्य $\nu > 2$ के लिए जैकोबी-पिनेरो एब्सीसे की गणना करने के लिए सॉफ्टवेयर की उपलब्धता पर निर्भर करता है।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र सफलतापूर्वक शक्तिशाली FHBVM ढांचे को मल्टी-ऑर्डर फ्रैक्शनल सिस्टम के लिए सामान्य बनाता है, जो सटीकता और कम्प्यूटेशनल गति दोनों के मामले में मौजूदा संख्यात्मक सॉल्वर के लिए एक बेहतर विकल्प प्रदान करता है।