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Totalities of Infinite Sets

यह शोध पत्र चार ऐसी रचनाओं को प्रस्तुत करता है जो "पूर्णता" (totality) की अवधारणा को पेश करके कैंटर के कार्डिनैलिटी ढांचे को उन्नत करती हैं ताकि मनमाने अनंत समुच्चयों के बीच नई तुलनाएं सक्षम की जा सकें, जिसमें एक मीट्रिक स्पेस के उपसमुच्चयों को उसके पावर सेट के उपसमुच्चयों से जोड़ने के लिए बाहरी माप (outer measure) का उपयोग करने वाली एक विधि भी शामिल है।

मूल लेखक: William Johnston

प्रकाशित 2026-04-24

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CC BY 4.0

मूल लेखक: William Johnston

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप विभिन्न समूहों की "आकार" मापने की कोशिश कर रहे हैं। सदियों से, गणितज्ञों ने जॉर्ज कैंटर द्वारा आविष्कार किए गए एक पैमाने का उपयोग किया है जिसे कार्डिनैलिटी (Cardinality) कहा जाता है।

कैंटर का नियम सरल है: दो समूह उसी आकार के हैं यदि आप एक समूह की प्रत्येक वस्तु को दूसरे समूह की ठीक एक वस्तु के साथ जोड़ सकते हैं (जैसे मोजों का मिलान करना)।

यदि आपके पास 5 सेबों का ढेर है, तो आकार 5 है।
यदि आपके पास सभी पूर्ण संख्याएँ (1, 2, 3...) हैं, तो आकार $\aleph_0$ ( $\aleph_0$ प्रकार का एक विशिष्ट अनंत) है।
यदि आपके पास 0 और 1 के बीच की सभी संख्याएँ (दशमलव जैसे 0.1, 0.12, 0.123...) हैं, तो आकार $\aleph_1$ ( $\aleph_1$ , एक "बड़ा" अनंत) है।

समस्या: कैंटर का पैमाना थोड़ा मोटा (blunt) है। यह कहता है कि 0 और 1 के बीच की सभी संख्याओं का सेट, 0 और 1 के बीच की सभी संख्याओं के सेट के समान ही आकार का है, जिसमें से संख्या 5 को निकाल दिया गया है। कैंटर के लिए, वे समान आकार के हैं क्योंकि आप अभी भी उन्हें पूरी तरह से आपस में जोड़ सकते हैं।

लेकिन सहज रूप से, यह गलत लगता है। एक समूह से एक हिस्सा गायब है! लेखक, विलियम जॉनस्टन पूछते हैं: "क्या हम एक बेहतर पैमाना बना सकते हैं जो इन गायब हिस्सों और अन्य सूक्ष्म अंतरों को देख सके, बिना कैंटर के पुराने पैमाने को फेंके बिना?"

उत्तर है टोटैलिटी (Totality)।

टोटैलिटी को केवल "कितने" के रूप में नहीं, बल्कि "वहाँ कितनी चीज़ है, और कितना गायब है?" के रूप में सोचें।

यहाँ शोध पत्र के चार मुख्य विचार दिए गए, जिन्हें रोजमर्रा के उदाहरणों के साथ समझाया गया है:

1. "गायब हिस्सा" वाला पैमाना (परिभाषा 1)

कैंटर एक सेट को देखता है और कहता है, "यह अनंत है।"
जॉनस्टन उसी सेट को देखते हैं और पूछते हैं, "क्या यह अनंत है, और क्या इसका पूरक (complement - वह चीज़ जो सेट को हटाने के बाद बच जाती है) भी अनंत है?"

उदाहरण: एक विशाल पिज्जा (वास्तविक संख्याएँ) की कल्पना करें।
- यदि आप एक ऐसा टुकड़ा लेते हैं जो अनंत है लेकिन पीछे एक अनंत क्रस्ट (किनारा) छोड़ देता है, तो वह एक प्रकार का अनंत है।
- यदि आप एक ऐसा टुकड़ा लेते हैं जो अनंत है लेकिन पीछे केवल एक छोटा सा टुकड़ा (जैसे केवल संख्या 5 को हटाना) छोड़ देता है, तो वह एक अलग प्रकार का अनंत है।
- यदि आप एक ऐसा टुकड़ा लेते हैं जो पीछे एक अनंत क्रस्ट छोड़ देता है, तो वह एक और अलग प्रकार का अनंत है।

जॉनस्टन नए लेबल बनाते हैं (जैसे $\aleph_1 \setminus \aleph_0$ ) ताकि इन अंतरों को पहचाना जा सके। यह कहने जैसा है कि, "यह पिज्जा का टुकड़ा अनंत है, लेकिन यह उस दूसरे टुकड़े से अधिक अनंत है क्योंकि इसने पीछे कम छोड़ा है।"

2. "चरण-दर-चरण" ज़ूम (अनुभाग 2)

कभी-कभी, दो सेट आकार में समान दिखते हैं, लेकिन यदि आप ज़ूम इन करते हैं, तो वे अलग दिखते हैं। जॉनस्टन हमारे दृष्टिकोण को परिष्कृत करने के लिए एक "चरण-दर-चरण" प्रक्रिया का सुझाव देते हैं।

उदाहरण: एक उपग्रह (satellite) से एक जंगल को देखने की कल्पना करें।
- चरण 1: आप "पेड़" बनाम "कोई पेड़ नहीं" देखते हैं।
- चरण 2: आप ज़ूम इन करते हैं। अब आप "घना जंगल" बनाम "विरल जंगल" देखते हैं।
- चरण 3: आप और अधिक ज़ूम करते हैं। अब आप "नदी वाला जंगल" बनाम "बिना नदी वाला जंगल" देखते हैं।

गणितीय शब्दों में, वह एक "टोटैलिटी" लेबल बनाते हैं जो हर चरण के साथ अधिक विशिष्ट होता जाता है। एक सेट चरण 1 पर "अनंत" हो सकता है, लेकिन चरण 2 पर, हमें पता चलता है कि यह "अनंत है लेकिन छोटे अंतराल (intervals) से ढका जा सकता है", जबकि दूसरा "अनंत है और ढंकना कठिन है।" वे दोनों अनंत हैं, लेकिन उनकी टोटैलिटी अलग है।

3. "आकार बदलने वाला" तुलना (अनुभाग 3)

यह सबसे दिमाग घुमा देने वाला हिस्सा है। आमतौर पर, हम संख्याओं के एक सेट (जैसे एक रेखा पर बिंदु) की तुलना संख्याओं के दूसरे सेट से करते हैं। लेकिन क्या होगा यदि हम संख्याओं के एक सेट की तुलना संख्याओं के समूहों के एक सेट से करें?

उदाहरण: कल्पना करें कि X एक अकेला कमरा है। P(X) एक पुस्तकालय है जिसमें उस कमरे की ली जा सकने वाली हर संभावित फोटो मौजूद है।
- कैंटर कहता है कि पुस्तकालय कमरे से "बड़ा" है।
- जॉनस्टन आउटर मेजर (Outer Measure) नामक एक उपकरण का उपयोग करते हैं (इसे एक लचीले टेप माप की तरह समझें जो आकारों के चारों ओर लिपट जाता है)।
- वह कमरे के "आकार" को मापते हैं। फिर वह फोटो के पुस्तकालय के "आकार" को मापते हैं।
- आश्चर्यजनक रूप से, इस विशिष्ट टेप माप का उपयोग करते हुए, कमरे का "आकार" और फोटो के पुस्तकालय का "आकार" बराबर हो सकता है।

यह कहने जैसा है: "भले ही पुस्तकालय में अधिक पुस्तकें हैं, लेकिन उनके द्वारा घेरे गए स्थान का आयतन (volume), जब यह मापा जाता है कि वे कैसे फिट होते हैं, उसी कमरे के बराबर है जिससे वे आए हैं।" यह हमें सेब (संख्याओं) और संतरे (संख्याओं के समूहों) की तुलना एक नए पैमाने पर करने की अनुमति देता है।

4. "अनंत ज़ूम" सीमा (अनुभाग 4)

अंत में, जॉनस्टन सुझाव देते हैं कि हमें चरण 1, 2 या 3 पर रुकने की आवश्यकता नहीं है। हम अनंत तक ज़ूम कर सकते हैं।

उदाहरण: एक फ्रैक्टल (जैसे स्नोफ्लेक) की कल्पना करें। आप अनंत तक ज़ूम कर सकते हैं, और पैटर्न अधिक विस्तृत होता जाता है।
- जॉनस्टन एक "लिमिट टोटैलिटी" को परिभाषित करते हैं। जैसे-जैसे आप अधिक चरण लेते हैं, सेट के आकार की परिभाषा अनंत रूप से सटीक होती जाती है।
- यह एक ऐसे पैमाने जैसा है जो परमाणु के आकार तक, फिर प्रोटॉन के आकार तक, फिर क्वार्क के आकार तक, हमेशा के लिए माप सकता है।
- परिणाम अनंत सेटों के "आकारों" का एक निरंतर स्पेक्ट्रम है, न कि केवल कुछ बड़े बकेट।

मुख्य निष्कर्ष (निष्कर्ष)

यह शोध पत्र एक दार्शनिक विचार के साथ समाप्त होता है। गणित में, कुछ प्रश्न ऐसे हैं जिनका उत्तर हम नहीं दे सकते (अनिर्णीत/undecidables), जैसे प्रसिद्ध "कंटीनम हाइपोथेसिस" (क्या गणनीय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं के बीच कोई अनंत है?)।

जॉनस्टन सुझाव देते हैं कि जबकि हम बड़े चित्र (पूरे सिस्टम) में इन समस्याओं को हल नहीं कर सकते, हम अपनी परिभाषाओं को परिष्कृत करके उन्हें हल कर सकते हैं।

उदाहरण: यदि आप भीड़ में किसी विशिष्ट व्यक्ति को खोजने की कोशिश कर रहे हैं, और भीड़ इतनी बड़ी है कि उसे गिना नहीं जा सकता, तो आप फंस सकते हैं। लेकिन यदि आप अपने खोज को परिष्कृत करते हैं और पूछते हैं, "क्या उन्होंने लाल टोपी पहनी है?" फिर "क्या उन्होंने गुब्बारा पकड़ा हुआ है?", तो आप उन्हें पा सकते हैं।
"टोटैलिटी" की अवधारणा वही लाल टोपी और गुब्बारा है। यह भीड़ को नहीं बदलता (कैंटर का गणित अभी भी सत्य है), लेकिन यह हमें भीड़ को वर्गीकृत करने और समझने का एक सूक्ष्म तरीका देता है, जिससे उस स्तर पर "अनिर्णीत" समस्याएं गायब हो जाती हैं जिस स्तर पर हम देख रहे हैं।

संक्षेप में: यह शोध पत्र अनंत को गिनने का एक नया तरीका प्रस्तावित करता है। केवल "कितने?" पूछने के बजाय, यह पूछता है "कितने, और क्या बचा हुआ है?" और "यदि हम ज़ूम इन करें तो यह कैसा दिखता है?" यह अनंत की अवधारणा में बनावट और विवरण जोड़ता है, जिससे अनंत दुनिया थोड़ी कम धुंधली महसूस होती है।

विलियम जॉनस्टनटन के "Totalities of Infinite Sets" के आधार पर, यहाँ समस्या, कार्यप्रणाली, मुख्य योगदान, परिणाम और महत्व को कवर करने वाला एक विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोधपत्र जॉर्ज कैंटर की पारंपरिक समुच्चय कार्डिनैलिटी (set cardinality) की सीमाओं को संबोधित करता है, जो केवल दो समुच्चयों के बीच एक बायजेक्शन (bijection) की उपस्थिति पर निर्भर करती है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल (ZF) अभिगृहीतात्मक प्रणाली और निरंतरता परिकल्पना (Continuum Hypothesis - CH) के तहत, अनंत वास्तविक समुच्चय केवल दो प्राथमिक अनंत कार्डिनैलिटी श्रेणियों में वर्गीकृत होते हैं: गणनीय ( $\aleph_0$ ) और अगणनीय ( $\aleph_1$ )।

लेखक का तर्क है कि यह द्विआधारी (या त्रिक, यदि परिमित को अलग किया जाए) वर्गीकरण उन विभिन्न प्रकार के अगणनीय समुच्चयों के बीच अंतर करने के लिए अपर्याप्त है जिनकी कार्डिनैलिटी समान है (जैसे, सामान्य संख्याओं का सेट बनाम अपरिमेय संख्याओं का सेट, या कैंटर सेट बनाम एक अंतराल)। इसका लक्ष्य कैंटर की कार्डिनैलिटी का एक संवर्धन (enhancement) बनाना है जो:

मौजूदा बायजेक्शन-आधारित कार्डिनैलिटी ढांचे को सुरक्षित रखता है।
मनमाने अनंत समुच्चयों का अधिक सूक्ष्म (fine-grained) तुलनात्मक विश्लेषण प्रदान करता है।
मौलिक रूप से भिन्न प्रकार के समुच्चयों के बीच तुलना की अनुमति देता है (जैसे, एक मीट्रिक स्पेस $X$ के उपसमुच्चय बनाम उसके पावर सेट $P(X)$ के उपसमुच्चय)।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

शोधपत्र चार अलग-अलग निर्माण प्रस्तावित करता है, जिन्हें सामूहिक रूप से "टोटैलिटीज" (Totalities) कहा जाता है, जो समुच्चय के आकार की अवधारणा को परिष्कृत करते हैं। ये निर्माण सरल बायजेक्शन से आगे बढ़कर टोपोलॉजिकल गुणों, माप सिद्धांत (measure theory) और पुनरावृत्ति विभाजन (iterative partitioning) को शामिल करते हैं।

A. पूरक कार्डिनैलिटी (Complementary Cardinality - परिभाषा 1)

पहला निर्माण वास्तविक संख्याओं ( $\mathbb{R}$ ) के भीतर समुच्चय के पूरक की कार्डिनैलिटी के आधार पर कार्डिनैलिटी के नोटेशन को संशोधित करता है।

नोटेशन: केवल $|A| = \aleph_1$ के बजाय, नोटेशन $|A| = \aleph_1 \setminus |A^c|$ हो जाता है।
उदाहरण:
- यदि $A^c$ गणनीय है, तो $|A| = \aleph_1 \setminus \aleph_0$ ।
- यदि $A^c$ परिमित ( $n$ ) है, तो $|A| = \aleph_1 \setminus n$ ।
- यदि $A^c$ अगणनीय है, तो $|A| = \aleph_1 \setminus \aleph_1$ ।
अनुप्रयोग: यह सामान्य संख्याओं ( $\mathbb{N}$ ) को अपरिमेय संख्याओं ( $\mathbb{I}$ ) से अलग करता है। यद्यपि दोनों अगणनीय हैं, $\mathbb{I}$ का पूरक गणनीय (परिमेय संख्याएं) है, जबकि $\mathbb{N}$ का पूरक अगणनीय (गैर-सामान्य संख्याएं) है, जिससे $|\mathbb{N}| = \aleph_1 \setminus \aleph_1$ और $|\mathbb{I}| = \aleph_1 \setminus \aleph_0$ प्राप्त होता है।

B. स्टेप-बाय-स्टेप प्रतिमान (Step-by-Step Paradigm - परिभाषा 2)

यह विधि समान कार्डिनैलिटी वाले समुच्चयों को सूक्ष्म "टोटैलिटीज" ( $\Omega_s$ ) में विभाजित करने के लिए एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया का उपयोग करती है।

चरण 1: समुच्चय और उसके पूरक की गणनीयता के आधार पर समुच्चयों को अलग करता है ( $\Omega_0, \Omega_{1/2}, \Omega_1$ )।
चरण 2: $\Omega_{1/2}$ वाले समुच्चयों को टोपोलॉजिकल गुणों के आधार पर और अधिक विभाजित करता है (जैसे, क्या एक बंद अंतराल जिसमें समुच्चय समाहित है, उसका पूरक अगणनीय या गणनीय है)।
तंत्र: प्रत्येक चरण परिभाषित टोटैलिटीज की संख्या को बढ़ाता है, जिससे एक पदानुक्रम बनता है जहाँ समान कैंटर कार्डिनैलिटी वाले समुच्चय उनके टोपोलॉजिकल "घनत्व" (density) या "अंतरालों" (gaps) द्वारा अलग किए जाते हैं।

C. आउटर मेजर के माध्यम से रणनीतिक टोटैलिटी पेयर्स (Strategic Totality Pairs via Outer Measure - प्रमेय 1)

इस निर्माण का लक्ष्य एक मीट्रिक स्पेस $X$ के उपसमुच्चयों की तुलना उसके पावर सेट $P(X)$ के उपसमुच्चयों के साथ करना है, जो इस तथ्य को संबोधित करता है कि कैंटर का प्रमेय कहता है कि $|P(X)| > |X|$ ।

विधि: यह मीट्रिक आउटर मेजर (Metric Outer Measure) का उपयोग करता है।
- एक मीट्रिक स्पेस $(X, d)$ के लिए, एक आउटर मेजर $m$ परिभाषित है जहाँ ओपन बॉल का माप उसका व्यास ( $2r$ ) है।
- पावर सेट $P(X)$ के लिए, एक संगत आउटर मेजर $\mu$ को परिभाषित करने के लिए हासडॉर्फ मेट्रिक (Hausdorff metric) का उपयोग किया जाता है।
टोटैलिटी असाइनमेंट:
- परिमित समुच्चय: कार्डिनैलिटी।
- गणनीय अनंत समुच्चय: $\Omega_{-1}$ ।
- अगणनीय समुच्चय: $\Omega_{m(A)}$ (यदि $A \subseteq X$ ) या $\Omega_{\mu(P)}$ (यदि $P \subseteq P(X)$ )।
परिणाम: यह एक "रणनीतिक टोटैलिटी पेयर" बनाता है जहाँ $X$ और $P(X)$ के समान टोटैलिटीज (जैसे, दोनों $\Omega_\infty$ ) हो सकते हैं, भले ही उनकी कैंटर कार्डिनैलिटी भिन्न हो, जिससे विभिन्न प्रकार के समुच्चयों के बीच "आकार" की सार्थक तुलना संभव होती है।

D. अनंत-चरण प्रक्रिया और सीमा (Infinite-Step Process and Limit - परिभाषा 3 और प्रमेय 2)

यह निर्माण लेबेग मेजर (Lebesgue measure) के आधार पर परिष्करणों के एक अनंत अनुक्रम के रूप में स्टेप-बाय-स्टेप दृष्टिकोण का सामान्यीकरण करता है।

तंत्र: चरण $n$ पर, समुच्चय को उन्हें कवर करने वाले ओपन इंटरवल्स (या उनके पूरक) की लंबाई के योग के आधार पर विभाजित किया जाता है।
नोटेशन: टोटैलिटीज को $\Omega_{k/2^n}$ , $\Omega_{M - k/2^n}$ , और $\Omega_M$ ("मध्य" अनंत) के रूप में दर्शाया जाता है।
सीमा (Limit): अंतिम टोटैलिटी को अनुक्रम के सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है: $|A|_\infty = \lim_{n \to \infty} |A|_n = \Omega_{s_\infty}$ ।
गुण: यह टोटैलिटीज का एक सघन क्रम (dense ordering) बनाता है जहाँ किन्हीं भी दो अगणनीय टोटैलिटीज के बीच एक और मौजूद होती है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

शब्दावली परिवर्तन: इन परिष्कृत मापों को मानक कार्डिनैलिटी से अलग करने के लिए "टोटैलिटी" (Totality) शब्द पेश करता है, जो इस बात पर जोर देता है कि वे बायजेक्शन से परे अतिरिक्त संरचनात्मक जानकारी प्रदान करते हैं।
अगणनीय समुच्चयों का परिष्करण: यह प्रदर्शित करता है कि अगणनीय समुच्चयों को उनके पूरकों के गुणों (परिभाषा 1) और उनके टोपोलॉजिकल कवरिंग गुणों (परिभाषाओं 2 और 4) के आधार पर सख्ती से क्रमबद्ध और तुलना किया जा सकता है।
क्रॉस-टाइप तुलना: यह एक मीट्रिक आउटर मेजर का उपयोग करके $X$ के उपसमुच्चयों की तुलना $P(X)$ के उपसमुच्चयों के साथ करने के लिए एक ढांचा सफलतापूर्वक निर्मित करता है, जो कैंटर के प्रमेय की सख्त असमानता को दरकिनार करते हुए "समान" आकार खोजने की अनुमति देता है।
अनंतों का सघन क्रम: सीमा निर्माण (अनुभाग 4) अनंत टोटैलिटीज का एक निरंतरता (continuum) उत्पन्न करता है, जो $\aleph_0$ और पूर्ण निरंतरता के बीच अनंतों के एक सघन पदानुक्रम का सुझाव देता है।

4. परिणाम (Results)

सामान्य संख्याओं का विभेदन: शोधपत्र सफलतापूर्वक सामान्य संख्याओं के सेट को अपरिमेय संख्याओं से अलग करता है। यद्यपि दोनों अगणनीय हैं, सामान्य संख्याओं की टोटैलिटी अपरिमेय संख्याओं ( $\aleph_1 \setminus \aleph_0$ ) की तुलना में कम ( $\aleph_1 \setminus \aleph_1$ ) है क्योंकि गैर-सामान्य संख्याओं का सेट अगणनीय है।
पावर सेट्स में टोटैलिटीज की समानता: अनंत मेजर वाले मीट्रिक स्पेस $X$ के लिए, $X$ और $P(X)$ की टोटैलिटीज को समान ( $\Omega_\infty$ ) दिखाया गया है, भले ही कैंटर के अर्थ में $|P(X)| > |X|$ हो।
मध्यवर्ती टोटैलिटीज का अस्तित्व: प्रमेय 2 सिद्ध करता है कि सीमा निर्माण में, $\Omega_{-1}$ और $\Omega_0$ के बीच कोई "गैप" नहीं है, और किन्हीं भी दो अगणनीय टोटैलिटीज के बीच एक अन्य टोटैलिटी मौजूद है।
मोनोटोनिसिटी (Monotonicity): सभी निर्मित टोटैलिटीज मोनोटोनिसिटी का पालन करती हैं (यदि $A \subseteq B$ , तो $|A| \leq |B|$ )।

5. महत्व (Significance)

गणितीय लचीलापन: शोधपत्र सुझाव देता है कि जबकि निरंतरता परिकल्पना (CH) मानक ZF अभिगृहीतात्मक प्रणाली के भीतर अनिर्णायक (undecidable) बनी रहती है, परिभाषा को परिष्कृत करके विशिष्ट अनिर्णय योग्यताओं को उस स्तर पर हल किया जा सकता है।
वर्धित अंतर्ज्ञान: यह एक "मजबूत गणितीय समझ" प्रदान करता है कि कौन से अनंत समुच्चय उनके वितरण और संरचना के संदर्भ में "बड़े" या "छोटे" हैं, न कि केवल उनके बायजेक्शन की उपस्थिति के आधार पर।
विश्लेषण के लिए अनुप्रयोग: टोपोलॉजिकल और मेजर-थ्योरिटिक लेंस के माध्यम से टोटैलिटीज को मीट्रिक आउटर मेजर और हासडॉर्फ आयाम (Hausdorff dimension) से जोड़कर, यह ढांचा सेट थ्योरी को टोपोलॉजी और मेजर थ्योरी के साथ जोड़ता है, जो फ्रैक्टल्स (जैसे कैंटर सेट) और फंक्शन स्पेस (जैसे $L^2(\mathbb{R})$ ) के विश्लेषण के लिए नए उपकरण प्रदान कर सकता है।
दार्शनिक निहितार्थ: निष्कर्ष यह प्रतिपादित करता है कि कटौतीत्मक गणित (deductive mathematics) को परिभाषाओं को बार-बार परिष्कृत करके अनिर्णय योग्यताओं को हल करने के माध्यम से अधिक "शक्तिशाली" बनाया जा सकता है, भले ही अंतर्निहित अभिगृहीतात्मक प्रणाली अपरिवर्तित रहे।