Time-Averaged Drift Approximations are Inconsistent for Inference in Drift Diffusion Models

तकनीकी सारांश: ड्रिफ्ट डिफ्यूजन मॉडल्स में इन्फरेंस के लिए टाइम-एवरेज्ड ड्रिफ्ट एप्रोक्सिमेशन्स असंगत हैं

समस्या विवरण
ड्रिफ्ट डिफ्यूजन मॉडल्स (DDMs) का उपयोग निर्णय लेने के कार्यों में साक्ष्य संचय (evidence accumulation) को मॉडल करने के लिए व्यापक रूप से किया जाता है। जबकि स्थिर ड्रिफ्ट पैरामीटर्स वाले मानक DDMs के लिए क्लोज्ड-फॉर्म लाइकलीहुड समाधान उपलब्ध होते हैं, कई विस्तार—विशेष रूप से अटेंशनल ड्रिफ्ट डिफ्यूजन मॉडल (aDDM)—ऐसे ड्रिफ्ट रेट्स को शामिल करते हैं जो ट्रायल के भीतर (समय-परिवर्तनीय) और ट्रायल्स के बीच (ट्रायल-परिवर्तनीय) दोनों तरह से बदलते रहते हैं। aDDM में, ड्रिफ्ट रेट $\mu(t)$ प्रतिभागी के तात्कालिक विजुअल फिक्सेशन प्रक्षेपवक्र (fixation trajectory) पर निर्भर करता है।

ऐसे मॉडल्स के लिए लाइकलीहुड का मूल्यांकन करना गणनात्मक रूप से अत्यधिक कठिन है क्योंकि ड्रिफ्ट फंक्शन हर ट्रायल के लिए अद्वितीय होता है, जिससे ट्रायल्स के बीच गणनाओं को साझा करना असंभव हो जाता है। इस समस्या से बचने के लिए, शोधकर्ता अक्सर टाइम-एवरेज्ड ड्रिफ्ट एप्रोक्सिमेशन (TADA) का उपयोग करते हैं। TADA मॉडल को सरल बनाता है और समय-परिवर्तनीय ड्रिफ्ट $\mu(t)$ को ट्रायल की अवधि $\tau$ के दौरान उसके टेम्पोरल औसत से बदल देता है, जिससे यह समस्या एक स्थिर "प्रभावी" (effective) ड्रिफ्ट वाले मानक DDM में परिवर्तित हो जाती है। यह एप्रोक्सिमेशन विश्लेषणात्मक लाइकलीहुड फॉर्मूलों के उपयोग की अनुमति देता है, जिससे तेज़ पैरामीटर इन्फरेंस संभव हो पाता है। हालाँकि, TADA की एक aDDM के विकल्प के रूप में वैधता, विशेष रूप से इसके एस्टिमेटर्स की निरंतरता (consistency) के संबंध में, अभी तक कठोरता से स्थापित नहीं की गई है।

कार्यप्रणाली
लेखक TADA के सांख्यिकीय गुणों का मूल्यांकन करने के लिए गणितीय विश्लेषण और संख्यात्मक सिमुलेशन के संयोजन का उपयोग करते हैं।

1. असंगति का गणितीय प्रमाण:
   लेखक एक सरलीकृत काउंटर-एग्जांपल का निर्माण करते हैं: एक ब्राउनियन मोशन जिसमें पीसवाइज कांस्टेंट ड्रिफ्ट है (समय $t \in [0, T]$ के लिए ड्रिफ्ट $\mu$ और उसके बाद 0) जो एक एक-तरफा ऊपरी सीमा (one-sided upper boundary) से टकराता है।

• वे इस प्रक्रिया के लिए सटीक फर्स्ट पैसेज टाइम डेंसिटी (FPTD), जिसे $f_{aDDM}(\tau; \mu)$ द्वारा दर्शाया गया है, व्युत्पन्न करते हैं।
• वे TADA द्वारा निहित FPTD, जिसे $f_{TADA}(\tau; \mu)$ द्वारा दर्शाया गया है, व्युत्पन्न करते हैं, जो औसत ड्रिफ्ट $\alpha(\mu, \tau, T) = \frac{1}{\tau}\int_0^\tau \mu(t) dt$ पर निर्भर करता है।
• वे प्रदर्शित करते हैं कि $f_{TADA}$ एक वैध प्रायिकता घनत्व फलन (probability density function) नहीं है (यह 1 तक समाकलित नहीं होता है) क्योंकि "प्रभावी" ड्रिफ्ट स्वयं स्टॉपिंग टाइम $\tau$ पर निर्भर करता है, जो एक चक्रीय निर्भरता (circular dependency) पैदा करता है जो एक जनरेटिव मॉडल की परिभाषा का उल्लंघन करता है।
• स्ट्रॉन्ग लॉ ऑफ लार्ज नंबर्स का उपयोग करते हुए, वे सिद्ध करते हैं कि TADA मैक्सिमम लाइकलीहुड एस्टिमेटर ($\hat{\mu}_{TADA}$) लगभग निश्चित रूप से (almost surely) एक ऐसे मान $\tilde{\mu}$ की ओर अभिसरित (converge) होता है जो वास्तविक ड्रिफ्ट पैरामीटर $\mu$ से स्पष्ट रूप से अधिक है (विशेष रूप से, $\tilde{\mu} > \max\{\mu, b/T\}$), जिससे सांख्यिकीय असंगतता स्थापित होती है।

2. संख्यात्मक सिमुलेशन:
   लेखक अपने सैद्धांतिक निष्कर्षों को तीन संख्यात्मक प्रयोगों के माध्यम से मान्य करते हैं:

• एक-तरफा सीमा (One-sided Boundary): पीसवाइज कांस्टेंट ड्रिफ्ट मॉडल को सिम्युलेट करना ताकि यह पुष्टि की जा सके कि $\hat{\mu}_{TADA}$ वास्तविक $\mu$ के बजाय पक्षपाती सैद्धांतिक सीमा की ओर अभिसरित होता है, जबकि मानक मैक्सिमम लाइकलीहुड एस्टिमेटर (MLE) सुसंगत (consistent) रहता है।
• दो-तरफा सीमाएं (Two-sided Boundaries): दो सीमाओं के बीच वैकल्पिक ड्रिफ्ट्स वाले DDM का सिमुलेशन करना। समानांतर कार्य (Liu et al., 2025) में विकसित एक नए कुशल एल्गोरिदम (efpt) का उपयोग करके सटीक लाइकलीहुड की गणना करना, वे दिखाते हैं कि TADA व्यवस्थित रूप से ड्रिफ्ट पैरामीटर्स के परिमाण को बढ़ाकर दिखाता है।
• पूर्ण aDDM: गेज़-डिपेंडेंट ड्रिफ्ट्स के साथ पूर्ण अटेंशनल मॉडल का सिमुलेशन करना। वे अटेंशनल डिस्काउंट पैरामीटर $\eta$ (जहाँ $\eta=1$ का अर्थ कोई अटेंशनल प्रभाव नहीं है और $\eta=0$ का अर्थ अधिकतम प्रभाव है) का अनुमान लगाते हैं। वे विभिन्न सैंपल साइज केAcross TADA अनुमानों की तुलना सटीक MLEs से करते हैं।

मुख्य परिणाम

• सांख्यिकीय असंगतता: TADA एस्टिमेटर गणितीय रूप से असंगत है। जैसे-जैसे सैंपल साइज $n \to \infty$ होता है, एस्टिमेटर वास्तविक पैरामीटर मान की ओर अभिसरित नहीं होता है, बल्कि एक पक्षपाती सीमा की ओर जाता है।
• व्यवस्थित पक्षपात (Systematic Bias): संख्यात्मक उदाहरणों में, TADA लगातार ड्रिफ्ट के परिमाण को बढ़ाकर दिखाता है और अटेंशनल डिस्काउंट पैरामीटर $\eta$ को व्यवस्थित रूप से कम करके दिखाता है। उदाहरण के लिए, जब वास्तविक $\eta$ कम होता है (मजबूत अटेंशनल प्रभाव), तो TADA के अनुमान नकारात्मक हो सकते हैं, जो भौतिक रूप से अर्थहीन है।
• हाइपोथीसिस टेस्टिंग में विफलता: TADA द्वारा उत्पन्न पक्षपात समान नहीं है; यह न्युसेंस पैरामीटर्स (जैसे, बाउंडरी सेपरेशन, ड्रिफ्ट स्केल) और कोवेरिएट डिस्ट्रीब्यूशन पर निर्भर करता है। फलस्वरूप, जब दो अलग-अलग न्युसेंस पैरामीटर्स वाले पॉपुलेशन की तुलना की जाती है, तो TADA गुणात्मक रूप से गलत निष्कर्ष निकाल सकता है। लेखक उन परिदृश्यों को प्रदर्शित करते हैं जहाँ TADA अटेंशनल प्रभावों के अंतर के संकेत (sign) को गलत तरीके से उलट देता है, जिससे लाइकलीहुड रेशियो टेस्ट में फाल्स पॉजिटिव या फाल्स नेगेटिव उत्पन्न होते हैं।
• सटीक विधियों की वैधता: इसके विपरीत, मानक MLE (जिसे efpt एल्गोरिदम का उपयोग करके कंप्यूट किया गया है) सुसंगत रहता है और सभी परीक्षण किए गए परिदृश्यों में वास्तविक पैरामीटर्स को सटीक रूप से रिकवर करता है।

महत्व और दावे
पेपर का दावा है कि TADA का व्यापक उपयोग कम्प्यूटेशनल न्यूरोसाइंस और कॉग्निटिव साइंस में पक्षपाती वैज्ञानिक निष्कर्षों का एक महत्वपूर्ण जोखिम पैदा करता है। लेखक तर्क देते हैं कि चूंकि TADA एक सुव्यवस्थित जनरेटिव मॉडल को परिभाषित नहीं करता है (ड्रिफ्ट भविष्य के स्टॉपिंग टाइम पर निर्भर करता है), इसलिए इसका लाइकलीहुड फंक्शन अमान्य है, और इसके एस्टिमेटर्स मौलिक रूप से त्रुटिपूर्ण हैं।

इस कार्य का महत्व निम्नलिखित बिंदुओं में निहित है:

1. एक सामान्य अभ्यास को सुधारना: यह TADA की वैधता को चुनौती देता है, यह सुझाव देते हुए कि पिछले अध्ययन जो इस एप्रोक्सिमेशन पर निर्भर थे, वे पक्षपाती पैरामीटर अनुमान रिपोर्ट कर सकते हैं।
2. गुणात्मक जोखिमों को उजागर करना: यह प्रदर्शित करता है कि पक्षपात केवल मात्रात्मक नहीं है बल्कि वैज्ञानिक निष्कर्षों की दिशा को भी बदल सकता है।
3. कठोर विकल्पों को बढ़ावा देना: लेखक गणितीय रूप से न्यायसंगत, तेज़ लाइकलीहुड गणना विधियों (जैसे कि उनके समानांतर कार्य में उद्धृत efpt एल्गोरिदम) के उपयोग की वकालत करते हैं, न कि गणनात्मक रूप से सुविधाजनक लेकिन सांख्यिकीय रूप से असंगत एप्रोक्सिमेशन की। वे TADA के माध्यम से प्राप्त मौजूदा परिणामों की पुन: जांच करने की सिफारिश करते हैं।

लेखक अपने निष्कर्षों के दायरे के संबंध में एक विनम्र लहजा बनाए रखते हैं, यह नोट करते हुए कि हालांकि उनका विश्लेषण TADA की निरंतरता को अमान्य करता है, लेकिन यह आवश्यक रूप से पिछले अध्ययनों के सभी गुणात्मक निष्कर्षों को अमान्य नहीं करता है, हालांकि यह उनकी विश्वसनीयता के बारे में गंभीर चिंताएं पैदा करता है। वे इस बात पर जोर देते हैं कि असंगतता विशेष रूप से तब उत्पन्न होती है जब "प्रभावी" पैरामीटर स्वयं फर्स्ट पैसेज टाइम पर निर्भर करता है, जो कि समय-परिवर्तनीय DDMs में एक सामान्य स्थिति है।