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The period map from commutative to noncommutative deformations

यह शोधपत्र एक qcqs व्युत्पन्न स्कीम (derived scheme) के सूक्ष्म विरूपणों (infinitesimal deformations) और उसके संबद्ध अर्ध-सुसंगत sheaves (quasi-coherent sheaves) की $\infty$ -श्रेणी (category) के विरूपणों को जोड़ने वाले आवर्त मानचित्र (period map) की जांच करता है, स्पर्श रेखा तंतुओं (tangent fibers) पर मानचित्र को द्वैत HKR मानचित्र के रूप में पहचानता है और यह प्रदर्शित करता है कि स्कीम उत्थापनीयता (scheme liftability) और कुछ शास्त्रीय विरूपण फलन (deformation functors) व्युत्पन्न अपरिवर्तनीय (derived invariants) हैं।

मूल लेखक: Samuel A. Moore

प्रकाशित 2026-08-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Samuel A. Moore

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

आधुनिक गणित के विशाल परिदृश्य में, यह समझने का एक निरंतर प्रयास है कि आकार और स्थान कैसे बदल सकते हैं। एक ज्यामितीय वस्तु की कल्पना करें, जैसे कि एक चिकनी सतह या एक जटिल वक्र, जो एक गणितीय ब्रह्मांड में स्थित है। गणितज्ञ इस बात में गहराई से रुचि रखते हैं कि वह वस्तु कैसे हिल सकती है, खिंच सकती है या एक थोड़े अलग आकार में विकृत हो सकती है। यह विरूपण सिद्धांत (deformation theory) का अध्ययन है। दशकों से, शोधकर्ताओं ने "क्रमविनिमेय" (commutative) विरूपणों पर ध्यान केंद्रित किया है, जहाँ आकार के निर्देशांकों को नियंत्रित करने वाले बीजगणितीय नियम एक परिचित, अनुमानित तरीके से व्यवहार करते हैं, जो मानक अंकगणित के समान है जहाँ गुणा का क्रम मायने नहीं रखता है। हालाँकि, एक समानांतर, अधिक विलक्षण "गैर-क्रमविनिमेय" (noncommutative) दुनिया भी है। यहाँ, बीजगणितीय नियम घुमावदार होते हैं; संचालन का क्रम परिणाम को बदल देता है, जिससे ऐसी संरचनाएँ बनती हैं जो पारंपरिक ज्यामितीय आकारों जैसी नहीं दिखतीं, बल्कि संबंधों के जटिल नेटवर्क की तरह प्रतीत होती हैं। जबकि ये दो दुनियाएँ—क्रमविनिमेय और गैर-क्रमविनिमेय—अलग-अलग अध्ययन की गई हैं, एक केंद्रीय प्रश्न बना हुआ है: क्या वे एक ही मौलिक रहस्य साझा करती हैं? विशेष रूप से, यदि एक पारंपरिक आकार को सुचारू रूप से विकृत किया जा सकता है, तो क्या उसका गैर-क्रमविनिमेय समकक्ष, जो उसी आवश्यक जानकारी को एक अलग भाषा में संहिताबद्ध करता है, भी उसी विरूपण की अनुमति देता है?

सैमुअल ए. मूर का एक हालिया शोध पत्र इस प्रश्न को हल करने के लिए इन दोनों क्षेत्रों के बीच एक सेतु का निर्माण करके इस पर काम करता है। लेखक एक विशिष्ट प्रकार के गणितीय वस्तु पर ध्यान केंद्रित करते हैं जिसे 'डेरिव्ड स्कीम' (derived scheme) कहा जाता है, जो बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन किए जाने वाले ज्यामितीय आकारों का एक परिष्कृत सामान्यीकरण है। ये वस्तुएँ एक 'फील्ड' (field) पर परिभाषित होती हैं, जो संख्याओं का एक ऐसा समूह है जो ज्यामिति के लिए आधार के रूप में कार्य करता है। मूर एक सटीक मानचित्र (map) का निर्माण करते हैं, जो एक प्रकार का अनुवादक है, जो पारंपरिक ज्यामितीय आकार में एक छोटे, सूक्ष्म परिवर्तन को उसके गैर-क्रमविनिमेय संस्करण में एक अनुरूप परिवर्तन में अनुवादित करता है। यह गैर-क्रमविनिसीय संस्करण सामान्य अर्थों में कोई आकार नहीं है, बल्कि 'क्वासीकोहेरेंट शीव्स' (quasicoherent sheaves) नामक गणितीय संरचनाओं का एक विशाल वर्ग है, जिन्हें मूल आकार पर रहने वाले सभी संभावित डेटा और फलनों के एक पुस्तकालय के रूप में सोचा जा सकता है। यह शोध पत्र जांच करता है कि क्या यह अनुवाद प्रक्रिया विरूपण की क्षमता को संरक्षित करती है। दूसरे शब्दों में, यदि मूल आकार को एक थोड़े बड़े या अधिक जटिल परिवेश में ऊपर उठाया (lifted) जा सकता है, तो क्या उसके गैर-क्रमविनिसीय डेटा का पुस्तकालय भी ऊपर उठ सकता है?

शोध का मुख्य भाग इन विरूपण प्रक्रियाओं के "स्पर्श तंतुओं" (tangent fibers) का विश्लेषण करना है। सरल शब्दों में, एक स्पर्श तंतु एक विशिष्ट बिंदु पर गति या परिवर्तन की तत्काल, सूक्ष्म संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करता है। मूर एक विशिष्ट गणितीय मानचित्र की पहचान करते हैं जो ज्यामितीय आकार के स्पर्श तंतु को उसके गैर-क्रमविनिसीय पुस्तकालय के स्पर्श तंतु से जोड़ता है। यह संबंध गणित में ज्ञात 'एचकेआर मैप' (HKR map) के एक द्वैत संस्करण के रूप में वर्णित है। इस जुड़ाव का अध्ययन करके, लेखक यह निर्धारित करते हैं कि कब अनुवाद एक-से-एक (one-to-one) होता है और कब यह जानकारी खो सकता है। निष्कर्षों से पता चलता है कि कई मामलों में, विशेष रूप से जब अंतर्निहित संख्या प्रणाली शून्य की विशेषता (characteristic of zero) रखती है (जैसे वास्तविक या जटिल संख्याएँ) या धनात्मक विशेषता के तहत विशिष्ट स्थितियों में, एक ज्यामितीय आकार को विकृत करने की क्षमता उसके गैर-क्रमविनिसीय पुस्तकालय को विकृत करने की क्षमता को पूरी तरह से प्रतिबिंबित करती है।

यह पत्र इन गणितीय वस्तुओं के एक विस्तृत वर्ग के लिए यह सिद्ध करता है कि "लिफ्ट करने योग्य" (liftable) होने का गुण—अर्थात, एक सरल परिवेश से एक थोड़े अधिक जटिल परिवेश में एक आकार को विस्तारित करने की क्षमता—एक 'डेरिव्ड इनवेरिएंट' (derived invariant) है। इसका अर्थ यह है कि यदि दो अलग-अलग ज्यामितीय आकारों के गैर-क्रमविनिसीय पुस्तकालय गणितीय रूप से समान हैं, तो या तो दोनों आकार एक नए परिवेश में ऊपर उठ सकते हैं, या दोनों नहीं। यह एक महत्वपूर्ण परिणाम है क्योंकि यह पुष्टि करता है कि गैर-क्रमविनिसीय पुस्तकालय मूल आकार के आवश्यक विरूपण गुणों को पकड़ता है, कम से कम 'स्क्वायर-जीरो एक्सटेंशन' (square-zero extensions) के लिए, जो छोटे विरूपणों के सबसे सरल प्रकार हैं। लेखक दिखाते हैं कि यह तब सत्य होता है जब संख्या क्षेत्र की विशेषता दो नहीं होती है, और कई अन्य विशिष्ट परिदृश्यों में।

इसके अलावा, अनुसंधान उन मामलों की खोज करता है जहाँ संपूर्ण शास्त्रीय विरूपण प्रक्रिया आकार और उसके गैर-क्रमविनिसीय समकक्ष दोनों के लिए समान होती है। यह तब होता है जब कुछ 'कोहोमोलॉजिकल' (cohomological) शर्तें पूरी होती हैं, जिसका अर्थ है कि आंतरिक "बाधाएं" (obstructions) जो एक आकार को विकृत होने से रोक सकती हैं, दोनों दुनियाओं में अनुपस्थित हैं। यह पत्र ठोस उदाहरण प्रदान करता है, जैसे कि कुछ प्रकार के 'कैलाबी-याऊ वैराइटीज़' (Calabi-Yau varieties), जो गणित और सैद्धांतिक भौतिकी दोनों में रुचि के विशेष ज्यामितीय आकार हैं। इन आकारों के लिए, शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि दोनों दुनियाओं के बीच का मानचित्र इतना मजबूत है कि यह उनके संभावित विरूपणों के बीच एक पूर्ण एक-से-एक पत्राचार बनाता है। इसका तात्पर्य यह है कि इन विशिष्ट मामलों के लिए, अपने गैर-क्रमविनिसीय पुस्तकालय का अध्ययन करना स्वयं ज्यामितीय आकार को समझने के लिए उतना ही प्रभावी है जितना कि उसे समझना।

यह कार्य धनात्मक विशेषता (positive characteristic) में इन वस्तुओं के व्यवहार को भी संबोधित करता है, जो एक ऐसा परिवेश है जहाँ मानक गणितीय उपकरण अक्सर विफल हो जाते हैं। यहाँ, लेखक दिखाते हैं कि कुछ 'स्पेक्ट्रल सीक्वेंस' (spectral sequences) के क्षय (degenerate) होने के लिए आवश्यक स्थितियाँ स्वयं 'डेरिव्ड इक्विवेलेंस' (derived equivalence) के तहत संरक्षित रहती हैं—जो जटिल गणनाओं को प्रबंधनीय रूप में सरल बनाने का एक तकनीकी तरीका है। यह पिछले परिणामों को परिष्कृत करता है और उन विशिष्ट 'कैलाबी-याऊ थ्रीफोल्ड्स' के व्यवहार को स्पष्ट करता जिन्हें 'डेरिव्ड इक्विवेलेंट' के रूप में बनाया गया है लेकिन अन्य संदर्भों में भिन्न व्यवहार करते हैं। पत्र निष्कर्ष निकालता है कि हालांकि अपवाद हैं, विशेष रूप रूप से विशिष्ट बाधाओं के साथ धनात्मक विशेषता में, सामान्य नियम यह है कि गैर-क्रमविनिसीय दृष्टिकोण क्रमविनिमेय वाले को निष्ठापूर्वक दर्शाता है।

अंततः, यह शोध ज्यामिति और उसकी गैर-क्रमविनिसीय छाया के बीच संबंध को समझने के लिए एक कठोर ढांचा प्रदान करता है। दोनों को जोड़ने वाले एक 'पीरियड मैप' (period map) का निर्माण करके, और विभिन्न स्थितियों के तहत इसकी 'इन्जेक्टिविटी' (injectivity) को सिद्ध करके, लेखक स्थापित करते हैं कि एक ज्यामितीय वस्तु का विरूपण सिद्धांत उसके संबद्ध 'शीव्स' (sheaves) के वर्ग की संरचना में गहराई से समाहित है। यह पुष्टि करता है कि गैर-क्रमविनिसीय दुनिया केवल अमूर्त बीजगणक का एक समानांतर ब्रह्मांड नहीं है, बल्कि एक निष्ठावान दर्पण है जो उन आकारों का प्रतिनिधित्व करने वाले महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुणों को बनाए रखता है। ये निष्कर्ष गणितज्ञों के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करते हैं, जिससे उन्हें कठिन ज्यामितीय समस्याओं को गैर-क्रमविनिमेय श्रेणियों की भाषा में अनुवादित करने की अनुमति मिलती है, जहाँ वे उन्हें आसानी से हल कर सकते हैं, इस आश्वासन के साथ कि समाधान मूल आकार के लिए भी सत्य होगा।

तकनीकी सारांश: कम्यूटेटिव से नॉन-कम्यूटेटिव विरूपण (Deformations) तक का पीरियड मैप

समस्या विवरण
यह शोध पत्र एक स्कीम $X$ (जो एक क्षेत्र $k$ पर आधारित है) से जुड़े दो भिन्न विरूपण सिद्धांतों (deformation theories) के बीच संबंध की जांच करता है: स्कीम $X$ का शास्त्रीय विरूपण सिद्धांत, और उसके क्वासी-कोहेरेंट शीव्स (quasicoherent sheaves) के स्टेबल $k$ -लीनियर $\infty$ -कैटगरी, $\text{QC}(X)$ , का "नॉन-कम्यूटेटिव" विरूपण सिद्धांत। स्कीमों के सूक्ष्म विरूपण (infinitesimal deformations) शास्त्रीय रूप से टेंजेंट कॉम्प्लेक्स द्वारा नियंत्रित होते हैं, जबकि $\infty$ -कैटगरी के विरूपण हॉचशिल्ड कोहोमोलॉजी (Hochschild cohomology) द्वारा शासित होते हैं। मुख्य समस्या एक "पीरियड मैप" $\theta$ का निर्माण और विश्लेषण करना है जो इन दोनों विरूपण फंक्टर्स को जोड़ता है, विशेष रूप से यह निर्धारित करना कि एक कम्यूटेटिव विरूपण समस्या, नॉन-कम्यूटेटिव समस्या में कैसे समाहित होती है। एक प्रमुख प्रेरणा यह समझना है कि 'लिफ्टेबिलिटी' (एक बेस रिंग पर स्कीम को विरूपित करने की क्षमता) किस हद तक एक डेरिव्ड इनवेरिएंट (derived invariant) है, विशेष रूप से धनात्मक विशेषता (positive characteristic) में जहाँ शास्त्रीय उपकरण जैसे डिफरेंशियल डी-जी एलिया (DGLAs) अपर्याप्त हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक डेरिव्ड अल्जेब्रिक ज्योमेट्री और फॉर्मल मोडुली प्रॉब्लम्स (Lurie और Pridham द्वारा विकसित) के ढांचे का उपयोग करता है। कार्यप्रणाली निम्नलिखित चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है:

फॉर्मल मोडुली सेटअप: पेपर एक डेरिव्ड स्कीम $X$ के लिए डेरिव्ड विरूपण फंक्टर्स $\text{Def}_{X,\Lambda}$ और एनिमेटेड (सिम्प्लिसियल कम्यूटेटिव) रिंग्स पर $\text{QC}(X)$ की श्रेणी के लिए $\text{CatDef}_{\text{QC}(X),\Lambda}$ को परिभाषित करता है। इन्हें फॉर्मल मोडुली प्रॉब्लम्स के रूप में माना जाता है, जो डेरिव्ड पार्टीशन ली अल्जेब्रा (विशेषता 0 में शिफ्टेड DGLAs) के समतुल्य हैं।
पीरियड मैप का निर्माण: एक मैप $\theta: \text{Def}_{X,\Lambda} \to \text{CatDef}_{\text{QC}(X),\Lambda}$ का निर्माण किया जाता है, जो $X$ के एक लिफ्ट $Y$ को श्रेणी $\text{QC}(Y)$ में भेजता है।
टेंजेंट फाइबर विश्लेषण: यह पेपर पीरियड मैप के टेंजेंट फाइबर की गणना करता है। इसमें शामिल है:
- $\text{Def}_{X}$ के टेंजेंट स्पेस को टेंजेंट कॉम्प्लेक्स के शिफ्टेड ग्लोबल सेक्शन्स, $R\Gamma(X, T_{X/k})[1]$ के रूप में पहचानना।
- $\text{CatDef}_{\text{QC}(X)}$ के टेंजेंट स्पेस को शिफ्टेड हॉचशिल्ड कोचेन्स, $HH^\bullet(X/k)[2]$ के रूप में पहचानना।
- इन स्थानों को जोड़ने के लिए एटिया क्लासेस (Atiyah classes) और हॉचशिल्ड होमोलॉजी का उपयोग करना। विशेष रूप से, लेखक Cldaru और Buchweitz–Flenner के परिणामों का सामान्यीकरण करते हुए यह दिखाते हैं कि टेंजेंट फाइबर्स पर मैप ड्यूल HKR मैप (ड्यूल ऑफ हॉचशिल्ड-कोस्टेंट-रोसेनबर्ग मैप) है, $R\Gamma(X, T_{X/k})[-1] \to HH^\bullet(X/k)$ ।
इंजेक्टिविटी और स्पेक्ट्रल सीक्वेंस: कोर तकनीकी कार्य $\pi_i$ (होमोटॉपी ग्रुप्स) पर ड्यूल HKR मैप की इंजेक्टिविटी का विश्लेषण करने में निहित है। यह HKR स्पेक्ट्रल सीक्वेंस और उसके डिफरेंशियल्स का अध्ययन करके प्राप्त किया जाता है, विशेष रूप से धनात्मक विशेषता में। पेपर यह भी स्थापित करता है कि किन परिस्थितियों में HKR, टेट (Tate), और डे र्हम-HP स्पेक्ट्रल सीक्वेंस का क्षरण (degeneration) होता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

पीरियड मैप और टेंजेंट आइडेंटिफिकेशन (थ्योरम A): पेपर डेरिव्ड स्कीम्स के लिए पीरियड मैप $\theta$ का निर्माण करता है और सिद्ध करता है कि इसके द्वारा प्रेरित मैप $T\theta$ , ड्यूल HKR मैप $R\Gamma(X, T_{X/k})[1] \to HH^\bullet(X/k)[2]$ के समतुल्य है।
इंजेक्टिविटी की स्थितियाँ: पेपर $\pi_i$ $π_{i}$ पर $T\theta$ $T θ$ की इंजेक्टिविटी के लिए सटीक स्थितियाँ स्थापित करता है:
- विशेषता 0 में, $T\theta$ सभी $i$ के लिए इंजेक्टिव है।
- विशेषता $p > 0$ में, इंजेक्टिविटी $i \ge n + 2 - p$ के लिए होती है (जहाँ $X$ एक $n$ -ट्रंकेटेड स्कीम है) या यदि स्ट्रॉन्ग HKR थ्योरम लागू होता है।
- वीक कैलबी-याऊ (weak Calabi–Yau) वेरिएटीज़ के लिए, इंजेक्टिविटी HKR स्पेक्ट्रल सीक्वेंस में विशिष्ट डिफरेंशियल्स के शून्य होने से जुड़ी है।
डेरिव्ड इनवेरिएंस ऑफ लिफ्टेबिलिटी (थ्योरम B): एक प्राथमिक अनुप्रयोग के रूप में, यह सिद्ध करना कि 'स्क्वायर-ज़ीरो एक्सटेंशन' के साथ लिफ्टेबिलिटी एक डेरिवड इनवेरिएंट है। विशेष रूप से, यदि $X$ और $Y$ डेरिवड समकक्ष हैं (अर्थात, $\text{QC}(X) \simeq \text{QC}(Y)$ ) और $T\theta$ का $\pi_{-1}$ पर इंजेक्टिविटी हो (जो शास्त्रीय स्कीम्स के लिए $\text{char}(k) \neq 2$ होने पर सत्य है), तो $X$ एक स्क्वायर-ज़ीरो एक्सटेंशन $A$ में लिफ्ट होता है यदि और केवल यदि $Y$ भी होता है।
डेफॉरमेशन फंक्टर्स का आइसोमॉर्फिज्म (कोरोलरी 1.4): विशिष्ट कोहोमोलॉजी ग्रुप्स (जैसे, $H^1(Z, \mathcal{O}_Z)$ , $H^2(Z, \mathcal{O}_Z)$ , और $H^0(Z, \wedge^2 T_{Z/k})$ का शून्य होना) की स्थिति में, पीरियड मैप $X$ के शास्त्रीय विरूपण फंक्टर्स और $\text{QC}(X)$ के बीच एक आइसोमॉर्फिज्म प्रेरित करता है। फलस्वरूप, इन शर्तों को पूरा करने वाली डेरिवड समकक्ष स्कीम्स के शास्त्रीय विरूपण फंक्टर्स समरूप होते हैं।
स्पेक्ट्रल सीक्वेंस का क्षरण (प्रपोजिशन 1.2): पेपर विशेषता $p > 0$ में स्मूथ प्रोपर स्कीम्स के लिए HKR, टेट, और डे र्हम-HP स्पेक्ट्रल सीक्वेंस के क्षरण के लिए एक मानदंड प्रदान करता है, जो टोरशन-फ्री क्रिस्टलाइन कोहोमोलॉजी और Hodge–de Rham स्पेक्ट्रल सीक्वेंस के क्षरण पर आधारित है।
एबेलियन पार्टीशन ली अल्जेब्रा: पेपर "डेरिव्ड-अनऑब्स्ट्रक्टेड" (derived-unobstructed) फॉर्मल मोडुली प्रॉब्लम्स (जो एबेलियन पार्टीशन ली अल्जेब्रा के अनुरूप हैं) की अवधारणा पेश करता है और दिखाता है कि यदि लक्ष्य पार्टीशन ली अल्जेब्रा (हॉचशिल्ड) एबेलियन है और पीरियड मैप इंजेक्टिव है, तो स्रोत (स्कीम) भी डेरिवड-अनऑब्स्ट्रक्टेड है।

महत्ता और दावे

पेपर लाइब्लिच (Lieblich) द्वारा उठाए गए प्रश्न का आंशिक उत्तर देता है कि धनात्मक और मिश्रित विशेषता में लिफ्टेबिलिटी किस हद तक एक डेरिवड इनवेरिएंट है। फॉर्मल मोडुली प्रॉब्लम्स और पार्टीशन ली अल्जेब्रा के फॉर्मलिज्म का उपयोग करते हुए, लेखक पूर्व में ज्ञात परिणामों (जो मुख्य रूप से विशेषता 0 में थे) को एक व्यापक सेटिंग में विस्तारित करता है।

डेरिवड इनवेरिएंस: परिणाम दर्शाते हैं कि स्कीम्स के एक विस्तृत वर्ग के लिए (जिसमें विशेषता 0 में स्ट्रिक्ट कैलबी-याऊ और विशेषता $p$ में कुछ मामले शामिल हैं), स्क्वायर-ज़ीरो एक्सटेंशन तक लिफ्ट होने का गुण डेरिवड इक्विवेलेंस के तहत संरक्षित रहता है। यह एंटिएउ-ब्रैग (Antieau–Bragg) के पिछले परिणामों को और स्पष्ट करता है और डेरिवड-इक्विवेलेंट कैलबी-याऊ थ्रीफोल्ड्स के व्यवहार को स्पष्ट करता है।
ऑब्स्ट्रक्शन थ्योरी: फॉर्मल मोडुली प्रॉब्लम्स के माध्यम से दृष्टिकोण एक कैनोनिकल, फंकशनल ऑब्स्ट्रक्शन थ्योरी प्रदान करता है। मैप $T\theta$ ऑब्स्ट्रक्शन क्लासेज का सम्मान करता है, जिससे नॉन-कम्यूटेटिव साइड (हॉचशिल्ड) से कम्यूटेटिव साइड (स्कीम्स) तक ऑब्स्ट्रक्शन जानकारी को स्थानांतरित करना संभव होता है।
सामान्यीकरण: यह कार्य "कम्यूटेटिव-टू-नॉन-कम्यूटेटिव" पीरियड मैप को डेरिव्ड स्कीम्स और एनिमेटेड रिंग्स तक सामान्यीकृत करता है, जो पूर्व साहित्य (जैसे, Toën, Kontsevich–Katzarkov–Pandit) में आवश्यक स्मूथ/प्रोपर धारणाओं से आगे बढ़ता है।

लेखक नोट करता है कि हालांकि परिणाम स्क्वायर-ज़ीरो एक्सटेंशन के लिए मजबूत हैं, लेकिन उच्च-क्रम (higher-order) विरूपणों के लिए व्यवहार एक खुला प्रश्न बना हुआ है, जहाँ वे उन उदाहरणों का उल्लेख करते हैं जहाँ डेरिवड-इक्विवेलेंट कैलबी-याऊ थ्रीफोल्ड्स के विरूपण स्थान (deformation spaces) अलग-अलग आयामों के होते हैं। पेपर यह भी स्वीकार करता है कि कुरामा (Kurama) और पेरी (Perry) के स्वतंत्र कार्य भी इन परिणामों के साथ ओवरलैप करते हैं।

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