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On the structure and representations of quantum graph algebras at roots of unity

यह शोध पत्र विषम-क्रम के मूल इकाइयों (odd-order roots of unity) पर विशिष्ट ग्राफ बीजगणितों की संरचना और निरूपणों की जांच करता है, यह सिद्ध करते हुए कि उनके केंद्रीय स्थानीयकरण (central localizations) और अपरिवर्तनीय उप-बीजगणित (invariant subalgebras) स्पष्ट रूप से गणना की गई PI डिग्री और पूर्णांक रूप से बंद केंद्रों (integrally closed centers) वाले केंद्रीय सरल बीजगणित हैं।

मूल लेखक: Stéphane Baseilhac, Matthieu Faitg, Philippe Roche

प्रकाशित 2026-06-09

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Stéphane Baseilhac, Matthieu Faitg, Philippe Roche

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक बड़ी तस्वीर: एक क्वांटम शहर का निर्माण करना

कल्पना कीजिए कि आप एक वास्तुकार (architect) हैं जो एक शहर डिजाइन करने की कोशिश कर रहे हैं। शास्त्रीय दुनिया (classical world) में, यह शहर एक सपाट, अनुमानित ग्रिड पर बना होता है। लेकिन क्वांटम ग्रुप्स (Quantum Groups) की दुनिया में, यह शहर एक अजीब, घुमावदार परिदृश्य पर बना होता है जहाँ ज्यामिति के नियम इस बात पर निर्भर करते हैं कि आप उन्हें कैसे देखते हैं।

यह शोध पत्र एक विशेष प्रकार के क्वांटम शहर, जिसे क्वांटम ग्राफ अल्जेब्रा (Quantum Graph Algebra) कहा जाता है, के "ब्लूप्रिंट" (अल्जेब्रा) का अध्ययन करने के बारे में है। ये शहर सतहों (जैसे छेदों वाले डोनट) पर बने होते हैं और जटिल गणितीय आकृतियों जैसे कि ली ग्रुप्स (Lie Groups) से जुड़े होते हैं (इन्हें आप शहर की ज्यामिति के अंतर्निहित कंकाल या 'स्केलेटन' के रूप में सोच सकते हैं)।

लेखक, स्टैफन बेसिल्हैक, मैथ्यू फैइटग और फिलिप रोच, इस बात की जांच कर रहे हैं कि क्या होता है जब आप एक विशिष्ट "डायल" को एक विशेष सेटिंग पर घुमाते हैं जिसे रूट ऑफ यूनिटी (Root of Unity) कहा जाता है।

मुख्य अवधारणाएं

1. डायल: रूट्स ऑफ यूनिटी (Roots of Unity)

कल्पना कीजिए कि आपके क्वांटम शहर में एक कंट्रोल नॉब (control knob) है जिस पर $q$ लिखा है। आमतौर पर, इस नॉब को किसी भी संख्या पर सेट किया जा सकता है। हालाँकि, लेखक एक बहुत ही विशिष्ट सेटिंग में रुचि रखते हैं: नॉब को रूट ऑफ यूनिटी पर घुमाना।

उपमा (Analogy): एक घड़ी के बारे में सोचें। यदि आप नॉब को "रूट ऑफ यूनिटी" पर घुमाते हैं, तो आप घड़ी की सुइयों को मजबूर करते हैं कि वे कुछ निश्चित टिकों (जैसे 12 घंटे) के बाद वापस शुरुआत पर आ जाएं।
समस्या: जब आप घड़ी को वापस शुरू पर लाते हैं, तो शहर का सहज, निरंतर प्रवाह टूट जाता है। नियम "डिस्क्रीट" (discrete) और कठोर हो जाते हैं। लेखक जानना चाहते थे: क्या शहर ढह जाएगा? क्या यह एक गड़बड़ी बन जाएगा? या यह एक नई, स्थिर संरचना बनाएगा?

2. ब्लूप्रिंट: क्वांटम ग्राफ अल्जेब्रा ( $L_{g,n}$ )

क्वांटम ग्राफ अल्जेब्रा उन नियमों का समूह है जो आपको इस क्वांटम सतह पर फंक्शन (जैसे ट्रैफिक पैटर्न या ऊर्जा प्रवाह) बनाने के निर्देश देता है।

उपमा: एक विशाल, बहु-आयामी लेगो (Lego) सेट की कल्पना करें। "ग्राफ अल्जेब्रा" इन लेगो ब्लॉक्स को आपस में जोड़ने के निर्देश मैनुअल की तरह है।
ट्विस्ट: लेखक उस मैनुअल को देख रहे हैं जब लेगो एक विशेष, भंगुर (brittle) सामग्री से बने होते हैं ("रूट ऑफ यूनिटी" सेटिंग)। वे जानना चाहते हैं कि क्या निर्देश अभी भी समझ में आते हैं और क्या आप अभी भी एक ठोस संरचना बना सकते हैं।

3. दो मुख्य इमारतें

यह शोध पत्र इस शहर के भीतर दो विशिष्ट संरचनाओं पर ध्यान केंद्रित करता है:

मुख्य शहर ( $L^\epsilon_{g,n}$ ): क्वांटम सतह के नियमों का पूर्ण सेट।
"इनवेरिएंट" जिला ( $L^{u_\epsilon}_{g,n}$ ): इस शहर के भीतर एक विशेष पड़ोस जहाँ नियम सममित (symmetric) हैं। यदि आप इस पड़ोस को घुमाते या बदलते हैं, तो यह बिल्कुल वैसा ही दिखता है। गणित के शब्दों में, ये वे तत्व हैं जो एक "छोटे क्वांटम ग्रुप" (शहर के कंकाल का एक सरल संस्करण) के "कोएडजॉइंट एक्शन" (coadjoint action) के तहत नहीं बदलते हैं।

उन्होंने क्या खोजा

लेखकों ने सिद्ध किया कि जब डायल को इस कठिन "रूट ऑफ यूनिटी" स्थिति पर सेट किया जाता है, तब भी शहर बिखरता नहीं है। इसके बजाय, यह एक अत्यधिक संगठित, कठोर संरचना बन जाता है। उनके मुख्य निष्कर्ष यहाँ दिए गए हैं:

1. शहर ठोस है (यह एक "डोमेन" है)

गणित में, "डोमेन" एक ऐसी जगह है जहाँ आप दो गैर-शून्य (non-zero) चीजों को गुणा करके शून्य नहीं प्राप्त कर सकते (कोई "भूतिया" शून्य नहीं)।

निष्कर्ष: उन्होंने सिद्ध किया कि मुख्य शहर और इनवेरिएंट जिला दोनों ठोस हैं। आप दो गैर-शून्य भागों को मिलाकर शून्य पैदा नहीं कर सकते। इसका अर्थ है कि संरचना स्थिर और सुव्यवस्थित है।

2. शहर का केंद्र (The "Integrally Closed" Ring)

हर शहर का एक "केंद्र" या "टाउन हॉल" होता है जहाँ सबसे महत्वपूर्ण, अपरिवर्तनीय नियम रहते हैं।

निष्कर्ष: लेखकों ने इस टाउन हॉल का पूरी तरह से मानचित्रण किया। उन्होंने पाया कि केंद्र के नियम "इंटिग्रली क्लोज्ड" (integrally closed) हैं।
उपमा: कानूनों के एक पुस्तकालय की कल्पना करें। "इंटिग्रली क्लोज्ड" का अर्थ है कि पुस्तकालय पूर्ण है; वहाँ कोई छूटे हुए पन्ने या आधे-अधूरे कानून नहीं हैं। यदि कोई नियम तार्किक रूप से पुस्तकालय में होना चाहिए, तो वह पहले से ही वहाँ मौजूद है। लेखकों ने दिखाया कि इन क्वांटम शहरों का "टाउन हॉल" नियमों का एक पूर्णतः स्वयं-निहित पुस्तकालय है।

3. कमरे का अधिकतम आकार (PI Degree)

क्वांटम भौतिकी के सबसे व्यावहारिक प्रश्नों में से एक यह है: इस शहर के भीतर हम कितना बड़ा "कमरा" (रिप्रेजेंटेशन) बना सकते हैं?

निष्कर्ष: लेखकों ने इन कमरों का सटीक अधिकतम आकार निकाला। वे इसे PI डिग्री कहते हैं।
उपमा: शहर को एक होटल के रूप में सोचें। लेखकों ने गणना की कि एक अद्वितीय सुइट में कितने मेहमान (dimensions) बिना एक-दूसरे से टकराए रह सकते हैं। उन्होंने इस संख्या के लिए एक सटीक सूत्र पाया जो सतह के आकार (genus $g$ और छेद $n$ ) और अंतर्निहित कंकाल (Lie group) की जटिलता पर आधारित है।

4. "छोटा" बनाम "बड़ा" संबंध

शोध पत्र एक पूर्ण शहर और इसके एक "छोटे" संस्करण (जो एक "छोटे क्वांटम ग्रुप" से जुड़ा है) के बीच एक दिलचस्प संबंध दिखाता है।

निष्कर्ष: पूर्ण शहर ( $L^\epsilon_{g,n}$ ) वास्तव में छोटे शहर ( $L_{g,n}(u_\epsilon)$ ) का एक "सेंट्रल एक्सटेंशन" (central extension) है।
उपमा: कल्पना कीजिए कि छोटा शहर एक लघु मॉडल (miniature model) है। पूर्ण शहर वास्तविक चीज़ है, जिसे लघु मॉडल के ऊपर एक विशिष्ट "शास्त्रीय" नियमों (ग्रुप $G$ के फंक्शन) की परत जोड़कर बनाया गया है। लेखकों ने सिद्ध किया कि यदि आप पूर्ण शहर लेते हैं और इस विशिष्ट परत को हटा देते हैं, तो आपको ठीक वही लघु मॉडल प्राप्त होता है। यह जटिल क्वांटम दुनिया को एक सरल, परिमित-आयामी (finite-dimensional) दुनिया से जोड़ता है।

यह क्यों मायने रखता है (शोध पत्र के अनुसार)

लेखक केवल यह नहीं कहते कि "यह अच्छा है।" वे समझाते हैं कि यह हमें क्वांटम टोपोलॉजी के ब्रह्मांड को समझने में कैसे मदद करता है:

अनिश्चितता की भविष्यवाणी करना: क्योंकि वे जानते हैं कि "टाउन हॉल" (केंद्र) पूर्ण है और अधिकतम कमरे का आकार ज्ञात है, वे सटीक रूप से भविष्यवाणी कर सकते हैं कि इस क्वांटम शहर में किस प्रकार के "स्टेट्स" (representations) मौजूद हैं।
"अज़ुमाया" ज़ोन (The "Azumaya" Zone): उन्होंने शहर में एक विशिष्ट क्षेत्र (अज़ुमाया लोकस) की पहचान की जहाँ नियम पूरी तरह से सुचारू हैं और प्रत्येक "कमरा" अपने अधिकतम आकार का है। इस क्षेत्र के बाहर, कमरे छोटे और अधिक अराजक हो जाते हैं।
एक नया उपकरण: उन्होंने अलेक्सीव मॉर्फिज्म (Alekseev morphism) नामक एक उपकरण का उपयोग किया (शहर के नियमों को एक अलग भाषा में अनुवाद करने का एक विशिष्ट तरीका) ताकि इन परिणामों को सिद्ध किया जा सके। उन्होंने इस उपकरण को थोड़ा बदला (एक संशोधित संस्करण बनाया) ताकि यह "क्वांटम मोमेंट मैप" (शहर की समरूपता को मापने का एक तरीका) के साथ पूरी तरह से काम कर सके।

एक वाक्य में सारांश

लेखकों ने सिद्ध किया कि जब आप एक विशिष्ट "स्नैप-बैक" सेटिंग (रूट ऑफ यूनिटी) का उपयोग करके सतहों पर जटिल क्वांटम शहर बनाते हैं, तो परिणामी संरचनाएँ स्थिर होती हैं, उनके केंद्रीय नियम पूरी तरह से पूर्ण होते हैं, और आप गणना कर सकते हैं कि उनके भीतर सबसे बड़े संभावित क्वांटम "कमरे" कितने बड़े हो सकते हैं।

तकनीकी सारांश: मूलों पर क्वांटम ग्राफ बीजगणित की संरचना और निरूपण

समस्या विवरण
यह शोध पत्र क्वांटम ग्राफ बीजगणित, जिसे $L_{g,n}$ द्वारा दर्शाया गया है, के संरचनात्मक विश्लेषण और निरूपण सिद्धांत (representation theory) को संबोधित करता है, जो एक सरल-संयोजी जटिल अर्ध-सरल बीजगणितीय समूह $G$ और एक जनक $g$ तथा $n$ छिद्रों वाली एक कॉम्पैक्ट ओरिएंटेड सतह $\Sigma^\circ_{g,n}$ (जिसमें एक सीमा घटक है) से संबद्ध है। जबकि $L_{g,n}$ सामान्य मापदंडों $q$ के लिए अच्छी तरह से समझा गया है (एक प्रतिनिधित्व विविधता $\text{Hom}_{\text{Grp}}(\pi_1(\Sigma^\circ_{g,n}), G)$ के फलन बीजगणित के क्वांटाइजेशन के रूप में), विषम क्रम के मूलों $\epsilon$ पर इन बीजगणितों के विशेषीकरण (specialization) के मामले में महत्वपूर्ण चुनौतियाँ आती हैं। विशेष रूप से, लेखक विशेषीकृत बीजगणितों $L^\epsilon_{g,n}$ और उनके अपरिवर्तित उप-बीजगणितों $L^{u_\epsilon}_{g,n}$ (जो छोटे क्वांटम समूह $u_\epsilon$ के को-एडजॉइंट क्रिया के अंतर्गत हैं) की संरचना निर्धारित करने का लक्ष्य रखते हैं। मुख्य प्रश्न यह है कि क्या ये डोमेन (domains) हैं, उनके केंद्रों (centers) की प्रकृति क्या है, और उनके PI-डिग्री (उनके अपरिवर्तनीय निरूपणों का अधिकतम आयाम) की गणना कैसे की जाती है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक ढांचा अपनाते हैं जो हॉपफ बीजगणित (Hopf algebra) और क्वांटम समूह सिद्धांत में निहित है, और वे पूर्व कार्यों (जैसे $A_n$ प्रकार के लिए उपयोग किए जाने वाले जेनरेटर-संबंध प्रस्तुतीकरण या स्केइन-सिद्धांतिक उपकरणों) पर निर्भरता से बचते हैं। कार्यप्रणाली निम्नलिखित चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है:

सामान्य ग्राफ बीजगणित ढांचा: शोध पत्र पहले एक हॉपफ बीजगणित $H$ के लिए सामान्य ग्राफ बीजगणित $L_{g,n}(H)$ की परिभाषा स्थापित करता है, जो एक "क्वासी-ट्राइएंगुलर डेटा" $(H, \Phi^\pm)$ से सुसज्जित है, जहाँ $\Phi^\pm$ एक $R$ -मैट्रिक्स के स्थान पर प्रयुक्त होने वाले मॉर्फिज्म हैं। यह इस ढांचे की अनुमति देता है कि बीजगणित को तब भी परिभाषित किया जा सके जब $H$ मानक अर्थों में पूर्णतः क्वैसी-ट्राइएंगुलर न हो।
इंटीग्रल फॉर्म और विशेषीकरण: लेखक क्वांटम समूहों ( $U^\Lambda_A$ और $\Gamma^\Lambda_A$ ) और उनके द्वंद्वों ( $O_A$ ) के इंटीग्रल फॉर्म का उपयोग करते हैं। वे इन संरचनाओं को एक विषम क्रम $l$ (जो $D$ के सह-अभाज्य है, जहाँ $D$ वेट और रूट लैटिस के बीच संबंध बताता है) के मूल $\epsilon$ पर विशेषीकृत करते हैं। इसमें उस "क्षय" (degeneracy) को संभालना शामिल है जहाँ अनरिस्ट्रिक्टेड इंटीग्रल फॉर्म का रिस्ट्रिक्टेड फॉर्म में समावेश एक बड़े कर्नेल (kernel) को प्राप्त करता है, जिससे छोटा क्वांटम समूह $u_\epsilon$ प्राप्त होता है।
संशोधित अलेक्सीव मॉर्फिज्म (Modified Alekseev Morphism): एक केंद्रीय तकनीकी नवाचार संशोधित अलेक्सीव मॉर्फिज्म $\hat{\Phi}_{g,n}$ का निर्माण है। मानक अलेक्सीव मॉर्फिज्म के विपरीत, यह एक विस्तारित हीज़ेनबर्ग डबल $\tilde{H}_q$ में मैप करता है जो क्वांटम मोमेंट मैप के साथ कम्यूट करने के लिए आवश्यक तत्वों को समाहित करता है। यह संशोधन इंजेक्शन (injectivity) को सिद्ध करने और अपरिवर्तित उप-बीजगणितों एवं सेंट्रलइज़र (centralizers) के बीच संबंध स्थापित करने के लिए महत्वपूर्ण है।
क्वांटम मोमेंट मैप और सेंट्रलइज़र: लेखक क्वांटम मोमेंट मैप $\mu_{g,n}$ का विश्लेषण करते हैं और सिद्ध करते हैं कि अपरिवर्तित तत्वों का उप-बीजगणित $L^{u_\epsilon}_{g,n}$ , $L^\epsilon_{g,n}$ के भीतर $\mu_{g,n}$ के इमेज का सेंट्रलइज़र है।
PI रिंग थ्योरी और केंद्र विश्लेषण: यह स्थापित करके कि ये बीजगणित डोमेन हैं और अपने केंद्रों पर परिमित रूप से जनरेटेड मॉड्यूल हैं, लेखक PI रिंग थ्योरी लागू करते हैं। वे सेंट्रल लोकलाइज़ेशन का विश्लेषण करके और डबल सेंट्रलइज़र प्रमेय का उपयोग करके PI-डिग्री की गणना करते हैं। केंद्रों की संरचना को क्वांटम समूहों के केंद्रों के संबंध में डे कॉन्सिनी, काक और प्रोसेसी के परिणामों का उपयोग करके वर्णित किया गया है।

मुख्य योगदान और परिणाम

डोमेन गुण और सेंट्रल लोकलाइजेशन: लेखक सिद्ध करते हैं कि $L^\epsilon_{g,n}$ और $L^{u_\epsilon}_{g,n}$ दोनों डोमेन हैं। उनके सेंट्रल लोकलाइज़ेशन, $Q(L^\epsilon_{g,n})$ और $Q(L^{u_\epsilon}_{g,n})$ , सेंट्रल सिंपल बीजगणित (डिवीजन बीजगणित) हैं।
PI-डिग्री की गणना:
- $L^\epsilon_{g,n}$ के लिए, PI-डिग्री $l^{g \dim(g) + nN}$ है, जहाँ $N$ $\mathfrak{g}$ के धनात्मक रूट्स की संख्या है।
- अपरिवर्तित उप-बीजगणित $L^{u_\epsilon}_{g,n}$ (यह मानते हुए कि $(g,n) \neq (0,1)$ ) के लिए, PI-डिग्री $l^{g \dim(g) + N(n-1) - m}$ है, जहाँ $m$ $\mathfrak{g}$ की रैंक है।
केंद्रों की संरचना: केंद्र $Z(L^\epsilon_{g,n})$ $Z (L_{g, n}^{ϵ})$ और $Z(L^{u_\epsilon}_{g,n})$ $Z (L_{g, n}^{u_{ϵ}})$ को इंटीग्रली क्लोज्ड नोथेरियन रिंग्स (integrally closed Noetherian rings) सिद्ध किया गया है।
- $Z(L^\epsilon_{g,n})$ , फ्रोबेनियस मॉर्फिज्म के इमेज (जो $O(G)^{\otimes(2g+n)}$ के समरूपी है) और क्वांटम समूह $U^\Lambda_\epsilon$ के केंद्र से संबंधित एक उप-बीजगणित द्वारा जनरेटेड है।
- शोध पत्र केंद्रों को केंद्रीय उप-बीजगणितों के टेंसर उत्पाद के रूप में वर्णित करने वाले स्पष्ट आइसोमॉर्फिज्म प्रदान करता है, जो $g=0$ या विशिष्ट ली-टाइप्स के लिए ज्ञात परिणामों का सामान्यीकरण करता है।
एक्सटेंशन और एक्सटैक्ट सीक्वेंस: शोध पत्र स्थापित करता है कि $L^\epsilon_{g,n}$ , फ्रोबेनियस इमेज के ऑगमेंटेशन आइडियल द्वारा $L_{g,n}(u_\epsilon)$ (जो छोटे क्वांटम समूह से संबद्ध है) का एक सेंट्रल एक्सटेंशन है। यह विशेषीकृत ग्राफ बीजगणित को केरलेर-ल्युबाशेन्को (Kerler–Lyubashenko) TQFT के स्टेट स्पेस से जोड़ता है।
निरूपण सिद्धांत के निहितार्थ: गणना की गई PI-डिग्री और केंद्रों की संरचना का उपयोग करते हुए, लेखक इन बीजगणितों के अपरिवर्तनीय निरूपणों के आयामों को निर्धारित करते हैं। वे अज़ुमाया लोकस (Azumaya locus - जहाँ निरूपण अधिकतम आयाम प्राप्त करते हैं) को केंद्र के स्पेक्ट्रम में एक डिस्क्रिमिनेन्ट वैराइटी के पूरक के रूप में पहचानते हैं।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह सभी जटिल सरल ली बीजगणितों के लिए क्वांटम ग्राफ बीजगणितों की संरचना के लिए एक एकीकृत दृष्टिकोण प्रदान करता है, न कि केवल केस-दर-केस कॉम्बिनेटरियल विवरणों (जैसे $A_n$ प्रकार के स्टेटेड स्केइन बीजगणित) पर निर्भर करता है। इंटीग्रल फॉर्म और इनवेरिएंट थ्योरी का उपयोग करके, लेखक स्पष्ट जेनरेटर-और-संबंध प्रस्तुतीकरण की आवश्यकता से बचते हैं, जो सामान्य $G$ के लिए कठिन हो सकते हैं।

ये परिणाम महत्वपूर्ण हैं:

क्वांटम टोपोलॉजी: $L_{g,n}(u_\epsilon)$ को केरलेर-ल्युबाशेन्को TQFT के स्टेट स्पेस के एंडोमोर्फिज्म बीजगणित के रूप में पहचाना गया है। $L^\epsilon_{g,n}$ पर $L_{g,n}(u_\epsilon)$ के रूप में केंद्रीय विस्तार के संरचनात्मक परिणाम पूर्ण क्वांटम समूह सिद्धांत और TQFT में उपयोग किए जाने वाले मॉड्यूल कैटेगरी थ्योरी के बीच एक सेतु प्रदान करते हैं।
निरूपण सिद्धांत: PI-डिग्री की गणना और केंद्रों की संरचना का उपयोग करके, लेखक इन बीजगणितों के अपरिवर्तनीय निरूपणों के आयामों का पूर्ण वर्गीकरण और अज़ुमाया लोकस की पहचान करने में सक्षम होते हैं, जो केंद्र के "जेनेरिक" व्यवहार को दर्शाता है।
एकीकरण: कार्यप्रणाली यह प्रदर्शित करती है कि हॉपफ बीजगणित के उपकरणों (विशेष रूप से अलेक्सीव मॉर्फिज्म और क्वांटम मोमेंट मैप) को सभी ली प्रकारों के लिए इन बीजगणितों के निरूपण सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए प्रभावी ढंग से लागू किया जा सकता है।

लेखक उल्लेख करते हैं कि जबकि $g=0$ के मामले का पहले फैक्टराइजेशन होमोलॉजी और पॉइसन ऑर्डर्स का उपयोग करके अध्ययन किया गया था, उनका दृष्टिकोण ट्विस्ट और इंटीग्रल फॉर्म के विशेषीकरण पर आधारित एक अलग दृष्टिकोण प्रदान करता है, जो स्वाभाविक रूप से $n > 0$ और अधिक सामान्य मूलों (roots of unity) के मामलों तक विस्तारित होता है। $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_2$ के लिए मैक्सिमल ऑर्डर मुद्दों और मूर्त अविभाज्य निरूपणों (indecomposable representations) को संबोधित करने के लिए भविष्य के कार्य का उल्लेख किया गया है।