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Anomalous Localization and Mobility Edges in Non-Hermitian Quasicrystals with Disordered Imaginary Gauge Fields

यह शोधपत्र विस्केंद्रित काल्पनिक गेज क्षेत्रों (disordered imaginary gauge fields) वाले एक गैर-हर्मिटीय ऑब्रे-आंद्रे-हार्पर (Aubry-André-Harper) श्रृंखला की जांच करता है, जो लाइपुनोव घातांकों (Lyapunov exponents) और स्पेक्ट्रल वाइंडिंग (spectral winding) द्वारा विशिष्ट अनियमित स्किन प्रभाव (erratic skin effect) और स्थानीयकृत चरणों के बीच एक असामान्य संक्रमण, साथ ही एंडरसन-स्थानीयकृत अवस्थाओं (Anderson-localized states) से मैक्रोस्कोपिक-एकत्रीकरण अवस्थाओं (macroscopic-accumulation states) को अलग करने वाले एक अद्वितीय गतिशीलता किनारे (mobility edge) को प्रकट करता है।

मूल लेखक: Guolin Nan, Zhijian Li, Feng Mei, Zhihao Xu

प्रकाशित 2026-04-21

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Guolin Nan, Zhijian Li, Feng Mei, Zhihao Xu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक भीड़भाड़ वाले डांस फ्लोर की कल्पना करें जहाँ हर कोई संगीत की ताल पर थिरकने की कोशिश कर रहा है। एक सामान्य दुनिया में (जिसे भौतिक विज्ञानी "हर्मिटीन" (Hermitian) प्रणाली कहते हैं), यदि संगीत बहुत अधिक अराजक हो जाता है या फर्श बहुत अधिक फिसलन भरा हो जाता है, तो डांसर अंततः हिलना बंद कर देते हैं और छोटे, बिखरे हुए समूहों में सिमट जाते हैं। इसे लोकलाइजेशन (Localization) कहा जाता है।

लेकिन यह शोध पत्र एक बहुत ही अजीब, "नॉन-हर्मिटीन" (non-Hermitian) डांस फ्लोर के बारे में है। यहाँ, भौतिकी के नियम थोड़े मुड़े हुए हैं: फर्श सिर्फ फिसलन भरा ही नहीं है; इसमें अदृश्य, एक-तरफा धाराएं (जैसे एक कन्वेयर बेल्ट) हैं जो डांसरों को विशिष्ट दिशाओं में धकेलती हैं। यह है नॉन-हर्मिटीन स्किन इफेक्ट (Non-Hermitian Skin Effect)।

आमतौर पर, इस अजीब फर्श पर, यदि धाराएं मजबूत हैं, तो सभी डांसर कमरे की एक विशिष्ट दीवार की ओर धकेल दिए जाते हैं और वहाँ जमा हो जाते हैं। यह "स्किन इफेक्ट" है।

बड़ा ट्विस्ट: "एरेटिक" (Erratic) डांस फ्लोर

शोधकर्ताओं ने इस शोध पत्र में एक नया चर (variable) पेश किया: डिसऑर्डर (Disorder/अव्यवस्थितता)। उन्होंने एक-तरफा धाराओं को यादृच्छिक (random) और अप्रत्याशित बना दिया। एक चिकने कन्वेयर बेल्ट के बजाय, जो सभी को बाईं दीवार की ओर धकेलता है, अब फर्श पर जगह-जगह अलग-अलग दिशाओं में इशारा करने वाली छोटी, यादृच्छिक धाराएं हैं।

उन्होंने पाया कि यहाँ कुछ विचित्र होता है:

"एरेटिक" स्किन इफेक्ट (ENHSE): दीवार पर जमा होने के बजाय, डांसर कमरे के बीच में यादृच्छिक, अनियमित स्थानों पर जमा हो जाते हैं। यह एक अव्यवस्था जैसा दिखता है, लेकिन वास्तव में यह यादृच्छिक धाराओं के कारण होने वाला एक विशिष्ट प्रकार का "लोकलाइजेशन" है।
"एंडर्सन" लोकलाइजेशन (Anderson Localization): यदि आप अराजकता (क्वासीपीरियॉडिक मॉड्यूलेशन) को बढ़ा देते हैं, तो डांसर धाराओं का पालन करना पूरी तरह से छोड़ देते हैं और बस यादृच्छिक, बिखरे हुए स्थानों में सिमट जाते हैं, जिससे वे धाराओं को अनदेखा कर देते हैं।

रहस्य: उन्हें अलग कैसे पहचानें?

जटिल बात यह है कि एक साधारण पर्यवेक्षक के लिए, दोनों समूह एक जैसे दिखते हैं। दोनों मामलों में, डांसर छोटे समूहों में फंसे हुए हैं, और उनका "फ्रैक्टल डायमेंशन" (यह मापने का एक फैंसी तरीका कि वे कितने फैले हुए हैं) शून्य है। दोनों "लोकलाइज्ड" दिखते हैं।

शोधकर्ताओं ने उन्हें अलग करने का एक चतुर तरीका खोजा, जैसे कि एक विशेष चश्मे का उपयोग करना:

ल्यपुनोव एक्सपोनेंट (Lyapunov Exponent - "ग्रोथ रेट"): "एरेटिक" चरण में, डांसरों के आंदोलन के पैटर्न तेजी से बढ़ते या घटते नहीं हैं; वे स्थिर होते हैं। "एंडर्सन" चरण में, वे तेजी से बढ़ते या घटते हैं।
"सेंटर ऑफ मास" का डगमगाना (The "Center of Mass" Wobble): एरेटिक चरण में, फर्श के एक विशिष्ट स्वरूप (realization) में डांसर सभी एक ही कुछ यादृच्छिक स्थानों के आसपास क्लस्टर बनाते हैं। यदि आप पूरे समूह को देखते हैं, तो उनका "गुरुत्वाकर्षण केंद्र" इस बात पर बहुत अधिक डगमगाता है कि आपने कौन सा यादृच्छिक फर्श चुना था। एंडर्सन चरण में, डांसर कमरे में इतने समान रूप से बिखरे होते हैं कि गुरुत्वाकर्षण केंद्र बहुत स्थिर रहता है।

"मोबिलिटी एज" का आश्चर्य

सामान्य भौतिकी में, एक अवधारणा है जिसे मोबिलिटी एज (Mobility Edge) कहा जाता है। एक डांस फ्लोर पर एक रेखा की कल्पना करें। एक तरफ, डांसर स्वतंत्र रूप से दौड़ सकते हैं (विस्तारित अवस्थाएं/extended states)। दूसरी तरफ, वे फंसे हुए हैं (लोकलाइज्ड अवस्थाएं)।

शोधकर्ताओं ने पाया कि इस अजीब, नॉन-हर्मिटीन दुनिया में, यह "मोबिलिटी एज" अभी भी मौजूद है, लेकिन यह विसंगत (anomalous) है।

सामान्य दुनिया: रेखा "दौड़ने वाले डांसरों" और "फंसे हुए डांसरों" को अलग करती है।
इस शोध पत्र की दुनिया: रेखा दो अलग-अलग प्रकार के "फंसे हुए डांसरों" को अलग करती है।
- रेखा के एक तरफ, डांसर "एरेटिक स्किन" के ढेरों में फंसे हुए हैं (मैक्रोस्कोपिक संचय)।
- दूसरी तरफ, वे "एंडर्सन" के बिखरे हुए ढेरों में फंसे हुए हैं।
- महत्वपूर्ण बात: इस फर्श पर कोई भी "दौड़ने वाला डांसर" नहीं है! पूरा सिस्टम फंसा हुआ है, बस फंसने के दो अलग तरीके हैं।

"ड्रिफ्ट" और "वाइंडिंग नंबर"

शोध पत्र ने यह भी देखा कि एक एकल डांसर (एक वेव पैकेट) समय के साथ कैसे चलता है।

वाइंडिंग नंबर (Winding Number): यह एक कंपास की तरह है जो आपको बताता है कि "अदृश्य धाराएं" किस दिशा में घूम रही हैं।
ड्रिफ्ट (Drift): यदि कंपास "बाएं" कहता है, तो डांसर बाईं ओर बहता है। यदि यह "दाएं" कहता है, तो डांसर दाईं ओर बहता है।
जादू: यदि आप एक विशिष्ट डांस फ्लोर को देखते हैं, तो डांसर एक विशिष्ट दिशा में बहता है। लेकिन यदि आप हजारों अलग-अलग यादृच्छिक फर्शों का औसत निकालते हैं, तो बाएं-बहने वाले और दाएं-बहने वाले एक-दूसरे को संतुलित कर देते हैं। परिणाम? औसत डांसर ऐसा दिखता है जैसे वह बस खड़ा है, ठीक एक सामान्य, उबाऊ फर्श पर डांसर की तरह व्यवहार कर रहा है।

निष्कर्ष

यह शोध पत्र एक अजीब क्वांटम दुनिया की जासूसी कहानी है।

अपराध: डांसर दो अलग-अलग तरीकों से फंस रहे हैं जो नग्न आंखों से देखने में एक जैसे लगते हैं।
सुराग: अपने "गुरुत्वाकर्षण केंद्र" के डगमगाने और अपने ऊर्जा स्तरों के व्यवहार को मापकर, शोधकर्ताओं ने "एरेटिक ढेर" और "बिखरे हुए झुंड" के बीच अंतर करने का एक तरीका खोज लिया।
ट्विस्ट: इन दो अवस्थाओं के बीच की सीमा (मोबिलिटी एज) "चलने" और "फंसने" के बीच नहीं है। यह "ढेर में फंसने" और "बिखराव में फंसने" के बीच की सीमा है।
सबक: इस अराजक, नॉन-हर्मिटीन दुनिया में भी, छिपे हुए पैटर्न (टोपोलॉजी) मौजूद हैं जो यह तय करते हैं कि चीजें कैसे चलती हैं और वे कहाँ फंस जाती हैं। यदि आप जानते हैं कि कैसे देखना है (स्पेक्ट्रल वाइंडिंग और सेंटर-ऑफ-मास फ्लक्चुएशन का उपयोग करके), तो आप उस अराजकता को चलाने वाली अदृश्य धाराओं को देख सकते हैं।

संक्षेप में: सिर्फ इसलिए कि हर कोई फंसा हुआ है, इसका मतलब यह नहीं है कि वे एक ही कारण से फंसे हुए हैं। और कभी-कभी, "फंसा हुआ" व्यवहार वास्तव में एक छिपे हुए, घूमते हुए टोपोलॉजिकल क्रम का संकेत होता है।

यहाँ गुओलिन नान और अन्य द्वारा लिखित शोध पत्र "Anomalous Localization and Mobility Edges in Non-Hermitian Quasicrystals with Disordered Imaginary Gauge Fields" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र नॉन-हर्मिटीनेसिटी (non-Hermiticity), क्वासी-पेरियोडिसिटी (quasiperiodicity), और स्थानिक रूप से विस्केंद्रित गैर-पारस्परिकता (spatially disordered non-reciprocity) के बीच अंतर्संबंधों की जांच करता है।

संदर्भ: जबकि नॉन-हर्मिटीअन स्किन इफेक्ट (NHSE) आमतौर पर आइजनस्टेट्स (eigenstates) को सीमाओं पर संचित करता है, और एंडरसन लोकलाइजेशन (Anderson localization) अवस्थाओं को जाली (lattice) में पूरे क्षेत्र में वितरित करता है, हाल के कार्यों ने एक "एरेटिक नॉन-हर्मिटीअन स्किन इफेक्ट" (ENHSE) की पहचान की है, जहाँ अवस्थाएँ विकार (disorder) द्वारा निर्धारित अनियमित बल्क स्थितियों पर संचित होती हैं।
अंतराल (Gap): यह स्पष्ट नहीं है कि ENHSE अवस्थाओं को पारंपरिक एंडरसन-लोकलाइज्ड अवस्थाओं से कैसे अलग किया जाए, क्योंकि दोनों ही थर्मोडायनामिक सीमा में लुप्त फ्रैक्टल आयाम (vanishing fractal dimensions) प्रदर्शित करते हैं। इसके अलावा, विस्कर्ड गेज फील्ड वाले नॉन-हर्मिटीअन सिस्टम में मोबिलिटी एजेस (mobility edges) (लोकलाइज्ड और एक्सटेंडेड अवस्थाओं को अलग करने वाली सीमाएँ) का अस्तित्व और प्रकृति अभी भी पूरी तरह से समझ में नहीं आई है। विशेष रूप से, क्या एक मोबिलिटी एज दो विशिष्ट प्रकार की लोकलाइज्ड अवस्थाओं (जैसे, एंडरसन बनाम ENHSE) को अलग कर सकता है, न कि केवल एक्सटेंडेड बनाम लोकलाइज्ड अवस्थाओं को?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक एक-आयामी सामान्यीकृत ऑब्री-आंद्रे-हार्पर (AAH) मॉडल का अध्ययन करते हैं जिसमें निम्नलिखित विशेषताएं हैं:

हैमिल्टोनियन (Hamiltonian): एक टाइट-बाइंडिंग मॉडल जिसमें निकटतम-पड़ोसी (NN) और अगले-निकटतम-पड़ोसी (NNN) होपिंग (hopping) शामिल है।
विस्कर्ड इमेजिनरी गेज फील्ड: इसे असममित होपिंग एम्प्लीट्यूड $J_L^j = J_1 e^{-h_j}$ और $J_R^j = J_1 e^{h_j}$ के माध्यम से लागू किया गया है, जहाँ $h_j$ एक बर्नौली रैंडम वेरिएबल ( $\pm \Delta h$ ) है। यह स्थानिक रूप से परिवर्तनशील गैर-पारस्परिकता पेश करता है।
क्वासी-पेरियोडिक पोटेंशियल: एक ऑनसाइट पोटेंशियल $\lambda_j = \lambda \cos(2\pi\alpha j)$ जहाँ $\alpha$ एक अपरिमेय (irrational) संख्या है।
अध्ययन किए गए मामले:
1. मानक AAH सीमा ( $J_2 = 0$ ): पूर्णतः ENHSE और पूर्णतः लोकलाइज्ड चरणों के बीच संक्रमण की जांच करने के लिए।
2. सामान्यीकृत AAH सीमा ( $J_2 \neq 0$ ): मोबिलिटी एजेस के उद्भव की जांच करने के लिए।
विश्लेषणात्मक उपकरण (Analytical Tools):
- गेज ट्रांसफॉर्मेशन: एक नॉन-यूनिटरी ट्रांसफॉर्मेशन नॉन-हर्मिटीअन हैमिल्टोनियन को एक हर्मिटीअन सामान्यीकृत AAH मॉडल में मैप करता है, जिससे ल्यपुनोव एक्सपोनेंट (Lyapunov exponents) के ज्ञात हर्मिटीअन परिणामों का उपयोग संभव हो पाता है।
- डायग्नोस्टिक्स (Diagnostics): फ्रैक्टल आयाम ( $D$ ), ल्यपुनोव एक्सपोनेंट ( $\gamma$ ), सेंटर-ऑफ-मास फ्लक्चुएशन ( $S$ ), स्पेक्ट्रल वाइंडिंग नंबर्स, और वेव-पैकेट डायनेमिक्स।
- बाउंड्री कंडीशंस (Boundary Conditions): स्पेक्ट्रल टोपोलॉजी और स्किन इफेक्ट्स का विश्लेषण करने के लिए पीरियोडिक बाउंड्री कंडीशंस (PBC) और ओपन बाउंड्री कंडीशंस (OBC) के बीच तुलना।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. विसंगत लोकलाइजेशन ट्रांज़िशन ( $J_2 = 0$ )

लेखक एक क्रिटिकल मॉड्यूलेशन स्ट्रेंथ $\lambda_c = 2$ पर पूर्णतः ENHSE चरण से पूर्णतः एंडरसन-लोकलाइज्ड चरण के बीच संक्रमण की पहचान करते हैं।

"विसंगति" (The Anomaly): हर्मिटीअन AAH मॉडल (जो एक्सटेंडेड से लोकलाइज्ड में परिवर्तित होता है) के विपरीत, यह संक्रमण दो सीमित (confined) व्यवस्थाओं को जोड़ता है।
फ्रैक्टल आयाम की नैदानिक विफलता: दोनों चरण थर्मोडायनामिक सीमा में लुप्त फ्रैक्टल आयाम ( $D \to 0$ ) प्रदर्शित करते हैं, जिससे $D$ उन्हें अलग करने के लिए अपर्याप्त हो जाता है।
सफल डायग्नोस्टिक्स:
- ल्यपुनोव एक्सपोनेंट ( $\gamma$ ): ENHSE चरण में $\gamma = 0$ (जो गेज के सापेक्ष कोई घातांकीय क्षय/वृद्धि नहीं दर्शाता) लेकिन एंडरसन-लोकलाइज्ड चरण में $\gamma > 0$ है।
- सेंटर-ऑफ-मास फ्लक्चुएशन ( $S$ ): ENHSE चरण में, आइजनस्टेट सेंटर्स कुछ विकार-चयनित बल्क स्थितियों के आसपास क्लस्टर होते हैं ( $S \propto N$ )। एंडरसन चरण में, सेंटर्स समान रूप से वितरित होते हैं ( $S \propto N^2$ )।
स्पेक्ट्रल सिग्नेचर:
- कॉम्प्लेक्स-टू-रियल ट्रांज़िशन: PBC के तहत, ENHSE चरण में स्पेक्ट्रम जटिल (complex) होता है और लोकलाइज्ड चरण में शुद्ध रूप से वास्तविक (real) हो जाता है।
- वाइंडिंग नंबर: स्पेक्ट्रल वाइंडिंग नंबर ENHSE चरण में गैर-तुच्छ ( $w = \pm 1$ ) से बदलकर लोकलाइज्ड चरण में तुच्छ ( $w = 0$ ) हो जाता है। वाइंडिंग का चिह्न दिशात्मक संचय (बाएं या दाएं) से सह-संबंधित होता है।

B. विसंगत मोबिलिटी एजेस ( $J_2 \neq 0$ )

कमजोर NNN होपिंग के साथ, सिस्टम उसी ऊर्जा स्थान $E_c(\lambda)$ पर एक विसंगत मोबिलिटी एज प्रदर्शित करता है जो हर्मिटीअन सामान्यीकृत AAH मॉडल का है।

भौतिक अर्थ: नॉन-हर्मिटीअन फ्रेम में, यह एज एक्सटेंडेड और लोकलाइज्ड अवस्थाओं को अलग नहीं करता है। इसके बजाय, यह अलग करता है:
- निम्न-ऊर्जा अवस्थाएँ: एंडरसन-लोकलाइज्ड अवस्थाएँ (समान रूप से वितरित सेंटर्स, वास्तविक स्पेक्ट्रम, तुच्छ वाइंडिंग)।
- उच्च-ऊर्जा अवस्थाएँ: ENHSE-प्रकार की मैक्रोस्कोपिक संचय अवस्थाएँ (क्लस्टर्ड सेंटर्स, जटिल स्पेक्ट्रम, गैर-तुच्छ वाइंडिंग)।
फेज डायग्राम: सिस्टम तीन व्यवस्थाएं प्रदर्शित करता है:
1. पूर्णतः ENHSE: सभी अवस्थाएँ अनियमित बल्क स्थितियों पर संचित होती हैं।
2. सह-अस्तित्व (मोबिलिटी एज): एंडरसन-लोकलाइज्ड और ENHSE अवस्थाओं का मिश्रण।
3. पूर्णतः लोकलाइज्ड: सभी अवस्थाएँ एंडरसन-लोकलाइज्ड हैं।
स्पेक्ट्रल सहसंबंध: मोबिलिटी एज उस सीमा के साथ मेल खाता है जहाँ PBC स्पेक्ट्रम जटिल से वास्तविक में परिवर्तित होता है। $E_c$ के नीचे की अवस्थाओं में वास्तविक ऊर्जा होती है; $E_c$ के ऊपर की अवस्थाओं में जटिल ऊर्जा होती है।

C. डायनेमिकल डिटेक्शन (Dynamical Detection)

लेखक प्रयोगात्मक हस्ताक्षरों को प्रदान करने के लिए वेव-पैकेट डायनेमिक्स का विश्लेषण करते हैं:

वाइंडिंग-डिपेंडेंट ड्रिफ्ट: एक एकल विकार वास्तविकता (disorder realization) के लिए, वेव पैकेट एक दिशात्मक ड्रिफ्ट (बाएं या दाएं) प्रदर्शित करता है, जो स्पेक्ट्रल वाइंडिंग नंबर ( $w = +1$ या $-1$) के चिह्न द्वारा निर्धारित होता है।
ग्रुप एवरेजिंग: यदि वास्तविकताओं को उनके वाइंडिंग नंबर के चिह्न के आधार पर समूहीकृत किया जाता है, तो औसत डायनेमिक्स दिशात्मक ड्रिफ्ट को बनाए रखता है (विपरीत चिह्नों के लिए विपरीत दिशाएं)।
पूर्ण विकार औसत (Full Disorder Averaging): जब सभी विकार वास्तविकताओं पर औसत निकाला जाता है (बिना समूहीकृत किए), तो विपरीत ड्रिफ्ट एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिससे हर्मिटीअन जैसी परिवहन (transport) प्रक्रिया बहाल हो जाती है (बिना किसी शुद्ध ड्रिफ्ट के बैलिस्टिक स्प्रेडिंग या लोकलाइजेशन)। यह समझाता है कि क्यों मानक एन्सेम्बल-एवरेज किए गए प्रयोगों में नॉन-हर्मिटीअन प्रकृति छिपी रह सकती है।

4. महत्व (Significance)

लोकलाइजेशन का नया वर्गीकरण: यह कार्य स्थापित करता है कि नॉन-हर्मिटीअन क्वासिक्रिस्टल्स में लोकलाइजेशन केवल द्विआधारी (binary) नहीं है (एक्सटेंडेड बनाम लोकलाइज्ड), बल्कि इसमें अलग-अलग प्रकार की सीमित अवस्थाएं (ENHSE बनाम एंडरसन) शामिल हो सकती हैं जिन्हें मोबिलिटी एजेस द्वारा अलग किया जा सकता है।
मजबूत डायग्नोस्टिक्स: यह उन्हें ENHSE और एंडरसन चरणों के बीच अंतर करने के लिए व्यावहारिक उपकरण (ल्यपुनोव एक्सपोनेंट, सेंटर-ऑफ-मास फ्लक्चुएशन, स्पेक्ट्रल वाइंडिंग) प्रदान करता है, जो फ्रैक्टल आयाम विश्लेषण की सीमाओं को पार करता है।
टोपोलॉजिकल-डायनेमिकल लिंक: यह स्पेक्ट्रल टोपोलॉजी (वाइंडिंग नंबर्स) और रियल-स्पेस डायनेमिक्स (दिशात्मक ड्रिफ्ट) के बीच एक सीधा संबंध प्रकट करता है, जो यह दर्शाता है कि विस्कर्ड सिस्टम में "स्किन इफेक्ट" केवल एक बाउंड्री घटना नहीं है, बल्कि एक बल्क घटना है जो विकार वास्तविकताओं के प्रति संवेदनशील है।
प्रयोगात्मक प्रासंगिकता: ये निष्कर्ष सुझाव देते हैं कि हालांकि पूर्ण विकार औसत नॉन-हर्मिटीअन प्रभावों को छिपा सकता है, विशिष्ट विकार वास्तविकताओं या वाइंडिंग-रिजॉल्व्ड डायनेमिक्स का विश्लेषण फोटोनिक, ध्वनिक (acoustic), या इलेक्ट्रिकल सर्किट प्लेटफॉर्म में इन विसंगत चरणों को प्रकट कर सकता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र नॉन-हर्मिटीअन क्वासिक्रिस्टल्स में लोकलाइजेशन ट्रांज़िशन की समझ को फिर से परिभाषित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि विस्कर्ड इमेजरी गेज फील्ड्स एक अद्वितीय "एरेटिक" स्किन इफेक्ट प्रेरित करते हैं और मोबिलिटी एजेस विभिन्न टोपोलॉजिकल वर्गों की लोकलाइज्ड अवस्थाओं को अलग कर सकते हैं।