Anomalous Localization and Mobility Edges in Non-Hermitian Quasicrystals with Disordered Imaginary Gauge Fields

Titel

Anomale Lokalisatie en Mobiliteitsranden in Niet-Hermitiese Kwantumkristallen met Geordende Imaginaire Gauge-Velden

1. Probleemstelling

Niet-Hermitiese kwantumsystemen, die voorkomen in open systemen met winst en verlies of niet- reciproque koppelingen, vertonen unieke fenomenen zoals het niet-Hermitiese huid-effect (NHSE), waarbij eigenstaten macroscopisch ophopen aan de randen. Wanneer niet-Hermitiese systemen worden gecombineerd met quasicristallijne ordening (zoals het Aubry-André-Harper model), ontstaan complexe fase-diagrammen.

Een specifiek, minder onderzocht gebied is de invloed van ruimtelijk geordende (disordered) imaginaire gauge-velden. In tegenstelling tot een uniform niet-Hermities veld, varieert de niet-reciprociteit hier per binding. Recent werk (Longhi) toonde aan dat dit kan leiden tot een "erratisch" niet-Hermities huid-effect (ENHSE), waarbij eigenstaten ophopen op willekeurige, door de disorder geselecteerde posities in de bulk, in plaats van aan de randen.

De centrale uitdaging is het onderscheid maken tussen deze ENHSE-toestand en de traditionele Anderson-lokalisatie. Beide toestanden vertonen een fractale dimensie die in de thermodynamische limiet naar nul gaat, wat hen moeilijk te onderscheiden maakt met conventionele methoden. Daarnaast is het onduidelijk hoe het concept van een mobiliteitsrand (een energie-grens die gelokaliseerde en uitgebreide staten scheidt) zich verhoudt in dit niet-Hermitiese regime. Bestaan er mobiliteitsranden die twee verschillende soorten gelokaliseerde staten van elkaar scheiden?

2. Methodologie

De auteurs bestuderen een eendimensionale (1D) niet-Hermitiese quasicristal, gemodelleerd door een veralgemeend Aubry-André-Harper (AAH) keten met:

• Quasiperiodische potentieel: $\lambda_j = \lambda \cos(2\pi\alpha j)$.
• Geordende imaginaire gauge-veld: Geïmplementeerd via asymmetrische hopping-amplitudes $J_j^L = J_1 e^{-h_j}$ en $J_j^R = J_1 e^{h_j}$, waarbij $h_j$ een Bernoulli-variabele is ($\pm \Delta h$).
• Hopings: Het model omvat zowel naaste-buur (NN) hopping ($J_1$) als hopings naar de tweede naaste-buur (NNN, $J_2$).

Analytische en Numerieke Technieken:

• Gauge-transformatie: De auteurs gebruiken een niet-unitaire gauge-transformatie om het niet-Hermitiese model te mappen op een equivalent Hermities model. Hieruit volgt dat de Lyapunov-exponent van het niet-Hermitiese systeem asymptotisch gelijk is aan die van het Hermitiese tegenhanger.
• Diagnostische Grootheden:
  • Fractale dimensie ($D$): Om te bevestigen dat deze in beide regimes naar nul gaat.
  • Lyapunov-exponent ($\gamma$): Om de overgang van $\gamma=0$ (ENHSE) naar $\gamma>0$ (Anderson) te detecteren.
  • Fluctuatie van het zwaartepunt: Om de ruimtelijke verdeling van de eigenstaten te karakteriseren.
  • Spectrale eigenschappen: Onderzoek naar de overgang van complexe naar reële spectra onder periodieke randvoorwaarden (PBC) en de spectrale winding-getallen.
  • Dynamica: Simulatie van golfpakketten om het transportgedrag te analyseren.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Anomale Lokalisatie-overgang (Geval $J_2 = 0$)

In het standaard AAH-limiet (alleen naaste-buur hopping) identificeren de auteurs een overgang bij een kritieke modulatiedikte $\lambda_c = 2J_1$:

• $\lambda < 2J_1$: Een volledig ENHSE-fase. Eigenstaten hopen macroscopisch op rond willekeurige posities in de bulk. De Lyapunov-exponent is nul ($\gamma=0$), maar de fractale dimensie is ook nul.
• $\lambda > 2J_1$: Een volledig Anderson-gelokaliseerde fase. Eigenstaten zijn exponentieel gelokaliseerd over de hele rooster. De Lyapunov-exponent is positief ($\gamma > 0$).
• Diagnostiek: Hoewel de fractale dimensie in beide fasen verdwijnt, onderscheiden de Lyapunov-exponent en de fluctuatie van het zwaartepunt van de eigenstaten de fasen scherp. In de ENHSE-fase clusteringen de zwaartepunten rond enkele posities, terwijl ze in de Anderson-fase uniform verdeeld zijn.
• Spectrale Overgang: Deze lokale overgang correleert met een overgang van een complex spectrum naar een volledig reëel spectrum onder PBC, en een verandering van het winding-getal van triviaal naar niet-triviaal (of omgekeerd, afhankelijk van de realisatie).

B. Anomale Mobiliteitsranden (Geval $J_2 \neq 0$)

Bij toevoeging van zwakke NNN-hopping ($J_2 \ll J_1$) ontstaat er een intermediaire fase met co-existentie:

• Locatie: De mobiliteitsrand $E_c(\lambda)$ bevindt zich op exact dezelfde energie als in het equivalente Hermitiese model.
• Fysieke Betekenis: In het Hermitiese geval scheidt de mobiliteitsrand uitgebreide staten van gelokaliseerde staten. In dit niet-Hermitiese geval scheidt het echter twee soorten gelokaliseerde staten:
  1. Anderson-gelokaliseerde staten (binnen de mobiliteitsrand).
  2. ENHSE-type staten met macroscopische ophoping (buiten de mobiliteitsrand).
• Spectrale Topologie: De mobiliteitsrand manifesteert zich ook in het spectrum: staten aan de ene kant van de rand hebben een reëel spectrum, terwijl staten aan de andere kant complexe eigenwaarden behouden en winding vertonen.

C. Dynamische Detectie

De auteurs analyseren de tijdsontwikkeling van golfpakketten:

• Winding-afhankelijk drift: Voor een specifieke realisatie van het disorder-veld, vertoont het golfpakket een duidelijke drift in een richting die wordt bepaald door het teken van het spectrale winding-getal (links of rechts).
• Gemiddelde Dynamiek: Wanneer men over alle disorder-realisaties middelt, heffen de tegenovergestelde drifts elkaar op, wat resulteert in een transportgedrag dat lijkt op dat van een Hermities systeem (ballistisch of gelokaliseerd zonder netto drift). Dit benadrukt het belang van het onderscheiden van winding-sectoren.

4. Betekenis en Conclusie

Deze studie biedt een unificerend kader voor het begrijpen van lokalisatie in niet-Hermitiese quasicristallen met geordende velden. De belangrijkste inzichten zijn:

1. Nieuwe Fase: Het bevestigt het bestaan van een "erratisch" huid-effect (ENHSE) dat fundamenteel verschilt van zowel conventionele NHSE als Anderson-lokalisatie, ondanks gelijkenis in fractale dimensie.
2. Anomale Mobiliteitsrand: Het introduceert het concept van een mobiliteitsrand die twee verschillende gelokaliseerde regimes scheidt, in plaats van gelokaliseerde en uitgebreide regimes.
3. Praktische Diagnostiek: De auteurs stellen robuuste methoden voor om deze fasen te onderscheiden, gebaseerd op Lyapunov-exponenten, fluctuaties van het zwaartepunt, spectrale winding en real-time golfpakket-dynamica.
4. Experimentele Relevantie: De resultaten zijn relevant voor experimentele platformen zoals fotonische kristallen, akoestische systemen en elektrische circuits, waar niet-Hermitiese effecten en quasicristallijne ordening kunnen worden gerealiseerd.

Kortom, het werk toont aan dat de combinatie van niet-Hermitiese niet-reciprociteit en quasicristallijne ordening leidt tot een rijke fysica met nieuwe typen lokalisatie en topologische overgangen die niet bestaan in Hermitiese systemen.