A new iterative three-point method for solving systems of nonlinear equations

तकनीकी सारांश: गैररेखीय समीकरण प्रणालियों के लिए एक नई पुनरावृत्ति तीन-बिंदु विधि

समस्या विवरण
यह शोध पत्र गैररेखीय समीकरणों के रूप $F(x) = 0$, जहाँ $F: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, को हल करने के लिए पुनरावृत्ति निश्चित-बिंदु (fixed-point) विधियों के निर्माण और विश्लेषण को संबोधित करता है। जबकि न्यूटन की विधि एक मानक एकल-बिंदु तकनीक है जिसमें द्विघात अभिसरण (quadratic convergence) होता है, लेखक उल्लेख करते हैं कि विज्ञान, इंजीनियरिंग और वित्त में अनुप्रयोगों के लिए अक्सर बड़े सिस्टम को हल करने की आवश्यकता होती है जहाँ गणनात्मक गति महत्वपूर्ण होती है। इस आवश्यकता ने अभिसरण के क्रम (order of convergence) और गणनात्मक दक्षता को सुधारने के लिए मल्टीपॉइंट विधियों के विकास को प्रेरित किया है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक विशिष्ट स्केलर गैररेखीय समीकरण सॉल्वर, जिसे पारही और गुप्ता [10] द्वारा निर्मित किया गया था, को वेक्टर केस ($\mathbb{R}^n$) में विस्तारित करके वेक्टर प्रणालियों के लिए एक नई तीन-बिंदु पुनरावृत्ति विधि प्रस्तावित करते हैं।

1. पुनरावृत्ति योजना (Iterative Scheme): प्रस्तावित विधि, जिसे $\phi^{(6)}_1$ द्वारा दर्शाया गया है, प्रत्येक पुनरावृत्ति $k$ के लिए एक तीन-चरणीय प्रक्रिया का पालन करती है:

   • चरण 1 (न्यूटन-समान): $y^{(k)} = x^{(k)} - F'(x^{(k)})^{-1}F(x^{(k)})$
   • चरण 2 (भारित औसत): $z^{(k)} = x^{(k)} - 2[F'(x^{(k)}) + F'(y^{(k)})]^{-1}F(x^{(k)})$
   • चरण 3 (अंतिम सुधार): $x^{(k+1)} = z^{(k)} - [3F'(y^{(k)}) - F'(x^{(k)})]^{-1}[F'(x^{(k)}) + F'(y^{(k)})]F'(x^{(k)})^{-1}F(z^{(k)})$

2. अभिसरण विश्लेषण: $\mathbb{R}^n$ में कार्यों के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार (Taylor series expansions) का उपयोग करके सैद्धांतिक अभिसरण क्रम स्थापित किया गया है। लेखक त्रुटि समीकरण $e_{k+1} = C e_k^6 + O(e_k^7)$ व्युत्पन्न करते हैं, जो यह सिद्ध करता है कि यह विधि छठे क्रम का अभिसरण (sixth order of convergence) प्राप्त करती है। यह व्युत्पत्ति मैन्युअल रूप से की गई थी, बिना किसी सिम्बोलिक सॉफ्टवेयर सहायता के, क्योंकि लेखक नोट करते हैं कि टूल जैसे कि Maple और Mathematica वेक्टर कार्यों के लिए टेलर विस्तार में अंतर्निहित गैर-कम्यूटेटिव मैट्रिक्स गुणन (non-commutative matrix multiplications) के साथ संघर्ष करते हैं।

3. गणनात्मक दक्षता: दक्षता का मूल्यांकन ओस्ट्रोव्स्की दक्षता सूचकांक ($E = p^{1/C}$) का उपयोग करके किया जाता है, जहाँ $p$ अभिसरण का क्रम है और $C$ गणनात्मक लागत है। लागत मॉडल निम्नलिखित को ध्यान में रखता है:

   • फलन $F$ और उसके अवकलज $F'$ का मूल्यांकन।
   • मैट्रिक्स व्युत्क्रमण (LU अपघटन और त्रिकोणीय प्रणाली समाधानों के माध्यम से हल किया गया)।
   • मैट्रिक्स-वेक्टर और स्केलर-वेक्टर गुणन।
   • विभाजनों और गुणनों का अनुपात ($l$)।

मुख्य परिणाम

• संख्यात्मक सत्यापन: विधि का परीक्षण MATLAB R2019a का उपयोग करके दो समस्याओं पर किया गया:

  1. दो गैररेखीय बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली।
  2. एक बाउंड्री वैल्यू प्रॉब्लम (boundary value problem) जिसे छह गैररेखीय समीकरणों की एक प्रणाली में विविक्त (discretized) किया गया है।
     दोनों मामलों में, अभिसरण का गणनात्मक क्रम ($p$) क्रमिक त्रुटियों के अनुपात का उपयोग करके निकाला गया था। परिणामों ने सैद्धांतिक छठे क्रम के अभिसरण की पुष्टि की (प्रेक्षित $p \approx 5.995$ और $5.75$)।

• दक्षता तुलना: प्रस्तावित विधि ($\phi^{(6)}_1$) की तुलना दो अन्य तीन-बिंदु विधियों से की गई:

  • एक पांच-क्रम की विधि ($\phi^{(5)}_1$) कॉर्डेरो एट अल. [16] से।
  • एक छह-क्रम की विधि ($\phi^{(6)}_2$) कॉर्डेरो एट अल. [13] से।

  निष्कर्ष:

  • पांच-क्रम की विधि बनाम: प्रस्तावित छह-क्रम की विधि पांच-क्रम की विधि की तुलना में अधिक गणनात्मक रूप से कुशल है जब सिस्टम का आकार $n \geq 21$ हो। ऐसा इसलिए है क्योंकि उच्च अभिसरण क्रम बड़े सिस्टम के लिए बढ़ी हुई गणनात्मक लागत की भरपाई कर देता है।
  • छह-क्रम की विधि बनाम: अन्य छह-क्रम की विधि ($\phi^{(6)}_2$) के साथ तुलना करने पर, प्रस्तावित विधि सभी $n \geq 2$ के लिए कम कुशल है। विश्लेषण से पता चलता है कि प्रस्तावित विधि को प्रति पुनरावृत्ति तीन मैट्रिक्स व्युत्क्रमणों की आवश्यकता होती है, जबकि प्रतिस्पर्धी छह-क्रम की विधि कम ऑपरेशनों की आवश्यकता रखती है। लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि मैट्रिक्स व्युत्क्रमणों की संख्या दक्षता को नकारात्मक रूप से प्रभावित करती है।

महत्व और दावे
शोध पत्र दावा करता है कि उसने सफलतापूर्वक एक स्केलर तीन-बिंदु विधि को वेक्टर केस में विस्तारित किया है, जिससे छह का सैद्धांतिक और गणनात्मक अभिसरण क्रम प्राप्त हुआ है। इसका प्राथमिक योगदान इस अभिसरण क्रम का कठोर विश्लेषणात्मक प्रमाण और उसके बाद दक्षता विश्लेषण है।

लेखक अपनी विधि की श्रेष्ठता के संबंध में एक विनम्र स्वर बनाए रखते हैं। वे स्वीकार करते हैं कि हालांकि यह विधि निम्न-क्रम की विधियों की तुलना में बड़े सिस्टम ($n \geq 21$) के लिए अत्यधिक प्रभावी है, लेकिन यह छह-क्रम की विधियों में सबसे कुशल विकल्प नहीं है क्योंकि इसमें कई मैट्रिक्स व्युत्क्रमणों की उच्च लागत शामिल है। शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि दक्षता में सुधार करने और वेक्टर विस्तार के लिए सैद्धांतिक अभिसरण विश्लेषण को सरल बनाने के लिए जैकोबियन मैट्रिक्स व्युत्क्रमणों और कार्यात्मक मूल्यांकनों की संख्या को कम करना एक आवश्यक भविष्य की दिशा है।