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Multi-Input Ciphertext Multiplication for Homomorphic Encryption

यह शोध पत्र होमोमॉर्फिक एन्क्रिप्शन के लिए एक अनुकूलित मल्टी-इनपुट सिफरटेक्स्ट गुणन पद्धति प्रस्तावित करता है जो पुनर्गठित गणनाओं, अतिरिक्त मूल्यांकन कुंजियों और एक मल्टी-लेवल रीस्केलिंग दृष्टिकोण के माध्यम से दो इनपुट से आगे बढ़ती है, जिसके परिणामस्वरूप ऐसे हार्डवेयर आर्किटेक्चर प्राप्त होते हैं जो पूर्ववर्ती डिजाइनों की तुलना में लॉजिक एरिया और लेटेंसी को महत्वपूर्ण रूप से कम करते हैं।

मूल लेखक: Sajjad Akherati, Xinmiao Zhang

प्रकाशित 2026-05-19

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Sajjad Akherati, Xinmiao Zhang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक मास्टर शेफ हैं जो एक केक बनाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन एक पेच है: आपको सारा मिश्रण और बेकिंग मोटे, भारी ओवन मिट्स (दस्ताने) पहनकर करनी होगी जो आपको सामग्री को महसूस करने या कटोरे को देखने से रोकते हैं। यह होमोमोर्फिक एन्क्रिप्शन (Homomorphic Encryption - HE) है। यह कंप्यूटर को "एन्क्रिप्टेड" डेटा (दस्ताने पहने हुए केक का बैटर) पर गणित करने की अनुमति देता है बिना उसे कभी डिक्रिप्ट किए (दस्ताने उतारे बिना)। यह आपके मेडिकल रिकॉर्ड या आपके बैंक बैलेंस जैसे रहस्यों को सुरक्षित रखता है।

हालाँकि, इन "मिट्स" के साथ गणित करना अविश्वसनीय रूप से धीमा और अस्त-व्यस्त है। सबसे बड़ी बाधा गुणा (Multiplication) है। मानक एन्क्रिप्शन में, आप एक बार में केवल दो सामग्रियों को गुणा कर सकते हैं। लेकिन कई आधुनिक कार्यों के लिए, जैसे कि बीमारी को पहचानने के लिए AI को प्रशिक्षित करना या जटिल वित्तीय रुझानों का विश्लेषण करना, आपको एक साथ कई सामग्रियों (साइफरटेक्स्ट) को गुणा करने की आवश्यकता होती है।

यह शोध पत्र इस "एन्क्रिप्टेड सामग्रियों" को गुणा करने का एक नया, सुपर-कुशल तरीका पेश करता है, विशेष रूप से एक लोकप्रिय एन्क्रिप्शन पद्धति जिसे CKKS कहा जाता है। यहाँ सरल उपमाओं का उपयोग करके उनके ब्रेकथ्रू का विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "अव्यवस्थित रसोई" (The Messy Kitchen)

जब आप एन्क्रिप्टेड संख्याओं को गुणा करते हैं, तो "शोर" (मिट्स द्वारा पैदा की गई अव्यवस्था) लगातार बढ़ता जाता है। यदि आप बहुत अधिक संख्याओं को एक साथ बिना सफाई किए गुणा करते हैं, तो शोर वास्तविक डेटा को दबा देता है, और परिणाम बेकार हो जाता है।

इसे ठीक करने के लिए, एन्क्रिप्शन सिस्टम को हर गुणा के बाद एक "सफाई" चरण (Clean-up step) करना पड़ता है जिसे रीस्केलिंग (Rescaling) कहते हैं। इसे काउंटर को पोंछने और सामग्री को वापस व्यवस्थित करने के लिए रुकने के रूप में समझें।

पुराना तरीका: यदि आपको 10 सामग्रियों को गुणा करने की आवश्यकता थी, तो पुराना तरीका एक कन्वेयर बेल्ट की तरह था जहाँ आप दो को गुणा करते थे, रुककर सफाई करते थे, दो और को गुणा करते थे, फिर रुककर सफाई करते थे, और इसी तरह। यह धीमा था और इसके लिए बहुत अधिक सफाई के सामान (हार्डवेयर संसाधनों) की आवश्यकता थी।
पिछला "तीन-सामग्री" प्रयास: लेखकों के पिछले काम ने दिखाया कि आप एक बार में तीन सामग्रियों को गुणा कर सकते हैं, जो तेज़ था। लेकिन इसमें अभी भी बहुत सारे अनावश्यक सफाई चरणों की आवश्यकता थी।

2. समाधान: "स्मार्ट असेंबली लाइन" (The Smart Assembly Line)

लेखक इस प्रक्रिया को तेज़ और छोटा बनाने के लिए दो प्रमुख अपग्रेड प्रस्तावित करते हैं:

A. "एक-चरण सफाई" (बेहतर 3-इनपुट गुणा)

तीन सामग्रियों को गुणा करने के अपने नए डिज़ाइन में, उन्होंने महसूस किया कि वे सफाई (रीस्केलिंग) और पुनर्गठन (रिलिनियराइजेशन) को एक भोंडे और घुमावदार तरीके से कर रहे थे।

उपमा: कल्पना करें कि आपके पास बैटर के तीन कटोरे हैं। पुराना तरीका यह था कि आप उन्हें मिलाते थे, मिश्रण को एक नए कटोरे में डालते थे, पुराने कटोरों को साफ करते थे, मिश्रण को फिर से डालते थे, और फिर से साफ करते थे।
सुधार: उन्होंने प्रक्रिया को इस तरह से पुनर्ग设计的 किया कि आप एक ही सुचारू गति में मिश्रण और सफाई कर सकें। उन्होंने सफाई के चरणों को संयोजित करने का तरीका निकाला ताकि आपको काउंटर पोंछने के लिए उतनी बार न रुकना पड़े।
परिणाम: उनका नया "तीन-कटोरा मिक्सर" उनके पिछले सर्वश्रेष्ठ डिज़ाइन की तुलना में 50% तेज़ (लैटेंसी) है और चिप पर 15% कम जगह (एरिया) लेता है।

B. "ग्रुप क्लीनिंग" (मल्टी-इनपुट गुणा)

क्या होगा यदि आपको एक साथ चार, पांच या यहाँ तक कि बारह सामग्रियों को गुणा करने की आवश्यकता हो?

पुराना तरीका: आप "दो-कटोरा मिक्सर" की एक लंबी लाइन बनाएंगे। आप दो को मिलाते हैं, सफाई करते हैं, दो और को मिलाते हैं, सफाई करते हैं, फिर परिणामों को मिलाते हैं, और फिर सफाई करते हैं। यह एक बहुत लंबी लाइन (उच्च मल्टीप्लिकेटिव डेप्थ) बनाता है, जिसका अर्थ है कि शोर बहुत तेज़ी से बढ़ता है।
नई रणनीति: लेखकों ने महसूस किया कि यदि वे अपनी सामग्रियों को अलग तरह से समूहबद्ध (group) करते हैं, तो वे एक "ग्रुप क्लीन" कर सकते हैं।
- हर एक चरण के बाद सफाई करने के बजाय, उन्होंने एक गणितीय ट्रिक (जिसे मल्टी-रीस्केलिंग कहा जाता है) विकसित की जो आपको एक साथ कई परतों की गंदगी को साफ करने की अनुमति देती है।
- उपमा: कल्पना करें कि आप बर्तन धो रहे हैं। एक प्लेट धोने, सुखाने और उसे रखने के बजाय, फिर एक कप धोने, सुखाने और उसे रखने के बजाय, आप बर्तनों का एक पूरा ढेर धोते हैं, फिर पूरे ढेर को सुखाते हैं, और फिर उन सभी को रख देते हैं। आप "सुखाने" (महंगा और धीमा हिस्सा) का काम पूरे समूह के लिए केवल एक बार करते हैं।
परिणाम: अपनी सामग्रियों को समूहबद्ध करने के तरीके (पार्टिशनिंग) को बदलकर, वे इन सफाई चरणों को जोड़ सकते हैं। 4 से 12 सामग्रियों के बीच गुणा करने के लिए, उनका नया तरीका पुराने "दो-बाय-दो" लाइन की तुलना में 32% जगह बचाता है और समय को आधा (45% तेज़) कर देता है।

3. यह क्यों महत्वपूर्ण है (पेपर के अनुसार)

यह पेपर पूरी तरह से हार्डवेयर आर्किटेक्चर पर केंद्रित है—कंप्यूटर चिप का भौतिक डिज़ाइन जो यह गणित करता है।

उन्होंने सिद्ध किया कि यह बदलने से कि गणित को कैसे व्यवस्थित किया जाता है (एल्गोरिदम) और चिप को कैसे बनाया जाता है (आर्किटेक्चर), आप जटिल एन्क्रिप्टेड गणित बहुत तेज़ी से कर सकते हैं।
वे विशेष रूप से उल्लेख करते हैं कि यह मशीन लर्निंग, मेडिकल डायग्नोसिस और वित्तीय विश्लेषण जैसे अनुप्रयोगों में मदद करता है, क्योंकि इन क्षेत्रों में अक्सर कई एन्क्रिप्टेड डेटा बिंदुओं को एक साथ गुणा करने की आवश्यकता होती है।

सारांश

इस पेपर को एक ऐसे शेफ के लिए एक नई, सुपर-कुशल रसोई के आविष्कार के रूप में समझें जो अपने ओवन मिट्स नहीं उतार सकता।

उन्होंने सीखा कि कैसे अपने मिट्स उतारे बिना तीन सामग्रियों को एक साथ मिलाया जाए।
उन्होंने एक तरीका खोजा जिससे आप एक-एक करके नहीं, बल्कि एक साथ कई परतों की गंदगी को साफ कर सकें।
परिणाम यह है कि एक ऐसी रसोई जो जटिल गणित करते समय रहस्यों को सुरक्षित रखने के लिए छोटी, तेज़ और कम ऊर्जा की आवश्यकता वाली है।

लेखकों ने इस पेपर में वास्तविक रोगियों या वास्तविक बैंक खातों पर परीक्षण नहीं किया है; उन्होंने केवल यह सिद्ध किया है कि इस काम को करने के लिए डिज़ाइन की गई मशीन पहले की मशीनों की तुलना में काफी बेहतर है।

तकनीकी सारांश: होमोमोर्फिक एन्क्रिप्शन के लिए मल्टी-इनपुट साइफरटेक्स्ट मल्टीप्लिकेशन

समस्या विवरण
होमोमोर्फिक एन्क्रिप्शन (HE), विशेष रूप से RNS-CKKS स्कीम, एन्क्रिप्टेड डेटा पर अंकगणितीय संचालन (arithmetic operations) को सक्षम करती है, जो मशीन लर्निंग और मेडिकल डायग्नोसिस जैसे गोपनीयता-संरक्षित अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण है। हालांकि, मानक HE स्कीमें केवल दो इनपुट्स के लिए साइफरटेक्स्ट गुणन (ciphertext multiplication) को परिभाषित करती हैं। कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों, जैसे कि न्यूरल नेटवर्क एक्टिवेशन फंक्शन (जैसे ReLU) के लिए उच्च-क्रम बहुपद सन्निकटन (high-order polynomial approximations), निर्णय वृक्ष (decision trees), और जीनोम अनुक्रमण (genome sequencing) के लिए $n$ साइफरटेक्स्ट ( $n > 2$ ) के गुणन की आवश्यकता होती है।

$n$ इनपुट्स के मल्टी-इनपुट मल्टीप्लिकेशन को संभालने के लिए मौजूदा दृष्टिकोण आमतौर पर एक बाइनरी ट्री संरचना में कई टू-इनपुट मल्टीप्लायर को श्रृंखलाबद्ध करते हैं। यह विधि दो प्राथमिक अक्षमताओं का कारण बनती है:

उच्च विलंबता (Latency) और क्षेत्र (Area): टू-इनपुट इकाइयों का उपयोग करके $n$ साइफरटेक्स्ट को क्रमवार गुणा करने से महत्वपूर्ण हार्डवेयर ओवरहेड और विलंबता होती है।
शोर वृद्धि (Noise Growth) और रीस्केलिंग ओवरहेड: प्रत्येक गुणन स्तर शोर के स्तर को बढ़ाता है, जिससे संदेश स्केल को बहाल करने के लिए एक रीस्केलिंग ऑपरेशन की आवश्यकता होती है। एक मानक बाइनरी ट्री में, घातीय शोर वृद्धि को रोकने के लिए प्रत्येक गुणन चरण के बाद रीस्केलिंग करना आवश्यक होता है। इसके परिणामस्वरूप रीस्केलिंग इकाइयों की एक बड़ी संख्या प्राप्त होती है, जिनमें से प्रत्येक को महंगे नंबर थ्योरेटिक ट्रांसफॉर्म (NTT) और इनवर्स NTT (INTT) ऑपरेशंस की आवश्यकता होती है, जिससे कम्प्यूटेशनल जटिलता और हार्डवेयर संसाधन उपयोग काफी बढ़ जाता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
यह शोध पत्र सीधे $n$ -इनपुट साइफरटेक्स्ट मल्टीप्लिकेशन के लिए एक फ्रेमवर्क प्रस्तावित करता है जो मल्टीप्लिकेटिव डेप्थ और हार्डवेयर जटिलता को कम करता है। कार्यप्रणाली को दो मुख्य योगदानों में विभाजित किया गया है:

बेहतर थ्री-इनपुट मल्टीप्लायर:
लेखक पहले तीन-इनपुट मल्टीप्लिकेशन प्रक्रिया को पुनर्गठित करते हैं। पूर्ववर्ती कार्य [26] में, रिलिनियराइजेशन (relinearization) और रीस्केलिंग को अलग-अलग किया गया था, जिसके लिए कई ModUp/ModDown ऑपरेशंस और अनेक (I)NTT ब्लॉक्स की आवश्यकता थी। नया डिज़ाइन:
- रिलिनियराइजेशन को पुनर्गठित करता है: $P^{-1}$ स्केलिंग फैक्टर को बेसिस कन्वर्जन (BConv) और इवैल्यूएशन की (evaluation key) मल्टीप्लिकेशन में शामिल करके, यह डिज़ाइन अलग स्केलिंग चरणों को समाप्त करता है।
- रीस्केलिंग को अनुकूलित करता है: लेखक डेटा पाथ को इस तरह से पुनर्गठित करते हैं कि अंतिम NTT से पहले ओरिजिनल डोमेन में रीस्केलिंग की जा सके, न कि NTT डोमेन में। यह अनावश्यक (I)NTT ऑपरेशंस को हटाने की अनुमति देता है।
- परिणाम: ये परिवर्तन डेटा पाथ में (I)NTT ब्लॉक्स की संख्या को आठ से घटाकर चार कर देते हैं, जिससे डेटा पाथ की लंबाई प्रभावी रूप से आधी हो जाती है।
कंबाइंड रीस्केलिंग के साथ मल्टी-इनपुट एक्सटेंशन:
मल्टीप्लिकेटिव डेप्थ को बढ़ाए बिना $n > 3$ इनपुट्स तक गुणन को विस्तारित करने के लिए, शोध पत्र निम्नलिखित पेश करता है:
- सामान्यीकृत इवैल्यूएशन कीज़ (Generalized Evaluation Keys): $n$ साइफरटेक्स्ट को गुणा करने से उत्पन्न उच्च-डिग्री बहुपद पदों ( $d_t s^t$ ) को रिलिनियराइज करने के लिए नई इवैल्यूएशन कीज़ ( $ek_t$ ) पेश की गई हैं, जो परिणाम को वापस टू-पॉलीनोमियल फॉर्मेट में कम करती हैं।
- मल्टी-रीस्केलिंग (Multi-RS) एल्गोरिदम: एक सैद्धांतिक विश्लेषण उन स्थितियों की पहचान करता है जिनमें कई रीस्केलिंग ऑपरेशंस को विलंबित और संयोजित किया जा सकता है। लेखक एक एल्गोरिदम प्रस्तावित करते हैं जो एकल रीस्केलिंग के समान ही (I)NTT ऑपरेशंस का उपयोग करके $\mu$ संकेंद्रीकृत (concatenated) रीस्केलिंग ऑपरेशंस करता है। यह इनपुट को INTT डोमेन में बदलकर, प्रीडकंप्यूटेड कांस्टेंट्स का उपयोग करके ऑपरेशंस को मर्ज करते हुए, कोएफिशिएंट डोमेन में पुनरावर्ती (iterative) रीस्केलिंग करके किया जाता है।
- इनपुट पार्टीशनिंग गाइडलाइन्स: शोध पत्र $n$ इनपुट्स को समूहों (जैसे, $(n_1, n_2, \dots, n_m)$ ) में विभाजित करने के लिए दिशानिर्देश प्रदान करता है ताकि एक रीस्केलिंग स्टेप से पहले अधिक इनपुट्स को ग्रुप करने के लिए अनबैलेंस्ड ट्री स्ट्रक्चर का उपयोग करते हुए, अधिकतम कंबाइंड रीस्केलिंग ऑपरेशंस को बनाए रखते हुए $\lceil \log_2 n \rceil$ की इष्टतम मल्टीप्लिकेटिव डेप्थ को प्राप्त किया जा सके।

मुख्य योगदान

एल्गोरिद्मिक पुनर्गठन: तीन-इनपुट मल्टीप्लिकेशन के लिए एक नया फॉर्मूलेशन जो मध्यवर्ती गणनाओं को जोड़ता है, जिससे (I)NTT ऑपरेशंस कम होते हैं और डेटा पाथ छोटा होता है।
मल्टी-इनपुट फ्रेमवर्क: जेनेलाइज्ड इवैल्यूएशन कीज़ और एक ट्री-स्ट्रक्चर्ड मल्टीप्लायर का उपयोग करके मनमाने $n$ इनपुट्स के लिए साइफरटेक्स्ट मल्टीप्लिकेशन का विस्तार।
कंबाइंड रीस्केलिंग: एक नया मल्टी-रीस्केलिंग एल्गोरिदम जो कंबाइंड स्टेप्स की संख्या ( $\mu$ ) के बावजूद, मल्टी-इनपुट मल्टीप्लिकेशन की जटिलता को एकल रीस्केलिंग के बराबर कम कर देता है।
हार्डवेयर आर्किटेक्चर: प्रस्तावित मल्टीप्लायर्स के लिए पूरी तरह से पाइपलाइन वाले हार्डवेयर आर्किटेक्चर का डिज़ाइन, जिसमें ऑप्टिमाइज्ड ModUp, ModDown, और रीस्केलिंग यूनिट्स शामिल हैं।

परिणाम
प्रस्तावित डिज़ाइनों को $N=2^{16}$ , $L=K=24$ , और $w=64$ मापदंडों के साथ GlobalFoundries 22FDX प्रोसेस का उपयोग करके सिंथेसाइज किया गया था।

थ्री-इनपुट मल्टीप्लायर: पूर्ववर्ती कार्य [26] की तुलना में, बेहतर थ्री-इनपुट मल्टीप्लायर 15% लॉजिक एरिया में कमी और 50% विलंबता (latency) में कमी प्राप्त करता है। यह कम (I)NTT यूनिट्स के कारण मेमोरी आवश्यकताओं को लगभग 20% भी कम करता है।
मल्टी-इनपुट मल्टीप्लायर्स ( $n=4$ से $12$): टू-इनपुट मल्टीप्लायर्स के बाइनरी ट्री का उपयोग करने वाले बेसलाइन कार्यान्वयन की तुलना में, प्रस्तावित विधि औसतन 32% कुल क्षेत्र (area) में कमी और 45% विलंबता में कमी प्राप्त करती है।
रीस्केलिंग दक्षता: नॉन-पावर-ऑफ-टू इनपुट्स (जैसे, $n=17$ ) के लिए, अनुकूलित पार्टीशनिंग कंबाइंड रीस्केलिंग के साथ मिलकर, मानक बाइनरी ट्री दृष्टिकोण की तुलना में कुल रीस्केलिंग यूनिट्स (और संबंधित (I)NTT ऑपरेशंस) को लगभग 47% कम कर देती है।

महत्व
शोध पत्र का दावा है कि ये सुधार HE में मल्टी-इनपुट मल्टीप्लिकेशन की बाधाओं को दूर करते हैं, जो जटिल गोपनीयता-संरक्षित अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक है। साइफरटेक्स्ट मल्टीप्लिकेशन की हार्डवेयर जटिलता और विलंबता को कम करके, प्रस्तावित आर्किटेक्चर HE की तैनाती को संसाधन-सीमित या उच्च-थ्रूपुट वातावरण में अधिक व्यवहार्य बनाता है। यह कार्य प्रदर्शित करता है कि एल्गोरिद्मिक पुनर्गठन और सावधानीपूर्वक इनपुट पार्टीशनिंग के माध्यम से, एन्क्रिप्शन स्कीम की सुरक्षा या शुद्धता से समझौता किए बिना शोर प्रबंधन (रीस्केलिंग) के ओवरहेड को काफी कम किया जा सकता है। लेखक नोट करते हैं कि भविष्य का कार्य और भी बड़ी संख्या में इनपुट्स के लिए मल्टीप्लायर को और सरल बनाने पर केंद्रित होगा।