🔢 mathematics

Problems with fixpoints of polynomials of polynomials

कंप्यूटेबल एनालिसिस (computable analysis) से प्रेरित, यह शोधपत्र फाइबर्ड पॉलीनोमियल एंडोफंक्टर्स (fibred polynomial endofunctors) के फिक्स्डपॉइंट्स का अध्ययन करता है ताकि $\zeta$ -एक्सप्रेशंस ( $\zeta$ -expressions) का एक सिंटैक्स विकसित किया जा सके जो क्लोज्ड चॉइस (closed choice) से लेकर इनफिनिट पैरिटी गेम डिटरमिनसी (infinite parity game determinacy) तक के सार्थक वेइराउच डिग्रीज़ (Weihrauch degrees) को समाहित करता है, जो कंटेनर्स की श्रेणियों (categories of containers) में इनिशियल अल्जेब्रा (initial algebras), टर्मिनल को-अल्जेब्रा (terminal coalgebras), और एक नवीन $\zeta$ -फिक्स्डपॉइंट ( $\zeta$ -fixpoint) के निर्वचन के माध्यम से प्राप्त होता है।

मूल लेखक: Cécilia Pradic, Ian Price

प्रकाशित 2026-05-12

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC0 1.0

मूल लेखक: Cécilia Pradic, Ian Price

मूल पेपर CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/) के तहत सार्वजनिक डोमेन को समर्पित है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, अनंत पहेली को हल करने की कोशिश कर रहे हैं। कंप्यूटर विज्ञान और तर्कशास्त्र (logic) की दुनिया में, इन पहेलियों को अक्सर "समस्याएं" (problems) कहा जाता है। कुछ पहेलियाँ आसान होती हैं; कुछ इतनी कठिन होती हैं कि कोई भी कंप्यूटर उन्हें हल नहीं कर सकता, चाहे आप उसे कितना भी समय क्यों न दे दें।

यह शोध पत्र इन अनंत पहेलियों को समझने, मिलाने और उनकी कठिनाई को मापने के लिए एक सार्विवर्सल टूलबॉक्स बनाने के बारे में है। लेखिका, सेसिलिया प्रैडिक और इयान प्राइस, इन समस्याओं की कठिनाई का वर्णन करने के लिए एक नई भाषा बनाने हेतु उन्नत गणित (कैटेगरी थ्योरी) और कंप्यूटर विज्ञान के मिश्रण का उपयोग करती हैं।

यहाँ उनके विचारों का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. निर्माण खंड (Building Blocks): प्रश्न और उत्तर के रूप में "कंटेनर्स"

एक "समस्या" को गणितीय समीकरण के रूप में नहीं, बल्कि दो लोगों के बीच एक खेल के रूप में सोचें: एक प्रश्नकर्ता (Questioner) और एक उत्तरदाता (Answerer)।

आकार (प्रश्न): प्रश्नकर्ता के पास उन संभावित प्रश्नों की एक थैली है जो वे पूछ सकते हैं।
दिशाएँ (उत्तर): प्रत्येक प्रश्न के लिए, उत्तरों का एक सेट होता है।
कंटेनर: यह शोध पत्र इस पूरे सेटअप को एक "कंटेनर" कहता है। यह एक वेंडिंग मशीन की तरह है। आप एक विशिष्ट सिक्का (एक प्रश्न) डालते हैं, और मशीन के पास स्नैक्स का एक विशिष्ट सेट (उत्तर) होता है जो वह आपको दे सकती है। कभी-कभी, एक मशीन में एक प्रश्न के लिए स्लॉट हो सकता है लेकिन उसके अंदर कोई स्नैक्स नहीं होते (एक ऐसा प्रश्न जिसका कोई उत्तर नहीं है)।

2. जादुई उपकरण: फिक्स्पॉइंट्स (Fixpoints)

लेखक इस बात में रुचि रखते हैं कि जब आप इन मशीनों को मिलाते हैं या उन्हें लूप में चलाते हैं तो क्या होता है। वे सरल मशीनों से नई, अधिक जटिल मशीनें बनाने के लिए तीन विशेष "जादुई उपकरणों" (जिन्हें फिक्स्पॉइंट्स कहा जाता है) का उपयोग करते हैं:

"न्यूनतम" फिक्स्पॉइंट (The Least Fixpoint - सीमित लूप): कल्पना कीजिए कि आपके पास एक मशीन है जो एक प्रश्न पूछती है, एक उत्तर प्राप्त करती है, और फिर दूसरा प्रश्न पूछती है। "न्यूनतम" उपकरण एक ऐसी मशीन बनाता है जो सीमित (finite) चरणों के बाद रुक जाती है। यह एक रेसिपी की तरह है जो कहती है, "यह चरण 5 बार करें, फिर रुक जाएं।"
"अधिकतम" फिक्स्पॉइंट (The Greatest Fixpoint - अनंत प्रवाह): यह उपकरण एक ऐसी मशीन बनाता है जो हमेशा चलती रहती है। यह एक प्रश्न पूछती है, एक उत्तर प्राप्त करती है, फिर दूसरा पूछती है, और कभी नहीं रुकती। यह एक ऐसी नदी की तरह है जो अनंत तक बहती है।
"मध्यम" फिक्स्पॉइंट (The Middle Fixpoint - "उत्तर योग्य" लूप): यह इस शोध पत्र का विशेष आविष्कार है। कभी-कभी, यदि आप बस एक मशीन को अनंत काल तक चलने देते हैं, तो वह ऐसे प्रश्न पूछने में फंस सकती है जिनका कोई उत्तर नहीं होता। "मध्यम" उपकरण एक चतुर फ़िल्टर है। यह एक ऐसी मशीन बनाता है जो अनंत तक चलती है लेकिन केवल उन हिस्सों को रखती है जहाँ उत्तर वास्तव में मौजूद होते हैं। यह एक रेडियो की तरह है जो संगीत का एक अनंत प्रवाह बजाता है, लेकिन यह स्वचालित रूप से उन स्टेशनों को छोड़ देता है जहाँ केवल शोर (static) है।

3. "ज़ेटा" भाषा ( $\zeta$ -expressions)

इन जटिल मशीनों का वर्णन करने के लिए, लेखकों ने $\zeta$ -एक्सप्रेशंस नामक एक नई सिंटैक्स (syntax) का आविष्कार किया है। इसे इन प्रश्न-और-उत्तर वाले खेलों को बनाने के लिए एक प्रोग्रामिंग भाषा के रूप में समझें।

आप कोड लिख सकते हैं कि: "एक प्रश्न पूछें, फिर दूसरा पूछें, फिर इसे अनंत तक चलाएं, लेकिन केवल तभी जब उत्तर मौजूद हों।"
शोध पत्र दिखाता है कि आपके द्वारा इस भाषा में लिखा गया कोई भी एक्सप्रेशन एक विशिष्ट प्रकार के खेल (विशेष रूप से, एक अनंत ट्री पर खेला जाने वाला "पैरिटी गेम") के अनुरूप होता है।
ट्री (Tree) की उपमा: एक विशाल पारिवारिक वृक्ष (family tree) की कल्पना करें जो अनंत तक नीचे जाता है।
- प्रश्न उस ट्री में नीचे जाने वाला एक रास्ता (path) है।
- उत्तर एक खिलाड़ी (मान लीजिए "Even") के लिए जीतने की रणनीति है, जो सही शाखाओं को चुनता है।
- लेखक सिद्ध करते हैं कि आप अपने किसी भी $\zeta$ -एक्सप्रेशन को एक विशिष्ट ट्री गेम में बदल सकते हैं।

4. "उत्तर योग्य भाग" फ़िल्टर (The "Answerable Part" Filter)

यहाँ पेचीदा हिस्सा है: कुछ अनंत खेल "टूटे हुए" हो सकते हैं। उनमें ऐसे रास्ते हो सकते हैं जहाँ खिलाड़ी को अनिवार्य रूप से ऐसा प्रश्न पूछना होगा जिसका कोई उत्तर नहीं है। वास्तविक दुनिया में, बिना उत्तर वाली समस्या बेकार है।

लेखक Ans (Answerable Part) नामक एक ऑपरेटर पेश करते हैं।
यह ऑपरेटर एक छलनी (sieve) की तरह कार्य करता है। यह एक जटिल, संभावित रूप से टूटी हुई मशीन को लेता है और सभी "असंभव" प्रश्नों को छानकर अलग कर देता है।
जो बचता है वह एक साफ, काम करने वाली समस्या है।
बड़ी खोज: अपने $\zeta$ -एक्सप्रेशंस पर इस छलनी का उपयोग करके, वे कंप्यूटर विज्ञान की कई प्रसिद्ध, कठिन समस्याओं (जैसे ट्री में पथ खोजना, या अनंत सूचियों से चुनाव करना) को फिर से बना सकते हैं, जिन्हें पहले अलग-अलग अध्ययन किया गया था।

5. उन्होंने क्या पाया (परिणाम)

परिदृश्य का मानचित्रण (Mapping the Landscape): उन्होंने एक मानचित्र बनाया (शोध पत्र में चित्र 2) जो दिखाता है कि कैसे उनकी नई "ज़ेटा" भाषा लगभग सभी ज्ञात "कठिन" समस्याओं (वीह्राउच पदानुक्रम/Weihrauch hierarchy में) को बना सकती है।
सीमाएँ: उन्होंने एक छत (ceiling) भी खोजी। उनकी विधि जटिलता के एक निश्चित स्तर (पैरिटी गेम्स से संबंधित) तक वर्णन कर सकती है, लेकिन उन्हें संदेह है कि यह हर संभव कठिन समस्या (जैसे रामसे थ्योरम के कुछ प्रकार) का वर्णन नहीं कर सकती है।
"तुच्छता" का जाल (The "Trivial" Trap): उन्होंने देखा कि यदि आप इन मशीनों को बिना "उत्तर योग्य भाग" फ़िल्टर के मिलाते हैं, तो परिणाम अक्सर "तुच्छ" (या तो असंभव या बहुत आसान) दिखाई देता है। जादू केवल तभी होता है जब आप असंभव प्रश्नों को छानकर अलग कर देते हैं।

सारांश

यह शोध पत्र अनंत पहेलियों के लिए एक निर्माण मैनुअल है।

वे बुनियादी ईंटों (प्रश्न और उत्तर के कंटेनर) को परिभाषित करते हैं।
वे इन ईंटों को जोड़ने के तीन तरीके प्रदान करते हैं (सीमित लूप, अनंत लूप, और फ़िल्टर्ड अनंत लूप)।
वे दिखाते हैं कि अपने "उत्तर योग्य भाग" फ़िल्टर का उपयोग करके, आप कंप्यूटबल एनालिसिस की लगभग किसी भी प्रसिद्ध कठिन समस्या को बना सकते हैं।
वे सिद्ध करते हैं कि इन समस्याओं को अनंत पेड़ों पर खिलाड़ियों द्वारा खेल खेले जाने के रूप में देखा जा सकता है।

यह अमूर्त गणित (संरचनाओं को कैसे बनाया जाए) और कंप्यूटर विज्ञान (किसी समस्या को हल करना कितना कठिन है?) के बीच एक सेतु है, जो यह दर्शाता है कि समस्या की अपनी संरचना ही उसकी कठिनाई निर्धारित करती है।

तकनीकी सारांश: पॉलिनॉमियल ऑफ पॉलिनॉमियल्स के फिक्सपॉइंट्स की समस्याएँ

समस्या विवरण
यह शोध पत्र कंटेनर्स की श्रेणियों (विशेष रूप से कोडोमेन फाइब्रेशन के फाइबरवाइज ऑपोज़िट पर फाइबर्ड एंडोफंक्टर्स) पर एंडोफंक्टर्स के फिक्सपॉइंट्स (fixpoints) को लक्षणबद्ध करने की चुनौती को संबोधित करता है। जबकि बेस कैटेगरी $C$ पर पॉलिनॉमियल फंक्टर्स (polynomial functors) को प्रारंभिक बीजगणित (initial algebras - न्यूनतम फिक्सपॉइंट, $\mu$ ) और टर्मिनल को-अल्जेब्रा (terminal coalgebras - अधिकतम फिक्सपॉइंट, $\nu$ ) प्राप्त करने के लिए अच्छी तरह से समझा जाता है, लेखक इस बात की जांच करते हैं कि जब इन फंक्टर्स को कंटेनर श्रेणी, $\text{Cont}(C)$ , में ऊपर उठाया जाता है, तो उनके फिक्सपॉइंट्स का व्यवहार कैसा होता है।

एक केंद्रीय मुद्दा जो पहचाना गया है वह यह है कि अनंत समानांतरकरण (infinite parallelization - $\zeta X. P \otimes X$ ) या अनंत अनुक्रमिक पुनरावृत्ति (infinite sequential iteration - $\zeta X. X \star P$ ) जैसे ऑपरेटरों के लिए मानक फिक्सपॉइंट निर्माण अक्सर वीह्राउच जटिलता (Weihrauch complexity) के संदर्भ में सार्थक "अधिकतम फिक्सपॉइंट्स" उत्पन्न करने में विफल रहते हैं। विशेष रूप से, ऐसे फंक्टर्स का टर्मिनल को-अल्जेब्रा प्रश्नों के एक स्थान (जैसे, प्रश्नों की स्ट्रीम) को तो परिभाषित कर सकता है, लेकिन उत्तरों के एक अनुरूप स्थान प्रदान करने में विफल रहता है, जिससे समस्या निरर्थक हो जाती है। लेखक एक "मध्यम" फिक्सपॉइंट, जिसे $\zeta$ कहा जाता है, की संरचनात्मक समझ की तलाश करते हैं, जो उत्तरों के स्थान को निरर्थक बनाए बिना प्रारंभिक बीजगणित, टर्मिनल को-अल्जेब्रा और इस मध्यवर्ती फिक्सपॉइंट की गणना करने की अनुमति देता है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक ढांचा विकसित करते हैं जो फाइबर्ड पॉलिनॉमियल फंक्टर्स (fibred polynomial functors) पर आधारित है। वे मानते हैं कि बेस कैटेगरी $C$ एक $\Pi$ WM-कैटेगरी है (विस्तार योग्य/extensive, स्थानीय रूप से कार्टेशियन क्लोज्ड, डिपेंडेंट W-टाइप्स और M-टाइप्स के साथ)।

फाइबर्ड पॉलिनॉमियल फंक्टर्स: वे एक फलन $F: \text{Cont}(C) \to \text{Cont}(C)$ को फाइबर्ड पॉलिनॉमियल के रूप में परिभाषित करते हैं यदि यह शेप फलन $\text{shape}: \text{Cont}(C) \to C$ पर एक फाइबर्ड फलन है, और इसका बेस घटक $F_0: C \to C$ एक पॉलिनॉमियल फलन है।
फिक्सपॉइंट्स को उठाना (थ्योरम 18): उनकी मुख्य पद्धतिगत देन $F_0$ $F_{0}$ के फिक्सपॉइंट्स को उठाकर $F$ $F$ के फिक्सपॉइंट्स की गणना करने की एक "रेसिपी" है। $F$ $F$ के लिए टर्मिनल को-अल्जेब्रा की गणना करने के लिए, पहले बेस फलन $F_0$ $F_{0}$ के लिए टर्मिनल को-अल्जेब्रा $(\nu F_0, c_{\nu F_0})$ $(ν F_{0}, c_{ν F_{0}})$ की गणना की जाती है। फिर, $\nu F_0$ $ν F_{0}$ के ऊपर के फाइबर पर प्रेरित फलन के लिए टर्मिनल को-अल्जेब्रा की गणना की जाती है। यह दो-चरणीय प्रक्रिया तीन प्रकार के फिक्सपॉइंट्स के निर्माण की अनुमति देती है:
- प्रारंभिक बीजगणित ( $\mu F$ ): $F_0$ के प्रारंभिक बीजगणित और फाइबर में एक टर्मिनल को-अल्जेब्रा के माध्यम से संगणना की जाती है।
- टर्मिनल को-अल्जेब्रा ( $\nu F$ ): $F_0$ के टर्मिनल को-अल्जेब्रा और फाइबर में एक प्रारंभिक बीजगणित के माध्यम से संगणना की जाती है।
- $\zeta$ -फिक्सपॉइंट: बेस और फाइबर दोनों में टर्मिनल को-अल्जेब्रा का उपयोग करते हुए एक मिश्रित निर्माण, जो एक कंटेनर $\zeta F$ देता है जिसमें एक आइसोमोर्फिज्म $F(\zeta F) \cong \zeta F$ होता है।
$\zeta$ -एक्सप्रेशंस: लेखक एक सिंटैक्स पेश करते हैं जिसे $\zeta$ -एक्सप्रेशंस कहा जाता है, जो $\mu$ -बाइ-कम्प्लीट (bicomplete) श्रेणियों में $\zeta$ -बाइंडर्स और पैरेलल प्रोडक्ट्स को विस्तारित करता है। इन एक्सप्रेशंस की व्याख्या फाइबर्ड पॉलिनॉमियल फंक्टर्स के रूप में की जाती है।
ऑटोमेटा-सैद्धांतिक व्याख्या: रेगुलर ट्री लैंग्वेजेस और पैरिटी गेम्स (parity games) के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, लेखक दिखाते हैं कि किसी भी क्लोज्ड $\zeta$ -एक्सप्रेशन को एक रेगुलर गेम ट्री लैंग्वेज $L_E$ में एल्गोरिदम द्वारा अनुवादित किया जा सकता है। एक्सप्रेशन का डेनोटेशन (denotation) एक ऐसी समस्या के अनुरूप है जहाँ प्रश्न $L_E$ में ट्रीज़ हैं और उत्तर संबंधित पैरिटी गेम में "इवन" (Even) प्लेयर की जीतने वाली रणनीतियाँ हैं।
आंसरबल पार्ट ऑपरेटर (Answerable Part Operator): यह पहचानते हुए कि $\zeta$ -एक्सप्रेशंस के डेनोटेशन अक्सर अपने डिग्री के कारण (0, I, या 1 के बराबर होने के कारण) निरर्थक होते हैं क्योंकि उनमें अन-आंसरबल (unanswerable) प्रश्न मौजूद होते हैं, लेखक Ans ऑपरेटर पेश करते हैं। यह ऑपरेटर एक कंटेनर को उसके "आंसरबल पार्ट" (वह सब-ऑब्जेक्ट जहाँ प्रश्नों के उत्तर होते हैं) तक सीमित करता है, जिससे गैर-तुच्छ वीह्राउच डिग्री प्राप्त करना संभव होता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

अस्तित्व प्रमेय (थ्योरम 18): लेख यह सिद्ध करता है कि $\Pi$ WM-कैटेगरी पर फाइबर्ड पॉलिनॉमियल फंक्टर्स के लिए प्रारंभिक बीजगणित, टर्मिनल को-अल्जेब्रा और मध्यवर्ती $\zeta$ -फिक्सपॉइंट्स हमेशा अस्तित्व में होते हैं। यह उन ऑपरेटरों (जैसे अनंत समानांतरकरण और पुनरावृत्ति) के लिए एक कठोर श्रेणीगत आधार प्रदान करता है जिनका अध्ययन पहले बिना किसी एकीकृत संरचनात्मक सिद्धांत के वीह्राउच जटिलता में किया गया था।
वीह्राउच डिग्री का लक्षण वर्णन: $\zeta$ $ζ$ -एक्सप्रेशंस के डेनोटेशन पर Ans ऑपरेटर लागू करके, लेखक वीह्राउच लैटिस के एक महत्वपूर्ण हिस्से को कैप्चर करते हैं। विशेष रूप से, वे व्यक्त करते हैं:
- $\mathbb{N}$ पर क्लोज्ड चॉइस ( $C_{\mathbb{N}}$ ) और परिमित सेटों पर क्लोज्ड चॉइस ( $C_k$ )।
- वीक कोनिग्स लेम्मा (WKL)।
- लिमिट ऑपरेटर ( $\lim$ ) और इसके वेरिएंट।
- $\Delta^0_1$ और $\Delta^0_2$ उद्देश्यों के लिए डिटरमिनेंसी (Determinacy)।
- इन सिद्धांतों का अनंत समानांतरकरण।
अनफिल्टर्ड एक्सप्रेशंस की निरर्थकता (प्रपोजिशन 32, कोरोलरी 57): लेखक प्रदर्शित करते हैं कि Ans ऑपरेटर के बिना, क्लोज्ड $\zeta$ -एक्सप्रेशंस की डिग्री निरर्थक होती है। यह हाइलाइट करता है कि सार्थक कम्प्यूटेशनल कंटेंट को पुनः प्राप्त करने के लिए अन-आंसरबल प्रश्नों को फ़िल्टर करना आवश्यक है।
ऑटोमेटा-सैद्धांतिक सीमाएँ (प्रपोजिशन 40): पेपर यह स्थापित करता है कि $\zeta$ -एक्सप्रेशंस (Ans लागू करने के बाद) द्वारा व्यक्त की जाने वाली समस्याएँ विशिष्ट प्रायोरिटीज वाले पैरिटी गेम्स की डिटरमिनेंसी द्वारा सीमित हैं। विशेष रूप से, वे वीह्राउच लैटिस में $(\Sigma^0_2)_k\text{-FindWS}$ से अधिक उच्च स्तर की समस्याओं को व्यक्त नहीं कर सकते।
कठोर पदानुक्रम (Strict Hierarchies): वे $(\Sigma^0_1)^c_{k}\text{-FindWS} < (\Sigma^0_1)^{c}_{k+1}\text{-FindWS}$ जैसे कुछ कठोर असमानताओं को सिद्ध करते हैं, जो $\Pi^1_1\text{-CA}_0$ के परिमित पुनरावृत्तियों से जुड़े हैं।

महत्व और दावे
लेख का दावा है कि यह कंटेनर्स के संदर्भ में फिक्सपॉइंट्स की एक "संरचनात्मक समझ" प्रदान करता है, जो पॉलिनॉमियल फंक्टर्स के बीजगणितीय सिद्धांत और वीह्राउच रिड्यूसिबिलिटी (Weihrauch reducibility) के कम्प्यूटेशनल सिद्धांत के बीच के अंतर को पाटता है।

एकीकरण: यह वीह्राउच डिग्री पर ऑपरेटरों के बीजगणितीय सिद्धांत (जो पहले एड-हॉक परिभाषाओं पर निर्भर था) को कंटेनर्स और पॉलिनॉमियल फंक्टर्स के श्रेणीगत सिद्धांत के साथ एकीकृत करता है।
अभिव्यक्ति क्षमता (Expressiveness): यह प्रदर्शित करता है कि $\zeta$ -एक्सप्रेशंस, Ans ऑपरेटर के साथ मिलकर, उल्लेखनीय रूप से अभिव्यंजक हैं, जो क्लोज्ड चॉइस से लेकर अनंत पैरिटी गेम्स की डिटरमिनेंसी तक के बेंचमार्क समस्याओं को कैप्चर करते हैं।
सीमाएँ: लेखक अपने दृष्टिकोण की सीमाओं को विनम्रतापूर्वक स्वीकार करते हैं। वे नोट करते हैं कि ऑटोमेटा-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन द्वारा व्यक्त की जाने वाली डिग्री को पैरिटी गेम्स की डिटरमिनेंसी के नीचे सीमित कर दिया गया है। वे अनुमान लगाते हैं कि रामसे थ्योरम फॉर पेयर्स ( $RT^2_2$ ) जैसे प्राकृतिक डिग्री किसी भी Ans( $\llbracket E \rrbracket$ ) के समकक्ष नहीं हैं।
खुले प्रश्न: पेपर यह पूछकर समाप्त होता है कि क्या दो $\zeta$ -एक्सप्रेशंस के 'आंसरबल पार्ट्स' की तुल्यता (equivalence) निर्णायक (decidable) है, जो इसे ट्री ऑटोमेटा के इंडेक्स समस्या से जोड़ता है।

यह कार्य कोई नए प्रयोगात्मक अनुप्रयोग प्रस्तावित नहीं करता है, बल्कि श्रेणी सिद्धांत (category theory) के लेंस के माध्यम से कंप्यूटबल एनालिसिस और वीह्राउच जटिलता में समस्याओं के निर्माण और समझने के लिए एक सैद्धांतिक ढांचा प्रदान करता है।