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Experimental prime factorization via the feedback quantum control

यह शोध पत्र अभाज्य गुणनखंडन (प्राइम फैक्टराइजेशन) के लिए एक पूर्ण-क्वांटम, मापन-आधारित फीडबैक दृष्टिकोण प्रस्तुत करता है जो शास्त्रीय पैरामीटर अनुकूलन की आवश्यकता को समाप्त करता है, और एक तीन-क्यूबिट एनएमआर (NMR) प्रोसेसर पर 551 के गुणनखंड करने द्वारा इसकी व्यवहार्यता को प्रदर्शित करता है तथा बड़े बाइप्राइम्स (biprimes) के लिए इस विधि को संख्यात्मक रूप से स्केल करता है।

मूल लेखक: K. B. Hari Krishnan, Vishal Varma, T. S. Mahesh

प्रकाशित 2026-01-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: K. B. Hari Krishnan, Vishal Varma, T. S. Mahesh

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक विशाल, लॉक किया हुआ तिजोरी (सेफ) है जिसमें एक गुप्त कोड है। इसे खोलने का एकमात्र तरीका दो विशिष्ट चाबियाँ खोजना है, जिन्हें आपस में गुणा करने पर तिजोरी के डायल पर दिखने वाली संख्या प्राप्त होती है। गणित की दुनिया में, इसे प्राइम फैक्टराइजेशन (अभाज्य गुणनखंडन) कहा जाता है। बहुत बड़ी संख्याओं के लिए, इसे सामान्य कंप्यूटरों द्वारा जल्दी से करना अविश्वसनीय रूप से कठिन है।

यह शोध पत्र एक नए तरीके का वर्णन करता है जिससे इन कोड्स को तोड़ने के लिए एक क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग किया जाता है, लेकिन इसमें एक चतुर मोड़ है: एक कठोर, पूर्व-लिखित स्क्रिप्ट का पालन करने के बजाय, कंप्यूटर परीक्षण, त्रुटि और फीडबैक की एक प्रक्रिया के माध्यम से उत्तर तक पहुँचने का रास्ता "सीखता" है।

यहाँ इसका एक सरल विवरण दिया गया है कि उन्होंने इसे कैसे किया और उन्हें क्या मिला:

समस्या: "परफेक्ट पाथ" बनाम "फीडबैक लूप"

आमतौर पर, क्वांटम कंप्यूटर इस तरह की समस्याओं को दो तरीकों से हल करने की कोशिश करते हैं:

स्क्रिप्टेड रूट (शोर का एल्गोरिदम - Shor's Algorithm): यह एक रस्सी पर चलने (tightrope walking) जैसा है। आपको एकदम सटीक संतुलन और अत्यंत सटीक कदमों की आवश्यकता होती है। यदि आप थोड़ा सा भी डगमगाते हैं (शोर या त्रुटियों के कारण), तो आप गिर जाते हैं। इसके लिए बहुत उच्च गुणवत्ता वाले उपकरणों की आवश्यकता होती है जो हमारे पास अभी पूरी तरह से नहीं हैं।
धीमी रेंगने वाली प्रक्रिया (एडियाबेटिक/एनीलिंग): यह बर्फ के एक ब्लॉक को धीरे-धीरे पिघलाकर उसके अंदर छिपे रत्न को खोजने जैसा है। यह अधिक सहिष्णु (forgiving) है, लेकिन इसके लिए एक नियमित कंप्यूटर द्वारा पहले से ही पिघलने के शेड्यूल को समझने के लिए बहुत अधिक भारी काम करने की आवश्यकता होती है।

नया दृष्टिकोण (FALQON):
लेखक एक "फीडबैक लूप" विधि प्रस्तावित करते हैं जिसे FALQON कहा जाता है। इसे अंधेरे में कार चलाने के रूप में सोचें।

आपको सड़क के आगे के सटीक मानचित्र की आवश्यकता नहीं है।
इसके बजाय, आप थोड़ा सा गाड़ी चलाते हैं, अपनी स्थिति की जांच करते हैं (सिस्टम को मापते हैं), और फिर जो आपने अभी महसूस किया उसके आधार पर स्टीयरिंग व्हील को समायोजित करते हैं।
यदि आप बाईं ओर भटक जाते हैं, तो आप दाईं ओर मुड़ते हैं। यदि आप दाईं ओर भटक जाते हैं, तो आप बाईं ओर मुड़ते हैं।
लगातार जांच और समायोजन करके, कार स्वाभाविक रूप से बिना किसी पूर्व-निर्धारित मानचित्र के गंतव्य (सही गुणनखंडों) की ओर खुद को निर्देशित करती है।

प्रयोग: 551 का गुणनखंड करना

यह सिद्ध करने के लिए कि यह काम करता है, टीम ने एक छोटे क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग किया जो तीन छोटे चुंबकों (विशेष रूप से, एक तरल अणु के भीतर तीन फ्लोरीन परमाणु) से बना था, जिसे NMR स्पेक्ट्रोमीटर नामक मशीन के अंदर रखा गया था।

लक्ष्य: वे उन दो अभाज्य संख्याओं को खोजना चाहते थे जिन्हें गुणा करने पर 551 बनता है। (उत्तर 19 और 29 है)।
प्रक्रिया: उन्होंने परमाणुओं को एक यादृच्छिक (random), "गर्म" अवस्था से शुरू किया (जैसे मेज पर रखी कॉफी का कप)। उन्हें उन्हें परम शून्य (absolute zero) तक ठंडा करने या उन्हें पूरी तरह से तैयार करने की आवश्यकता नहीं थी।
लूप:
1. उन्होंने परमाणुओं पर एक "धक्का" (कंट्रोल सिग्नल) लगाया।
2. उन्होंने परमाणुओं की स्थिति को मापा।
3. उस माप के आधार पर, उन्होंने उत्तर के करीब पहुँचने के लिए आवश्यक अगले धक्के की गणना की।
4. उन्होंने इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराया।

परिणाम:
इस "धक्का-माप-समायोजन" चक्र के लगभग 22 राउंड के बाद, परमाणु ऐसी अवस्था में स्थिर हो गए जो स्पष्ट रूप से 19 और 29 संख्याओं को दर्शाती थी। सिस्टम ने बिना किसी सुपरकंप्यूटर द्वारा चरणों की योजना बनाए, स्वाभाविक रूप से गुणनखंडों को "ढूँढ" लिया।

यह क्यों विशेष है: यह कठिन और लचीला है

शोध पत्र इस पद्धति के दो प्रमुख लाभों पर प्रकाश डालता है:

यह लचीला है (एक स्व-सुधार करने वाले कंपास की तरह):
वास्तविक दुनिया के क्वांटम कंप्यूटर "शोर वाले" (noisy) होते हैं। कंट्रोल सिग्नल परफेक्ट नहीं होते; वे थोड़े अधिक मजबूत या थोड़े गलत कोण पर हो सकते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक सीधी रेखा पर चलने की कोशिश कर रहे हैं जबकि कोई आपको बगल से धीरे से धक्का दे रहा है। एक कठोर विधि आपको लड़खड़ा बना देगी। लेकिन क्योंकि FALQally हर कदम के बाद अपनी स्थिति की जांच करता है, यह तुरंत उस धक्के के लिए सुधार करता है। शोध पत्र दिखाता है कि "अव्यवस्थित" संकेतों के साथ भी, इस विधि ने उत्तर खोज लिया।
उन्होंने यह भी पाया कि GRAPE नामक एक विशिष्ट तकनीक का उपयोग करने से (जो बहुत मजबूत पल्स डिजाइन करती है) सिस्टम इन त्रुटियों के प्रति और भी अधिक प्रतिरोधी हो गया, जो एक कार के शॉक एब्जॉर्बर की तरह है जो ऊबड़-खाबड़ सड़क को सुचारू बनाता है।

यह स्केल होता है ("बड़े नंबरों" का परीक्षण):
हालांकि उन्होंने केवल भौतिक रूप से 551 संख्या का परीक्षण किया, लेकिन उन्होंने कंप्यूटर सिमुलेशन का उपयोग यह देखने के लिए किया कि क्या यह बहुत बड़ी संख्याओं के लिए भी काम करेगा।

उन्होंने 9,167 (5 क्यूबिट का उपयोग करके) और 2,106,287 (9 क्यूबिट का उपयोग करके) का गुणनखंड करने का सिमुलेशन किया।
सिमुलेशन ने दिखाया कि यह तरीका अभी भी काम करता है। दिलचस्प बात यह है कि उन्होंने पाया कि इन बड़ी संख्याओं के लिए, उन्हें समस्या के पूर्ण, जटिल "मानचित्र" की आवश्यकता भी नहीं थी। वे नियमों के एक सरलीकृत, "ट्रंकेटेड" (छोटा किया गया) संस्करण का उपयोग कर सकते थे, और फीडबैक लूप ने फिर भी सही गुणनखंड खोज लिए।

मुख्य निष्कर्ष

शोधकर्ताओं ने सफलतापूर्वक प्रदर्शित किया है कि आप एक निरंतर माप और समायोजन के माध्यम से सिस्टम को उत्तर की ओर "स्वयं को निर्देशित" करने देकर, एक क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके संख्याओं का गुणनखंड कर सकते हैं।

कोई पूर्ण तैयारी की आवश्यकता नहीं: आप एक अव्यवस्थित, यादृच्छिक अवस्था से शुरू कर सकते हैं।
कोई पूर्व-निर्धारित मानचित्र नहीं: कंप्यूटर चलते समय ही अगला कदम तय करता है।
त्रुटि-सहिष्णु (Error-tolerant): यह अन्य तरीकों की तुलना में वास्तविक दुनिया के प्रयोगों के "शोर" को बेहतर ढंग से संभालता है।

यह आज के अपूर्ण क्वांटम मशीनों पर कठिन गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए एक आशाजनक मार्ग का सुझाव देता है, बिना भविष्य की पूर्ण, त्रुटि-मुक्त मशीनों की प्रतीक्षा किए।

तकनीकी सारांश: फीडबैक क्वांटम कंट्रोल के माध्यम से प्रयोगात्मक अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization)

समस्या विवरण
वर्तमान क्वांटम अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) नॉयजी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) युग में महत्वपूर्ण बाधाओं का सामना कर रहा है। सर्किट-आधारित दृष्टिकोण, जैसे कि शोर का एल्गोरिदम (Shor's algorithm), उच्च-सटीकता वाले गेट और गहरे सर्किट ( $O(l^3)$ गेट्स, अत्यंत कम त्रुटि दर के साथ) की आवश्यकता रखते हैं, जो प्रदर्शन को बहुत छोटी संख्याओं तक ही सीमित कर देते है। इसके विपरीत, हैमिल्टोनियन अनुकूलन विधियाँ (एडियाबेटिक, एनीलिंग, या वेरिएशनल) समस्या हैमिल्टोनियन ( $H_p$ ) के अपभ्रष्ट ग्राउंड स्टेट्स (degenerate ground states) के रूप में कारकों को एनकोड करती हैं। हालाँकि, ये विधियाँ अक्सर धीमी विकास प्रक्रिया, सख्त प्रारंभिक अवस्था आवश्यकताओं और समय-निर्भर नियंत्रण मापदंडों को निर्धारित करने के लिए महंगी क्लासिकल पोस्ट-प्रोसेसिंग की आवश्यकता से ग्रस्त होती हैं।

कार्यप्रणाली: FALQON
लेखक FALQON (फीडबैक-आधारित क्वांटम ऑप्टिमाइज़ेशन के लिए एल्गोरिदम) प्रस्तावित और कार्यान्वित करते हैं, जो एक मेजरमेंट-आधारित, ऑल-क्वांटम इटरेटिव दृष्टिकोण है।

मुख्य तंत्र: FALQON एक लियापुनोव-प्रेरित (Lyapunov-inspired) इटरेटिव स्कीम का उपयोग करता है। कंट्रोल फील्ड्स को पूर्व-गणना करने के बजाय, यह एल्गोरिदम अगले चरण के लिए ड्राइव मापदंडों को निर्धारित करने हेतु प्रत्येक इटरेशन में क्वांटम सिस्टम की तात्कालिक अवस्था (instantaneous state) को मापता है।
नियंत्रण तर्क (Control Logic): सिस्टम एक कुल हैमिल्टोनियन $H_{total} = H_p + \beta(t)H_d$ के तहत विकसित होता है, जहाँ $H_p$ समस्या हैमिल्टोनियन है और $H_d$ ड्राइव हैमिल्टोनियन है। इटरेशन $j$ के लिए स्केलर कंट्रोल पैरामीटर $\beta_{j+1}$ , इटरेशन $j$ पर कम्यूटेटर ऑब्जर्वेबल $C = i[H_p, H_d]$ के एक्सपेक्टेशन वैल्यू को मापकर निर्धारित किया जाता है। अपडेट नियम $\beta_{j+1} = c \langle C \rangle_{\rho_j}$ है, जहाँ $c$ एक स्केलिंग फैक्टर है। यह सुनिश्चित करता है कि ऊर्जा $\langle H_p \rangle$ ग्राउंड स्टेट की ओर निरंतर (या एसिम्प्टोटिक रूप से) घटती है।
प्रयोगात्मक कार्यान्वयन: लेखक इसे तीन-क्यूबिट NMR रजिस्टर पर 1,1,2-ट्राइफ्लोरो-2-आयोडोइथीन में $^{19}$ $^{19}$ F नाभिकों का उपयोग करके लागू करते हैं।
- हैमिल्टोनियन का वास्तविक रूप: द्वि-अभाज्य संख्या (biprime) 551 के लिए समस्या हैमिल्टोनियन को डिजिटल-एनालॉग क्वांटम कंप्यूटिंग (DAQC) का उपयोग करके साकार किया गया है। पल्स खामियों के प्रति संवेदनशीलता को कम करने के लिए, लेखक मजबूत RF अनुक्रमों को उत्पन्न करने हेतु ग्रेडिएंट एसेंट पल्स इंजीनियरिंग (GRAPE) का उपयोग करते हैं।
- मापन दक्षता: पूर्ण-स्टेट टोमोग्राफी के बजाय, यह विधि कम्यूटेटर ऑब्जर्वेबल $\langle C \rangle$ और सिस्टम ऊर्जा को कुशलतापूर्वक मापने के लिए "डायगोनल टोमोग्राफी" का उपयोग करती है, जिसके लिए केवल लीनियर मेजरमेंट्स की आवश्यकता होती है।
- प्रारंभिक अवस्था: एडियाबेटिक विधियों के विपरीत, जिन्हें विशिष्ट ग्राउंड स्टेट्स की आवश्यकता होती है, FALQON NMR थर्मल स्टेट से शुरू होता है, जो विस्तृत स्यूडो-प्योर स्टेट तैयारी के बिना ट्रांसवर्स मैग्नेटाइजेशन में परिवर्तित हो जाता है।

प्रमुख योगदान

प्रयोगात्मक प्रदर्शन: यह शोध NMR प्रोसेसर पर एक फीडबैक-आधारित क्वांटम एल्गोरिदम का उपयोग करके पहले द्वि-अभाज्य संख्या (551) के सफल गुणनखंडन की रिपोर्ट करता है।
ऑल-क्वांटम कंट्रोल: यह कार्य एक ऐसा तरीका प्रदर्शित करता है जो $H_p$ के साकार होने के बाद ड्राइव मापदंडों के क्लासिकल कंप्यूटेशन की आवश्यकता को समाप्त करता है, क्योंकि फीडबैक लूप स्वयं कंट्रोल फील्ड को निर्धारित करता है।
मजबूती का विश्लेषण (Robustness Analysis): लेखक कंट्रोल-फील्ड त्रुटियों, RF विजातीयता (inhomogeneities) और रैंडम नॉइज़ के विरुद्ध एल्गोरिदम के लचीलेपन का विस्तृत विश्लेषण प्रदान करते हैं, और एडियाबेटिक एवं QAOA विधियों के मुकाबले FALQON का अनुकूल तुलनात्मक विश्लेषण करते हैं।
स्केलेबिलिटी प्रोजेक्शन: संख्यात्मक सिमुलेशन के माध्यम से, लेखक 5 और 9 क्यूबिट्स का उपयोग करके बड़ी द्वि-अभाज्य संख्याओं (9,167 और 2,106,287) का गुणनखंडन करके इसकी स्केलेबिलिटी प्रदर्शित करते हैं।

परिणाम

551 का गुणनखंडन: प्रयोग ने सफलतापूर्वक 551 को उसके अभाज्य घटकों, 19 और 29 में विभाजित किया। 22 इटरेशन के बाद, सिस्टम ने इन कारकों (बिट-रिवर्सल और पैडिंग के बाद) के अनुरूप बेस स्टेट्स में स्पष्ट संभाव्यता एकाग्रता (probability concentration) दिखाई। ऊर्जा कम हुई और संतृप्त (saturated) हुई, जबकि सॉल्यूशन-स्पेस प्रोबेबिलिटी ~0.2 से बढ़कर ~0.4 हो गई।
मजबूती (Robustness):
- नॉइज़ (Noise): FALQON ने रैंडम कंट्रोल त्रुटियों के तहत एडियाबेटिक विधि की तुलना में तेज़ अभिसरण (convergence) और QAOA की तुलना में कम दोलन (oscillation) प्रदर्शित किया।
- पल्स खामियां: अध्ययन ने पुष्टि की कि हालांकि $H_p$ का DAQC कार्यान्वयन $\pi$ -पल्स खामियों के प्रति संवेदनशील है, लेकिन GRAPE-अनुकूलित कार्यान्वयन RF विजातीयता और सीमित आयाम के प्रति अत्यधिक मजबूत है।
- स्टेप साइज: विश्लेषण ने एक ट्रेड-ऑफ प्रकट किया: छोटे स्टेप साइज ( $c=0.25$ ) नॉइज़ के विरुद्ध मजबूती प्रदान करते हैं, जबकि बड़े स्टेप साइज ( $c=0.75$ ) नॉइज़ के प्रति संवेदनशीलता बढ़ाते हैं, जो पैरामीटर चयन के महत्व को रेखांकित करता है।
ट्रंकेशन (Truncation): 9,167 और 2,106,287 के संख्यात्मक परिणामों ने दिखाया कि "ट्रंकेटेड" समस्या हैमिल्टोनियन (पूर्ण विस्तार की तुलना में कम पदों वाले) समान अपभ्रष्ट ग्राउंड स्टेट्स बनाए रखते हैं, जिससे कम जटिलता के साथ सफल गुणनखंडन संभव होता है।

महत्व और दावे
यह शोध FALQON को NISQ-युग के गुणनखंडन के लिए एक व्यवहार्य विकल्प के रूप में प्रस्तुत करता है जो शोर के एल्गोरिदम की गेट-डेप्थ बाधाओं और वेरिएशनल विधियों के क्लासिकल ओवरहेड से बचता है। लेखक दावा करते हैं कि यह अपने डायनेमिक कंट्रोल में "ऑल-क्वांटम" है, क्योंकि यह सिस्टम को निर्देशित करने के लिए पूरी तरह से प्रयोगात्मक मापों पर निर्भर करता है। वे इस बात पर जोर देते हैं कि यह दृष्टिकोण प्रयोगात्मक खामियों के प्रति लचीला है और इसे विशिष्ट प्रारंभिक अवस्था तैयारी की आवश्यकता नहीं है, जो इसे वर्तमान NMR और संभावित रूप से अन्य आर्किटेक्चर के लिए उपयुक्त बनाता है। कार्य इस निष्कर्ष पर पहुँचता है कि हालांकि प्रयोगात्मक प्रदर्शन छोटी संख्याओं तक सीमित है, लेकिन इसकी संख्यात्मक स्केलेबिलिटी और मजबूती बड़े पूर्णांकों के गुणनखंडन के लिए एक आशाजनक मार्ग का सुझाव देती है, बशर्ते कि कुशल हैमिल्टोनियन रियलाइजेशन और व्यवस्थित ट्रंकेशन विधियों को विकसित किया जाए।

समस्या: "परफेक्ट पाथ" बनाम "फीडबैक लूप"

प्रयोग: 551 का गुणनखंड करना

यह क्यों विशेष है: यह कठिन और लचीला है

मुख्य निष्कर्ष

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