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Randomized Feasibility Methods for Constrained Optimization with Adaptive Step Sizes

यह शोध पत्र बाधाओं वाले अनुकूलन (constrained optimization) के लिए अनुकूली स्टेप साइज़ (adaptive step sizes) के साथ एक रैंडमाइज्ड फिएसिबिलिटी एल्गोरिदम प्रस्तावित करता है जो स्ट्रॉन्गली कॉनवेक्स स्मूथ ऑब्जेक्टिव्स के लिए लीनियर कन्वर्जेंस और कॉनवेक्स नॉनस्मूथ ऑब्जेक्टिव्स के लिए $O(1/\sqrt{T})$ दर प्राप्त करता है, जबकि इनफीसिबिलिटी का ज्यामितीय क्षय (geometric decay) सुनिश्चित करता है और QCQP, SVM और फेयर लॉजिस्टिक रिग्रेशन जैसी समस्याओं पर बेहतर कम्प्यूटेशनल दक्षता प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Abhishek Chakraborty, Angelia Nedić

प्रकाशित 2026-06-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Abhishek Chakraborty, Angelia Nedić

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, धुंधली घाटी (ऑब्जेक्टिव फंक्शन) में सबसे निचले बिंदु को खोजने की कोशिश कर रहे हैं। हालाँकि, यह घाटी अदृश्य, उछलने वाली दीवारों (कन्स्ट्रेंट्स/प्रतिबंधों) के एक जटिल भूलभुलैया से घिरी हुई है। आपका लक्ष्य बिना किसी दीवार से टकराए बिल्कुल नीचे तक पहुँचना है।

समस्या यह है कि दीवारें बहुत चालाक हैं। कुछ को देखना और उनसे बचना आसान है, लेकिन कुछ हजारों ओवरलैपिंग बाधाओं का एक उलझा हुआ जाल हैं। यदि आप एक भी कदम उठाने से पहले सभी दीवारों का सटीक स्थान ज्ञात करने की कोशिश करेंगे, तो आप गणित के जाल में फंस जाएंगे और कभी आगे नहीं बढ़ पाएंगे। यही वह समस्या है जिसे लेखक हल कर रहे हैं।

यहाँ उनका नया तरीका कैसे काम करता है, इसे सरल अवधारणाओं में विभाजित किया गया है:

1. "रैंडमाइज्ड फजीबिलिटी" (यादृच्छिक व्यवहार्यता) का तरीका

पूरी भूलभुलैया का नक्शा एक साथ बनाने के बजाय, लेखक एक "स्पॉट-चेक" रणनीति का सुझाव देते हैं।

पुराना तरीका: कल्पना कीजिए कि आप एक जंगल में हर एक पेड़ की टहनी को देखने की कोशिश कर रहे हैं कि वह आपके सामने है या नहीं, इससे पहले कि आप एक कदम भी बढ़ाएं। यह धीमा और थका देने वाला है।
नया तरीका: आप एक कदम उठाते हैं, और फिर आप केवल एक या कुछ टहनियों को चेक करने के लिए रैंडमली चुनते हैं। यदि आप किसी से टकराते हैं, तो आप उससे धीरे से टकराकर वापस उछलते हैं और अपना रास्ता बदल लेते हैं। यदि आप नहीं टकराते, तो आप चलते रहते हैं।
जादू: एक बार में केवल कुछ चुनिंदा बाधाओं (दीवारों) को रैंडमली चेक करके, आप उन सभी को चेक करने की भारी गणना लागत से बच जाते हैं। समय के साथ, ये रैंडम "बाउंस" आपको दीवारों से दूर और सुरक्षित क्षेत्र की ओर ले जाते हैं, भले ही आपने कभी पूरी भूलभभैया को एक साथ न देखा हो।

2. "एडेप्टिव स्टेप साइज" (स्मार्ट पेसर)

कई ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याओं में, आपको यह अनुमान लगाना होता है कि एक कदम कितना बड़ा होना चाहिए।

बहुत छोटा: आप रेंगते रहेंगे और बहुत समय लेंगे।
बहुत बड़ा: आप लक्ष्य से आगे निकल जाएंगे या किसी दीवार से टकरा जाएंगे।
पेपर का समाधान: यह एल्गोरिदम एक स्मार्ट पेसर (गति नियंत्रक) की तरह काम करता है। इसे पहले से "इलाके के नियमों" (जैसे कि ढलान कितनी तीव्र है या दीवारें कितनी उछाल वाली हैं) को जानने की आवश्यकता नहीं होती है। इसके बजाय, यह अपनी प्रगति को देखता है।
- यदि यह सुचारू रूप से चल रहा है, तो यह बड़े कदम उठाता है।
- यदि यह डगमगा रहा है या दीवारों से टकरा रहा है, तो यह धीमा हो जाता है।
- यह अनिवार्य रूप से कहता है, "मैं चलते-चलते सही गति का पता लगा लूँगा," जिससे यह पैरामीटर-फ्री बन जाता है। आपको कोई बटन या नॉब ट्यून करने की आवश्यकता नहीं है; एल्गोरिदम खुद को खुद ही ट्यून करता है।

3. दो अलग-अलग परिदृश्य

यह पेपर इस तरीके का परीक्षण दो प्रकार की घाटियों पर करता है:

परिदृश्य A: चिकना, घुमावदार कटोरा (स्ट्रॉन्गली कॉन्वेक्स)
कल्पना कीजिए कि एक एकदम चिकना कटोरा है। यदि आप उसमें एक गेंद लुढ़काते हैं, तो वह स्वाभाविक रूप से नीचे की ओर जाएगी।
- परिणाम: लेखक सिद्ध करते हैं कि अपने स्मार्ट पेसर और रैंडम वॉल-चेकिंग के साथ, गेंद बहुत तेज़ी से नीचे पहुँच जाती है (लीनियर कन्वर्जेंस)। यह एक स्थिर और तेज़ दर से पूर्ण समाधान के करीब पहुँचती रहती है।
परिदृश्य B: पथरीला, ऊबड़-खाबड़ इलाका (कॉन्वेक्स लेकिन नॉनस्मूथ)
कल्पना कीजिए कि एक घाटी है जिसमें नुकीले पत्थर और सपाट हिस्से हैं। ज़मीन चिकनी नहीं है; यह ऊबड़-खाबड़ है।
- परिणाम: इस ऊबड़-खाबड़ इलाके में भी, यह तरीका काम करता है। यह चिकने कटोरे जितना तेज़ तो नहीं हो सकता, लेकिन यह गारंटी देता है कि आप एक अनुमानित गति से नीचे तक पहुँच जाएंगे (विशेष रूप से, त्रुटि $1/\sqrt{T}$ के रूप में घटती है, जहाँ $T$ कदमों की संख्या है)।

4. वास्तविक दुनिया के परीक्षण

लेखकों ने केवल कागज़ पर गणित नहीं किया; उन्होंने अपने "स्मार्ट पेसर" का तीन वास्तविक दुनिया की समस्याओं पर परीक्षण किया:

QCQP (क्वाड्रेटिकली कंस्ट्रेंड क्वाड्रेटिक प्रोग्रामिंग): एक जटिल गणितीय पहेली जिसका उपयोग अक्सर इंजीनियरिंग और वित्त में किया जाता है।
SVM (सपोर्ट वेक्टर मशीनें): डेटा को वर्गीकृत करने का एक तरीका, जैसे स्पैम ईमेल को असली ईमेल से अलग करना।
फेयरनेस के साथ लॉजिस्टिक रिग्रेशन: यह सुनिश्चित करने का एक तरीका कि एक AI मॉडल विभिन्न समूहों के साथ निष्पक्षता से व्यवहार करे (उदाहरण के लिए, यह सुनिश्चित करना कि ऋण स्वीकृति एल्गोरिदम जनसांख्यिकी के आधार पर भेदभाव न करे)।

इन सभी परीक्षणों में, उनका तरीका अन्य शीर्ष स्तर के तरीकों की तुलना में अधिक तेज़ और कुशल था, विशेष रूप से तब जब "दीवारों" (प्रतिबंधों) की संख्या बहुत अधिक थी।

सारांश

यह पेपर जटिल ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याओं को हल करने का एक नया तरीका पेश करता है जहाँ नियमों का पालन करना कठिन होता है। हर नियम को एक साथ चेक करने से अभिभूत होने के बजाय, एल्गोरिदम:

सुरक्षित रहने के लिए एक समय में कुछ नियमों को रैंडमली चेक करता है।
बिना किसी मानवीय सहायता के अपनी गति को स्वचालित रूप से समायोजित करता है।
गारंटी देता है कि यह सर्वोत्तम समाधान खोज लेगा, चाहे समस्या चिकनी हो या ऊबड़-खाबड़।

यह एक हाइकर (हाइकर) को एक विशाल, धुंधली भूलभभैया में रास्ता खोजने के लिए प्रशिक्षित करने जैसा है, जिसमें उसे पूरे भूलभभैया का नक्शा बनाने के बजाय, रास्ता खोजने के लिए कुछ रैंडम दीवारों को छूने के लिए कहा जाता है।

तकनीकी सारांश: अनुकूलित स्टेप साइज़ के साथ बाधित अनुकूलन (Constrained Optimization) के लिए रैंडमाइज्ड फिएसिबिलिटी विधियाँ

समस्या का स्वरूप (Problem Formulation)

यह शोध पत्र बाधित अनुकूलन समस्या को संबोधित करता है:
$\min_{x} f(x) \quad \text{subject to} \quad x \in X \cap Y$
जहाँ $Y \subseteq \mathbb{R}^n$ एक बंद, उत्तल (convex) सेट है जो "प्रोजेक्शन के लिए आसान" है (जैसे कि बॉल्स या बॉक्सेस), और $X$ को $m$ लोअर-लेवल सेट्स के प्रतिच्छेदन (intersection) के रूप में परिभाषित किया गया है:
$X := \bigcap_{i=1}^m \{x \in \mathbb{R}^n \mid g_i(x) \leq 0\}$
मुख्य चुनौती तब उत्पन्न होती है जब $m$ बहुत बड़ा हो और $X$ पर प्रोजेक्शन करना गणनात्मक रूप से कठिन (intractable) हो। लेखक ऑब्जेक्टिव फंक्शन $f$ के लिए दो अलग-अलग स्थितियों (regimes) पर विचार करते हैं:

स्ट्रॉन्गली कॉनवेक्स और लिप्सचिट्ज़-स्मूथ: $f$ का एक अद्वितीय मिनिमाइज़र है और इसके ग्रेडिएंट्स स्मूथ हैं।
कॉनवेक्स और संभवतः नॉन-स्मूथ: $f$ स्मूथनेस या स्ट्रॉन्ग कॉनवेक्सिटी की कमी रख सकता है।

लक्ष्य ऐसे एल्गोरिदम विकसित करना है जो $X$ के प्रति पूर्ण प्रोजेक्शन की आवश्यकता के बिना $f$ को न्यूनतम करें और $X \cap Y$ के संबंध में व्यवहार्यता (feasibility) सुनिश्चित करें।

कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रस्तावित दृष्टिकोण ऑब्जेक्टिव मिनिमाइजेशन को बाधा संतुष्टि (constraint satisfaction) से दो-चरणीय पुनरावृत्ति ढांचे (iterative framework) का उपयोग करके अलग करता है:

1. रैंडमाइज्ड फिएसिबिलिटी अपडेट्स (एल्गोरिदम 1)

जटिल बाधाओं $X$ को संभालने के लिए, लेखक पोलियाक के स्टेप्स (Polyak's steps) पर आधारित एक रैंडमाइज्ड फिएसिबिलिटी एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं। पूरे सेट $X$ पर प्रोजेक्शन करने के बजाय, एल्गोरिदम:

एक एकल बाधा इंडेक्स $\omega_k$ को $\{1, \dots, m\}$ से समान रूप से (uniformly) चुनता है।
चुने गए बाधा उल्लंघन फलन $g^+_{\omega_k}(x) = \max\{0, g_{\omega_k}(x)\}$ का सबग्रेड (subgradient) कंप्यूट करता है।
एक पैरामीटर $\beta \in (0, 2)$ द्वारा स्केल किए गए पोलेक्ट स्टेप साइज के साथ एक सबग्रेड स्टेप करता है।
परिणाम को वापस "आसान" सेट $Y$ पर प्रोजेक्ट करता है।
प्रत्येक बाहरी पुनरावृत्ति (outer iteration) में इस प्रक्रिया को $N_k$ बार दोहराता है, जहाँ $N_k$ नियत (deterministic) या रैंडम हो सकता है।

इस आंतरिक लूप का आउटपुट, $x_k$ , एक फिएसिबिलिटी अपडेट के रूप में कार्य करता है जो फेज़िबल सेट $X \cap Y$ से दूरी को ज्यामितीय (geometrically) रूप से कम करता है।

2. एडेप्टिव स्टेप्स के साथ ऑब्जेक्टिव मिनिमाइजेशन

बाहरी लूप फिएसिबिलिटी अपडेट्स के आउटपुट का उपयोग करके $f(x)$ को न्यूनतम करता है। पेपर $f$ के गुणों के आधार पर दो विशिष्ट रणनीतियों का प्रस्ताव करता है:

मामला (i): स्ट्रॉन्गली कॉनवेक्स और स्मूथ (एल्गोरिदम 2)
यह विधि ग्रेडिएंट डिसेंट स्टेप्स को रैंडमाइज्ड फिएसिबिलिटी अपडेट्स के साथ जोड़ती है। लेखक एक एडेप्टिव स्टेप साइज योजना पेश करते हैं जिसके लिए स्ट्रॉन्ग कॉनवेक्सिटी स्थिरांक $\mu$ या लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक $L$ के पूर्व ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। स्टेप साइज को ग्रेडिएंट नॉर्म और एक लक्षित टॉलरेंस $\epsilon$ के आधार पर समायोजित किया जाता है।
मामला (ii): कॉनवेक्स और नॉन-स्मूथ (एल्गोरिदम 3 और 4)
नॉन-स्मूथ ऑब्जेक्टिव्स के लिए, पेपर डिस्टेंस ओवर वेटेड सबग्रेडिएंट्स (DoWS) पर आधारित एक पूरी तरह से पैरामीटर-फ्री एडेप्टिव स्कीम पेश करता है, जो DoWG पद्धति का एक वेरिएंट है।
- एल्गोरिदम 3 (DoWS): यह मानता है कि फेज़िबल सेट $Y$ बाउंडेड (bounded) है। यह एक प्रारंभिक बिंदु से इटरेट्स की अधिकतम दूरी को ट्रैक करता है और स्टेप साइज निर्धारित करने के लिए वेटेड सबग्रेडिएंट नॉर्म्स को संचित करता है।
- एल्गोरिदम 4 (T-DoWS): अनबाउंडेड सेट्स (जैसे, $Y = \mathbb{R}^n$ ) के लिए डिज़ाइन किया गया एक "टेम्ड" (tamed) वेरिएंट। यह स्टेप साइज स्केलिंग को संशोधित करता है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि $f$ के सब-लेवल सेट धारणा के तहत इटरेट्स बाउंडेड रहें, जिससे $Y$ की पूर्व-निर्धारित बाउंडेडनेस की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

एरर बाउंड्स और डुअल मल्टीप्लायर्स का सैद्धांतिक संबंध:
लेखक स्ट्रॉन्ग स्लेटर स्थिति (Strong Slater condition) के तहत ग्लोबल एरर बाउंड्स और लैग्रेंजियन डुअल मल्टीप्लायर्स के बीच एक संबंध स्थापित करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि डुअल मल्टीप्लायर्स का एक यूनिफॉर्म अपर बाउंड मौजूद है, जो $Y$ की कॉम्पैक्टनेस की धारणा के बिना भी प्राप्त किया जा सकता है—एक ऐसा परिणाम जो पिछले कार्यों (लुईस और पांग, 1998; बर्टसेकास, 1999; मंगासैरियन, 1998) से लिया गया है लेकिन यहाँ विशिष्ट बाधा संरचना से स्पष्ट रूप से जुड़ा हुआ है।
स्ट्रॉन्गली कॉनवेक्स समस्याओं के लिए लीनियर कन्वर्जेंस:
स्ट्रॉन्गली कॉनवेक्स और स्मूथ ऑब्जेक्टिव्स के लिए, पेपर किसी भी निर्धारित टॉलरेंस $\epsilon$ तक ऑब्जेक्टिव फंक्शन वैल्यूज के लिए एक्सपेक्टेशन में लीनियर कन्वर्जेंस को सिद्ध करता है। यह एडेप्टिव स्टेप साइज़ और $N_k$ के लिए विशिष्ट शर्त का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। पिछले कार्यों के विपरीत, यह परिणाम पहले से बाधाओं के बाउंडेड सबग्रेडिएंट्स की धारणा नहीं लेता है, बल्कि यह सिद्ध करता है कि वे लगभग निश्चित रूप से (almost surely) बाउंडेड हैं।
नॉन-स्मूथ समस्याओं के लिए पूरी तरह से पैरामीटर-फ्री विधियाँ:
पेपर बिना प्रोजेक्शन के समस्या (P) को हल करने के लिए पहली पूरी तरह से पैरामीटर-फ्री विधि प्रस्तुत करता है, जो DoWS को रैंडमाइज्ड फिएसिबिलिटी अपडेट्स के साथ जोड़ता है।
- यह कॉनवेक्स, संभवतः नॉन-स्मूथ ऑब्जेक्टिव्स के लिए एक्सपेक्टेशन में $O(1/\sqrt{T})$ वर्स्ट-केस रेट प्राप्त करता है।
- यह T-DoWS (एल्गोरिदम 4) पेश करता है, जो अनबाउंडेड सेट्स के लिए इटरेट्स को बाउंडेड रखने की गारंटी देता है और $f$ के बाउंडेड सब-लेवल सेट्स होने पर भी इष्टतम कन्वर्जेंस रेट सुनिश्चित करता है।
रैंड सैंपल स्ट्रैटेजीज का विश्लेषण:
लेखक प्रति पुनरावृत्ति $N_k$ फिएसिबिलिटी सैंपल्स के प्रभाव का विश्लेषण करते हैं। वे दिखाते हैं कि इटरेट्स की इनफीसिबिलिटी (infeasibility) लगभग निश्चित रूप से ज्यामितीय रूप से घटती है। वे इष्टतम कन्वर्जेंस रेट प्राप्त करने के लिए $N_k$ के वितरण (जैसे, पॉइसन, बिनोमियल, या डिटर्मिनिस्टिक ग्रोथ) चुनने के लिए सैद्धांतिक मार्गदर्शन प्रदान करते हैं।

परिणाम और अनुभवजन्य मूल्यांकन (Results and Empirical Evaluation)

सैद्धांतिक गारंटी

स्ट्रॉन्गली कॉनवेक्स केस: एल्गोरिदम $O(\ln(1/\epsilon))$ इटरेशन्स में $\epsilon$ -एक्यूरेसी तक पहुँच जाता है। इनफीसिबिलिटी गैप $N_k$ के सैंपल्स के साथ ज्यामितीय रूप से घटता है।
कॉनवेक्स नॉन-स्मूथ केस: औसत इटरेट्स एक अपेक्षित एरर बाउंड $O(1/\sqrt{T})$ प्राप्त करते हैं। इनफीसिबिलिटी बाउंड सैंपलिंग डिस्ट्रीब्यूशन पर निर्भर करता है और विशिष्ट सैंपलिंग स्थितियों के तहत $O(1/T)$ की दर से घटता है।

सिमुलेशन

लेखक तीन प्रकार की समस्याओं पर अपने तरीकों को मान्य करते हैं:

क्वाड्रेटिकली कंस्ट्रेंड क्वाड्रेटिक प्रोग्रामिंग (QCQP): स्ट्रॉन्गली कॉनवेक्स केस के लिए लीनियर कन्वर्जेंस और नॉन-स्मूथ केस के लिए एरो-हर्विज़ (Arrow-Hurwicz), ऑल्ट-जीडीए (Alt-GDA), और एसीवीआई (ACVI) की तुलना में प्रतिस्पर्धी प्रदर्शन प्रदर्शित करता है।
सपोर्ट वेक्टर मशीन्स (SVM): दिखाता है कि प्रस्तावित पैरामीटर-फ्री विधियाँ स्टेप-साइज ट्यूनिंग के लिए क्रॉस-वैलिडेशन की आवश्यकता के बिना अभिसरण करती हैं, जबकि प्राइमल-डुअल विधियाँ ऑनलाइन सेटिंग्स में उच्च कम्प्यूटेशनल ओवरहेड से जूझती हैं।
ग्रुप फेयरनेस कंस्ट्रेंट्स के साथ लॉजिस्टिक रिग्रेशन: जटिल फेयरनेस कंस्ट्रेंट्स (जो लोअर-लेवल सेट्स के प्रतिच्छेदन के रूप में मॉडल किए गए हैं) को संभालने की क्षमता प्रदर्शित करता है, जबकि शून्य फिएसिबिलिटी उल्लंघन प्राप्त करता है और इष्टतम ऑब्जेक्टिव वैल्यू तक अभिसरण करता है।

सभी सिमुलेशन में, प्रस्तावित एल्गोरिदम (एल्गोरिदम 2, 3, और 4) कम्प्यूटेशनल दक्षता प्रदर्शित करते हैं, विशेष रूप से उन परिदृश्यों में जहाँ बड़ी संख्या में बाधाओं के कारण पूर्ण प्रोजेक्शन असंभव है। ये विधियाँ हाइपरपैरामीटर ट्यूनिंग या प्रत्येक इटरेशन में सब-प्रॉब्लम सॉल्व करने की आवश्यकता के बिना स्टेट-ऑफ-द-आर्ट बेसलाइन्स (ACVI, Arrow-Hurwicz) की बराबरी करती हैं या उनसे बेहतर प्रदर्शन करती हैं।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

यह शोध पत्र यह दावा करता है कि वह बड़ी संख्या में बाधाओं वाली समस्याओं के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल, सैद्धांतिक रूप से सुदृढ़ और पूरी तरह से पैरामीटर-फ्री एल्गोरिदम प्रदान करके क्षेत्र को आगे बढ़ाता है।

नवीनता: लेखक कहते हैं कि यह पहली बार है जब बिना प्रोजेक्शन के कंस्ट्रेंड ऑप्टिमाइजेशन के लिए DoWG (या उसके टेड वेरिएंट) को रैंडमाइज्ड फिएसिबिलिटी अपडेट्स के साथ जोड़ा गया है।
मजबूती (Robustness): विधियों को समस्या-विशिष्ट मापदंडों (स्ट्रॉन्ग कॉनवेक्सिटी कांस्टेंट, लिप्सचिट्ज़ कांस्टेंट, या ऑप्टिमल वैल्यू) के ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है, जो उन्हें व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त बनाता है जहाँ ऐसी जानकारी उपलब्ध नहीं होती है।
स्केलेबिलिटी: रैंडमाइज्ड फिएसिबिलिटी अपडेट्स का उपयोग करके, एल्गोरिदम कई बाधाओं के प्रतिंच्छेदन पर प्रोजेक्शन करने की कम्प्यूटेशनल बाधा से बचते हैं, जिससे वे हाई-डायमेंशनल समस्याओं के लिए प्रभावी रूप से स्केल होते हैं।

यह कार्य रैंडमाइज्ड फिएसिबिलिटी मेथड्स और एडेप्टिव ग्रेडिएंट मेथड्स के बीच के अंतर को पाटता है, जो एक एकीकृत ढांचा प्रदान करता है जो स्मूथ और नॉन-स्मूथ दोनों ऑब्जेक्टिव्स के लिए अनुकूलित होता है और ज्यामितीय क्षय (geometric decay) के साथ व्यवहार्यता सुनिश्चित करता है।