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Sampling-Free Privacy Accounting for Matrix Mechanisms under Random Allocation

यह शोधपत्र रैंडम एलोकेशन के तहत डिफरेंशियल प्राइवेट मैट्रिक्स मैकेनिज्म के लिए कुशल, नियतात्मक और अधिक सटीक गोपनीयता गारंटी प्रदान करने हेतु रेनी डाइवर्जेंस (Rényi divergence) और कंडीशनल कंपोजिशन पर आधारित एक सैंपलिंग-मुक्त प्राइवेसी अकाउंटिंग फ्रेमवर्क प्रस्तुत करता है, जो मौजूदा सैंपलिंग-आधारित दृष्टिकोणों की सीमाओं को संबोधित करता है।

मूल लेखक: Jan Schuchardt, Nikita Kalinin

प्रकाशित 2026-05-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jan Schuchardt, Nikita Kalinin

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: भीड़ में छिपना

कल्पना कीजिए कि आप एक स्मार्ट कंप्यूटर (मशीन लर्निंग मॉडल) को तस्वीरों में बिल्लियों को पहचानना सिखाने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास तस्वीरों का एक बड़ा एल्बम है, और आप चाहते हैं कि कंप्यूटर सीखे बिना किसी को यह पता चले कि एल्बम में किसी विशिष्ट व्यक्ति की फोटो शामिल थी या नहीं। यही डिफरेंशियल प्राइवेसी (DP) का लक्ष्य है।

ऐसा करने के लिए, कंप्यूटर छोटे समूहों (बैच) में सीखता है। गोपनीयता की रक्षा के लिए, यह सीखने की प्रक्रिया में थोड़ा सा "स्टैटिक" या "शोर" (noise) जोड़ देता है, जैसे रेडियो की आवाज़ को तेज़ करना ताकि फुसफुसाहट दब जाए। आप जितना अधिक शोर जोड़ेंगे, गोपनीयता उतनी ही सुरक्षित होगी, लेकिन कंप्यूटर उतना ही "बेवकूफ" हो जाएगा क्योंकि सिग्नल दब जाता है।

यह पेपर इस चुनौती का समाधान करता है: हम गोपनीयता के वादे को बनाए रखते हुए कम से कम कितना शोर जोड़ सकते हैं?

समस्या: "रैंडम लॉटरी" बनाम "निर्धारित सीटें"

अतीत में, शोधकर्ताओं ने प्रत्येक चरण में किन तस्वीरों को देखना है, इसे चुनने के लिए रैंडम तरीके (जैसे लॉटरी) का उपयोग करके गोपनीयता की रक्षा करने की कोशिश की।

लॉटरी की समस्या: कभी-कभी एक फोटो लगातार 10 बार चुनी जाती है; अन्य समय में, इसे कभी नहीं चुना जाता। यह "असमान कवरेज" पैदा करता है और गोपनीयता की गणना करने के लिए गणित बहुत जटिल और धीमा हो जाता है।
नई विधि (बॉल्स-इन-बिन्स): एक नई विधि, जिसे "रैंडम एलोकेशन" (या बॉल्स-इन-बिन्स) कहा जाता है, हर फोटो को एक विशिष्ट सीट नंबर असाइन करने की तरह है। यदि आपके पास 100 सीटें और 10 राउंड हैं, तो हर फोटो को प्रत्येक राउंड में एक बार एक सीट पर बैठने का मौका मिलता है। यह निष्पक्ष, अनुमानित और कुशल है।

पुराना समाधान: "अनुमान लगाने का खेल"

जब आप इस "निर्धारित सीटें" विधि का उन्नत शोर तकनीकों (जिन्हें मैट्रिक्स मैकेनिज्म कहा जाता है, जो स्टैटिक को बेहतर तरीके से रद्द करने के लिए सह-संबंध बनाने का एक परिष्कृत तरीका है) के साथ उपयोग करते हैं, तो शोधकर्ताओं को पहले मोंटे कार्लो सैंपलिंग नामक विधि का उपयोग करना पड़ता था।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप स्टेडियम में मौजूद हर व्यक्ति की औसत ऊंचाई का सटीक पता लगाना चाहते हैं। पुराने तरीके ने कहा: "चलिए बस अनुमान लगाते हैं! हम 10 लाख रैंडम लोगों को चुनेंगे, उन्हें मापेंगे, और उम्मीद करेंगे कि हमारा औसत पर्याप्त करीब हो।"

दोष: यह धीमा है। यदि आप अत्यंत निश्चित (उच्च गोपनीयता) होना चाहते हैं, तो आपको लाखों बार अनुमान लगाने की आवश्यकता होगी। यह घास के ढेर में सुई खोजने जैसा है, जहाँ आप एक बार में एक अनाज के दाने को देखकर उसे ढूंढने की कोशिश कर रहे हैं। साथ ही, जो उत्तर आपको मिलता है वह केवल "शायद" सही होता है, 100% गारंटी वाला नहीं।

नया समाधान: "कैलकुलेटर"

यह पेपर गोपनीयता की गणना करने का एक नया तरीका पेश करता है जो अनुमान लगाने पर निर्भर नहीं है। इसके बजाय, यह दो नए "अकाउंटेंट" (गणितीय उपकरण) का उपयोग करता है जो सीधे गोपनीयता लागत की गणना करते हैं।

1. "रेनी अकाउंटेंट" (एक गतिशील मानचित्र)

सिस्टम में शोर को एक जटिल भूलभुलैया की तरह समझें। पुराने तरीके में लोग भूलभुलैया में कितनी देर तक चलने में लगेगा, यह देखने के लिए रैंडम तरीके से चलने की कोशिश करते थे।

नवाचार: लेखकों ने एक डायनेमिक मैप (डायनेमिक प्रोग्रामिंग) बनाया है। भूलभुलैया में चलने के बजाय, वे भूलभुलैया को छोटे, प्रबंधनीय टुकड़ों में तोड़कर तुरंत सबसे छोटा रास्ता निकालते हैं।
परिणाम: अब वे सरल मामलों (DP-SGD) के लिए गोपनीयता लागत को पहले की तुलना में बहुत तेज़ी से निकाल सकते हैं—एक ऐसे कार्य को जो घातीय समय (जैसे $2^{100}$ ) लेता था, उसे पॉलिनोमियल (जैसे $100^2$ ) में बदल दिया है। यह जंगल के हर रास्ते पर चलने के बजाय ड्रोन उड़ाकर कुछ ही सेकंड में मानचित्र तैयार करने जैसा है।

2. "कंडीशनल कंपोजिशन अकाउंटेंट" (एक सुरक्षा जाल)

कभी-कभी, "डायनेमिक मैप" बहुत सख्त गोपनीयता नियमों (जब आपको बहुत सुरक्षित रहने की आवश्यकता हो) के लिए बहुत मोटा होता है।

नवाचार: यह विधि प्रशिक्षण प्रक्रिया को व्यक्तिगत चरणों में तोड़ती है। यह पूछती है: "यदि हम एक 'अच्छी' स्थिति में हैं, तो क्या गोपनीयता सुरक्षित है? यदि हम एक 'बुरी' स्थिति में हैं (जो बहुत दुर्लभ है), तो यह कितनी बुरी है?"
परिणाम: यह सिस्टम को यह कहने की अनुमति देता है कि, "हम 99.999% निश्चित हैं कि हम सुरक्षित हैं, और उस 0.001% संभावना के लिए कि हम असुरक्षित हो सकते हैं, हमें ठीक कितने अतिरिक्त शोर की आवश्यकता है, यहाँ बताया गया है।" यह एक "संभावित" अनुमान के बजाय एक डिटरमिनिस्टिक गारंटी (100% निश्चितता) देता है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह पेपर अपने नए "कैलकुलेटर" तरीकों की तुलना पुराने "अनुमान लगाने के खेल" (मोंटे कार्लो) से करता है।

गति: उनके नए तरीके बहुत तेज़ हैं, विशेष रूप से जब आपको बहुत उच्च गोपनीयता (कम $\delta$ ) की आवश्यकता होती है। पुराना तरीका सख्त होने पर धीमा होता जाता है; नया तरीका तेज़ बना रहता है।
सटीकता: नए तरीके एक ठोस, गणितीय गारंटी प्रदान करते हैं। आपको यह उम्मीद करने की ज़रूरत नहीं है कि आपके रैंडम अनुमान सही थे।
लचीलापन: वे सभी प्रकार के "मैट्रिक्स मैकेनिज्म" (शोर जोड़ने के विभिन्न तरीके) के साथ काम करते हैं, न कि केवल सरल तरीकों के साथ।

सारांश

लेखकों ने गोपनीयता के लिए एक तेज़, डिटरमिनिस्टिक कैलकुलेटर बनाया है।

पहले: आपको एक धीमा, महंगा सिमुलेशन चलाने के लिए (लाखों बार अनुमान लगाने के लिए) अपनी गोपनीयता सेटिंग्स सही हैं या नहीं, यह जांचने में घंटों लग जाते थे।
अब: आप लगभग तुरंत एक "100% गारंटीकृत सुरक्षित" उत्तर प्राप्त करने के लिए एक स्मार्ट एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं।

यह डेवलपर्स को अपने गोपनीयता सेटिंग्स की गणना करने में घंटों बर्बाद किए बिना स्मार्ट और अधिक निजी AI मॉडल प्रशिक्षित करने की अनुमति देता है।

तकनीकी सारांश: रैंडम एलोकेशन के तहत मैट्रिक्स मैकेनिज्म के लिए सैंपलिंग-मुक्त गोपनीयता अकाउंटिंग (Sampling-Free Privacy Accounting)

समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र उन चुनौतियों का समाधान करता है जो डिफरेंशियल प्राइवेट मॉडल ट्रेनिंग के लिए सटीक, नियत (deterministic) गोपनीयता गारंटी की गणना करने से जुड़ी हैं, जिसमें मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन मैकेनिज्म को रैंडम एलोकेशन (जिसे "बॉल्स-इन-बिन्स" या बैलेंस्ड इटरेशन सबसैंपलिंग स्कीम भी कहा जाता है) के साथ उपयोग किया जाता है।

यद्यपि DP-SGD में शोर (noise) को कम करने के लिए 'प्राइवेसी एम्प्लीफिकेशन बाय सबसैंपलिंग' एक मानक तकनीक है, लेकिन बड़े पैमाने की ट्रेनिंग के लिए "बॉल्स-इन-बिन्स" स्कीम को पॉइसन सबसैंपलिंग (Poisson subsampling) की तुलना में अधिक पसंद किया जाता है क्योंकि यह कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल और डेटा कवरेज में समान है। हालाँकि, जब इसे मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन (जो यूटिलिटी सुधारने के लिए इटरेशन के दौरान सह-संबंधित शोर/correlated noise पेश करता है) के साथ जोड़ा जाता है, तो मौजूदा प्राइवेसी अकाउंटिंग विधियाँ महत्वपूर्ण सीमाओं का सामना करती हैं:

मोंटे कार्लो निर्भरता (Monte Carlo Dependency): हालिया दृष्टिकोण (जैसे, Choquette-Choo et al., 2025) एम्प्लीफिकेशन पैरामीटर्स का अनुमान लगाने के लिए मोंटे कार्लो सैंपलिंग पर निर्भर करते हैं। यह दृष्टिकोण कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है, विशेष रूप से उच्च-गोपनीयता (high-privacy) वाले शासन में जहाँ आवश्यक नमूनों (samples) की संख्या $\delta$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है (उदाहरण के लिए, $(\epsilon, 10^{-8})$ -DP को $(\epsilon, 10^{-3})$ -DP की तुलना में $10^5$ गुना अधिक महंगा होना पड़ता है)।
संभाव्यता गारंटी (Probabilistic Guarantees): ये सैंपलिंग-आधारित विधियाँ अक्सर ऐसी गारंटी देती हैं जो केवल उच्च संभावना (high probability) के साथ मान्य होती हैं या जिनमें मैकेनिज्म को 'रैंडम एब्स्टेंशन' (random abstention) का उपयोग करने की आवश्यकता होती है, बजाय इसके कि वे नियत $(\epsilon, \delta)$ -DP बाउंड प्रदान करें।
कम्प्यूटेशनल जटिलता (Computational Intractability): रैंडम एलोकेशन के तहत मैट्रिक्स मैकेनिज्म के लिए प्राइवेसी लॉस डिस्ट्रीब्यूशन उच्च-आयामी मिश्रणों (high-dimensional mixtures) को शामिल करता है, जिससे हॉकी-स्टिक डाइवर्जेंस (hockey-stick divergence) का सटीक मूल्यांकन मोंटे कार्लो सैंपलिंग के बिना असंभव हो जाता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक दो अलग-अलग, सैंपलिंग-मुक्त (sampling-free) अकाउंटिंग प्रक्रियाओं का प्रस्ताव करते हैं जो रैंडम एलोकेशन स्कीम की संरचना और मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन द्वारा उत्पन्न सह-संबंधों (correlations) का लाभ उठाते हुए स्पष्ट रूप से नियत बाउंड की गणना करते हैं।

1. रेनी डाइवर्जेंस अकाउंटेंट (डायनेमिक प्रोग्रामिंग) [Rényi Divergence Accountant (Dynamic Programming)]

यह विधि रेनी डाइवर्जेंस पर एक ऊपरी बाउंड (upper bound) की गणना करती है, जिसे फिर मानक रूपांतरण सिद्धांतों का उपयोग करके $(\epsilon, \delta)$ -DP में परिवर्तित किया जाता है।

मुख्य अंतर्दृष्टि (Core Insight): "रिमूव" दिशा (जहाँ डेटा पॉइंट को डेटासेट से हटाया जाता है) के लिए प्राइवेसी लॉस डिस्ट्रीब्यूशन को रणनीति मैट्रिक्स $C$ से प्राप्त ग्राम मैट्रिक्स $G$ के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
जटिलता में कमी (Complexity Reduction): सामान्य मैट्रिसेस के लिए, इस योग की गणना करना #P-complete सिद्ध होता है। हालाँकि, संरचित मैट्रिसेस (जैसे, बैंडेड मैट्रिसेस जहाँ रणनीति मैट्रिक्स $C$ का बैंडविड्थ $p$ है) के लिए, ग्राम मैट्रिक्स $G$ एक चक्रीय बैंडेड (cyclically banded) संरचना विरासत में प्राप्त करता है।
एल्गोरिदम: लेखक $p$ $p$ -बैंडेड मैट्रिसेस के लिए योग की सटीक गणना करने के लिए एक डायनेमिक प्रोग्रामिंग दृष्टिकोण तैयार करते हैं।
- जटिलता: रनटाइम को घातांकीय $O(2^\alpha)$ (क्रम $\alpha$ में) से घटाकर बहुपद $O(b p \alpha^{2p})$ में बदल दिया गया है, जहाँ $b$ प्रति एपोक प्रति बैच की संख्या है।
- ट्रंकेशन (Truncation): उन मैट्रिसेस के लिए जो पूरी तरह से बैंडेड नहीं हैं लेकिन तेजी से घटते हुए एंट्रियों (जैसे, बैंडेड इनवर्स मैट्रिसेस) वाले हैं, यह विधि ग्राम मैट्रिक्स को ट्रंकेट करती है और एक गणना योग्य एडिटिव करेक्शन टर्म जोड़ती है ताकि बाउंड वैध बना रहे।
एड दिशा (Add Direction): AM-GM (arithmetic mean-geometric mean) असमानता का उपयोग करके "एड" दिशा के लिए एक अलग, सटीक विश्लेतिक ऊपरी बाउंड प्राप्त की गई है।

2. कंडीशनल कंपोजिशन अकाउंटेंट (Conditional Composition Accountant)

यह विधि "छोटे $\epsilon$ " (उच्च गोपनीयता) वाले शासन को संबोधित करती है जहाँ रेनी रूपांतरण सूत्र ढीले (loose) हो सकते हैं। यह शोर सह-संबंध और निश्चित भागीदारी गणनाओं के कारण चरणों के बीच परस्पर निर्भरता को दूर करता है।

अवधारणा (Concept): स्वतंत्र चरणों को मानने के बजाय, यह विधि कंडीशनल कंपोजिशन का उपयोग करती है। यह उन "अच्छे" परिणामों की पहचान करती है जहाँ मैकेनिज्म के स्टेप $n$ के कंडीशनल डिस्ट्रीब्यूशन दो निश्चित, फैक्टराइजिंग डिस्ट्रीबशंस $(P^{(n)}, Q^{(n)})$ द्वारा डोमिनेट होते हैं।
बुरे परिणाम (Bad Events): यह विधि "बुरे" परिणामों (जहाँ डोमिनेंस विफल हो जाता है) को $\delta_E$ द्वारा बाउंड करती है। कुल प्राइवेसी लॉस स्वतंत्र चरणों का कंपोजिशन और $\delta_E$ का योग है।
डोमिनेंस मानदंड (Dominance Criterion): लेखक गौसियन मिश्रण भार (Gaussian mixture weights) के रिवर्स हज़ार्ड फंक्शन के आधार पर एक मानदंड प्राप्त करते हैं। वे दिखाते हैं कि यदि पोस्टीरियर रिवर्स हज़ार्ड फंक्शन किसी लक्षित वितरण के रिवर्स हज़ार्ड से बिंदुवार (pointwise) छोटा है, तो डोमिनेंस बना रहता है।
टेल बाउंड्स (Tail Bounds): डोमिनेटिंग डिस्ट्रीबशंस के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए, लेखक टेनरी गौसियन मिश्रणों के प्राइवेसी लॉस पर विश्लेतिक टेल बाउंड्स प्राप्त करते हैं। वे टेल बाउंड के स्टैंडर्ड डेविएशन को कम करने के लिए टेम्परेचर पैरामीटर्स पर अनुकूलन (optimize) करते हुए एक वैरिएशनल फैमिली का उपयोग करते हैं।
दक्षता (Efficiency): जबकि प्रारंभिक मूल्यांकन $O(N^2 b^2)$ है, विभिन्न शोर मल्टीप्लायर $\sigma$ के लिए बाद के मूल्यांकन को $O(N b^2)$ तक अमोर्टाइज (amortized) किया जा सकता है, जिससे यह मैकेनिज्म कैलिब्रेशन के लिए कुशल बन जाता है।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

नियत अकाउंटिंग (Deterministic Accounting): यह शोध पत्र रैंडम एलोकेशन के तहत मैट्रिक्स मैकेनिज्म के लिए पहली सैंपलिंग-मुक्त विधियों को पेश करता है जो नियत $(\epsilon, \delta)$ -DP गारंटी की गणना करती है, जिससे मोंटे कार्लो अनुमान की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
DP-SGD के लिए बेहतर जटिलता: अनकोरिलेटेड शोर (मानक DP-SGD) के विशेष मामले के लिए, प्रस्तावित रेनी अकाउंटेंट रैंडम एलोकेशन के तहत सटीक अकाउंटिंग की कम्प्यूटेशनल जटिलता को घातांकीय $O(2^\alpha)$ से बदलकर बहुपद $O(b \alpha^2)$ कर देता है, जो पूर्ववर्ती सटीक विधियों से काफी बेहतर प्रदर्शन करता है।
सह-संबंधित शोर का सामान्यीकरण (Generalization to Correlated Noise): यह ढांचा मनमाने बैंडेड और नॉन-बैंडेड मैट्रिक्स मैकेनिज्म (Banded Square Root, Banded Inverse, और Buffered Linear Toeplitz सहित) तक विस्तार करता है, जो इन मैकेनिज्मों में निहित जटिल इंटर-स्टेप सह-संबंधों को संभालता है।
दोहरी-शासन सटीकता (Dual-Regime Tightness): रेनी अकाउंटेंट (कम-गोपनीयता/बड़े $\epsilon$ शासन में मजबूत) और कंडीशनल कंपोजिशन अकाउंटेंट (उच्च-गोपनीयता/छोटे $\epsilon$ शासन में अधिक सटीक) का संयोजन एक व्यापक अकाउंटिंग समाधान प्रदान करता है।

परिणाम (Results)

लेखक विभिन्न मैट्रिक्स मैकेनिज्म (DP-SGD, BSR, BISR, BandMF, BandInvMF, BLT) और सेटिंग्स (सिंगल और मल्टी-एपोक) में अपने तरीकों का मोंटे कार्लो अकाउंटेंट के विरुद्ध मूल्यांकन करते हैं।

सटीकता (Accuracy): कम-गोपनीयता शासन ( $\epsilon \ge 2$ ) में, रेनी अकाउंटेंट मोंटे कार्लो संदर्भ के करीब रहता है। उच्च-गोपनीयता शासन ( $\epsilon \le 1$ ) में, कंडीशनल कंपोजिशन अकाउंटेंट अधिक सटीक बाउंड प्रदान करता है, जिससे मोंटे कार्लो अनुमानों की तुलना में छोटे कैलिब्रेटेड शोर मल्टीप्लायर $\sigma$ का उपयोग संभव होता है।
मजबूती (Robustness): प्रदर्शन विभिन्न बैंडविड्थ ( $p$ ) और बैचों की संख्या ( $b$ ) में बना रहता है।
उपयोगिता (Utility): CIFAR-10 पर प्रयोग दर्शाते हैं कि प्रस्तावित सैंपलिंग-मुक्त गारंटी से प्राप्त शोर मल्टीप्लायर अनकोरिलेटेड शोर की तुलना में सह-संबंधित शोर के उपयोग के यूटिलिटी लाभों को बनाए रखते हैं।
रनटाइम (Runtime): ये विधियाँ मोंटे कार्लो सैंपलिंग की $O(\delta^{-1})$ निर्भरता को दूर करती हैं। हालांकि कंडीशनल कंपोजिशन अकाउंटेंट का बड़े $N$ के लिए प्रारंभिक लागत अधिक है, लेकिन सख्त प्राइवेसी बजट के लिए इसका अमोर्टाइज्ड कॉस्ट मोंटे कार्लो की तुलना में काफी कम है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

शोध पत्र का दावा है कि यह सह-संबंधित ग्रेडिएंट्स और पार्टिसिपेशन वाले मैकेनिज्म के लिए पहली सैंपलिंग-मुक्त प्राइवेसी अकाउंटिंग प्रदान करता है। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

नियत गारंटी को सक्षम बनाना: यह संभाव्यता आधारित बाउंड या रैंडम एब्स्टेंशन पर निर्भरता को समाप्त करता है, जो अक्सर प्रोडक्शन सिस्टम के लिए अव्यावहारिक या सैद्धांतिक रूप से कमजोर होते हैं।
स्केलेबिलिटी (Scalability): सटीक रेनी अकाउंटिंग की जटिलता को घातांकीय से बहुपद में बदलकर, यह सटीक प्राइवेसी अकाउंटिंग को बड़े पैमाने की ट्रेनिंग के लिए व्यवहार्य बनाता है जहाँ मोंटे कार्लो सैंपलिंग कम्प्यूटेशनल रूप से अत्यधिक महंगी हो सकती है।
व्यावहारिक कैलिब्रेशन: विभिन्न $\epsilon$ और $\delta$ के व्यापक रेंज में सटीक बाउंड को कुशलतापूर्वक गणना करने की क्षमता शोर मल्टीप्लायर के बेहतर कैलिब्रेशन की सुविधा देती है, जो सीधे तौर पर डिफरेंशियल प्राइवेट डीप लर्निंग में यूटिलिटी-प्राइवेसी ट्रेड-ऑफ को बेहतर बनाती है।

लेखक अपनी सीमाओं को स्वीकार करते हैं, यह नोट करते हुए कि रेनी अकाउंटेंट की जटिलता बैंडविड्थ $p$ के संबंध में घातांकीय बनी रहती है (हालांकि $\alpha$ के संबंध में बहुपद है), और कंडीशनल कंपोजिशन विधि एक मोटे विभाजन (coarse partition) पर निर्भर करती है जो निराशावादी (pessimistic) हो सकती है। वे सुझाव देते हैं कि भविष्य के कार्य अधिक सूक्ष्म विभाजन और बाउंड को और अधिक सटीक बनाने के लिए अधिक कुशल वैरिएशनल इन्फरेंस का पता लगा सकते हैं।