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Approximating $f$ -Divergences with Rank Statistics

यह शोधपत्र $f$ -डाइवर्जेंस (divergences) के एक रैंक-सांख्यिकी सन्निकटन (rank-statistic approximation) को प्रस्तुत करता है जो वितरणों के बेमेल होने को रैंक हिस्टोग्राम में मैप करके स्पष्ट घनत्व-अनुपात अनुमान (density-ratio estimation) से बचता है, जो प्रमाणित निचली सीमाओं (lower bounds), अभिसरण गारंटी (convergence guarantees) और परिमित-नमूना सीमाओं (finite-sample bounds) को प्रदान करने के साथ-साथ उच्च-आयामी परिवेशों और जनरेटिव मॉडलिंग में प्रभावशीलता प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Viktor Stein, José Manuel de Frutos

प्रकाशित 2026-06-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Viktor Stein, José Manuel de Frutos

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि क्या दो समूहों के लोग एक ही तरह के कपड़े पहने हुए हैं, लेकिन आप कपड़ों को देख नहीं सकते। आपके पास केवल दो अलग-अलग पार्टियों के नामों की एक सूची है। आप कैसे बता सकते हैं कि "पार्टी A" का हुजूम और "पार्टी B" का हुजूम वास्तव में एक ही तरह के लोगों का मिश्रण है, या क्या एक पार्टी लंबे लोगों से भरी है जबकि दूसरी छोटी कद के लोगों से भरी है?

यह वह समस्या है जिसका सामना सांख्यिकीविद् (statisticians) प्रायिकता वितरण (probability distributions) (डेटा कैसे फैला हुआ है इसका गणितीय विवरण) की तुलना करते समय करते हैं। आमतौर पर, इनकी तुलना करने के लिए, आपको डेटा के सटीक "घनत्व" (density) का अनुमान लगाना पड़ता है—जैसे कि दो समुद्र तट एक जैसे हैं या नहीं, यह देखने के लिए रेत के हर एक कण को गिनने की कोशिश करना। यह अविश्वसनीय रूप से कठिन है, खासकर जब डेटा कई आयामों (dimensions) में हो (जैसे हजारों पिक्सेल वाली एक फोटो)।

यह शोध पत्र एक चतुर नया तरीका पेश करता है जिससे इन समूहों की तुलना रेत के कणों को गिने बिना की जा सकती है। इसके बजाय, यह रैंक (ranks) का उपयोग करता है।

मुख्य विचार: "लाइन-अप" गेम

लेखक एक विधि प्रस्तावित करते हैं जिसे रैंक-स्टैटिस्टिक एप्रोक्सिमेशन (Rank-Statistic Approximation) कहा जाता है। यह कैसे काम करता है, इसे एक सरल उपमा से समझते हैं:

सेटअप: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक संदर्भ समूह (मान लीजिए "स्टैंडर्ड टीम") है और एक नया समूह है जिसका आप परीक्षण करना चाहते हैं (मान लीजिए "टेस्ट टीम")।
लाइन-अप: आप टेस्ट टीम से एक व्यक्ति लेते हैं और उन्हें स्टैंडर्ड टीम के $K$ यादृच्छिक (random) लोगों के साथ एक लाइन में खड़ा करते हैं।
गिनती: आप पूछते हैं: "इस टेस्ट व्यक्ति का इस लाइन में स्थान क्या है?"
- यदि वे सबसे छोटे हैं, तो उनका स्थान 0 है।
- यदि वे सबसे लंबे हैं, तो उनका स्थान $K$ है।
- यदि वे बिल्कुल बीच में हैं, तो उनका स्थान $K/2$ है।
हिस्टोग्राम: आप टेस्ट टीम के प्रत्येक व्यक्ति के लिए यह प्रक्रिया दोहराते हैं। यदि टेस्ट टीम वास्तव में स्टैंडर्ड टीम के समान है, तो लाइन में उनका स्थान पूरी तरह से समान रूप से फैला हुआ (uniform) होना चाहिए। कुछ शुरुआत में होंगे, कुछ बीच में, और कुछ अंत में।
सुराग: यदि टेस्ट टीम अलग है (उदाहरण के लिए, वे सभी बहुत लंबे हैं), तो वे लाइन के "लंबे" छोर पर एक जगह जमा हो जाएंगे। उनके स्थानों का हिस्टोग्राम एक तरफ झुका हुआ (lopsided) दिखेगा।

आपका शोध पत्र इस "गुच्छेबाजी" (clumpiness) को एक संख्या में बदल देता है। उनके स्थान जितना अधिक बिखराव के बजाय एक जगह जमा होंगे, दोनों समूहों के बीच का अंतर उतना ही अधिक होगा।

यह एक बड़ी बात क्यों है

1. "अनुमान लगाने" की आवश्यकता नहीं
पारंपरिक तरीके डेटा के सटीक आकार (घनत्व) का अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं। यह कुछ ही थर्मामीटरों को देखकर कमरे के हर बिंदु के सटीक तापमान का अनुमान लगाने जैसा है। उच्च आयामों (जैसे इमेज) में, यह अनुमान अक्सर विफल हो जाता है।
रैंक विधि इस अनुमान लगाने को पूरी तरह से छोड़ देती है। यह केवल क्रम (order) पर ध्यान देती है। यह पूछती है: "क्या यह व्यक्ति उस व्यक्ति से लंबा है?" इसे इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि वह कितना लंबा है। यह इसे बहुत अधिक स्थिर और विश्वसनीय बनाता है, खासकर जब आपके पास बहुत कम डेटा हो।

2. "स्लाइसिंग" ट्रिक (केक काटना)
क्या होगा यदि आप 3D वस्तुओं (जैसे बादलों) या 100-आयामी छवियों की तुलना कर रहे हैं? आप उन्हें आसानी से एक एकल रेखा में नहीं लगा सकते।
लेखक स्लाइसिंग (Slicing) नामक तकनीक का उपयोग करते हैं। कल्पना कीजिए कि आप एक 3D वस्तु के माध्यम से टॉर्च की रोशनी डाल रहे हैं जिससे दीवार पर उसकी 1D छाया पड़ती है।

वे जटिल डेटा को कई यादृच्छिक 1D रेखाओं (छायाओं) पर प्रोजेक्ट करते हैं।
वे प्रत्येक छाया पर "लाइन-अप गेम" चलाते हैं।
वे परिणामों का औसत निकालते हैं।

यह उन्हें जटिल, उच्च-आयामी डेटा (जैसे छवियों) की तुलना सरल, एक-आयामी तुलनाओं में तोड़कर करने की अनुमति देता है।

उन्होंने क्या सिद्ध किया

यह शोध पत्र केवल एक चतुर विचार नहीं है; उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया है कि यह काम करता है:

यह अधिक विवरण के साथ बेहतर होता है: यदि आप अपने संदर्भ लाइन में लोगों की संख्या ( $K$ रिज़ॉल्यूशन) बढ़ाते हैं, तो आपका माप समूहों के बीच के वास्तविक अंतर के करीब पहुंचता जाता है।
यह एक सुरक्षित निचला स्तर (lower bound) है: आपके द्वारा गणना की गई संख्या वास्तविक अंतर से अधिक कभी नहीं होगी; यह एक रूढ़िवादी अनुमान है जो केवल तभी बढ़ता है जब आप अधिक सटीक होते हैं।
यह तेजी से काम करता है: उन्होंने दिखाया कि यह विधि एक अनुमानित गति से सत्य की ओर बढ़ती है, बशर्ते डेटा बहुत अजीब न हो।

वास्तविक दुनिया के परीक्षण

लेखकों ने कंप्यूटर पर परीक्षण किया कि क्या यह वास्तव में काम करता है:

सिंथेटिक डेटा: उन्होंने नकली डेटा वितरण बनाए और दिखाया कि उनकी विधि जटिल न्यूरल नेटवर्क (AI मॉडल) की तुलना में अधिक विश्वसनीयता से अंतर को पहचान सकती है, विशेष रूप से जब डेटा कम हो।
इमेज जनरेशन: उन्होंने इस विधि का उपयोग कंप्यूटर को चित्र बनाने के लिए सिखाने में किया। केवल एक जटिल त्रुटि (error) को कम करने के बजाय, कंप्यूटर ने अपनी उत्पन्न छवियों को वास्तविक तस्वीरों के करीब लाने के लिए "रैंक गेम" का उपयोग किया।
- सरल 2D आकृतियों (जैसे स्पाइरल या चेकरबोर्ड) पर, कंप्यूटर ने आकृति की नकल करना जल्दी सीख लिया।
- CIFAR-10 (कार और पक्षियों जैसी वास्तविक दुनिया की छोटी तस्वीरों का एक डेटासेट) पर, इस विधि ने यादृच्छिक शोर (noise) को ऐसी छवियों में सफलतापूर्वक बदला जो लक्ष्य डेटासेट के समान दिखती थीं, जिसमें रंगों और बनावटों को पकड़ना शामिल था, बिना उस भारी और अस्थिर प्रशिक्षण के जिसकी आमतौर पर AI को आवश्यकता होती है।

सारांश

संक्षेप में, यह शोध पत्र "डेटा के सटीक आकार को मापने" के कठिन कार्य को डेटा बिंदुओं को "रैंक करने" के सरल कार्य से बदल देता है। लाइन-अप गेम और स्लाइसिंग (छाया) का उपयोग करके, उन्होंने एक ऐसा उपकरण बनाया है जो है:

सरल: किसी जटिल घनत्व अनुमान (density estimation) की आवश्यकता नहीं।
स्थिर: छोटे डेटासेट के साथ भी अच्छा काम करता है।
प्रभावी: नकली डेटा और वास्तविक इमेज जनरेशन कार्यों दोनों पर काम करने के लिए सिद्ध।

यह दो समूहों के डेटा के बीच अंतर बताने का एक तरीका है कि "कौन किससे बड़ा है?" यह पूछकर, बजाय इसके कि ठीक "कितना बड़ा" है उसे मापने की कोशिश की जाए।

तकनीकी सारांश: रैंक सांख्यिकी (Rank Statistics) के साथ f-डाइवर्जेंस का सन्निकटन (Approximation)

समस्या विवरण

संभाव्यता वितरणों (probability distributions) के बीच विसंगतियों को मापना सांख्यिकी और मशीन लर्निंग में मौलिक है, विशेष रूप से परिकल्पना परीक्षण (hypothesis testing) और निहित जनरेटिव मॉडलिंग (implicit generative modeling) जैसे कार्यों के लिए। एक प्रमुख वर्ग f-डाइवर्जेंस (जैसे, KL, टोटल वेरिएशन, हेलिंगर) का है, जो घनत्व अनुपात (density ratio) $d\mu/d\nu$ के माध्यम से परिभाषित होते हैं। हालाँकि, नमूनों (samples) से f-डाइवर्जेंस का विश्वसनीय अनुमान लगाना चुनौतीपूर्ण है, विशेष रूप से मध्यम-से-उच्च आयामों (dimensions) में। अधिकांश मौजूदा दृष्टिकोणों के लिए या तो स्पष्ट घनत्व-अनुपात अनुमान की आवश्यकता होती है या वे वेरिएशनल फॉर्मुलेशन (जैसे, MINE, f-GAN) पर निर्भर करते हैं, जिनमें फंक्शन-क्लास के सूक्ष्म चयन और एडवरसेरियल ट्रेनिंग शामिल होती है, जो अक्सर अस्थिरता और उच्च सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी का शिकार होते हैं। जबकि "स्लाइस्ड" विधियों (जैसे, स्लाइस्ड वासरस्टीन) ने उच्च-आयामी समस्याओं को 1D तुलनाओं में सफलतापूर्वक कम किया है, सामान्य f-डाइवर्जेंस के लिए एक मजबूत, स्केलेबल और ऑप्टिमाइज़ेशन-मुक्त एस्टिमेटर (estimator) का उच्च आयामों में एक खुला प्रश्न बना हुआ है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

यह शोध पत्र f-डाइवर्जेंस के एक रैंक-सांख्यिकी सन्निकटन (rank-statistic approximation) को प्रस्तुत करता है जो रैंक वितरण पर सीधे कार्य करके स्पष्ट घनत्व अनुमान से बचता है।

1. एक-आयामी रैंक-सांख्यिकी निर्माण

मुख्य निर्माण प्रोबेबिलिटी इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म (PIT) पर आधारित है। एक संदर्भ वितरण $\nu$ और एक लक्ष्य $\mu$ के लिए, यदि $X \sim \mu$ और $\tilde{Y}_1, \dots, \tilde{Y}_K \sim \nu$ स्वतंत्र हैं, तो रैंक सांख्यिकी $A^{(K)}_{\mu|\nu}$ यह गिनती करती है कि कितने $\tilde{Y}_j, X$ के बराबर या उससे कम हैं।

रैंक हिस्टोग्राम: इस रैंक सांख्यिकी का प्रोबेबिलिटी मास फंक्शन (PMF), जिसे $Q^{(K)}_{\mu|\nu}$ द्वारा दर्शाया गया है, $\{0, \dots, K\}$ पर एक असतत (discrete) "रैंक हिस्टोग्राम" बनाता है। यदि $\mu = \nu$ , तो यह हिस्टोग्राम यूनिफॉर्म होता है।
डिस्क्रीट f-डाइवर्जेंस: निरंतर f-डाइवर्जेंस $D_{f,\nu}(\mu)$ के सन्निकटन को रैंक हिस्टोग्राम $Q^{(K)}_{\mu|\nu}$ और यूनिफॉर्म वितरण $U_K$ के बीच डिस्क्रीट f-डाइवर्जेंस के रूप में परिभाषित किया गया है:
$D^{(K)}_{f,\nu}(\mu) := D_f(Q^{(K)}_{\mu|\nu} \parallel U_K) = \frac{1}{K+1} \sum_{n=0}^K f\left((K+1)Q^{(K)}_{\mu|\nu}(n)\right)$
यहाँ, $K$ एक रेजोल्यूशन पैरामीटर है। यह एस्टिमेटर ऑप्टिमाइज़ेशन-मुक्त है, जो केवल सॉर्टिंग और काउंटिंग ऑपरेशन्स पर निर्भर करता है।

2. सैद्धांतिक गुण (Theoretical Properties)

लेखक कई प्रमुख सैद्धांतिक गुणों को स्थापित करते हैं:

मोनोटोनिसिटी और निचली सीमा (Lower Bound): एस्टिमेटर $D^{(K)}_{f,\nu}(\mu)$ , $K$ के संबंध में गैर-घटता (non-decreasing) है और वास्तविक f-डाइवर्जेंस के लिए एक सख्त निचली सीमा के रूप में कार्य करता है: $D^{(K)}_{f,\nu}(\mu) \leq D^{(K+1)}_{f,\nu}(\mu) \leq D_{f,\nu}(\mu)$ ।
अभिसरण दरें (Convergence Rates): क्वांटाइल-डोमेन डेंसिटी रेशियो $r = \frac{d\mu}{d\nu} \circ Q_\nu$ $r = \frac{d μ}{d ν} \circ Q_{ν}$ के तहत, एस्टिमेटर $K \to \infty$ $K \to \infty$ होने पर वास्तविक डाइवर्जेंस की ओर अभिसरित होता है। अभिसरण दर $r$ $r$ की स्मूथनेस (smoothness) पर निर्भर करती है:
- $O(K^{-\alpha/2})$ यदि $r$ हॉल्डर निरंतर ( $C^{0,\alpha}$ ) है।
- $O(K^{-1})$ यदि $r$ दो बार निरंतरतः अवकलनीय ( $C^2$ ) है या यदि $r$ लिप्सचिट्ज़ (Lipschitz) है और $f$ $C^2$ है।
सांख्यिकीय गारंटी: पेपर में परिमित-नमूना विचलन सीमाएँ (finite-sample deviation bounds) निकाली गई हैं जो दिखाती हैं कि अनुमान त्रुटि $O(1/\sqrt{N} + /\sqrt{M})$ के रूप में स्केल करती है और एस्टिमेटर के लिए एसिम्प्टोटिक नॉर्मलिटी सिद्ध करती है।

3. उच्च-आयामी विस्तार: स्लाइस्ड रैंक-सांख्यिकी f-डाइवर्जेंस

बहुभिन्नबों (multivariate) डेटा $\mathbb{R}^d$ को संभालने के लिए, लेखक रैंडम प्रोजेक्शन के माध्यम से यूनिवेरिएट निर्माण को औसत करके स्लाइस्ड रैंक-सांख्यिकीय f-डाइवर्जेंस को परिभाषित करते हैं:
$SD^{(K)}_{f,\nu}(\mu) := \int_{S^{d-1}} D^{(K)}_{f,\nu_s}(\mu_s) \, d\sigma(s)$
जहाँ $\mu_s$ और $\nu_s$ यूनिट स्फीयर पर दिशा $s$ के अनुदिश $\mu$ और $\nu$ के पुशफॉरवर्ड (pushforwards) हैं, और $\sigma$ स्फीयर पर यूनिफॉर्म मेजर है। यह यूनिवेरिएट केस के लोअर-बाउंड और मोनोटोनिसिटी गुणों को विरासत में प्राप्त करता है।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

ऑप्टिमाइज़ेशन-मुक्त एस्टिमेटर: f-डाइवर्जेंस के एक नए वर्ग के एस्टिमेटर जो घनत्व-अनुपात अनुमान के स्थान पर सरल रैंक काउंटिंग का उपयोग करते हैं, जिससे वेरिएशनल/एडवरसेरियल ट्रेनिंग की अस्थिरता से बचा जा सकता है।
सैद्धांतिक विश्लेषण: यह प्रमाण कि एस्टिमेटर वास्तविक डाइवर्जेंस का एक मोनोटोन लोअर बाउंड है, जिसमें घनत्व अनुपात की नियमितता (regularity) के आधार पर मात्रात्मक अभिसरण दरें दी गई हैं। परिमित-नमूना कंसंट्रेशन बाउंड्स और एसिम्प्टोटिक नॉर्मलिटी भी स्थापित की गई है।
स्लाइस्ड विस्तार: रैंडम प्रोजेक्शन के माध्यम से एक स्केलेबल उच्च-आयामी विस्तार, जो यूनिवेरिएट केस के सैद्धांतिक गारंटियों को विरासत में लेता है।
जनरेटिव ट्रांसपोर्ट डायनेमिक्स: एक पार्टिकल-आधारित ट्रांसपोर्ट एल्गोरिदम (स्लाइस्ड रैंक-प्रॉक्सिमल ट्रांसपोर्ट) जो एक टारगेट डिस्ट्रीब्यूशन की ओर मूव करने के लिए पार्टिकल क्लाउड को मिनिमाइज करता है, जिसे टॉय प्रॉब्लम्स और इमेज डेटासेट्स पर प्रदर्शित किया गया है।

प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

पेपर कई बेंचमार्क के माध्यम से दृष्टिकोण को मान्य करता है:

डायमेंशनलिटी स्केलिंग: न्यूरल बेसलाइन्स (MINE-स्टाइल) के मुकाबले KL डाइवर्जेंस एस्टीमेशन के विरुद्ध सिंथेटिक प्रयोगों में, रैंक-सांख्यिकी एस्टिमेटर ग्राउंड ट्रुथ को करीब से ट्रैक करता है और सैंपल साइज बढ़ने के साथ तेजी से स्थिर होता है, विशेष रूप से $d=5$ और $d=10$ आयामों में, जहाँ न्यूरल बेसलाइन्स उच्च विचरण (variance) दिखाते हैं।
रेजोल्यूशन संवेदनशीलता: 1D मिसमैच परिवारों (मीन शिफ्ट, स्केल परिवर्तन, मल्टीमोडैलिटी, हेवी टेल्स) पर प्रयोगों से पता चलता है कि $K$ को बढ़ाने से अनुमान अंतराल (approximation gap) व्यवस्थित रूप से कम होता है। अभिसरण दर सैद्धांतिक भविष्यवाणियों (जैसे, स्मूथ स्केल परिवर्तनों के लिए $O(K^{-1})$ , हेवी टेल्स के लिए धीमी) के अनुरूप है।
स्लाइस्ड प्रदर्शन: उच्च-आयामी सेटिंग्स ( $d \in \{2, 5, 10, 20, 50\}$ ) में, स्लाइस्ड एस्टिमेटर स्थिर सन्निकटन प्रदान करता है। हालांकि उच्च आयामों में (विशेष रूप से गैर-गौसियन या एनिसोट्रोपिक मामलों में) वास्तविक डाइवर्जेंस के अनुपात में स्लाइस्ड एस्टीमेट थोड़ा विचलित होता है, फिर भी विधि मजबूत बनी रहती है।
जनरेटिव मॉडलिंग:
- टॉय डेटा: रैंक-प्रॉक्सिमल ट्रांसपोर्ट डायनेमिक्स जटिल 2D टारगेट (चेकरबोर्ड, रिंग्स, स्पाइरल, मिक्सचर) से गौसियन प्रायर से पार्टिकल्स को सफलतापूर्वक ट्रांसपोर्ट करता है।
- CIFAR-10: इस विधि का उपयोग इम्पलिसिट जनरेटिव मॉडल्स के लिए एक लर्निंग ऑब्जेक्टिव के रूप में किया जाता है। सेंटर-आउटवर्ड रैंक-प्रॉक्सिमल ट्रांसपोर्ट (CO-RPT) अपडेट का उपयोग करते हुए, विधि CIFAR-10 के लो-लेवल और मिड-लेवल स्टैटिस्टिक्स से मेल खाने वाली स्ट्रक्चर्ड इमेज जेनरेट करती है।
- MNIST प्रीट्रेनिंग: रैंक-सांख्यिकी f-डाइवर्जेंस (TV, KL, JS, हेलिंगर) के साथ DCGAN जनरेटर्स को प्रीट्रेन करने से मानक DCGAN ट्रेनिंग की तुलना में प्रिसिजन-रिकॉल ट्रेड-ऑफ में सुधार होता है, जिसमें अलग-अलग f-जनरेटर्स प्रिसिजन या रिकॉल में से किसी एक को प्राथमिकता देते हैं।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

पेपर दावा करता है कि रैंक-सांख्यिकी f-डाइवर्जेंस, न्यूरल डेंसिटी-रेशियो एस्टिमेटर्स और वेरिएशनल ऑब्जेक्टिव्स के लिए एक स्थिर, डेटा-कुशल और ऑप्टिमाइज़ेशन-मुक्त विकल्प प्रदान करते हैं। घनत्व अनुमान के बजाय ऑर्डर स्टैटिस्टिक्स पर निर्भर करके, यह विधि घनत्व अनुमान से जुड़े "कर्स ऑफ डायमेंशनलिटी" से बचती है जबकि एक स्पष्ट वेरिएशनल संरचना बनाए रखती है।

लेखक इस कार्य को पिछले रैंक-आधारित TV-डाइवर्जेंस सन्निकटन के सामान्यीकरण के रूप में देखते हैं, जो लर्निंग टास्क के लिए डिफरिएबल जनरेटर्स के उपयोग को सक्षम बनाता है। वे इस बात पर जोर देते हैं कि यह विधि विशेष रूप से उन परिदृश्यों में प्रभावी है जहाँ सीमित नमूने हों या जहाँ एडवरसेरियल ट्रेनिंग अस्थिर हो।

स्वीकृत सीमाएँ (Limitations Acknowledged):

प्रोजेक्शन कॉम्प्लेक्सिटी: उच्च आयामों में, यदि विसंगति विशिष्ट निम्न-आयामी सबस्पेस या जटिल डिपेंडेंसी में केंद्रित है, तो सीमित संख्या में रैंडम प्रोजेक्शन $L$ सूचनात्मक दिशाओं को मिस कर सकते हैं।
डिसक्रेटाइजेशन: परिमित $K$ का चुनाव अनुमान त्रुटि (approximation error) पेश करता है और ऑब्जेक्ट के ज्योमेट्री को विकृत कर सकता है, जिसके लिए सावधानीपूर्वक ट्यूनिंग या एडेप्टिव शेड्यूल्स की आवश्यकता होती है।
स्केलेबिलिटी: घनत्व अनुमान से बचते हुए भी, स्लाइस्ड अप्रोच में प्रोजेक्शंस $L$ की संख्या और रेजोल्यूशन $K$ के रैखिक लागत आती है, जो बहुत बड़े डेटासेट्स के लिए महत्वपूर्ण हो सकती है।

लेखक भविष्य के कार्य के रूप में वेरिएंस-रिड्यूस्ड प्रोजेक्शन स्कीम्स, $K$ और $L$ का एडेप्टिव चयन विकसित करने, और इन डाइवर्जेंस को जनरेटिव मॉडलिंग के लिए औपचारिक फ्लो फ्रेमवर्क में एकीकृत करने का सुझाव देते हैं।