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A Deflationary Account of Quantum Theory and its Implications for the Complex Numbers

यह शोधपत्र क्वांटम सिद्धांत की एक डिफ्लेशनरी (deflationary) व्याख्या प्रस्तावित करता है जहाँ प्रणालियों को कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में अविभाज्य स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के रूप में देखा जाता है, और यह तर्क देता है कि जटिल संख्याओं (complex numbers) की आवश्यकता विशेष रूप से इसलिए है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि हिल्बर्ट-स्पेस औपचारिकता एक वैध मार्कोवियन एम्बेडिंग (Markovian embedding) के रूप में कार्य करे।

मूल लेखक: Jacob A. Barandes

प्रकाशित 2026-02-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jacob A. Barandes

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ जैकब बारंडेस के शोध पत्र, "A Deflationary Account of Quantum Theory and its Implications for the Complex Numbers" का सरल भाषा और उपमाओं के साथ अनुवाद दिया गया है।

मुख्य प्रश्न: हमें "काल्पनिक" (Imaginary) संख्याओं की आवश्यकता क्यों है?

लगभग एक सदी से, भौतिक विज्ञानी एक बात से हैरान हैं: क्वांटम मैकेनिक्स (जो परमाणुओं और कणों के नियमों को नियंत्रित करती है) का गणित कॉम्प्लेक्स नंबर्स (complex numbers) पर इतना अधिक निर्भर क्यों है? ये वे संख्याएँ हैं जिनमें "i" (ऋण 1 का वर्गमूल) शामिल होता है, जो सामान्य संख्या रेखा पर मौजूद नहीं होते।

मानक पाठ्यपुस्तकें इन कॉम्प्लेक्स नंबर्स को वास्तविकता के मौलिक निर्माण खंड (fundamental building blocks) के रूप में मानती हैं। यह शोध पत्र इसके विपरीत तर्क देता है: कॉम्प्लेक्स नंबर्स ब्रह्मांड की "वास्तविक" चीज़ नहीं हैं; वे केवल एक चतुर गणितीय चाल (mathematical trick) हैं।

मूल विचार: "मानचित्र बनाम क्षेत्र" (Map vs. Territory) की उपमा

कल्पना कीजिए कि आप एक बहुत ही ऊबड़-खाबड़, घुमावदार पैदल पथ (hiking trail) का वर्णन करने की कोशिश कर रहे हैं।

क्षेत्र (वास्तविकता/Territory): वास्तविक पथ अव्यवस्थित है। यह जानने के लिए कि आप 10 मिनट में कहाँ होंगे, आपको यह जानना होगा कि आप 5 मिनट पहले, 10 मिनट पहले और शायद 20 मिनट पहले कहाँ थे। रास्ता आपके पूरे इतिहास पर निर्भर करता है। भौतिकी में, इसे नॉन-मार्कोवियन प्रक्रिया (non-Markovian process) कहा जाता है (जहाँ इतिहास मायने रखता है)।
मानचित्र (चलाकी/The Map): उस पथ का वर्णन करने के लिए आसान बनाने हेतु, आप उसे बताने का एक नया तरीका आविष्कार कर सकते हैं। ज़मीन पर अपनी स्थिति को ट्रैक करने के बजाय, आप अपनी स्थिति और अपनी गति (दिशा और वेग) को एक साथ एक विशाल "अवस्था" (state) के रूप में ट्रैक करते हैं। अचानक, रास्ता चिकना और अनुमानित दिखने लगता है। भविष्य की भविष्यवाणी करने के लिए आपको केवल अपनी वर्तमान "अवस्था" जानने की आवश्यकता होती है। इसे मार्कोवियन एम्बेडिंग (Markovian embedding) कहा जाता है।

शोध पत्र का दावा: क्वांटम थ्योरी (अपनी वेव फंक्शन्स और कॉम्प्लेक्स नंबर्स के साथ) केवल "मानचित्र" है। यह नीचे मौजूद एक बहुत अधिक अव्यवस्थित, इतिहास-निर्भर वास्तविकता का एक सरल, सुव्यवस्थित गणितीय प्रतिनिधित्व है।

"अविभाज्य" (Indivisible) वास्तविकता

लेखक सुझाव देते हैं कि "वास्तविक" अंतर्निहित वास्तविकता एक प्रकार की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया (stochastic process) (एक यादृच्छिक प्रक्रिया, जैसे पासा फेंकना) है जो "अविभाज्य" (indivisible) है।

"अविभाज्य" का क्या अर्थ है? एक फिल्म की कल्पना करें। एक सामान्य फिल्म में, आप उसे पॉज़ कर सकते हैं, फ्रेम 10 को देख सकते हैं, और फिर फ्रेम 20 को देख सकते हैं, और कहानी 10 से 20 तक तार्किक रूप से चलती है।
एक अविभाज्य प्रक्रिया में, आप कहानी को इस तरह से तोड़ नहीं सकते। भले ही आप समय A और समय B पर अवस्था को जानते हों, आप समय C पर अवस्था प्राप्त करने के लिए केवल संभावनाओं (probabilities) को गुणा नहीं कर सकते। A और C के बीच का संबंध एक ऐसे तरीके से "गोंथा" हुआ है जो सरल, चरण-दर-चरण गणना की अनुमति नहीं देता।
उपमा: एक जटिल गांठ की कल्पना करें। यदि आप इसे केवल एक समय में एक लूप को देखकर सुलझाने की कोशिश करते हैं, तो इसका कोई अर्थ नहीं निकलता। इसे कैसे काम करना है, यह समझने के लिए आपको पूरे गांठ को एक एकल, अटूट इकाई के रूप में देखना होगा। "अविभाज्य" प्रक्रिया वही गांठ है।

तो, कॉम्प्लेक्स नंबर्स कहाँ से आते हैं?

यदि वास्तविक दुनिया केवल संभावनाओं की एक अव्यवस्थित, यादृच्छिक गांठ (सामान्य, वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके) है, तो हमें "काल्पनिक" संख्याओं का उपयोग करने की आवश्यकता क्यों है?

शोध पत्र का तर्क है कि कॉम्प्लेक्स नंबर्स वह कीमत है जो हम उस अव्यवस्थित गांठ को एक चिकनी, आसानी से हल होने वाली समीकरण में बदलने के लिए चुकाते हैं।

रूपांतरण (The Transformation): जब आप उस अव्यवस्थित, इतिहास-निर्भर "गांठ" को लेते हैं और उसे एक चिकनी, प्रथम-क्रम (first-order) गणितीय प्रणाली में बदलने के लिए मजबूर करते हैं (जैसे श्रोडिंगर समीकरण), तो गणित को काम करने के लिए एक नए प्रकार के नंबर की आवश्यकता होती है।
मैट्रिक्स की चाल (The Matrix Trick): लेखक दिखाते हैं कि आप इन कॉम्प्लेक्स नंबर्स को वास्तविक संख्याओं के सरल 2x2 ग्रिड (मैट्रिक्स) का उपयोग करके दर्शा सकते हैं। यह ऐसा है जैसे यह महसूस करना कि "i" कोई जादुई भूतिया संख्या नहीं है; यह केवल एक ग्रिड को घुमाने का एक विशिष्ट तरीका है।
निष्कर्ष: हमें कॉम्प्लेक्स नंबर्स की आवश्यकता इसलिए नहीं है क्योंकि ब्रह्मांड "काल्पनिक" है। हमें उनकी आवश्यकता इसलिए है क्योंकि वे उस अव्यवस्थित, अविभाज्य वास्तविकता को एक स्वच्छ, समाधान योग्य गणितीय समस्या में अनुवाद करने का सबसे कुशल उपकरण हैं।

"स्ट्रोकी-हेस्लोट" (Strocchi-Heslot) कनेक्शन

यह शोध पत्र एक विशिष्ट गणितीय खोज (स्ट्रोकी और हेस्लोट द्वारा) की ओर इशारा करता है जो एक 'रोसेटा स्टोन' (Rosetta Stone) के रूप में कार्य करती है। उन्होंने दिखाया कि एक क्वांटम सिस्टम (जो एक तरंग की तरह दिखता है) गणितीय रूप से युग्मित स्प्रिंग्स (coupled springs) (शास्त्रीय हार्मोनिक ऑसिलेटर्स) के एक विशाल संग्रह के समान है।

स्प्रिंग की उपमा: उन स्प्रिंग्स की कल्पना करें जो आपस में जुड़े हुए हैं। यदि आप एक को खींचते हैं, तो वे सभी हिलने लगते हैं।
अंतर्दृष्टि: क्वांटम "वेव फंक्शन" वास्तव में इन सभी स्प्रिंग्स की स्थिति और गति को एक साथ वर्णित करने का एक शानदार तरीका है।
पेंच (The Catch): इसके काम करने के लिए, स्प्रिंग्स का "कमरा" अनंत रूप से बड़ा होना चाहिए, यहाँ तक कि एक अकेले छोटे कण (जैसे इलेक्ट्रॉन) के लिए भी। यह सुझाव देता है कि क्वांटम दुनिया वास्तव में स्प्रिंग्स की एक विशाल, जटिल मशीन है, और "तरंग" (wave) केवल उसकी छाया है।

"अविभाज्य व्याख्या" (The Indivisible Interpretation)

यह शोध पत्र क्वांटम थ्योरी को देखने का एक नया तरीका प्रस्तावित करता है, जिसे "अविभाज्य व्याख्या" कहा जाता है। यहाँ यह क्या बदलता है:

कोई "अजीब" सुपरपोजिशन नहीं: मानक क्वांटम थ्योरी में, एक कण को अक्सर एक ही समय में दो स्थानों पर बताया जाता है (सुपरपोजिशन)। इस नई दृष्टि में, कण एक ही स्थान पर है, लेकिन वहाँ पाए जाने की संभावना एक जटिल, अविभाज्य गांठ का हिस्सा है। वह "दो जगहों पर" नहीं है; यह केवल इतना है कि अतीत और भविष्य को जोड़ने वाले नियम इतने उलझे हुए हैं कि उन्हें सरल रूप से तोड़ा नहीं जा सकता।
वेव फंक्शन वास्तविक नहीं हैं: वेव फंक्शन (गणितीय प्रतीक $\Psi$ ) अंतरिक्ष में तैरने वाली कोई भौतिक वस्तु नहीं है। यह एक मानचित्र के संकेत (map legend) या एक नुस्खे (recipe) की तरह है। यह आपको संभावनाओं की गणना कैसे की जाए, यह बताता है, लेकिन यह स्वयं भोजन नहीं है।
कोई मापन समस्या (Measurement Problem) नहीं: प्रसिद्ध "श्रोडिंगर की बिल्ली" विरोधाभास (बिल्ली मृत है या जीवित?) गायब हो जाता है। वास्तविकता में बिल्ली हमेशा या तो मृत है या जीवित है। भ्रम केवल इसलिए पैदा होता है क्योंकि हम "मानचित्र" (वेव फंक्शन) को देख रहे हैं, न कि "क्षेत्र" (अविभाज्य प्रक्रिया) को।

सारांश

ब्रह्मांड को एक विशाल, जटिल पहेली के रूप में सोचें जहाँ हर टुकड़ा दूसरे टुकड़े से इस तरह जुड़ा हुआ है कि वह पहेली के पूरे इतिहास पर निर्भर करता है।

पुराना दृष्टिकोण: हम सोचते हैं कि पहेली के टुकड़े "जादू" (कॉम्प्लेक्स नंबर्स) से बने हैं और जब तक हम देखते नहीं तब तक तस्वीर धुंधली रहती है।
नया दृष्टिकोण (यह शोध पत्र): पहेली के टुकड़े केवल सामान्य, रोजमर्रा की चीजें (संभावनाएं) हैं। "जादू" (कॉम्प्लेक्स नंबर्स) केवल वह विशेष भाषा है जिसे हमने पहेली को जल्दी से वर्णित करने के लिए बनाया है। "धुंधली तस्वीर" (वेव फंक्शन) पहेली की केवल एक छाया है, पहेली स्वयं नहीं है।

इसे स्वीकार करके, लेखक का तर्क है कि हम क्वांटम थ्योरी के "विदेशी" और "रहस्यमय" हिस्सों को हटा सकते हैं और इसे एक सीधा, हालांकि बहुत जटिल, संभावनाओं का तंत्र के रूप में देख सकते हैं।

तकनीकी सारांश: क्वांटम सिद्धांत और सम्मिश्र संख्याओं (Complex Numbers) के लिए इसके निहितार्थों का एक विस्फीत (Deflationary) विवरण

समस्या विवरण
यह शोधपत्र क्वांटम सिद्धांत में एक मौलिक रहस्य को संबोधित करता है: मानक डिरैक-वॉन न्यूमैन अभिगृ नियमों (axioms) के भीतर सम्मिश्र संख्याओं की स्पष्ट आवश्यकता। जबकि पिछले साहित्य ने विशिष्ट मापन परिदृश्यों (जैसे रेनो एट अल. 2021) के माध्यम से सम्मिश्र संख्याओं की आवश्यकता को स्थापित करने का प्रयास किया है, यह कार्य अधिक मौलिक दृष्टिकोण अपनाता है। यह इस बात पर प्रश्न उठाता है कि क्या हिल्बर्ट-स्पेस औपचारिक ढांचा (formalism), जो सम्मिश्र संख्याओं पर निर्भर है, वास्तविकता का एक मौलिक विवरण है या केवल एक विशिष्ट निरूपण का एक गणितीय उपकरण मात्र है। केंद्रीय जांच यह है कि क्या सम्मिश्र संख्याएँ सत्तामीमांसीय (ontologically) रूप से आवश्यक हैं या वे एक गैर-मार्कोवियन (non-Markovian) प्रक्रिया को मार्कोवियन बनाने के लिए एक उपकरण के रूप में उभरती हैं।

कार्यप्रणाली
यह शोधपत्र गतिशील प्रणालियों (dynamical systems) के संरचनात्मक विश्लेषण का उपयोग करता है, विशेष रूप से मार्कोवियन एम्बेडिंग (Markovian embeddings) की अवधारणा पर ध्यान केंद्रित करता है। कार्यप्रणाली निम्नलिखित तार्किक चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है:

सम्मिश्र संख्या और बीजगणित की समीक्षा: शोधपत्र सम्मिश्र संख्याओं ( $\mathbb{C}$ ) को एक अद्वितीय द्वि-आयामी नॉर्मड डिवीजन बीजगणित के रूप में स्थापित करता है, यह देखते हुए कि वे विशिष्ट $2 \times 2$ वास्तविक मैट्रिक्स संरचनाओं (रैखिक सम्मिश्र संरचनाओं) के समरूपी (isomorphic) हैं। यह सम्मिश्र संयुग्मन ऑपरेटर $K$ और स्यूडो-क्वाटरनियन के संबंध को भी प्रस्तुत करता है।
मार्कोवियन एम्बेडिंग: शोधपत्र प्रदर्शित करता है कि कैसे एक गैर-मार्कोवियन प्रणाली (जहाँ गतिकी पिछले विन्यासों पर निर्भर करती है) को अतिरिक्त चरों (variables) को शामिल करके कॉन्फ़िगरेशन स्पेस (सत्ता/ontology) का विस्तार करके एक मार्कोवियन प्रणाली (जो केवल वर्तमान अवस्था पर निर्भर करती है) में परिवर्तित किया जा सकता है। यह "नोमोलॉजी-सत्ता व्यापार" (nomology-ontology trade-off) गतिशील नियमों को सरल बनाता है (उन्हें प्रथम-क्रम का बनाता है) लेकिन एक अधिक जटिल अवस्था स्थान (state space) की कीमत पर। शोधपत्र विविक्त (discrete) और निरंतर (continuous) उदाहरणों के माध्यम से स्पष्ट करता है कि कैसे द्वितीय-क्रम के नियमों को समीकरणों को एकीकृत करने के लिए सम्मिश्र चरों का उपयोग करके प्रथम-क्रम प्रणालियों के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है।
स्ट्रोकी-हेस्लोट सूत्रण (The Strocchi-Heslot Formulation): शोधपत्र क्वांटम यांत्रिकी को युग्मित शास्त्रीय हार्मोनिक ऑसिलेटर्स के एक तंत्र के रूप में पुनर्गठन की समीक्षा करता है (स्ट्रोकी 1966; हेस्लोट 1985)। श्रोडिंगर समीकरण को वास्तविक और काल्पनिक भागों में विघटित करके, हिल्बर्ट-स्पेस विकास को शास्त्रीय हैमिल्टनियन गतिकी के समरूपी दिखाया जाता है। शोधपत्र का तर्क है कि स्ट्रोकी-हेस्लोट अवस्था स्थान का अनंत आकार (एक क्यूबिट के लिए भी) एक अत्यंत गैर-मार्कोवियन प्रक्रिया के एम्बेडिंग का संकेत देता है।
अविभाज्य स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं (Indivisible Stochastic Processes): मुख्य सैद्धांतिक नवाचार "अविभाज्य स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं" की प्रस्तुति है। इन्हें गैर-मार्कोवियन प्रक्रियाओं के उन तुल्यता वर्गों (equivalence classes) के रूप में परिभाषित किया गया है जो प्रथम-क्रम की छिटपुट सशर्त संभावनाओं पर सहमत होते हैं लेकिन "पुनरावृत्ति" (iterative) गुण में विफल रहते हैं (अर्थात, $\Gamma(t \leftarrow t_0) \neq \Gamma(t \leftarrow t')\Gamma(t' \leftarrow t_0)$ )।
स्टोकेस्टिक-क्वांटम पत्राचार: शोधपत्र एक द्विदिश मानचित्र (bidirectional mapping) स्थापित करता है:
- स्टोकेस्टिक-से-क्वांटम: एक अविभाज्य स्टोकेस्टिक प्रक्रिया से शुरू करते हुए, सम्मिश्र-मान वाले "पोटेंशियल" मैट्रिसेस को पेश करके संक्रमण संभावनाओं की गैर-ऋणात्मकता को संतुष्ट किया जाता है। $N > 2$ के लिए, इन मैट्रिसेस के यूनिटरी होने की आवश्यकता (संभावना बनाए रखने के लिए) सम्मिश्र संख्याओं को पेश करना अनिवार्य बनाती है, क्योंकि वास्तविक-मान वाले ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस अपर्याप्त हैं (यूनिस्टोस्टिक और ऑर्थोस्टोस्टिक मैट्रिसेस के बीच का अंतर)।
- क्वांटम-से-स्टोकेस्टिक: एक यूनिटरीली विकसित होने वाली क्वांटम प्रणाली से शुरू करते हुए, यूनिटरी विकास मैट्रिक्स तत्वों के वर्ग के मापांक ( $\Gamma_{ij} = |U_{ij}|^2$ ) को लेकर एक अविभाज्य स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को परिभाषित किया जा सकता है।

मुख्य योगदान और परिणाम

अविभाज्य व्याख्या (The Indivisible Interpretation): शोधपत्र क्वांटम सिद्धांत की "अविभाज्य व्याख्या" का प्रस्ताव करता है। इस दृष्टि में, एक क्वांटम प्रणाली शास्त्रीय कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में unfolding होने वाली एक "अविभाज्य" स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है। तरंग फलन (wave functions) और हिल्बर्ट-स्पेस ढांचे को सत्तामीमांसीय स्थिति से हटाकर गौण दर्जा दिया गया है; वे माध्यमिक, व्युत्पन्न गणितीय उपकरण हैं।
सम्मिश्र संख्याओं का विस्फीत विवरण (Deflationary Account): शोधपत्र तर्क देता है कि सम्मश्र संख्याएँ ब्रह्मांड की सत्ता (ontology) के लिए मौलिक नहीं हैं। इसके बजाय, वे एक आवश्यक गणितीय संसाधन हैं ताकि हिल्बर्ट-स्पेस ढांचा अंतर्निहित अविभाज्य स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के वैध मार्कोवियन एम्बेडिंग के रूप में कार्य कर सके। विशेष रूप से, उन्हें संक्रमण मैट्रिसेस को $N > 2$ के लिए यूनिटरी ऑपरेटरों के रूप में प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक माना जाता है।
मापन समस्या का समाधान (दावा किया गया): मापने वाले उपकरण को समग्र अविभाज्य स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के भीतर एक उप-प्रणाली मानकर, शोधपत्र का दावा है कि यह ढांचा बिना किसी 'कोलैप्स पोस्टुलेट' या सुपरपोजिशन को कई विन्यासों की वास्तविक भौतिक अवस्था के रूप में देखे बिना, सही मापन-परिणाम संभावनाओं (बोर्न नियम) को स्वाभाविक रूप से प्रदान करता है।
श्रोडिंगर समीकरण की रैखिकता: श्रोडिंगर समीकरण की रैखिकता को अंतर्निहित स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में कुल संभाव्यता की रैखिकता के परिणाम के रूप में व्युत्पन्न किया गया है।
सत्तामीमांसीय स्थिति (Ontological Status): शोधपत्र यह प्रतिपादित करता है कि कॉन्फ़िगरेशन (इस संदर्भ में "छिपे हुए चर") प्राथमिक सत्तात्मक फर्नीचर हैं, जो प्रयोगों में देखे जाते हैं। तरंग फलन को एपिस्टेमिक (ज्ञान संबंधी) और नोमोलॉजिकल (नियम संबंधी) सूचनाओं के मिश्रण के रूप में वर्णित किया गया है, न कि भौतिक संस्थाओं के रूप में।

महत्व और दावे
शोधपत्र क्वांटम सिद्धांत के अभिगृ नियमों को सरल बनाने के लिए एक "विस्फीत" (deflationary) विवरण प्रदान करने का दावा करता है। साधारण संभाव्यता सिद्धांत और शास्त्रीय कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में क्वांटम यांत्रिकी को स्थापित करके, लेखक का तर्क है कि:

क्वांटम घटनाओं की "विचित्र" प्रकृति हिल्बर्ट-स्पेस निरूपण का एक आर्टिफैक्ट (कृत्रिम प्रभाव) है।
यह 'वेव फंक्शन' के बजाय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को वास्तविक बनाकर मापन समस्या से बचता है।
सम्मिश्र संख्याएँ प्रक्रिया की "अविभाज्यता" को संभालने के लिए एक गणितीय सुविधा के रूप में प्रकट होती हैं, न कि प्रकृति की एक मौलिक विशेषता के रूप में।
यह ढांचा क्वांटम प्रभावों के लिए एक कारण-स्थानीय (causally local) सूक्ष्म भौतिक सिद्धांत की ओर मार्ग सुझाता है।

शोधपत्र निष्कर्ष निकालता है कि हिल्बर्ट-स्पेस ढांचा अत्यधिक गैर-मार्कोवियन स्टोकेस्टिक प्रणालियों के लिए एक शक्तिशाली "विश्लेषणात्मक यांत्रिकी" के रूप में कार्य करता है, जो भविष्यवाणियों की गणना करने और सममिति (symmetries) का अध्ययन करने के लिए एक व्यवस्थित विधि प्रदान करता है, लेकिन यह वास्तविकता का मौलिक विवरण नहीं है। भविष्य के अनुसंधान दिशाओं में गतिशील प्रणालियों, क्वांटम कारण मॉडल (quantum causal models), सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम गुरुत्वाकर्षण में अनुप्रयोग, साथ ही अविभाज्य स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अभिगृ नियमों पर आधारित क्वांटम सिद्धांत का सामान्यीकरण शामिल है।