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A Fractional M/M/1 Queue Governed by Stretched Non-Local Time Operators

यह शोध पत्र विस्तारित गैर-स्थानीय समय ऑपरेटरों (extended nonlocal time operators) का उपयोग करके M/M/1 कतार का एक गैर-मार्कोवियन सामान्यीकरण प्रस्तुत करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि जबकि मानक स्थिरता स्थितियों के तहत स्थिर-अवस्था वितरण (steady-state distribution) ज्यामितीय बना रहता है, भिन्नात्मक पैरामीटर (fractional parameters) क्षणिक अभिसरण दरों (transient convergence rates) और दीर्घ-स्मृति पूंछ गतिकी (long-memory tail dynamics) को महत्वपूर्ण रूप से परिवर्तित करते हैं।

मूल लेखक: Mehmet Sıddık Çadırcı

प्रकाशित 2026-02-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Mehmet Sıddık Çadırcı

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक व्यस्त कॉफी शॉप की कल्पना करें जहाँ केवल एक ही बरिस्ता (barista) है। यह एक क्लासिक M/M/1 कतार (queue) है, जो लाइनों, प्रतीक्षा समय और भीड़भाड़ को समझने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक गणितीय मॉडल है। इस कहानी के "क्लासिक" संस्करण में, समय एक चिकनी, स्थिर नदी की तरह चलता है। यदि कोई ग्राहक आता है, तो अगले ग्राहक के आने की संभावना हर सेकंड समान होती है, चाहे पाँच मिनट पहले जो भी हुआ हो। इस प्रणाली की कोई स्मृति (memory) नहीं है; यह पूरी तरह से वर्तमान क्षण में जीवित रहती है।

हालाँकि, वास्तविक दुनिया हमेशा एक चिकनी नदी जैसी नहीं होती। कभी-कभी, समय "चिपचिपा" या "खिंचा हुआ" महसूस होता है। शायद बरिस्ता का ध्यान भटक जाता है, या ग्राहक अप्रत्याशित उछाल में आते हैं जो लंबे समय तक बने रहते हैं। यहीं पर मेहमत सिद्दीक चादिरजी (Mehmet Sıddık Çadırcı) का शोध पत्र काम आता है।

यहाँ शोध पत्र के मुख्य विचारों की सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके व्याख्या दी गई है:

1. नया "चिपचिपा" क्लॉक (The New "Sticky" Clock)

लेखक इस कॉफी शॉप कतार का एक नया संस्करण प्रस्तावित करते हैं। एक चिकनी नदी के बजाय, वे कल्पना करते हैं कि समय एक "स्ट्रेच्ड नॉन-लोकल टाइम ऑपरेटर" (stretched non-local time operator) द्वारा नियंत्रित है।

उपमा: क्लासिक कतार को एक आदर्श ट्रैक पर निरंतर गति से चलने वाली ट्रेन के रूप में सोचें। नया मॉडल उसी ट्रेन की तरह है, लेकिन अब यह शहद जैसे गाढ़े, चिपचिपे पदार्थ के माध्यम से चल रही है।
यह क्या करता है: इस "शहद" में, समय समान रूप से नहीं बीतता है। सिस्टम अतीत को याद रखता है। यदि पहले एक लंबी लाइन बन गई थी, तो वह "स्मृति" अभी लाइन के व्यवहार को प्रभावित करती है। शोध पत्र "परिवर्तन की गति" (डेरिवेटिव) के लिए मानक गणित को एक अधिक जटिल उपकरण जिसे "स्ट्रेच्ड फ्रैक्शनल ऑपरेटर" (stretched fractional operator) कहा जाता है, से बदल देता है। यह उपकरण मॉडल को "लंबे समय की स्मृति" (long memory) और "निरंतरता" (persistence) को पकड़ने की अनुमति देता है।

2. जादुई फलन: किल्बास-साइगो (The Magic Function: The Kilbas-Saigo)

इस चिपचिपी, स्मृति से भरी कतार के गणित को हल करने के लिए, लेखक किल्बास-साइगो (Kilbas-Saigo) नामक एक विशेष गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं।

उपमा: क्लासिक मॉडल में, गणित सरल घातांकीय वक्रों (exponential curves) का उपयोग करता है (जैसे एक गेंद ढलान से नीचे लुढ़कती है और रुक जाती है)। इस नए मॉडल में, गेंद एक ऐसी ढलान पर लुढ़कती है जो चलते समय अपना आकार बदल लेती है। किल्बास-साइगो फलन उस बदलते हुए ढलान का विशिष्ट आकार है।
यह क्यों महत्वपूर्ण है: यह फलन पुराने गणितीय उपकरणों (जैसे मिटिग-लेफ़लर फंक्शन) का एक "सुपर-वर्जन" है। यह मॉडल को बहुत अधिक विविध प्रकार के "रिलैक्सेशन" व्यवहारों—यानी भीड़ के बाद लाइन कितनी जल्दी सामान्य होती है—को वर्णित करने की अनुमति देता है।

3. "भूत" समय यात्री (The "Ghost" Time Traveler)

एक सबसे दिलचस्प खोज यह है कि यह नई कतार पुरानी कतार से कैसे संबंधित है। शोध पत्र सिद्ध करता है कि इस जटिल, स्मृति-भरी कतार का व्यवहार वास्तव में एक रैंडम, विकृत घड़ी (random, distorted clock) पर चल रही क्लासिक कतार है।

उपमा: कल्पना करें कि दो समान कॉफी शॉप हैं।
- शॉप A (क्लासिक): समय सामान्य रूप से टिक-टिक करता है।
- शॉप B (फ्रैक्शनल): बरिस्ता वही है, ग्राहक भी वही हैं, लेकिन दीवार पर लगी घड़ी खराब है। यह एक विशिष्ट नियम के आधार पर तेजी से चलती है और धीमी हो जाती है।
- परिणाम: यदि आप शॉप B को देखते हैं, तो ऐसा लगेगा कि लाइन धीमी चल रही है या अजीब व्यवहार कर रही है, लेकिन यदि आप शॉप B की खराब घड़ी को शॉप A के सामान्य समय से मिलाने के लिए "रिवाइंड" कर सकें, तो दोनों लाइनें बिल्कुल एक जैसी दिखेंगी।
दावा: शोध पत्र गणितीय रूप से सिद्ध करता है कि फ्रैक्शनल कतार एक "नॉन-डिक्रीजिंग रैंडम टाइम" (non-decreasing random time) पर मूल्यांकित क्लासिकल कतार है।

4. बड़ा आश्चर्य: अंतिम परिणाम नहीं बदलता (The Big Surprise: The End Result Doesn't Change)

आप सोच सकते हैं कि यदि समय चिपचिपा है और स्मृति भारी है, तो लाइन की अंतिम स्थिति पूरी तरह से अलग होगी। शोध पत्र दिखाता है कि ऐसा नहीं है।

उपमा: चाहे आप तेज़ गति से चलें या गहरे कीचड़ में चलते हुए आगे बढ़ें, यदि आप एक ही स्थान से शुरू करते हैं और एक ही पथ का अनुसरण करते हैं, तो आप अंततः एक ही गंतव्य पर पहुँचेंगे।
दावा: जब तक दुकान अभिभूत नहीं होती (आगमन दर सेवा दर से कम है), कतार में ग्राहकों का अंतिम, स्थिर-अवस्था वितरण (steady-state distribution) क्लासिक मॉडल के बिल्कुल समान होता है। "चिपचिपा समय" यह बदलता है कि सिस्टम वहाँ कितनी तेजी से पहुँचता है, लेकिन यह नहीं कि वह कहाँ समाप्त होता है।

5. असली अंतर: यात्रा, गंतव्य नहीं (The Real Difference: The Journey, Not the Destination)

जबकि अंतिम गंतव्य समान है, यात्रा बहुत अलग है।

उपमा: क्लासिक मॉडल में, यदि लाइन लंबी हो जाती है, तो यह बहुत जल्दी (एक्सपोनेंशियल रूप से तेज़ी से) सामान्य हो जाती है। नए "चिपचिपे" मॉडल में, लाइन बहुत धीरे-धीरे छोटी होती है। इसमें "लॉन्ग टेल्स" (long tails) होती हैं।
दावा: पैरामीटर $\alpha$ $α$ और $\gamma$ $γ$ (जो समय की "चिपचिपाहट" और "खिंचाव" को नियंत्रित करते हैं) ट्रांजिएंट रिजीम (transient regime) (स्थिर होने से पहले की अस्थायी अवधि) को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करते हैं।
- छोटा $\alpha$ या बड़ा $\gamma$ : सिस्टम को शांत होने में बहुत अधिक समय लगता है। यह व्यस्त अवधि की "स्मृति" को लंबे समय तक थामे रखता है।
- बड़ा $\alpha$ : सिस्टम अधिक क्लासिक, तेज़ गति वाले मॉडल की तरह व्यवहार करता है।

सारांश

यह शोध पत्र प्रतीक्षा लाइनों को मॉडल करने का एक अधिक लचीला तरीका पेश करता है जो समय में "स्मृति" और "चिपचिपाहट" को ध्यान में रखता है।

यह समय के नियमों को बदलता है: यह मानक समय को एक "स्ट्रेच्ड" संस्करण से बदल देता है जो अतीत को याद रखता है।
यह एक नए गणितीय उपकरण का उपयोग करता है: सिस्टम के रिलैक्स होने के तरीके का वर्णन करने के लिए किल्बास-साइगो फलन का उपयोग करता है।
यह पुराने से जुड़ता है: यह दिखाता है कि यह नया सिस्टम केवल एक अजीब, रैंडम घड़ी पर चल रही एक पुरानी प्रणाली है।
यह समान अंत रखता है: लाइन में लोगों की दीर्घकालिक औसत संख्या क्लासिक मॉडल के समान ही रहती है।
यह शुरुआत को धीमा करता है: मुख्य अंतर यह है कि सिस्टम को भीड़ के बाद शांत होने में बहुत अधिक समय लगता है, जिससे "हैवी टेल्स" (heavy tails) बनती हैं जहाँ लाइन उम्मीद से अधिक समय तक बनी रहती है।

लेखकों ने कंप्यूटर सिमुलेशन (मोंटे कार्लो) के साथ इसकी पुष्टि की, जिससे पता चला कि "चिपचिपाहट" मापदंडों को बदलकर, वे ऐसे सिस्टम को मॉडल कर सकते हैं जो पारंपरिक मॉडलों की तुलना में बहुत धीरे-धीरे रिलैक्स होते हैं।

तकनीकी सारांश: एक स्ट्रेच्ड नॉन-लोकल टाइम ऑपरेटर द्वारा शासित एक फ्रैक्शनल M/M/1 कतार (Queue)

समस्या विवरण
शास्त्रीय (Classical) M/M/1 कतार एक मार्कोवियन प्रणाली है जो रैखिक कोलमोगोरोव फॉरवर्ड समीकरणों द्वारा नियंत्रित होती है जिनमें साधारण समय डेरिवेटिव (time derivatives) का उपयोग होता है। हालांकि यह मेमोरीलेस इंटर-इवेंट समय वाले सिस्टम के लिए प्रभावी है, लेकिन यह फ्रेमवर्क उन गैर-स्थानीय (non-local) टेम्पोरल प्रभावों, दृढ़ता (persistence) और विसंगत विश्रांति (anomalous relaxation) को पकड़ने में विफल रहता है जो जटिल वास्तविक दुनिया की प्रणालियों में देखे जाते हैं। मौजूदा फ्रैक्शनल सामान्यीकरण आमतौर पर मानक कैपुटो (Caputo) डेरिवेटिव पर निर्भर करते हैं, जो मेमोरी तो पेश करते हैं लेकिन अधिक जटिल टेम्पोरल स्केलिंग व्यवहारों को मॉडल करने के लिए लचीलापन नहीं देते हैं। यह शोध पत्र कतारिंग मॉडलों के ट्रांजिएंट विश्लेषण (transient analysis) में विस्तारित गैर-स्थानीय समय ऑपरेटरों को व्यवस्थित रूप से एकीकृत करने के अंतराल को संबोधित करता है ताकि लॉन्ग-मेमोरी टेल डायनेमिक्स को बेहतर ढंग से समझा जा सके।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक गैर-मार्कोवियन सामान्यीकरण वाले M/M/1 कतार का प्रस्ताव करते हैं, जिसमें कोलमोगोरोव फॉरवर्ड समीकरणों में मानक प्रथम-क्रम समय डेरिवेटिव को एक विस्तारित स्ट्रेच्ड फ्रैक्शनल ऑपरेटर (extended stretched fractional operator), जिसे $D^{(\alpha, \gamma)}_t$ के रूप में दर्शाया गया है, द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस ऑपरेटर को $t^{-\gamma} {}^C D^\alpha_t$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ ${}^C D^\alpha_t$ क्रम $0 < \alpha < 1$ का कैपुटो फ्रैक्शनल डेरिवेटिव है, और $\gamma \ge 0$ एक स्ट्रेचिंग पैरामीटर है जो $\alpha + \gamma \le 1$ की शर्त को पूरा करता है।

विश्लेषण निम्नलिखित चरणों के माध्यम से आगे बढ़ता है:

मॉडल सूत्रीकरण (Model Formulation): अवस्था प्रायिकताएँ (state probabilities) $p_n(t)$ एक फ्रैक्शनल डिफरेंस-डिफरेंशियल समीकरणों की प्रणाली द्वारा नियंत्रित होती हैं जहाँ समय डेरिवेटिव को $D^{(\alpha, \gamma)}_t$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
विश्लेषणात्मक समाधान (Analytical Solution): लेखक समीकरणों को हल करने के लिए लाप्लास ट्रांसफॉर्म तकनीकों का उपयोग करते हैं। समाधान की संरचना किलबास-साइगो फंक्शन ( $E_{a,m,l}$ ) पर आधारित है, जो एक विशेष फलन है जो मिलेट-लेफलर परिवार का सामान्यीकरण करता है और स्ट्रेच्ड फ्रैक्शनल ऑपरेटर के आइजनफंक्शन (eigenfunction) के रूप में कार्य करता है।
स्टोकेस्टिक प्रतिनिधित्व (Stochastic Representation): एक टाइम-चेंज व्याख्या निर्मित की गई है, जो यह प्रदर्शित करती है कि फ्रैक्शनल कतार प्रक्रिया $\{N_{\alpha,\gamma}(t)\}$ वितरण संबंधी रूप से एक शास्त्रीय M/M/1 प्रक्रिया के समान है, जिसे एक गैर-घटते रैंडम समय $A_{\alpha,\gamma}(t)$ पर आंका गया है। यह रैंडम समय एक सबोडिनेटर (subordinator) का व्युत्क्रम है जो स्ट्रेच्ड ऑपरेटर से जुड़ा हुआ है।
संख्यात्मक सत्यापन (Numerical Validation): एक समय-परिवर्तित सिमुलेशन योजना का उपयोग करके मोंटे कार्लो सिमुलेशन किए गए हैं। शास्त्रीय M/M/1 पथों को एक इवेंट-ड्रिवन एल्गोरिदम के माध्यम से उत्पन्न किया जाता है और ट्रांजिएंट प्रदर्शन मेट्रिक्स का अनुमान लगाने के लिए स्ट्रेच्ड फ्रैक्शनल डायनेमिक्स से प्राप्त रैंडम ऑपरेशनल समय पर उनका मूल्यांकन किया जाता है।

प्रमुख योगदान
यह शोध पत्र चार प्राथमिक योगदान देता है:

विस्तारित मॉडल प्रस्ताव: यह एक अतिरिक्त स्ट्रेचिंग पैरामीटर ( $\gamma$ ) के साथ एक नॉन-लोकल टाइम ऑपरेटर युक्त एक फ्रैक्शनल M/M/1 मॉडल पेश करता है, जो मानक फ्रैक्शनल मॉडलों की तुलना में अधिक समृद्ध क्षय व्यवहारों (decay behaviors) का स्पेक्ट्रम प्रदान करता है।
विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति: यह किलबास-साइगो फंक्शन के रूप में व्यक्त स्पष्ट ट्रांजिएंट स्टेट प्रोबेबिलिटी को व्युत्पन्न करता है, जो सिस्टम के विकास के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।
सीमित शासन (Limiting Regimes): यह कठोरता से दोनों मानक शास्त्रीय M/M/1 कतार (जैसे $\alpha \to 1, \gamma \to 0$ होने पर) और मानक टाइम-फ्रैक्शनल M/M/1 कतार (जैसे $\gamma \to 0$ होने पर) को पुनः प्राप्त करने वाले केसों को परिभाषित करता है, जिससे मौजूदा साहित्य के साथ निरंतरता सुनिश्चित होती है।
स्टोकेस्टिक व्याख्या: यह एक टाइम-चेंज्ड क्लासिकल प्रोसेस के साथ फ्रैक्शनल कतार के बीच एक संभाव्य संबंध स्थापित करता है, जिससे मेमोरी के परिचय के तंत्र को स्पष्ट किया जाता है।

परिणाम

ट्रांजिएंट व्यवहार (Transient Behavior): फ्रैक्शनल पैरामीटर $(\alpha, \gamma)$ ट्रांजिएंट शासन को महत्वपूर्ण रूप से बदलते हैं। विशेष रूप से, सिस्टम गैर-घातांकीय विश्रांति (non-exponential relaxation) प्रदर्शित करता है और शास्त्रीय मामले की तुलना में संतुलन की ओर धीमी गति से बढ़ता है। सिस्टम के खाली होने की प्रायिकता ( $p_0(t)$ ) और औसत कतार लंबाई ( $m(t)$ ) साम्यावस्था मानों की ओर धीमी गति से अभिसरित होते हैं क्योंकि मेमोरी प्रभाव (जो $\alpha$ और $\gamma$ द्वारा नियंत्रित होते हैं) बढ़ते जाते हैं।
स्थिर-अवस्था वितरण (Steady-State Distribution): मानक स्थिरता स्थिति $\rho = \lambda/\mu < 1$ के तहत, यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि स्थिर-अवस्था वितरण ज्यामितीय (geometric) बना रहता है और शास्त्रीय M/M/1 के समान ही होता है ( $\pi_n = (1-\rho)\rho^n$ )। स्ट्रेच्ड फ्रैक्शनल पैरामीटर अभिसरण की दर को प्रभावित करते हैं लेकिन सिस्टम के इनवेरिएंट मेजर (invariant measure) को नहीं बदलते हैं।
टेल डायनेमिक्स (Tail Dynamics): संख्यात्मक उदाहरण संकेत देते हैं कि फ्रैक्शनल डायनेमिक्स के परिणामस्वरूप मध्यवर्ती समय पर कतार-लंबाई के वितरण का प्रसार व्यापक हो जाता है, जो नॉन-लोकल टाइम ऑपरेटर के कारण होने वाले पर्सिस्टेंस प्रभावों को उजागर करता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह मेमोरी और नॉन-लोकल टेम्पोरल प्रभावों वाले कतार प्रणालियों को मॉडल करने के लिए एक लचीला और गणितीय रूप से सुसंगत ढांचा प्रदान करता है। किलबास-साइगो फंक्शन का उपयोग करके, यह मॉडल शास्त्रीय डायनेमिक्स और जटिल फ्रैक्शनल डायनेमिक्स के बीच के अंतर को पाटता है, जो उन लॉन्ग-मेमोरी टेल डायनेमिक्स को पकड़ने के लिए एक उपकरण प्रदान करता जिन्हें मानक मार्कोवियन या सरल फ्रैक्शनल मॉडल नहीं पकड़ सकते। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि जबकि स्थिर वितरण इन टाइम-चेंज के तहत अपरिवर्तित रहता है, ट्रांजिएंट प्रदर्शन मेट्रिक्स फ्रैक्शनल पैरामीटर्स के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होते हैं, जिससे यह मॉडल उन प्रणालियों के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक हो जाता है जहाँ अभिसरण की गति और ट्रांजिएंट कंजेशन पैटर्न महत्वपूर्ण होते हैं। यह कार्य प्रमाणित करता है कि विस्तारित फ्रेमवर्क कतार की रैखिक बर्थ-डेथ संरचना को बनाए रखते हुए भी टेम्पोरल इवोल्यूशन के माध्यम से मेमोरी पेश करता है।