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Deterministic and randomized Kaczmarz methods for $AXB=C$ with applications to color image restoration

यह शोध पत्र $AXB=C$ के रूप में सुसंगत रैखिक आव्यूह समीकरणों को हल करने के लिए कई नियतात्मक (deterministic) और यादृच्छिक (randomized) ब्लॉक काज़मार्ज़ (Kaczmarz) विधियों का प्रस्ताव और विश्लेषण करता है, उनकी अभिसरण (convergence) विशेषताओं को स्थापित करता है और रंगीन छवि बहाली (color image restoration) में अनुप्रयोगों और संख्यात्मक परीक्षणों के माध्यम से उनकी प्रभावशीलता को प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Wenli Wang, Duo Liu, Gangrong Qu, Michiel E. Hochstenbach

प्रकाशित 2026-02-04

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Wenli Wang, Duo Liu, Gangrong Qu, Michiel E. Hochstenbach

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, जटिल पहेली को हल करने की कोशिश कर रहे हैं। गणित की दुनिया में, यह पहेली एक मैट्रिक्स समीकरण (विशेष रूप से $AXB = C $) है।$ A $और$ B $को पहेली के नियमों के रूप में सोचें,$ C $उस चित्र के रूप में जिसे आप देखना चाहते हैं, और$ X$ उस लुप्त हिस्से के रूप में जिसे आपको खोजना है।

यह शोध पत्र इन पहेलियों को अधिक तेज़ी से और कुशलता से हल करने के लिए उपकरणों का एक नया सेट पेश करता है, विशेष रूप से धुंधली रंगीन छवियों को ठीक करने (restoring blurry color images) जैसी समस्याओं के लिए।

यहाँ उनके दृष्टिकोण का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. पुराना तरीका बनाम नया तरीका

"प्रत्यक्ष" दृष्टिकोण (भारी उठाने वाला - The Heavy Lifter):
कल्पना कीजिए कि आप हर एक टुकड़े और हर एक नियम को एक साथ देखते हुए पहेली को हल करने की कोशिश कर रहे हैं। पुराने "डायरेक्ट" तरीके यही करते हैं। यह एक पूरी कार को हिलाने के लिए उसे उठाने की कोशिश करने जैसा है। यह काम तो करता है, लेकिन यह अविश्वसनीय रूप से भारी, धीमा और बहुत अधिक मेमोरी की मांग करने वाला है। यदि पहेली बहुत बड़ी है (जैसे कि एक हाई-रिज़ॉल्यूशन फोटो), तो यह तरीका अटक जाता है।

"काज़मार्क" दृष्टिकोण (कदम-दर-कदम चलने वाला - The Step-by-Step Walker):
लेखक काज़मार्क (Kaczar'z) नामक एक विधि का उपयोग करते हैं। पूरी पहेली को एक साथ देखने के बजाय, कल्पना कीजिए कि आप दरवाजों के एक गलियारे में चल रहे हैं। प्रत्येक दरवाजा पहेली के एक नियम (या "रो" - row) का प्रतिनिधित्व करता है।

आप एक दरवाजे पर रुकते हैं, यह देखते हैं कि क्या आपका वर्तमान अनुमान उस विशिष्ट नियम के अनुकूल है, और अपने अनुमान में थोड़ा सुधार करते हैं।
फिर आप अगले दरवाजे पर जाते हैं, फिर से जांच करते हैं, और फिर से सुधार करते हैं।
आप तब तक गलियारे में चलते रहते हैं, छोटे-छोटे सुधार करते रहते हैं, जब तक कि आपका अनुमान सभी दरवाजों के लिए सटीक न हो जाए।

यह आपकी मेमोरी पर बहुत हल्का है क्योंकि आपको पूरे गलियारे को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि केवल एक समय में एक दरवाजा याद रखने की आवश्यकता है।

2. तीन मुख्य रणनीतियाँ

शोध पत्र उन तीन अलग-अलग तरीकों का प्रस्ताव देता है जिनसे आप दरवाजों के उस गलियारे में चल सकते हैं:

A. "चक्रीय यात्री" (Cyclic Walker - Deterministic BK)

यह कैसे काम करता है: आप एक सख्त क्रम में गलियारे में चलते हैं: दरवाजा 1, दरवाजा 2, दरवाजा 3... अंत तक, फिर दरवाजा 1 से फिर शुरू करते हैं।
उपमा: यह एक शिक्षक की तरह है जो हर दिन एक-एक करके वर्णमाला के क्रम में हर छात्र के होमवर्क की जाँच करता है।
पक्ष/विपक्ष: यह अनुमानित (predictable) है। हालाँकि, यदि पहले कुछ दरवाजे आसान हैं और अंतिम कुछ कठिन हैं, तो आप कठिन दरवाजों से निपटने से पहले आसान दरवाजों पर समय बर्बाद कर सकते हैं।

B. "यादृच्छिक यात्री" (Random Walker - Randomized BK)

यह कैसे काम करता है: क्रम में चलने के बजाय, आप आँखें बंद करते हैं और एक यादृच्छिक (random) दरवाजे की ओर इशारा करते हैं। आप उस एक को देखते हैं, सुधार करते हैं, और फिर दूसरे यादृच्छिक दरवाजे की ओर इशारा करते हैं।
उपमा: यह एक शिक्षक की तरह है जो टोकरी से नाम निकालकर छात्रों को सवाल पूछने के लिए चुनता है।
पक्ष/विपक्ष: यह अक्सर सख्त क्रम की तुलना में तेज़ होता है क्योंकि आप गलती से कठिन दरवाजों तक जल्दी पहुँच सकते हैं। लेकिन, कभी-कभी आप एक ही आसान दरवाजे को लगातार दो बार चुन सकते हैं, जो थोड़ा निराशाजनक है।

C. "लालची जासूस" (Greedy Detective - शोध पत्र का बड़ा नवाचार)

यहीं लेखक अपनी चमक दिखाते हैं। उन्होंने महसूस किया कि सभी दरवाजे समान रूप से महत्वपूर्ण नहीं हैं। कुछ दरवाजों में "रेसिडुअल्स" (residuals) होते हैं—एक फैंसी शब्द जिसका अर्थ है "आपका वर्तमान अनुमान कितना गलत है।"

रणनीति: यादृच्छिक या क्रम में चुनने के बजाय, लालची जासूस (Greedy Detective) सभी दरवाजों को देखता है और पूछता है: "मैं अभी किस दरवाजे में सबसे अधिक गलत हूँ?"
उपमा: कल्पना कीजिए कि एक शिक्षक पूरी कक्षा को देखता है और कहता, "मैं देख रहा हूँ कि छात्र #42 इस विशिष्ट नियम को लेकर वास्तव में भ्रमित है। आइए पहले उन पर ध्यान केंद्रित करें!"
विविधताएँ:
- GRBK (Greedy Randomized): जासूस सबसे अधिक भ्रमित छात्रों के शीर्ष 10% को चुनता है, फिर उस समूह में से एक को यादृच्छिक रूप से चुनता है।
- MWRBK (Max Weighted Residual): जासूस एकल सबसे अधिक भ्रमित छात्र को चुनता है और उसे तुरंत ठीक करता है। यह लालची दृष्टिकोण का "डिटरमिनिस्टिक" संस्करण है।

3. अनुप्रयोग: धुंधली तस्वीरों को ठीक करना

शोध पत्र रंगीन छवि बहाली (color image restoration) पर इन विधियों का परीक्षण करता है।

समस्या: आपके पास एक धुंधली, शोर वाली फोटो (समीकरण में "C") है। आप मूल स्पष्ट फोटो ( "X" ) को वापस पाना चाहते हैं।
सेटअप: धुंधला होने की प्रक्रिया एक फिल्टर की तरह है जो छवि को फैला देती है। गणितीय समीकरण बताता है कि धुंधलापन कैसे हुआ।
परिणाम: लेखकों ने पाया कि लालची जासूस (Greedy Detective) के तरीके (विशेष रूप से वह जो "सबसे गलत" रो को चुनता है) सबसे तेज़ थे। वे पुराने तरीकों की तुलना में कम चरणों में एक स्पष्ट, तीखी छवि तक पहुँच गए।
- "चक्रीय यात्री" (Cyclic Walker) धीमा था क्योंकि उसने छवि के आसान हिस्सों पर समय बर्बाद किया।
- "यादृच्छिक यात्री" (Random Walker) ठीक था, लेकिन कभी-कभी महत्वपूर्ण धुंधले हिस्सों को मिस कर गया।
- "लालची जासूस" (Greedy Detective) सीधे सबसे धुंधले हिस्सों की ओर बढ़ा और उन्हें पहले ठीक किया, जिससे बहुत समय बचा।

4. मुख्य निष्कर्ष

दक्षता (Efficiency): केवल उन हिस्सों पर ध्यान केंद्रित करके जो वर्तमान में "गलत" हैं, ये नई विधियाँ पूरी चीज़ को एक साथ देखने की तुलना में इस पहेली को बहुत तेज़ी से हल करती हैं।
लचीलापन (Flexibility): ये विधियाँ तब भी काम करती हैं जब पहेली "ओवरडिटरमाइंड" (बहुत सारे नियम) या "अंडरडिटरमाइंड" (बहुत कम नियम) हो।
विजेता: MWRBK विधि (वह जो हमेशा सबसे खराब त्रुटि को ठीक करने के लिए चुनती है) उनके परीक्षणों में चैंपियन साबित हुई। यह छवियों को बहाल करने का सबसे सुसंगत और तेज़ तरीका था।

संक्षेप में, यह शोध पत्र हमें सिखाता है कि विशाल गणितीय पहेलियों को हल करते समय, केवल एक घेरे में न चलें या यादृच्छिक अनुमान न लगाएं। इसके बजाय, पूरी तस्वीर को देखें, सबसे बड़ी गलती को खोजें, और उसे पहले ठीक करें। यह काम को पूरा करने का एक स्मार्ट और तेज़ तरीका है।

तकनीकी सारांश: $AXB = C$ के लिए नियतकालिक (Deterministic) और यादृच्छिक (Randomized) काकज़ार्क विधियाँ

समस्या विवरण

यह शोध पत्र सुसंगत रैखिक आव्यूह समीकरणों के समाधान को संबोधित करता है जिनका रूप है:
$AXB = C$
जहाँ $A \in \mathbb{R}^{m \times p}$ , $B \in \mathbb{R}^{q \times n}$ , और $C \in \mathbb{R}^{m \times n}$ है। लक्ष्य $X \in \mathbb{R}^{p \times q}$ खोजना है। यह समीकरण इमेज प्रोसेसिंग, कंट्रोल थ्योरी और कंप्यूटर विजन सहित विभिन्न इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में उत्पन्न होता है। एक विशिष्ट हाइलाइट किया गया अनुप्रयोग शोर-मुक्त रंगीन छवि बहाली (color image restoration) के लिए फॉरवर्ड मॉडल है, जिसे $AXA_c^T = C$ के रूप में व्यक्त किया गया है, जहाँ $A$ इन-चैनल ब्लरिंग (within-channel blurring) को दर्शाता है और $A_c$ क्रॉस-चैनल ब्लरिंग (cross-channel blurring) को दर्शाता है।

लेखक नोट करते हैं कि इस समीकरण को हल करने के प्रत्यक्ष दृष्टिकोणों की जटिलता क्यूबिक (cubic) होती है और वे विफल हो सकते हैं जब समाधान अद्वितीय नहीं होता या जब शोर मौजूद होता है। जबकि मौजूदा पुनरावृत्ति विधियाँ (जैसे, ग्रेडिएंट-आधारित इटरेटिव (GI) विधियाँ) मौजूद हैं, उन्हें अक्सर प्रत्येक पुनरावृत्ति (iteration) में संपूर्ण गुणांक आव्यूह (coefficient matrix) को संग्रहीत करने और एक्सेस करने की आवश्यकता होती है, जिससे उच्च कम्प्यूटेशनल लागत आती है। यह शोध पत्र रो-एक्शन (row-action) विधियों पर ध्यान केंद्रित करता है, जो प्रत्येक पुनरावृत्ति में $A$ की केवल एक पंक्ति तक पहुँचते हैं, जिससे मेमोरी उपयोग और शोर के प्रति मजबूती में लाभ मिलता है।

कार्यप्रणाली

यह शोध पत्र काकज़ार्क-प्रकार की विधियों को, जो पारंपरिक रूप से रैखिक प्रणालियों $Ax=b $के लिए उपयोग की जाती हैं, आव्यूह समीकरण$ AXB=C$ के लिए विस्तारित करता है। प्रस्तावित विधियों को नियतकालिक चक्रीय वेरिएंट (deterministic cyclic variants) और यादृच्छिक/लालची (randomized/greedy) वेरिएंट में वर्गीकृत किया गया है।

1. ब्लॉक काकज़ार्क (BK) विधियाँ

लेखक पहले एक नियतकालिक चक्रीय वेरिएंट प्रस्तावित करते हैं जिसे ब्लॉक काकज़ार्क (BK) विधि कहा जाता है। पिछले विस्तारों के विपरीत जो समीकरण को स्केलर उप-प्रणालियों में विभाजित करते हैं, BK विधि $A$ की एक पंक्ति (और $C$ की संगत पंक्ति) को एक समय में संसाधित करती है जबकि संपूर्ण आव्यूह $B$ का उपयोग करती है।

सामान्य BK (एल्गोरिदम 2): $B$ के किसी भी आकार के लिए लागू। यह $A$ की $i_k$ -वीं पंक्ति के आधार पर रैंक-वन अपडेट का उपयोग करके $X$ को अपडेट करता है। लेखक सिद्ध करते हैं कि किसी भी प्रारंभिक अनुमान $X_0$ के लिए, यदि $0 < \alpha < 2\|B\|^{-2}$ हो, तो यह एक विशिष्ट समाधान $X^*_0 = A^+CB^+ + X_0 - A^+AX_0BB^+$ की ओर अभिसरण (converge) करता है।
पूर्ण कॉलम रैंक के साथ BK (एल्गोरिदम 3): जब $B$ का पूर्ण कॉलम रैंक होता है, तो समीकरण को QR अपघटन ($B=QR $) के माध्यम से$ AXQ = \tilde{C}$ में परिवर्तित किया जाता है। यह विधि के एक पूर्ण चक्र (स्वीप) के लिए एक संक्षिप्त आव्यूह सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है।
पूर्ण रो रैंक के साथ BK (एल्गोरिदम 4): जब $B$ का पूर्ण रो रैंक होता है, तो समीकरण को $AX = \hat{C}$ के रूप में पुनर्गठित किया जाता है। इसे कई राइट-हैंड साइड्स वाली एक रैखिक प्रणाली के रूप में माना जाता है। लेखक एक स्वीप सूत्र व्युत्पन्न करते हैं और कई राइट-हैंड साइड्स के लिए मानक काकज़ार्क विधि के समान अभिसरण गुणों को सिद्ध करते हैं।
तुल्यता (Equivalence): प्रस्ताव 3.7 स्थापित करता है कि जब $B$ गैर-एकल (nonsingular) हो, तो एल्गोरिदम 3 और 4 समान होते हैं।

2. ग्रीडी और रैंडमाइज्ड वेरिएंट

BK ढांचे पर निर्माण करते हुए, लेखक ग्रीडी और रैंडमाइज्ड रणनीतियों को रैखिक प्रणालियों से आव्यूह समीकरण के संदर्भ में विस्तारित करते हैं:

ग्रीडी रैंडमाइज्ड ब्लॉक काकज़ार्क (GRBK, एल्गोरिदम 5): यह अधिकतम और औसत भारित अवशिष्ट नॉर्म (weighted residual norms) के थ्रेशोल्ड वाले थ्रेशोल्ड को शामिल करते हुए GRK विधि का विस्तार करता है।
रिलैक्स्ड ग्रीडी रैंडमाइज्ड ब्लॉक काकज़ार्क (RGRBK, एल्गोरिदम 6): अधिकतम अवशिष्ट रणनीति और औसत अवशिष्ट रणनीति के बीच संतुलन बनाने के लिए एक ट्यूनेबल पैरामीटर $\theta \in [0, 1]$ $θ \in [0, 1]$ पेश करता है।
- $\theta = 1/2$ : GRBK के समान है।
- $\theta = 1$ : नियतकालिक MWRBK के समान है।
मैक्सिमल वेटेड रेसिडुअल ब्लॉक काकज़ार्क (MWRBK, एल्गोरिदम 7): एक नियतकालिक विधि जो प्रत्येक चरण में सबसे बड़े भारित अवशिष्ट (weighted residual) वाली पंक्ति का चयन करती है।

अभिसरण विश्लेषण (Convergence Analysis)

शोध पत्र सभी प्रस्तावित विधियों के लिए कठोर अभिसरण विश्लेषण प्रदान करता है:

BK विधियाँ: सिद्ध होता है कि ये $X^*_0$ की ओर अभिसरण करती हैं (या यदि $X_0=0$ और विशिष्ट रेंज स्थितियाँ पूरी होती हैं, तो न्यूनतम नॉर्म समाधान $X^* = A^+CB^+$ की ओर)।
GRBK, RGRBK, MWRBK: शून्य प्रारंभिक आव्यूह के लिए अद्वितीय न्यूनतम नॉर्म समाधान $X^*$ की ओर अपेक्षा (expectation) में अभिसरण करने के लिए सिद्ध होते हैं।
अभिसरण कारक (Convergence Factors): लेखक अभिसरण कारकों के ऊपरी बाउंड (upper bounds) व्युत्पन्न करते हैं। वे दिखाते हैं कि ग्रीडी/रैंडमाइज्ड वेरिएंट (GRBK, RGRBK, MWRBK) के लिए बाउंड, मानक रैंडमाइज्ड ब्लॉक काकज़ार्क (RBK) विधि के बाउंड से कम या उसके बराबर है। विशेष रूप से, RGRBK के लिए ऊपरी बाउंड $\theta$ के बढ़ने के साथ घटता है, जो यह सुझाव देता है कि नियतकालिक MWRBK ( $\theta=1$ ) का सैद्धांतिक बाउंड सबसे कड़ा (tightest) है।
इष्टतम स्टेप साइज (Optimal Step Size): विश्लेषण इंगित करता है कि अभिसरण कारक का ऊपरी बाउंड तब न्यूनतम होता है जब रिलैक्सेशन पैरामीटर $\alpha = \|B\|^{-2}$ हो।

मुख्य योगदान

काकज़ार्क विधियों का विस्तार: शोध पत्र सफलतापूर्वक सामान्य आव्यूह समीकरण $AXB=C$ के लिए नियतकालिक चक्रीय, ग्रीडी रैंडमाइज्ड और मैक्सिमल वेटेड रेसिडुअल काकज़ार्क रणनीतियों को विस्तारित करता है।
नवीन ब्लॉक फॉर्मुलेशन: लेखक विशिष्ट फॉर्मुलेशन (एल्गोरिदम 3 और 4) पेश करते हैं, जो $B$ के पूर्ण कॉलम या रो रैंक वाले मामलों के लिए उपयोगी हैं, जिससे पूर्ण स्वीप के लिए सुरुचिपूर्ण आव्यूष सूत्र प्राप्त करने में मदद मिलती है।
सैद्धांतिक गारंटी: सभी प्रस्तावित विधियों के लिए अभिसरण गुण स्थापित किए गए हैं, जिसमें स्पष्ट त्रुटि सीमाएं और न्यूनतम नॉर्म समाधान के लिए स्थितियां शामिल हैं।
जटिलता विश्लेषण: प्रस्तावित विधियों को प्रति पुनरावृति $O(q(p+n))$ या इसी तरह की द्विघातीय (quadratic) कम्प्यूटेशनल जटिलता वाला दिखाया गया है, जो ग्रेडिएंट-आधारित इटरेटिव (GI) विधि की क्यूबिक जटिलता से काफी कम है।
इमेज रेस्टोरेशन में अनुप्रयोग: इन विधियों को शोर-मुक्त रंगीन छवि बहाली मॉडल पर लागू किया गया है, जो उनकी व्यावहारिक उपयोगिता को प्रदर्शित करता है।

संख्यात्मक परिणाम (Numerical Results)

लेखक अपने सैद्धांतिक निष्कर्षों को संख्यात्मक प्रयोगों के माध्यम से मान्य करते हैं:

सिंथेटिक डेटा: विभिन्न आव्यूह कॉन्फ़िगरेशन (ओवरडिटरमिन्ड, अंडरडिटरमिन्ड, रैंक-डेफिशिएंट) पर परीक्षण BK विधियों के रैखिक एसिम्प्टोटिक अभिसरण की पुष्टि करते हैं।
RBK के साथ तुलना: RBK, GRBK, RGRBK और MWRBK की तुलना करने वाले परीक्षणों में, ग्रीडी वेरिएंट (अवशिष्ट गणनाओं के कारण प्रति पुनरावृति थोड़ा अधिक लागत होने के बावजूद) मानक RBK की तुलना में लगातार कम पुनरावृत्तियों और कम कुल CPU समय की आवश्यकता रखते हैं।
इमेज रेस्टोरेशन: धुंधली रंगीन छवियों (चेहरा, पक्षी, मैंड्रिल) को बहाल करने के लिए लागू किया गया, प्रस्तावित विधियाँ (विशेष रूप से MWRBK और RGRBK) कुल गणना समय में GI विधि से बेहतर प्रदर्शन करती हैं और लक्षित त्रुटि तक पहुँचने के लिए पुनरावृत्तियों के मामले में मानक BK और RBK विधियों से बेहतर प्रदर्शन करती हैं।
प्रदर्शन रुझान: परिणाम संकेत देते हैं कि MWRBK विधि (नियतकालिक, $\theta=1$ ) अक्सर पुनरावृत्तियों और कुल समय दोनों के मामले में सबसे तेज़ अभिसरण प्राप्त करती है, जो इस सैद्धांतिक भविष्यवाणी की पुष्टि करती है कि $\theta$ के साथ अभिसरण बाउंड में सुधार होता है।

महत्व और दावे

शोध पत्र का दावा है कि प्रस्तावित काकज़ार्क-प्रकार की विधियाँ रैखिक आव्यूह समीकरणों के लिए मौजूदा पुनरावृत्ति सॉल्वर के एक कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल विकल्प के रूप में कार्य करती हैं।

दक्षता: रैंक-वन अपडेट और रो-एक्शन रणनीतियों का उपयोग करके, ये विधियाँ GI विधियों द्वारा आवश्यक महंगी मैट्रिक्स-मैट्रिक्स गुणन प्रक्रियाओं से बचती हैं, जिससे जटिलता क्यूबिक से घटकर द्विघातीय हो जाती है।
मजबूती (Robustness): रो-एक्शन प्रकृति इन विधियों को बड़े पैमाने की समस्याओं के लिए उपयुक्त बनाती है और संभावित रूप से शोर के प्रति मजबूत बनाती है (हालांकि शोध पत्र शोर-मुक्त मामले पर केंद्रित है)।
ग्रीडी रणनीतियों की श्रेष्ठता: संख्यात्मक प्रयोगों से पता चलता है कि शुद्ध यादृच्छिक या चक्रीय चयन की तुलना में ग्रीडी चयन रणनीतियों (GRBK, RGRBK, MWRBK) को शामिल करने से अभिसरण में महत्वपूर्ण तेजी आती है, जिसमें नियतकालिक MWRBK पुनरावृत्तियों और रनटाइम के मामले में सबसे आकर्षक विकल्प के रूप में उभरता है।
सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि: $B$ की विशिष्ट रैंक स्थितियों के लिए स्वीप फॉर्मूला का व्युत्पन्न ब्लॉक काकज़ार्क विधियों के व्यवहार के बारे में गहरी सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि जबकि BK विधि रो चयन प्रभावों को समझने के लिए मूल्यवान है, ग्रीडी विस्तार (विशेष रूप से MWRBK) व्यवहार में लगातार तेज़ अभिसरण प्राप्त करते हैं। वे नोट करते हैं कि यह अध्ययन शोर-रहित समीकरणों तक सीमित है और सुझाव देते हैं कि इन विधियों को शोर वाले राइट-हैंड साइड्स पर लागू करना भविष्य के कार्य के लिए एक दिशा है।