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Adaptive Behavioral Predictive Control: State-Free Regulation Without Hankel Weights

यह शोध पत्र एडेप्टिव बिहेवियरल प्रेडिक्टिव कंट्रोल (ABPC) को प्रस्तुत करता है, जो एक अप्रत्यक्ष एडेप्टिव ढांचा है जो नॉनलीनियर सिस्टम के लिए LPV-ARX प्रेडिक्टर्स की पहचान करने और क्लोज्ड-फॉर्म कंट्रोल सीक्वेंस की गणना करने के लिए ऑनलाइन कर्नेल-रिकर्सिव लीस्ट स्क्वायर्स का उपयोग करता है, जिससे बैच हेंकेल मैट्रिक्स निर्माण और पुनरावृत्ति अनुकूलन की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

मूल लेखक: Tam W. Nguyen

प्रकाशित 2026-02-13

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Tam W. Nguyen

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रोबोटिक कुत्ते को रस्सी पर चलने के लिए सिखाने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास कुत्ते का ब्लूप्रिंट (उसका आंतरिक भौतिक विज्ञान, वजन का वितरण, या मांसपेशियों की कार्यप्रणाली) नहीं है। आप केवल यह देख सकते हैं कि वह क्या करता है (उसकी डगमगाहट) और आप उसे क्या करने के लिए कहते हैं (आपके निर्देश)।

यह शोध पत्र ऐसे रोबोट को वास्तविक समय (real-time) में नियंत्रित करने का एक नया, अत्यंत स्मार्ट तरीका प्रस्तुत करता है। लेखक, टैम डब्ल्यू. न्गुयेन (Tam W. Nguyen), इस विधि को एडेप्टिव बिहेवियरल प्रेडिक्टिव कंट्रोल (ABPC) कहते हैं।

यह कैसे काम करता है, इसका विवरण सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके यहाँ दिया गया है:

1. पुराना तरीका: "बैच कुकिंग" की समस्या

पारंपरिक स्मार्ट कंट्रोलर एक ऐसे शेफ की तरह होते हैं जो एक जटिल भोजन बनाने की कोशिश करते हैं, लेकिन हर 10 मिनट में चूल्हा बंद कर देते हैं, बर्तन को गर्मी से हटा लेते हैं, इस्तेमाल की गई हर सामग्री को नोट करते हैं, नोटबुक पर जटिल गणित करते हैं, और फिर तय करते हैं कि आगे क्या करना है।

समस्या: यह बहुत धीमा है। यदि हवा चलती है (एक व्यवधान) या चूल्हा अधिक गर्म हो जाता है (सिस्टम में बदलाव), तो रोबोट इतनी तेज़ी से प्रतिक्रिया नहीं दे पाता। इसके लिए सारा पिछला डेटा स्टोर करने के लिए बहुत अधिक मेमोरी की भी आवश्यकता होती है।

2. नया तरीका: "स्ट्रीमिंग शेफ"

ABPC एक ऐसे शेफ की तरह है जो जलती हुई आग के बीच खाना पकाता है। वे चीजें लिखने के लिए रुकते नहीं हैं। इसके बजाय, वे अभी सॉस का स्वाद लेते हैं, तुरंत मसालों को एडजस्ट करते हैं, और अगले कदम पर बढ़ जाते हैं।

यह कैसे काम करता है: यह स्ट्रीमिंग डेटा का उपयोग करता है। यह रोबोट की गति के पिछले कुछ सेकंडों को देखता है, दुनिया के बारे में अपनी समझ को तुरंत अपडेट करता है, और अगला कदम तुरंत कैलकुलेट करता है। कोई रुकना नहीं, कोई भारी गणितीय देरी नहीं।

3. गुप्त नुस्खा: "कर्नेल" सामग्रियां

बिना मैनुअल के रोबोट को समझने के लिए, सिस्टम को भौतिकी के नियमों का अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है।

शब्दकोश (The Dictionary): कल्पना कीजिए कि रोबक का व्यवहार एक गाना है। एक साधारण कंट्रोलर केवल "सा-रे-गा-मा" (लीनियर स्टेप्स) बजाना जानता है। लेकिन वास्तविक जीवन जटिल है; इसमें जैज़, रॉक और हेवी मेटल (नॉन-लीनियर अराजकता) है।
कर्नेल्स (The Kernels): यह शोध पत्र संगीत की शैलियों का एक "शब्दकोश" (कर्नेल्स) पेश करता है।
- यूनिटरी डिक्शनरी (Unitary Dictionary): केवल बुनियादी स्वर। सरल गानों के लिए अच्छा है।
  सै पॉलीनोमियल डिक्शनरी (Polynomial Dictionary): इसमें कॉर्ड्स और हार्मनी जोड़ता है। जटिल कर्व्स के लिए अच्छा है।
- RBF (रेडियल बेसिस फंक्शन) डिक्शनरी: एक सिंथेसाइज़र की तरह जो किसी भी ध्वनि की सटीक नकल कर सकता है, भले ही वह अजीब क्यों न हो।
जादू: सिस्टम रोबोट की अगली हरकत को सबसे अच्छी तरह से प्रेडिक्ट करने के लिए इस शब्दकोश से अलग-अलग "सामग्रियां" आज़माता है। यदि रोबोट बैकफ्लिप कर रहा है, तो सिस्टम समझ जाता है, "आह, मुझे 'एक्रोबेटिक्स' सामग्री की आवश्यकता है, न कि केवल 'वॉकिंग' सामग्री की।"

4. "फ्रीजिंग" (जमा देने का) तरीका

आमतौर पर, भविष्य की भविष्यवाणी करना कठिन होता है क्योंकि नियम हर सेकंड बदलते हैं।

ट्रिक: सिस्टम कहता है, "ठीक है, अगले 10 स्टेप्स के लिए, चलो मान लेते हैं कि नियम फ्रीज (स्थिर) हैं।" यह रोबोट की वर्तमान समझ को लेता है, एक पल के लिए उसे लॉक कर देता है, और आगे का सही रास्ता कैलकुलेट करता है।
परिणाम: क्योंकि उस छोटे से क्षण के लिए नियम "फ्रीज" हैं, इसलिए गणित इतना सरल हो जाता है कि इसे एक तेज़ गणना (जैसे एक साधारण बीजगणित समीकरण को हल करना) के साथ हल किया जा सके, न कि एक धीमी, थकाऊ कंप्यूटर खोज के रूप में।

5. यह क्यों मायने रखता है (अहा! मोमेंट)

इस पेपर का परीक्षण कई अलग-अलग "जानवरों" पर किया गया:

द सिंपल वॉकर: एक बुनियादी लीनियर रोबोट। (बहुत अच्छा काम करता है)।
द अनस्टेबल जगलर: एक रोबोट जो गिरना चाहता है। (सिस्टम इसे तुरंत स्थिर कर देता है)।
द नॉन-लीनियर डांसर: एक रोबोट जिसमें अजीब, घुमावदार हरकतें हैं (जैसे हैमरस्टीन सिस्टम)।
द स्पेस एक्सप्लोरर: एक सैटेलाइट जो 3D स्पेस में घूमने की कोशिश कर रहा है (क्वाटरनियन का उपयोग करके)।

बड़ी खोज:

यदि रोबोट सरल है, तो एक सरल डिक्शनरी ठीक काम करती है।
यदि रोबोट जटिल है (जैसे एक सैटेलाइट या अजीब भौतिकी वाला रोबोट), तो आपको डिक्शनरी का सही "फ्लेवर" (जैसे पॉलीनोमियल या RBF) उपयोग करना ही होगा। यदि आप एक जटिल रोबोट के लिए सरल डिक्शनरी का उपयोग करने की कोशिश करते हैं, तो यह एक फेरारी को हथौड़े से ठीक करने की कोशिश करने जैसा है।
हालाँकि, यदि रोबोट पूरी तरह से लयबद्ध (जैसे साइन वेव) कुछ कर रहा है, तो कभी-कभी "सरल" डिक्शनरी वास्तव में बेहतर काम करती है क्योंकि यह एक इन-बिल्ट मेट्रोनोम की तरह काम करती है।

सारांश

यह शोध पत्र इंजीनियरों को ऐसी मशीनों को नियंत्रित करने के लिए एक नया उपकरण देता है जो हैं:

अज्ञात (Unknown): हमें नहीं पता कि वे अंदर से कैसे काम करते हैं।
तेज़ (Fast): उन्हें तुरंत प्रतिक्रिया देने की आवश्यकता है।
जटिल (Complex): वे मुड़ते हैं, घूमते हैं और व्यवहार बदलते हैं।

एक विशाल, धीमे कंप्यूटर मॉडल को बनाने के बजाय, ABPC एक अत्यंत चौकस पायलट की तरह काम करता है जो प्लेन की खामियों को चलते-फिरते सीखता है, उड़ान के अगले सेकंड की भविष्यवाणी करता है, और प्लेन के झुकने से पहले ही सही सुधार करता है। यह तेज़ है, लचीला है, और इसे किसी मैनुअल की आवश्यकता नहीं है।

यहाँ टैम डब्ल्यू. न्गुयेन (Tam W. Nguyen) के शोध पत्र "Adaptive Behavioral Predictive Control: State-Free Regulation Without Hankel Weights" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र वास्तविक समय (real-time) में स्ट्रीमिंग डेटा (streaming data) का उपयोग करके अज्ञात, संभावित रूप से गैर-रैखिक (nonlinear) गतिशील प्रणालियों को नियंत्रित करने की चुनौती का समाधान करता है। पारंपरिक डेटा-संचालित प्रेडिक्टिव कंट्रोल विधियाँ, जैसे कि डेटा-एनेबल्ड प्रेडिक्टिव कंट्रोल (DeePC) या बिहेवियरल कंट्रोल, आमतौर पर निम्नलिखित पर निर्भर करती हैं:

बैच डेटा प्रोसेसिंग (Batch data processing): अतीत के प्रक्षेप पथों (trajectories) के बड़े हेंकेल मैट्रिसेस (Hankel matrices) को संग्रहीत करना।
पुनरावृत्ति अनुकूलन (Iterative optimization): नियंत्रण क्रियाओं की गणना करने के लिए प्रत्येक समय चरण पर क्वाड्रेटिक प्रोग्राम्स (QPs) को हल करना।

ये आवश्यकताएँ उन प्रणालियों के लिए कम्प्यूटेशनल बाधाएँ उत्पन्न करती हैं जिनमें:

सख्त वास्तविक समय (real-time) प्रतिबंध हैं।
निरंतर संचालन होता है जहाँ डेटा अनिश्चित काल तक संचित होता रहता है।
धीमी गैर-रैखिक ड्रिफ्ट (nonlinear drifts) होती है जिसके लिए बार-बार मॉडल अपडेट की आवश्यकता होती है।
सीमित मेमोरी या कम्प्यूटेशनल संसाधन होते हैं।

लक्ष्य एक ऐसा नियंत्रक विकसित करना है जो सीधे स्ट्रीमिंग इनपुट-आउटपुट डेटा पर कार्य करे, ऑनलाइन प्लांट मॉडल को अपडेट करे, और पुनरावृत्ति अनुकूलन या बैच स्टोरेज के बिना क्लोज्ड-फॉर्म (closed form) में नियंत्रण क्रियाओं की गणना करे।

2. कार्यप्रणाली: एडेप्टिव बिहेवियरल प्रेडिक्टिव कंट्रोल (ABPC)

प्रस्तावित ABPC ढांचा इनडायरेक्ट एडेप्टिव कंट्रोल को बिहेवियरल सिस्टम थ्योरी और कर्नेल मेथड्स (kernel methods) के साथ जोड़ता है। यह स्टेट-स्पेस मॉडलिंग और बैच हेंकेल मैट्रिसेस को पूरी तरह से त्याग देता है।

A. कर्नेल-आधारित रिकर्सिव आइडेंटिफिकेशन (Kernel-Based Recursive Identification)

निश्चित रैखिक मॉडल (जैसे मानक ARX) के बजाय, ABPC रिकर्सिव लीस्ट स्क्वायर्स (RLS) के साथ कर्नेल के माध्यम से पहचाने गए एक लीनियर-पैरामीटर-वेरिंग (LPV) ARX मॉडल का उपयोग करता है।

फीचर डिक्शनरी (Feature Dictionary): रिग्रेसर वेक्टर को एक कर्नेल डिक्शनरी $\{ \gamma_j \}$ (जैसे, बहुपद/polynomial, रेडियल बेसिस फंक्शन/RBF, या यूनिटरी/linear) का उपयोग करके बनाया जाता है। यह मॉडल को गैर-रैखिकता (जैसे, NARX, Hammerstein) को पकड़ने की अनुमति देता है जबकि पैरामीटर अनुमान को रैखिक बनाए रखता है।
ऑनलाइन अपडेट: प्रत्येक समय चरण $k$ पर, RLS एल्गोरिदम सबसे हालिया इनपुट-आउटपुट जोड़ी $(u_k, y_k)$ का उपयोग करके पैरामीटर वेक्टर $\theta_k$ को अपडेट करता है।
LPV गुणांक: पहचाने गए मापदंडों को वर्तमान रिग्रेसर स्टेट $s_k$ के आधार पर समय-परिवर्तनीय LPV गुणांकों ( $A_k, B_k, C_k$ ) में मैप किया जाता है।

B. फ्रोजन सरोगेट और टोप्लिट्ज स्टैकिंग (Frozen Surrogate and Toeplitz Stacking)

क्लोज्ड-फॉर्म कंट्रोल को सक्षम करने के लिए, यह विधि एक सीमित प्रेडिक्शन होराइजन $N$ पर एक "फ्रोजन" सन्निकटन (approximation) का उपयोग करती है:

फ्रीजिंग (Freezing): चरण $k$ पर पहचाने गए LPV गुणांकों को होराइजन $N$ के दौरान स्थिर रखा जाता है।
टोप्लिट्ज स्टैकिंग (Toeplitz Stacking): भविष्य के इनपुट्स $U$ और भविष्य के आउटपुट्स $Y$ के बीच एक रैखिक संबंध बनाने के लिए एक-चरण प्रेडिक्टर को टोप्लिट्ज मैट्रिसेस का उपयोग करके होराइजन पर स्टैक किया जाता है:
$Y = S_k + G_k U$
जहाँ $S_k$ फ्री रिस्पांस (प्रारंभिक स्थितियों पर आधारित) है और $G_k$ डायनेमिक रिस्पांस मैट्रिक्स (Toeplitz संरचना) है।
कॉन्वेक्सिटी (Convexity): यह रूपांतरण संभावित रूप से गैर-रैखिक प्रेडिक्शन समस्या को इनपुट अनुक्रम $U$ के संबंध में एक स्ट्रिक्टली कॉन्वेक्स क्वाड्रेटिक ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या में बदल देता है।

C. क्लोज्ड-फॉर्म कंट्रोल सिंथेसिस (Closed-Form Control Synthesis)

नियंत्रण उद्देश्य ट्रैकिंग एरर और इनपुट इंक्रीमेंट्स वाले एक क्वाड्रेटिक कॉस्ट फंक्शन $J(U)$ को कम करना है:
$J(U) = \frac{1}{2}(S_k + G_k U - R)^\top Q_y (S_k + G_k U - R) + \frac{1}{2} \Delta U^\top R_u \Delta U$

समाधान: चूंकि हेसियन मैट्रिक्स $H$ सिमेट्रिक पॉजिटिव डेफिनिट है (इनपुट पेनल्टी द्वारा गारंटीकृत), इष्टतम नियंत्रण अनुक्रम को चोलेस्की फैक्टराइजेशन (Cholesky factorization) ( $H = LL^\top$ ) के बाद फॉरवर्ड और बैकवर्ड सब्स्टीट्यूशन के माध्यम से पाया जाता है।
दक्षता: यह पुनरावृत्ति QP सॉल्वर की आवश्यकता को समाप्त करता है। गणना $O((mN)^2)$ प्रति चरण है, जो फैक्टराइजेशन द्वारा संचालित होती है, जिससे यह वास्तविक समय कार्यान्वयन के लिए उपयुक्त हो जाती है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

स्ट्रीमिंग डेटा आर्किटेक्चर: एक कर्नेल-आधारित इनडायरेक्ट एडेप्टिव कंट्रोलर का परिचय जो स्ट्रीमिंग डेटा पर कार्य करता है, जिससे बैच हेंकेल मैट्रिसेस और प्रक्षेप पथ भंडारण की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
क्लोज्ड-फॉर्म ऑप्टिमाइज़ेशन: क्लोज्ड-फॉर्म चोलेस्की-आधारित समाधान प्राप्त करने के लिए कर्नेल-RLS आइडेंटिफिकेशन को टोप्लिट्ज स्टैकिंग के साथ एकीकृत करना, जो पुनरावृत्ति अनुकूलन को दरकिनार करता है।
एकीकृत ढांचा (Unifying Framework): यह विधि प्रेडिक्टिव कॉस्ट एडेप्टिव कंट्रोल (PCAC) और जनरलाइज्ड प्रेडिक्टिव कंट्रोल (GPC) को सामान्य बनाती है। यह PCAC को एक विशेष मामले (यूनिटरी डिक्शनरी) के रूप में समाहित करती है और गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए इसकी अभिव्यक्ति को बढ़ाती है।
व्यवस्थित संख्यात्मक सत्यापन: एक व्यापक अध्ययन जिसमें रैखिक, अस्थिर (unstable), MIMO, और विभिन्न गैर-रैखिक प्रणालियों (Hammerstein, क्रॉस-टर्म्स के साथ NARX, क्यूबिक, और क्वाटरनियन डायनेमिक्स) को कवर किया गया है, जो कर्नेल चयन, कंडीशनिंग और प्रदर्शन के बीच ट्रेड-ऑफ का विश्लेषण करता है।

4. परिणाम और संख्यात्मक अध्ययन (Results and Numerical Studies)

पेपर सात संख्यात्मक उदाहरणों के माध्यम से ABPC को मान्य करता है:

रैखिक प्रणालियाँ (स्थिर और अस्थिर):
- ABPC अस्थिर, नॉन-मिनिमम फेज प्रणालियों को सफलतापूर्वक स्थिर करता है।
- कर्नेल प्रदर्शन: रैखिक शासन में, RBF और यूनिटरी कर्नेल समान रूप से अच्छा प्रदर्शन करते हैं। बहुपद (Polynomial) कर्नेल थोड़े उच्च ट्रांजिएंट एरर दिखाते हैं लेकिन स्थिर रहते हैं।
गैर-रैखिक प्रणालियाँ (NARX और Hammerstein):
- बहुपद कर्नेल (Polynomial Kernels): बहुपद गैर-रैखिकता वाली प्रणालियों (जैसे, द्विघातीय NARX, क्यूबिक क्रॉस-टर्म्स, Hammerstein) के लिए उत्कृष्ट प्रदर्शन प्रदर्शित किया। उन्होंने सबसे कम ट्रैकिंग एरर (RMSE/IAE) प्राप्त किया क्योंकि फीचर स्पेस सिस्टम की संरचना से सटीक रूप से मेल खाता था।
- RBF कर्नेल: मजबूत स्थानीय सन्निकटन क्षमताएं दिखाईं, जो अक्सर विशिष्ट गैर-रैखिक शासन में रैखिक/यूनिटरी कर्नेल से बेहतर प्रदर्शन करती हैं, हालांकि स्थिरता के लिए कभी-कभी उच्च लैग ऑर्डर की आवश्यकता होती है।
MIMO और जटिल डायनेमिक्स:
- सफलतापूर्वक एक अंडरएक्टुएटेड MIMO सिस्टम और $SO(3)$ पर एक रिजिड-बॉडी एटीट्यूड स्टेबिलाइज़ेशन समस्या (क्वाटरनियन डायनेमिक्स) को नियंत्रित किया।
- क्वाटरनियन के मामले में, रैखिक और बहुपद कर्नेल, RBF/यूनिटरी की तुलना में थोड़ी धीमी ट्रांजिएंट कन्वर्जेंस के बावजूद, स्मूथ वेलोसिटी रिस्पांस और कम इंटीग्रेटेड एरर प्रदान करते हैं।
डिस्टर्बेंस रिजेक्शन (Disturbance Rejection):
- नियंत्रक साइनुसोइडल डिस्टर्बेंस को प्रभावी ढंग से खारिज करता है।
- महत्वपूर्ण निष्कर्ष: साइनुसोइडल डिस्टर्बेंस के लिए, रैखिक और बहुपद डिक्शनरी तब तक मोड को कैप्चर करने में विफल रहे (जिससे "पैरामीटर चेज़िंग" और अस्थिरता हुई) जब तक कि लैग ऑर्डर पर्याप्त रूप से उच्च न हो। यूनिटरी डिक्शनरी (एक आंतरिक मॉडल के रूप में कार्य करती है) और RBF (पर्याप्त गहराई के साथ) स्थिरता बनाए रखते हैं।
मजबूती (Robustness):
- एडिटिव मेजरमेंट नॉइज़ के परीक्षणों ने पुष्टि की कि कर्नेल प्रदर्शन की रैंकिंग सुसंगत रही, और नियंत्रक बाउंडेड और स्थिर रहा।

5. महत्व और सीमाएँ (Significance and Limitations)

महत्व:

कम्प्यूटेशनल दक्षता: पुनरावृत्ति QPs को एक एकल चोलेस्की फैक्टराइजेशन से बदलकर, ABPC सीमित कम्प्यूटेशनल शक्ति वाले हार्डवेयर पर प्रेडिक्टिव कंट्रोल को सक्षम बनाता है।
स्टेट-फ्री (State-Free): यह बिहेवियरल प्रतिमान का पालन करता है, जिसमें किसी स्टेट-स्पेस रियलाइजेशन या ऑब्जर्वेबिलिटी धारणा की आवश्यकता नहीं होती है।
अनुकूलन क्षमता: कर्नेल-RLS दृष्टिकोण नियंत्रक को बैच डेटा पर पुनः प्रशिक्षण के बिना धीमी गैर-रैखिक ड्रिफ्ट और बदलते डायनेमिक्स के अनुकूल होने की अनुमति देता है।
व्यावहारिक मार्गदर्शन: यह कर्नेल चयन (जैसे, बहुपद प्लांट के लिए बहुपद, सामान्य गैर-रैखिकता के लिए RBF, और साइनुसोइडल/इंटरनल मॉडल आवश्यकताओं के लिए यूनिटरी का उपयोग करें) के लिए अनुभवजन्य नियम प्रदान करता है।

सीमाएँ:

कोई औपचारिक स्थिरता प्रमाण नहीं: विश्लेषण संख्यात्मक है। हालांकि "फ्रोजन" सरोगेट कॉन्वेक्स है, लेकिन समय-परिवर्तनीय क्लोज्ड-लूप सिस्टम के लिए औपचारिक स्थिरता गारंटी प्रदान नहीं की गई है।
कन्स्ट्रेंट हैंडलिंग: वर्तमान फॉर्मूलेशन स्पष्ट रूप से हार्ड इनपुट/आउटपुट बाधाओं को नहीं संभालता है (हालांकि सॉफ्ट पेनल्टी या क्लिपिंग का सुझाव भविष्य के कार्य के रूप में दिया गया है)।
कर्नेल चयन: प्रदर्शन कर्नेल डिक्शनरी के चुनाव और लैग ऑर्डर पर अत्यधिक निर्भर है; खराब विकल्प से इल-कंडीशनिंग या अस्थिरता हो सकती है।

निष्कर्षतः, ABPC रियल-टाइम, डेटा-ड्रिवन प्रेडिक्टिव कंट्रोल की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है जो एडेप्टिव आइडेंटिफिकेशन और ऑप्टिमल कंट्रोल के बीच के अंतर को पाटता है, और बैच-आधारित बिहेवियरल विधियों के लिए एक कम्प्यूटेशनल रूप से सुलभ विकल्प प्रदान करता है।