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Towards Uncertainty-Aware Federated Granger Causal Learning

यह शोध पत्र फेडरेटेड ग्रेंजर कॉज़ल लर्निंग (Federated Granger Causal Learning) के लिए एक अनिश्चितता-जागरूक ढांचे (uncertainty-aware framework) को प्रस्तुत करता है जो वितरित समय-श्रृंखला प्रणालियों में स्थिर-अवस्था अनिश्चितता प्रसार (steady-state uncertainty propagation) के लिए बंद-रूप अभिव्यक्तियों (closed-form expressions) को व्युत्पन्न करता है, जिससे वास्तविक क्रॉस-क्लाइंट इंटरैक्शन को स्प्यूरियस किनारों (spurious edges) से अलग करने के लिए सिद्धांत-आधारित परिकल्पना परीक्षण सक्षम होता है और मौजूदा नियतात्मक बेसलाइन (deterministic baselines) से बेहतर प्रदर्शन करता है।

मूल लेखक: Ayush Mohanty, Nazal Mohamed, Nagi Gebraeel

प्रकाशित 2026-05-13

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ayush Mohanty, Nazal Mohamed, Nagi Gebraeel

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

बड़ी तस्वीर: मशीनों का "गुप्त हाथ मिलाना" (Secret Handshake)

एक विशाल, जटिल कारखाने की कल्पना करें जिसमें कई अलग-अलग विभाग हैं: पावर ग्रिड, असेंबली लाइन और शिपिंग डॉक। प्रत्येक विभाग को एक अलग टीम (एक "क्लाइंट") द्वारा चलाया जाता है। ये टीमें आपस में लगातार बात करती रहती हैं; यदि बिजली की आपूर्ति में उतार-चढ़ाव आता है, तो असेंबली लाइन धीमी हो जाती है। यदि असेंबली लाइन में जाम लगता है, तो शिपिंग डॉक में काम रुक जाता है।

समस्या क्या है? गोपनीयता नियमों के कारण ये टीमें एक-दूसरे के साथ अपनी निजी नोटबुक (कच्चा डेटा/raw data) साझा नहीं कर सकतीं। वे केवल एक केंद्रीय प्रबंधक (सर्वर) को संक्षिप्त, एन्क्रिप्टेड सारांश भेज सकती हैं।

लक्ष्य यह पता लगाना है कि वास्तव में कौन किसे प्रभावित करता है। क्या पावर ग्रिड के कारण असेंबली लाइन धीमी होती है? या इसके विपरीत? इसे ग्रेंजर कॉज़ैलिटी (Granger Causality) कहा जाता है।

एक पिछला तरीका (जिसे FedGC कहा जाता था) इन टीमों को उनकी नोटबुक साझा किए बिना इन संबंधों को समझने की अनुमति देता था। हालाँकि, इसमें एक बड़ी खामी थी: इसने बिना किसी "कॉन्फिडेंस मीटर" (विश्वास सूचक) के केवल "हाँ" या "ना" में उत्तर दिया। यह एक मौसम विज्ञानी की तरह था जो कहता है, "कल बारिश होगी," लेकिन यह नहीं बताता कि इसकी संभावना 10% है या 99%। ऑपरेटरों को यह नहीं पता चल पाता था कि वे उत्तर पर कितना भरोसा कर सकते हैं।

यह पेपर अनसर्टेन्टी-अवेयर FedGC (Uncertainty-Aware FedGC) पेश करता है। यह सिस्टम में एक "कॉन्फिडेंस मीटर" जोड़ता है, जो ऑपरेटरों को ठीक-ठीक बताता है कि वे खोजे गए प्रत्येक संबंध पर कितना भरोसा कर सकते हैं।

मुख्य समस्या: पुराना सिस्टम "अंधा" क्यों था?

पुराने सिस्टम में, टीमें और प्रबंधक कनेक्शन सीखने के लिए "टेलीफोन गेम" (सूचना के आदान-प्रदान का खेल) खेलते थे।

टीमें अपने स्वयं के डेटा को देखती हैं और अनुमान लगाती हैं कि अन्य टीमें क्या कर रही हैं।
प्रबंधक इन अनुमानों को एकत्र करता है, कनेक्शन के मानचित्र (map) को अपडेट करता है, और नया मानचित्र वापस भेजता है।
टीमें नए मानचित्र के आधार पर अपने अनुमानों को अपडेट करती हैं।

समस्या यह थी कि हर बार जब वे नोट पास करते थे, तो उसमें शोर (noise) मिल जाता था।

एलेटोरिक अनसर्टेन्टी (Aleatoric Uncertainty - "स्टैटिक"): यह वास्तविक दुनिया की स्वाभाविक अस्पष्टता है। मशीनें कंपन करती हैं, सेंसर गड़बड़ी करते हैं, और डेटा कभी भी पूरी तरह से साफ नहीं होता है। यह रेडियो लाइन पर आने वाले 'स्टैटिक' या शोर की तरह है।
एपिस्टेमिक अनसर्टेन्टी (Epistemic Uncertainty - "अनुमान"): यह ज्ञान की कमी है क्योंकि टीमों ने अलग-अलग शुरुआती अनुमानों (priors) के साथ शुरुआत की थी। यह दो लोगों की तरह है जो एक पहेली को अलग-अलग चित्रों के साथ शुरू करते हैं।

पुराना तरीका केवल एक अंतिम उत्तर देता था, यह अनदेखा करते हुए कि प्रक्रिया के दौरान कितना "स्टैटिक" या "गलत अनुमान" जमा हो गया है।

समाधान: एक जासूस की तरह "शोर" को ट्रैक करना

लेखकों ने महसूस किया कि इस विशिष्ट टेलीफोन गेम में, शोर केवल गायब नहीं होता; यह एक लूप में यात्रा करता है। टीम के डेटा से उत्पन्न शोर प्रबंधक के अनुमान को प्रभावित करता है, जो टीम के अगले अनुमान को प्रभावित करता है, जो फिर से प्रबंधक को प्रभावित करता है।

उन्होंने अनिश्चितता (uncertainty) को ट्रैक करने के लिए एक गणितीय मॉडल बनाया। इसे अनिश्चितता के लिए एक "ट्रैफिक कंट्रोल सिस्टम" की तरह समझें।

1. "क्लोज्ड-फॉर्म" मैप (The "Closed-Form" Map)

टीम ने समीकरणों का एक सेट (एक "क्लोज्ड-फॉर्म" समाधान) निकाला है जो एक मानचित्र की तरह कार्य करता है। यह मानचित्र भविष्यवाणी करता है कि प्रक्रिया के अंत में कितनी अनिश्चितता होगी, जो निम्नलिखित पर आधारित है:

डेटा कितना शोर भरा (noisy) है (स्टैटिक)।
उन्होंने कितनी बार यह खेल खेला (इटरेशन)।
टीमें और प्रबंधक एक-दूसरे से कैसे बात करते हैं।

2. बड़ी खोज: "अनुमान धुल जाते हैं" (The Guesses Wash Out)

उनकी एक सबसे आश्चर्यजनक खोज "अनुमानों" (एपिस्टेमिक अनसर्टेन्टी) के बारे में है।

उपमा: कल्पना करें कि आप और आपका दोस्त एक तरबूज के वजन का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। आप दोनों बहुत अलग अनुमानों के साथ शुरू करते हैं (एक सोचता है कि यह 5 पाउंड है, दूसरा 50 पाउंड)। लेकिन जैसे-जैसे आप दोनों उसे मापते हैं, तौलते हैं और नोट्स की तुलना करते हैं, आपके शुरुआती अनुमान मायने नहीं रखते। अंततः, आप दोनों वास्तविक मापों के आधार पर वजन पर सहमत होते हैं।
परिणाम: पेपर यह सिद्ध करता है कि जैसे-जैसे सिस्टम प्रशिक्षित होता है, टीमों के शुरुआती "अनुमानों" से उत्पन्न अनिश्चितता समाप्त हो जाती है। अंतिम अनिश्चितता केवल डेटा के "स्टैटिक" (एलेटोरिक अनसर्टेन्टी) पर निर्भर करती है। यह मायने नहीं रखता कि सिस्टम ने कैसे शुरुआत की; यह केवल इस पर निर्भर करता है कि डेटा कितना अस्त-व्यस्त है।

3. "ट्रुथ डिटेक्टर" (The "Truth Detector")

चूंकि वे अब अनिश्चितता की सटीक मात्रा की गणना कर सकते हैं, इसलिए वे एक "ट्रुथ डिटेक्टर" बना सकते हैं।

पुराना तरीका: "क्या यह कनेक्शन वास्तविक है? हाँ, संख्या शून्य नहीं है।" (भले ही वह संख्या बहुत छोटी हो और केवल शोर हो)।
नया तरीका: "क्या यह कनेक्शन वास्तविक है? हमने शोर के स्तर की गणना की है। यह संख्या शोर से 10 गुना बड़ी है। हाँ, यह वास्तविक है।"
यदि संख्या छोटी है और शोर के स्तर के करीब है, तो सिस्टम कहता है, "यह शायद सिर्फ एक तकनीकी खराबी (glitch) है। इसे अनदेखा करें।"

उन्होंने इसका परीक्षण कैसे किया

उन्होंने केवल गणित नहीं किया; उन्होंने अपने मैप की सटीकता साबित करने के लिए प्रयोग चलाए।

सिंथेटिक डेटा (The "Fake Factory"): उन्होंने ज्ञात कनेक्शनों वाले एक कंप्यूटर सिमुलेशन (नकली कारखाने) का निर्माण किया। उन्होंने डेटा में अलग-अलग स्तर का "स्टैटिक" (शोर) जोड़ा।
- परिणाम: अनुमानित अनिश्चितता वास्तविक शोर से पूरी तरह मेल खाती थी। "कॉन्फिडेंस मीटर" बिल्कुल वैसा ही काम कर रहा था जैसा कि गणित ने कहा था।
- तुलना: उन्होंने अपने तरीके की तुलना अन्य "फेडरेटेड" लर्निंग तरीकों से की। पुराने तरीकों ने वास्तविक कनेक्शनों को मिस कर दिया या नकली कनेक्शन बना दिए। नया तरीका वास्तविक कनेक्शनों को ढूंढ लेता है और सही ढंग से नकली कनेक्शनों को अनदेखा कर देता है।
वास्तविक दुनिया का डेटा (The "Real Factories"): उन्होंने वास्तविक औद्योगिक प्रणालियों (जैसे पावर ग्रिड और केमिकल प्लांट) के डेटा पर इसका परीक्षण किया।
- परिणाम: जब उन्होंने मशीन की विफलता के मूल कारण का पता लगाने के लिए अपने नए तरीके का उपयोग किया, तो वे अन्य तरीकों की तुलना में सटीक समस्या को पहचानने में बेहतर थे।

मुख्य निष्कर्ष (Summary of the Takeaway)

यह पेपर डिस्ट्रिब्यूटेड मशीन लर्निंग में विश्वास (trust) के मुद्दे को हल करता है।

पहले: हम डेटा साझा किए बिना विभिन्न प्रणालियों के बीच संबंध पा सकते थे, लेकिन हमें यह नहीं पता था कि वे संबंध वास्तविक थे या केवल रैंडम शोर।
अब: हमारे पास एक गणितीय तरीका है जिससे हम सिस्टम में मौजूद शोर को सटीक रूप से ट्रैक कर सकते हैं।
लाभ: ऑपरेटर अब यह कह सकते हैं, "हमें 95% यकीन है कि यह मशीन उस समस्या का कारण बन रही है," बजाय इसके कि वे केवल अनुमान लगाएं। यह पावर ग्रिड या मैन्युफैक्चरिंग नेटवर्क के प्रबंधन जैसे महत्वपूर्ण कार्यों के लिए सिस्टम को सुरक्षित और अधिक विश्वसनीय बनाता है।

पेपर यह निष्कर्ष निकालता है कि अनिश्चितता (uncertainty) कैसे प्रवाहित होती है, इसे समझकर, हम "फर्जी खबरों" (स्प्यूरियस कनेक्शन) को फ़िल्टर कर सकते हैं और केवल "कठोर तथ्यों" (वास्तविक कारण संबंधी लिंक) को रख सकते हैं।

तकनीकी सारांश: अनिश्चितता-जागरूक फेडरेटेड ग्रेन्जर कॉज़ल लर्निंग की ओर

समस्या विवरण
स्मार्ट ग्रिड और आपूर्ति श्रृंखला जैसे वितरित औद्योगिक प्रणालियों में, उप-प्रणालियाँ आपस में जुड़ी भौतिक और परिचालन निर्भरताओं के माध्यम से परस्पर क्रिया करती हैं, जो एक विकेंद्रीकृत कारण संरचना (causal structure) बनाती हैं। क्रॉस-क्लाइंट पारस्परिक क्रियाओं (ग्रेन्जर कॉज़लिटी) की पहचान करना दोष निदान (fault diagnosis) और जोखिम शमन के लिए महत्वपूर्ण है। जबकि डेटा संप्रभुता संबंधी बाधाएं क्लाइंट्स के बीच कच्चे टाइम-सीरीज डेटा को साझा करने से रोकती हैं, फेडरेटेड ग्रेन्जर कॉज़लिटी (FedGC) को डेटा साझा किए बिना इन पारस्परिक क्रियाओं को पुनः प्राप्त करने के लिए पेश किया गया है। हालांकि, मौजूदा विधियाँ केवल नियतात्मक बिंदु अनुमान (deterministic point estimates) प्रदान करती हैं। अंशांकित अनिश्चितता (calibrated uncertainty) का यह अभाव ऑपरेटरों को वास्तविक क्रॉस-क्लाइंट अंतःक्रियाओं और स्पूरियस (spurious) किनारों के बीच अंतर करने के लिए एक सिद्धांतपूर्ण आधार प्रदान करने से रोकता है, विशेष रूप से सीमित-नमूना प्रभावों (finite-sample effects) और विषम शोर (heterogeneous noise) की उपस्थिति में।

कार्यप्रणाली
यह शोध पत्र एक अनिश्चितता-जागरूक FedGC ढांचे का प्रस्ताव करता है जो यह लक्षणित करता है कि अनिश्चितता FedGC आर्किटेक्चर के युग्मित क्लाइंट-सर्वर फीडबैक लूप के माध्यम से कैसे प्रसारित होती है। कार्यप्रणाली एक लीनियर टाइम-इनवेरिएंट (LTI) स्टेट-स्पेस मॉडल पर आधारित है जहाँ क्लाइंट वर्टिकल रूप से विभाजित विशेषताओं (features) का अवलोकन करते हैं।

अनिश्चितता अपघटन (Uncertainty Decomposition): लेखक स्टोकेस्टिक तत्वों को दो स्रोतों में विभाजित करते हैं:
- एलेयटोरिक अनिश्चितता (Aleatoric Uncertainty): क्लाइंट डेटा में निहित अपरिहार्य शोर (मापन और प्रक्रिया शोर)।
- एपिस्टेमिक अनिश्चितता (Epistemic Uncertainty): मॉडल मापदंडों की यादृच्छिकता से उत्पन्न अनिश्चितता (क्लाइंट ऑग्मेंटेशन मैट्रिसेस $\theta_m$ और सर्वर कॉज़ल मैट्रिसेस $\hat{A}_{mn}$ के लिए प्रारंभिक प्रायर्स)।
प्रसार विश्लेषण (Propagation Analysis): मुख्य तकनीकी योगदान चार विशिष्ट चैनलों में अनिश्चितता प्रसार को ट्रैक करने वाले क्लोज्ड-फॉर्म कोवेरिएंस रिकर्शन (closed-form covariance recursions) का व्युत्पन्न है:
- क्लाइंट के भीतर: क्लाइंट पैरामीटर वेरिएंस ( $\Sigma^t_{\theta_m}$ ) और स्टेट वेरिएंस ( $\Sigma^t_{h_m}$ ) का विकास।
- सर्वर के भीतर: सर्वर पैरामीटर वेरिएंस ( $\Sigma^t_{A_{mn}}$ ) का विकास।
- क्लाइंट-टू-सर्वर: क्लाइंट स्टेट अनिश्चितता का सर्वर तक प्रसार।
- सर्वर-टू-क्लाइंट: सर्वर ग्रेडिएंट अनिश्चितता का क्लाइंट तक वापस प्रसार।
महत्वपूर्ण रूप से, विश्लेषण चार पूर्व में अज्ञात क्रॉस-कोवेरिएंस पदों ( $\Omega^t_m, \Lambda^t_m, \Gamma^t_{mn}, \Psi^t_{mn}$ ) की पहचान करता है जो आर्किटेक्चर में डेटा शोर और पैरामीटर अनिश्चितताओं को जोड़ते हैं।
स्टेडी-स्टेट लक्षण वर्णन (Steady-State Characterization): सौम्य स्थिरता स्थितियों (गेन मैट्रिसेस का स्पेक्ट्रल रेडियस < 1) के तहत, लेखक सिद्ध करते हैं कि सिस्टम एक स्टेडी-स्टेट में अभिसरित (converge) होता है। एक केंद्रीय सैद्धांतिक निष्कर्ष यह है कि स्टेडी-स्टेट अनिश्चितता विशेष रूप से क्लाइंट डेटा सांख्यिकी (एलेयटोरिक अनिश्चितता) पर निर्भर करती है और प्रारंभिक एपिस्टेमिक प्रायर्स से स्वतंत्र है। जैसे-जैसे प्रशिक्षण अभिसरित होता है, प्रारंभिक पैरामीटर यादृच्छिकता का प्रभाव कम हो जाता है, जिससे डेटा शोर स्टेडी-स्टेट व्यवहार का एकमात्र चालक बन जाता है।
डाउनस्ट्रीम उपयोगिता (Downstream Utility): एसिम्प्टोटिक कोवेरिएंस $\Sigma^\infty_{A_{mn}}$ का लाभ उठाते हुए, लेखक एक पोस्ट-ट्रेनिंग परिकल्पना परीक्षण प्रक्रिया (hypothesis testing procedure) का निर्माण करते हैं। यह परीक्षण व्युत्पन्न मानक विचलन का उपयोग करके अनुमानित किनारों (edges) की सार्थकता का मूल्यांकन करता है ( $H_0: A_{mn} = 0$ ), जिससे स्पूरियस किनारों के सांख्यिकीय छंटाई (pruning) की अनुमति मिलती है।

प्रमुख योगदान

सैद्धांतिक आधार: युग्मित गतिशील प्रणालियों के लिए वर्टिकली पार्टिशन वाले फेडरेटेड लर्निंग में अनिश्चितता मात्रा निर्धारण का पहला औपचारिककरण, जो एलेयटोरिक और एपिस्टेमिक प्रभावों को स्पष्ट रूप से अलग करता है।
क्लोज्ड-फॉर्म रिकर्शन: अनिश्चितता प्रसार के स्पष्ट व्यंजक, जो चार नए क्रॉस-कोवेरिएंस पदों की पहचान करते हैं जो क्लाइंट डेटा, क्लाइंट पैरामीटर और सर्वर पैरामीटर के बीच की अंतःक्रिया को नियंत्रित करते हैं।
अभिसरण गारंटी (Convergence Guarantees): स्पेक्ट्रल-रेडियस-आधारित अभिसरण स्थितियों के साथ स्टेडी-स्टेट वेरिएंस के क्लोज्ड-फॉर्म समाधान स्थापित करना।
प्रायर्स से स्वतंत्रता: यह प्रमाण कि एसिम्प्टोटिक अनिश्चितता केवल क्लाइंट डेटा वितरण द्वारा निर्धारित होती है, जिससे अंतिम मॉडल की अनिश्चितता इनिशियलाइजेशन से स्वतंत्र हो जाती है।
सांख्यिकीय एज सिलेक्शन: एक परिकल्पना परीक्षण ढांचा विकसित करना जो स्पूरियस किनारों को पहचानने के लिए व्युत्पन्न अनिश्चितता का उपयोग करता है, जो नियतात्मक FedGC की एक प्रमुख सीमा को संबोधित करता है।

प्रयोगात्मक परिणाम
ढांचे को सिंथेटिक डेटासेट और तीन वास्तविक दुनिया के औद्योगिक डेटासेट पर मान्य किया गया: HAI (HIL-आधारित ऑगमेंटेड ICS), TEP (टेनेसी ईस्टर्न प्रोसेस), और SMD (सर्वर मशीन डेटासेट)।

सिद्धांत सत्यापन: प्रयोगों ने पुष्टि की कि अनुमानित अनिश्चितता प्रसार विभिन्न शोर व्यवस्थाओं (noise regimes) में सैद्धांतिक गतिकी से मेल खाता है। परिणामों ने प्रदर्शित किया कि स्टेडी-स्टेट कोवेरिएंस प्रारंभिक पैरामीटर प्रायर्स के वेरिएंस से अप्रभावित हैं, जो एपिस्टेमिक अनिश्चितता से स्वतंत्रता को प्रमाणित करता है।
कॉज़ल डिस्कवरी: ज्ञात ग्राउंड ट्रुथ वाले सिंथेटिक डेटा पर, अनिश्चितता-जागरूक FedGC ने "वैनिला FedGC" (जो सभी वास्तविक किनारों को पुनः प्राप्त करता है लेकिन कई स्पूरियस किनारे भी प्रस्तुत करता है) की तुलना में फॉल्स पॉजिटिव (FP) को काफी कम कर दिया, जबकि शून्य फॉल्स नेगेटिव बनाए रखा। इसने FedPC, FedDAG, और NOTEARS-ADMM जैसे बेसलाइन को भी पछाड़ दिया, जो क्रॉस-क्लाइंट अंतःक्रियाओं को प्रभावी ढंग से मॉडल करने में विफल रहे।
रूट कॉज एनालिसिस: वास्तविक दुनिया के डेटासेट पर, प्रस्तावित पद्धति ने बेसलाइन की तुलना में विसंगति के मूल कारणों (एनामेली रूट कॉज) को स्थानीयकृत करने की सटीकता (AC@k द्वारा मापा गया) में सुधार किया, जो अनुमानित कॉज़ल ग्राफ की व्यावहारिक उपयोगिता को दर्शाता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह फेडरेटेड ग्रेन्जर कॉज़ल लर्निंग में अनिश्चितताओं के विश्लेषण के लिए पहला सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है। इसका प्राथमिक महत्व FedGC को एक नियतात्मक बिंदु-अनुमान उपकरण से बदलकर एक सांख्यिकीय रूप से सिद्धांतपूर्ण ढांचे में बदलना है। यह सिद्ध करके कि स्टेडी-स्टेट अनिश्चितता इनिशियलाइजेशन के बजाय डेटा विशेषताओं द्वारा संचालित होती है, लेखक ऑपरेटरों को अनुमानित क्रॉस-क्लाइंट अंतःक्रियाओं पर भरोसा करने या उन्हें अस्वीकार करने के लिए एक रक्षात्मक आधार प्रदान करते हैं। प्रस्तावित परिकल्पना परीक्षण तंत्र स्पूरियस किनारों को फिल्टर करने के लिए एक कठोर विधि प्रदान करता है, जो डेटा-साइल्ड, वर्टिकली पार्टिशन वातावरण में विश्वसनीय कॉज़ल संरचनाओं की पहचान करने की चुनौती को सीधे संबोधित करता है।

सीमाएं
लेखक स्वीकार करते हैं कि सैद्धांतिक परिणाम लीनियर टाइम-इनवेरिएंट डायनेमिक्स और गौसियन शोर धारणाओं पर निर्भर करते हैं। हालांकि नॉनलीनर मॉडल्स (EKF और गौसियन प्रोसेस के माध्यम से) के लिए संरचनात्मक रूप से विस्तार की चर्चा की गई है, लेकिन नॉनलीनर रिजीम के लिए कठोर अभिसरण गारंटी और "एलेयटोरिक-ओनली" स्टेडी-स्टेट गुण को औपचारिक रूप से स्थापित नहीं किया गया है। इसके अतिरिक्त, ब्लॉक-रो (block-rows) के बीच सर्वर पैरामीटर्स की स्वतंत्रता का अनुमान लगाया गया है, जो साझा लेटेंट कन्फाउंडर्स वाले सिस्टम में लागू नहीं हो सकता है। अंत में, परिकल्पना परीक्षण एसिम्प्टोटिक कोवेरिएंस पर निर्भर करता है, और प्रशिक्षण-समय और स्टेडी-स्टेट अनिश्चितता के बीच के अंतर को मापने वाले परिमित-नमूना (finite-sample) सीमाओं का व्युत्पन्न नहीं किया गया है।