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A surface with representable $\text{CH}_{0}$ -group but no universal zero-cycle

यह शोध पत्र एक सहज प्रक्षेपिक जटिल सतह (smooth projective complex surface) का निर्माण करता जिसका 0-चक्रों का चाउ समूह (Chow group) निरूपणीय है परंतु जिसमें एक सार्वभौमिक 0-चक्र का अभाव है, जिससे वोइसिन (Voisin) के प्रति-उदाहरण का द्वि-आयामी अनुरूप प्राप्त होता है और यह शून्य कोडिरा आयामी (Kodaira dimension zero) वाले एक गैर-टॉर्शन, गैर-बीजीय हॉज क्लास (non-torsion, non-algebraic Hodge class) की डिग्री 4 के साथ प्रथम ज्ञात सहज प्रक्षेपिक त्रिविमीय (smooth projective threefold) उदाहरण प्रस्तुत करता है।

मूल लेखक: Theodosis Alexandrou

प्रकाशित 2026-03-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Theodosis Alexandrou

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ थियोडोसियोस एलेक्जेंड्रो (Theodosios Alexandrou) के शोध पत्र "A Surface with Representable CH0-Group but No Universal Zero-Cycle" का सरल भाषा में अनुवाद दिया गया है, जिसमें रचनात्मक उपमाओं (analogies) का उपयोग किया गया है।

बड़ी तस्वीर: एक "यूनिवर्सल की" (Universal Key) की खोज

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक जटिल, बहु-मंजिला इमारत है (एक गणितीय वस्तु जिसे सरफेस/सतह कहा जाता है)। इस इमारत के अंदर, कई अलग-अलग "कमरे" हैं (गणितीय बिंदु)।

गणितज्ञों के पास एक विशेष उपकरण है जिसे यूनिवर्सल ज़ीरो-साइकिल (Universal Zero-Cycle) कहा जाता है। इसे एक मास्टर की (Master Key) या एक यूनिवर्सल रिमोट कंट्रोल की तरह समझें।

यदि किसी इमारत के पास मास्टर की है, तो आप इसका उपयोग हर एक कमरे को पूरी तरह से नियंत्रित करने के लिए कर सकते हैं। आप पूरी इमारत को एक केंद्रीय नियंत्रण कक्ष (जिसे अल्बनेसे वैरायटी कहा जाता है) में मैप कर सकते हैं और जान सकते हैं कि केंद्र के सापेक्ष हर बिंदु कहाँ है।
लंबे समय तक, गणितज्ञों ने सोचा: "यदि हम कमरों को एक निश्चित व्यवस्थित तरीके से व्यवस्थित कर सकते हैं (जिसे रिप्रेजेंटेबल ग्रुप कहा जाता है), तो एक मास्टर की का अस्तित्व होना ही चाहिए।"

शोध पत्र की खोज:
लेखक, थियोडोसियोस एलेक्जेंड्रो ने एक विशिष्ट, पेचीदा इमारत (एक सरफेस) बनाई जहाँ कमरे तो व्यवस्थित हैं, लेकिन कोई मास्टर की मौजूद नहीं है। आप डेटा को व्यवस्थित तो कर सकते हैं, लेकिन आप पूरे सिस्टम को एक साथ अनलॉक करने के लिए एक एकल, पूर्ण उपकरण नहीं पा सकते।

यह एक बड़ी बात है क्योंकि यह उस नियम को तोड़ता जिसे गणितज्ञों ने 2D आकृतियों (सरफेस) के लिए सच माना था, जिससे यह सिद्ध होता है कि चीजें हमारी सोच से कहीं अधिक अराजक (chaotic) हैं।

पात्र और कथानक

1. इमारत (The Surface)

लेखक ने कोई भी साधारण इमारत नहीं चुनी; उन्होंने एक बहुत ही विशिष्ट प्रकार की इमारत बनाई जिसे टाइप 2 की बायएलिप्टिक सरफेस (Bielliptic Surface of Type 2) कहा जाता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि एक इमारत को दो धागे के लूप्स (एलिप्टिक कर्व्स) को एक विशिष्ट कटिंग और जोड़ने के पैटर्न के साथ आपस में जोड़कर बनाया गया है।
ट्विस्ट: इस विशिष्ट प्रकार की इमारत अपनी अधिकांश विशेषताओं में बहुत "व्यवस्थित" होने के लिए प्रसिद्ध है। इसकी आंतरिक संरचना इतनी सुव्यवस्थित है कि गणितज्ञों ने मान लिया था कि इसमें एक मास्टर की अवश्य होगी।

2. "मास्टर की" (Universal Zero-Cycle)

लक्ष्य: एक ऐसा चक्र (बिंदुओं का संग्रह) खोजना जो इमारत और उसके केंद्रीय नियंत्रण कक्ष के बीच एक आदर्श अनुवादक (translator) के रूप में कार्य करे।
समस्या: 3D इमारतों (threefolds) में, हमें पहले से पता था कि कुछ ऐसी इमारतें बिना मास्टर की के होती हैं। लेकिन 2D इमारतों (surfaces) में, सभी का मानना था कि, "यदि इमारत व्यवस्थित है, तो की (key) मौजूद होनी ही चाहिए।"
परिणाम: एलेक्जेंड्रो ने सिद्ध किया कि यह गलत है। उन्होंने एक व्यवस्थित 2D इमारत खोजी जिसके पास कोई मास्टर की नहीं है।

3. जासूसी कार्य (The Degeneration Strategy)

उन्होंने यह कैसे सिद्ध किया कि की (key) मौजूद नहीं है? उन्होंने केवल बनी हुई इमारत को नहीं देखा। उन्होंने डिजनरेशन (Degeneration) नामक तकनीक का उपयोग किया।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप यह सिद्ध करना चाहते हैं कि एक पुल अस्थिर है। इसके बजाय केवल उस पर खड़े होने के बजाय, आप धीरे-धीरे उसके नीचे की जमीन को पिघलाते जाते हैं जब तक कि वह मलबे के ढेर में न बदल जाए।
प्रक्रिया:
1. एलेक्जेंड्रो ने अपनी "टाइप 2" इमारत ली और उसे धीरे-धीरे "पिघलाया" (गणितीय रूप से) जब तक कि वह सरल टुकड़ों (जैसे जुड़े हुए टेंटों की एक पंक्ति) की एक श्रृंखला में नहीं टूट गई।
2. उन्होंने उन "खंडहरों" (विशेष फाइबर) को देखा।
3. उन्होंने इन खंडहरों के "अल्बनेसे मैप्स" (ब्लूप्रिंट्स) की जाँच की।
4. सुराग: उन्होंने पाया कि खंडहरों के ब्लूप्रिंट "टूटे हुए" थे। खंडहरों के टुकड़ों को केंद्रीय नियंत्रण कक्ष तक पहुँचने के लिए वापस नहीं जोड़ा जा सकता था।
5. तर्क: यदि खंडहर इस तरह से टूटे हुए हैं कि मास्टर की के अस्तित्व को रोकते हैं, तो मूल, पूर्ण इमारत के पास भी वह नहीं हो सकती थी।

4. "जादुई संख्याएँ" (Heegner Fields)

लेखक को जिस इमारत का निर्माण करना था, उसके प्रति बहुत चयनात्मक होना पड़ा। उन्हें "धागे के लूप्स" (एलिप्टिक कर्व्स) के पास बहुत विशिष्ट गणितीय गुण होने चाहिए थे।

उन्होंने हीगनर संख्याओं (जैसे 1, 2, 3, 11, 19, आदि) से संबंधित कर्व्स का उपयोग किया।
उपमा: यह लकड़ी से घर बनाने की कोशिश करने जैसा है। अधिकांश लकड़ी काम करती है, लेकिन इस विशिष्ट "अनलॉक्ड" प्रभाव को प्राप्त करने के लिए, आपको एक बहुत ही दुर्लभ, जादुई प्रकार की लकड़ी की आवश्यकता होती है जो केवल विशिष्ट जंगलों में उगती है। यदि आप गलत लकड़ी का उपयोग करते हैं, तो यह ट्रिक काम नहीं करेगी।

यह क्यों मायने रखता है? (निष्कर्ष क्या है?)

1. एक नियम को तोड़ना

लंबे समय से एक प्रश्न था: "यदि एक सतह व्यवस्थित (representable) है, तो क्या उसमें एक मास्टर की होगी?"

उत्तर: नहीं।
यह पहली बार है जब इसे 2D सतह के लिए सिद्ध किया गया है। यह दिखाता है कि सरल दुनिया में भी छिपी हुई जटिलताएं होती हैं जो पूर्ण व्यवस्था को रोकती हैं।

2. हॉज अनुमान (The Hodge Conjecture - "भूत" की समस्या)

शोध पत्र एक बोनस खोज के साथ समाप्त होता है। यह इस टूटी हुई इमारत का उपयोग एक "भूत" (Ghost) बनाने के लिए करता है।

गणित में, एक प्रसिद्ध अनुमान है जिसे इंटीग्रल हॉज कॉन्जेक्चर (Integral Hodge Conjecture) कहा जाता है। यह पूछता है: "यदि हम एक छाया (Hodge class) देखते हैं जो एक भौतिक वस्तु (algebraic cycle) की तरह दिखती है, तो क्या वह वास्तव में एक भौतिक वस्तु है?"
आमतौर पर, उत्तर "हाँ" होता है।
एलेक्जेंड्रो ने अपनी इस टूटी हुई इमारत का उपयोग एक "भूतिया छाया" (Ghost Shadow) बनाने के लिए किया जो एक भौतिक वस्तु की तरह दिखती है लेकिन नहीं है।
ट्विस्ट: पिछले उदाहरण इन "भूतों" के लिए "टोरशन" (torsion) थे (वे ऐसे भूत थे जो केवल एक पल के लिए या बहुत छोटे रूप में दिखाई देते थे)। एलेक्जेंड्रो ने एक नॉन-टोरशन घोस्ट (non-torsion Ghost) खोजा—एक विशाल, स्थायी छाया जो निश्चित रूप से कोई भौतिक वस्तु नहीं है। यह ज्यामिति की सीमाओं को समझने में एक बड़ी सफलता है।

एक वाक्य में सारांश

लेखक ने एक गणितीय रूप से "पूर्ण" 2D सतह बनाई जो अपने व्यवस्थित ढांचे के बावजूद, अपने बिंदुओं को मैप करने के लिए एक सार्वभौमिक उपकरण की कमी रखती है, जिससे यह सिद्ध होता है कि सरल आकृतियों में भी पूर्ण व्यवस्था एक सार्वभौमिक समाधान की गारंटी नहीं देती है, और इसका उपयोग ज्यामिति में एक विशाल "भूत" खोजने के लिए किया गया है जो हमारी अपेक्षाओं को चुनौती देता है।

यहाँ थियोडोसिस अलेक्जेंड्रो (Theodosis Alexandrou) के शोध पत्र "A Surface with Representable $CH_0$ -Group but No Universal Zero-Cycle" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण और संदर्भ (Problem Statement and Context)

यह शोध पत्र बीजगणितीय ज्यामिति (algebraic geometry) में एक मौलिक प्रश्न को संबोधित करता है जो 0-चक्रों (0-cycles) के Chow समूह की प्रतिनिधित्व क्षमता (representability) और एक सार्वभौमिक शून्य-चक्र (universal 0-cycle) के अस्तित्व के बीच संबंध से संबंधित है।

पृष्ठभूमि (Background): एक चिकनी प्रक्षेप्य जटिल विविधता (smooth projective complex variety) $X$ के लिए, एबेल-जैकोबी मानचित्र (Abel-Jacobi map) $\alpha_X: CH_0(X)_{\text{hom}} \to \text{Alb}(X)$ एक नियमित अधिरोपित समाomorphism (regular surjective homomorphism) है। $X$ को तब $CH_0$ -समूह प्रतिनिधनीय (representable) कहा जाता है यदि $\alpha_X$ एक आइसोमॉर्फिज्म (isomorphism) हो।
सार्वभौमिक शून्य-चक्र (Universal 0-cycle): एक विविधता $X$ में एक सार्वभौमिक 0-चक्र तब होता है जब एक कोडिमेंशन- $d$ चक्र $[\Gamma] \in CH_d(\text{Alb}(X) \times X)$ मौजूद हो, जिससे प्रेरित प्ररूप (morphism) $\psi(\text{Alb}(X), [\Gamma]): \text{Alb}(X) \to \text{Alb}(X)$ तत्समक मानचित्र (identity map) हो।
प्रश्न: विसोइन (Voisin) ने हाल ही में एक ऐसा 3-फोल्ड (3-fold) निर्मित किया जिसमें एक प्रतिनिधि $CH_0$ -समूह था लेकिन कोई सार्वभौमिक 0-चक्र नहीं था। कोलिट-थेलन (Colliot-Thélène) ने पूछा कि क्या यह घटना निम्न आयामों, विशेष रूप से सतहों (surfaces) के लिए भी बनी रहती है (प्रश्न 1.2)।
अंतराल (The Gap): जबकि रूल्ड सतहों (ruled surfaces) (और वक्रों) में हमेशा सार्वभौमिक 0-चक्र होते हैं, यह अज्ञात था कि क्या $p_g=0, q \neq 0$ वाली सतह (जहाँ $CH_0$ प्रतिनिधि है) एक सार्वभौमिक 0-चक्र प्राप्त करने में विफल हो सकती है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक अपभ्रंश रणनीति (degeneration strategy) को अवरोध सिद्धांत (obstruction theory) के साथ संयोजित करते हैं।

A. अवरोध (The Obstruction - Section 3)

मुख्य सैद्धांतिक उपकरण प्रमेय 3.1 (Theorem 3.1) है, जो एक प्रतिनिधि $CH_0$ -समूह वाली विविधता $X$ पर सार्वभौमिक 0-चक्र के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक स्थिति स्थापित करता है।

व्यवस्था (Setup): एक समतल, प्रक्षेप्य अपभ्रंश (flat, projective degeneration) $p: \mathcal{X} \to \Delta$ (जहाँ $\Delta = \text{Spec } k[[t]]$ ) पर विचार करें जिसका कुल स्थान (total space) नियमित है। विशेष फाइबर $\mathcal{X}_0$ को एक न्यूनीकरण सरल सामान्य क्रॉसिंग (reduced simple normal crossings) भाजक के रूप में लें जिसके घटक $R_i$ एक श्रृंखला (chain) बनाते हैं।
स्थिति (The Condition): यदि जेनेरिक फाइबर $\mathcal{X}_K$ में एक सार्वभौमिक 0-चक्र है (जिसका अर्थ है कि Jacobian/Albanese पर पुशफॉरवर्ड मानचित्र का विभाजन होता है), तो विशेष फाइबर के अल्बेनीस विविधताओं का योग प्ररूप (sum morphism) एक सेक्शन (section) स्वीकार करना चाहिए:
$\sum \text{alb}_i: \bigoplus \text{Alb}(R_i) \to \text{Jac}(C)$
(जहाँ $C$ फाइब्रेशन का आधार वक्र है)।
उपप्रमेय 3.2 (Corollary 3.2): यदि जैकोबियन का एंडोमोर्फिज्म रिंग एक मुख्य आदर्श डोमेन (Principal Ideal Domain - PID) है, तो इस योग प्ररूप के लिए सेक्शन का अभाव, जेनेरिक फाइबर पर सार्वभौमिक 0-चक्र के गैर-अस्तित्व को दर्शाता है।

B. निर्माण (The Construction - Section 4)

लेखक टाइप 2 की बायएलिप्टिक सतह (bielliptic surface of Type 2) के एक विशिष्ट अपभ्रंश का निर्माण करते हैं।

आधार वस्तुएं (Base Objects): एक एलिप्टिक वक्र $E$ और एक एलिप्टिक वक्र का न्यूनतम नियमित मॉडल $F$ , जिसका विशेष फाइबर कोडा इरा प्रकार (Kodaira type) $I_4$ (4 रैशनल वक्रों का एक चक्र) का है।
समूह क्रिया (Group Action): एक परिमित समूह $G$ (इनवोल्यूशन द्वारा जनित) $E \times F$ पर कार्य करता है। कोटिशेंट (quotient) एक बायएलिप्टिक सतह प्रदान करता है।
अपभ्रंश (Degeneration): 2-टोरशन बिंदुओं (2-torsion points) को शामिल करते हुए और $I_4$ $I_{4}$ फाइबर की विशिष्ट संरचना का उपयोग करते हुए, लेखक एक परिवार $\mathcal{S} \to \Delta$ $S \to Δ$ का निर्माण करते हैं जहाँ:
1. जेनेरिक फाइबर $S_K$ एक टाइप 2 की बायएलिप्टिक सतह है।
2. विशेष फाइबर $S_0$ दो न्यूनतम रूल्ड सतहों $R_1, R_2$ से बना है जो एक चिकनी एलिप्टिक वक्र $C$ के साथ प्रतिच्छेद करती हैं।
3. विशेष फाइबर घटकों का अल्बेनीस मानचित्र $E$ में $\text{Alb}(R_i) \to E$ मानचित्रों को प्रेरित करता है जो $E/a \to E$ और $E/b \to E$ के लिए एटेले डबल कवर्स (étale double covers) हैं।

C. बीजगणितीय अवरोध (The Algebraic Obstruction)

प्रमाण इस बात पर निर्भर करता है कि योग प्ररूप $\text{Alb}(R_1) \oplus \text{Alb}(R_2) \to E$ में कोई सेक्शन नहीं है।

यह एलिप्टिक वक्र $E$ पर एक अंकगणितीय समस्या में बदल जाता है: क्या $E$ पर तत्समक मानचित्र को $E/2$ -टोरशन कोटिएंट्स के माध्यम से गुजरने वाले दो आइसोजेनी (isogenies) के योग के रूप में लिखा जा सकता है?
स्थिति (i): यदि $\text{End}(E) \cong \mathbb{Z}$ है, तो होमोमोर्फिज्म (homomorphisms) कोटिएंट मानचित्रों के पूर्णांक गुणकों तक सीमित हैं। योग मानचित्र के साथ संयोजन (composition) 2-टोरशन पर शून्य हो जाता है, जो सेक्शन को रोकता है।
स्थिति (ii): यदि $E$ के पास एक हीगनर फील्ड (Heegner field) $\mathbb{Q}(\sqrt{-c})$ के मैक्सिमल ऑर्डर द्वारा कॉम्प्लेक्स मल्टीप्लिकेशन (CM) है, तो रिंग ऑफ इंटीजर्स एक PID है। लेखक यह दिखाने के लिए स्टार्क-हीगनर प्रमेय (Stark-Heegner theorem) और आइडियल थ्योरी का उपयोग करते हैं कि तत्समक का ऐसा कोई भी विभाजन यह संकेत देगा कि $1$ संख्या 2 के ऊपर के प्राइम आइडियल में स्थित है, जो कि एक विरोधाभास है।
नोट: मामला $c=-7$ को स्पष्ट रूप से बाहर रखा गया है क्योंकि रिंग $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-7}}{2}]$ तत्समक का एक विभाजन की अनुमति देता है, और वास्तव में, $c=-7$ वाली टाइप 2 सतहें सार्वभौमिक 0-चक्र स्वीकार करती हैं (उदाहरण 5.2)।

3. मुख्य परिणाम (Key Results)

प्रमेय 1.3 (मुख्य परिणाम)

एक चिकनी प्रक्षेप्य जटिल सतह $S$ मौजूद है ऐसी कि:

0-चक्रों का Chow समूह $CH_0(S)$ प्रतिनिधनीय (representable) है (अर्थात, एबेल-जैकोबी मानचित्र एक आइसोमॉर्फिज्म है)।
$S$ एक सार्वभौमिक 0-चक्र को स्वीकार नहीं करता है।

शर्तें: यह तब सत्य होता है जब अल्बेनीस विविधता $\text{Alb}(S) \cong E$ एक एलिप्टिक वक्र है जहाँ या तो $\text{End}(E) \cong \mathbb{Z}$ है या $E$ के पास $\mathbb{Q}(\sqrt{-c})$ का मैक्सिमल ऑर्डर द्वारा CM है, जहाँ $c \in \{1, 2, 3, 11, 19, 43, 67, 163\}$ ।

उपप्रमेय 1.5 (इंटीग्रल हॉज अनुमान - Integral Hodge Conjecture)

निर्माण एक चिकना प्रक्षेप्य थ्रीफोल्ड $X = E \times S$ (जहाँ $S$ ऊपर दिया गया है) प्रदान करता है जिसका कोडा इरा डायमेंशन (Kodaira dimension) शून्य है।

इंटीग्रल हॉज अनुमान (Integral Hodge Conjecture) $X$ पर 1-चक्रों के लिए विफल हो जाता है।
विशेष रूप से, $H^4(E \times S, \mathbb{Z})$ में एक गैर-टोरशन (non-torsion) इंटीग्रल हॉज क्लास मौजूद है जो बीजगणितीय (algebraic) नहीं है।
महत्व: पूर्ववर्ती उदाहरण (Benoist-Ottem) डिग्री 4 में टोरशन क्लासेस पर आधारित थे। यह डिग्री 4 में गैर-टोरशन काउंटर-एग्जांपल का पहला उदाहरण है जो कोडा इरा डायमेंशन शून्य वाली विविधता के लिए है।

4. महत्व और योगदान (Significance and Contributions)

प्रश्न 1.2 का समाधान: यह शोध पत्र निर्णायक रूप से उत्तर देता है कि "हाँ", एक ऐसी सतह जिसमें प्रतिनिधि $CH_0$ -समूह है, वह सार्वभौमिक 0-चक्र की निरंतरता के बिना रह सकती है। यह विसोइन के 3-फोल्ड काउंटर-एग्जांपल का 2-आयामी एनालॉग प्रदान करता है।
नया अवरोध तंत्र (New Obstruction Mechanism): यह शोध पत्र सतह के अपभ्रंश (degeneration of the surface) (बजाय आधार वक्र के) पर आधारित एक नवीन अवरोध पेश करता है। यह सार्वभौमिक चक्रों के अस्तित्व को विशेष फाइबर में अल्बेनीस मानचित्रों के विभाजन गुणों से जोड़ता है।
इंटीग्रल हॉज अनुमान का परिशोधन: $\kappa=0$ वाली विविधता के लिए डिग्री 4 में एक गैर-टोरशन काउंटर-एग्जांपल बनाकर, यह शोध पत्र इंटीग्रल हॉज अनुमान की विफलता के ज्ञात परिदृश्य का विस्तार करता है। यह दर्शाता है कि विफलता केवल टोरशन घटनाओं या उच्च कोडा इरा डायमेंशन तक सीमित नहीं है।
अंकगणितीय ज्यामिति संबंध: प्रमाण अत्यधिक रूप से एलिप्टिक वक्रों के अंकगणितीय गुणों (विशेष रूप से हीगनर फील्ड्स और उनके एंडोमोर्फिज्म रिंग्स की संरचना) पर निर्भर करता है, जो जटिल बीजगणितीय ज्यामिति को संख्या सिद्धांत (number theory) के साथ जोड़ता है।

5. निष्कर्ष (Conclusion)

थियोडोसिस अलेक्जेंड्रो ने एक टाइप 2 की बायएलिप्टिक सतह का निर्माण सफलतापूर्वक किया है जो प्रतिनिधि $CH_0$ -समूह धारणाओं के तहत सार्वभौमिक 0-चक्रों की निरंतरता के विरुद्ध एक काउंटर-एग्जांपल के रूप में कार्य करती है। एलिप्टिक वक्रों के अंकगणित और अपभ्रंश तर्क का लाभ उठाकर, लेखक न केवल कोलिट-थेलन के प्रश्न के सतह मामले को हल करते हैं, बल्कि इंटीग्रल हॉज अनुमान के लिए गैर-टोरशन क्लासेस वाले काउंटर-एग्जांपल की एक नई श्रेणी भी उत्पन्न करते हैं। यह कार्य बीजगणितीय चक्रों की ज्यामिति, अल्बेनीस विविधताओं की संरचना और अंतर्निहित क्षेत्रों के अंकगणित के बीच सूक्ष्म परस्पर क्रिया को उजागर करता है।