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Arnold Scholz: Between Mathematics and Politics

यह लेख हासे, शोल्स और टॉस्की के बीच 2016 के पत्राचार का अंग्रेजी अनुवाद और संशोधित परिचय प्रस्तुत करता है, जो संख्या सिद्धांतकार अर्नोल्ड शोल्स के जीवन और कार्य में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

मूल लेखक: Franz Lemmermeyer

प्रकाशित 2026-02-17

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Franz Lemmermeyer

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ फ्रांज लेमर्मियर के शोध पत्र "आर्नोल्ड शोल्ज़: गणित और राजनीति के बीच" का सरल, रोजमर्रा की भाषा में अनुवाद दिया गया है, जिसमें उपमाओं (analogies) का उपयोग किया गया है।

एक अंधेरे दौर में एक गणितीय प्रतिभा की कहानी

कल्पना कीजिए कि आर्नोल्ड शोल्ज़ नाम का एक प्रतिभाशाली वास्तुकार (architect) था। वह बीसवीं सदी की शुरुआत में जर्मनी में रहता था। उसका काम घर बनाना नहीं था, बल्कि गणितीय दुनिया बनाना था। विशेष रूप से, वह "संख्या सिद्धांत" (Number Theory) का विशेषज्ञ था, जो संख्याओं के 'डीएनए' के अध्ययन जैसा है।

यह शोध पत्र दो चीजों की कहानी बताता है जो एक ही समय में घट रही थीं:

गणित: कैसे शोल्ज़ ने अविश्वसनीय, जटिल संरचनाएं बनाईं जिन्हें अन्य गणितज्ञ अभी तक पूरी तरह से समझ नहीं पाए थे।
राजनीति: कैसे जर्मनी में नाजी पार्टी के उदय ने उसके करियर को नष्ट कर दिया, उसे उसके दोस्तों से अलग कर दिया और अंततः उसकी दुखद मृत्यु का कारण बना।

भाग 1: गणितीय वास्तुकार (द "गोएथे" बनाम "लैंडौ" समस्या)

शोल्ज़ एक जीनियस था, लेकिन सोचने का उसका तरीका अनोखा था। यह शोध पत्र उसकी तुलना दो प्रसिद्ध जर्मन हस्तियों से करता है: गोएथे (एक कवि जिसने प्रवाहमयी, भावनात्मक भाषा में लिखा) और लैंडौ (एक गणितज्ञ जिसने सख्त, कठोर और तार्किक चरणों में लिखा)।

शोल्ज़ "बहुत अधिक गोएथे, बहुत कम लैंडौ" था।
- उपमा (Analogy): कल्पना कीजिए कि शोल्ज़ एक किला बनाने का तरीका समझा रहा है। एक चरण-दर-चरण ब्लूप्रिंट (1. ईंटें रखें, 2. गारा लगाएं) देने के बजाय, वह कहेगा, "बस अपने मन की आंखों से उस किले को देखें; आप उसके रंगों और आकृतियों को देख सकते हैं।"
- परिणाम: वह उत्तरों को तुरंत "देख" सकता था। लेकिन जब उसने उन्हें लिखा, तो वे भ्रमित करने वाले थे। उसने अपने विचारों को छोटे, स्पष्ट नियमों (lemmas) में नहीं तोड़ा। उसने नियमों को अपनी कहानी के भीतर छिपा दिया।
- परिणाम: दशकों तक, अन्य गणितज्ञों ने उसके शोध पत्रों को पढ़ा और सोचा, "यह शानदार है, लेकिन मैं इसे समझ नहीं पा रहा हूँ।" वे वर्षों बाद उसके विचारों को फिर से खोज लेते थे, यह महसूस किए बिना कि शोल्ज़ ने उन्हें पहले ही हल कर लिया था। यह एक गुप्त कोड में लिखे गए खजाने के नक्शे को खोजने जैसा है जिसे कोई तब तक नहीं तोड़ सका जब तक कि बहुत बाद में उसे डिकोड नहीं किया गया।

उसके बड़े गणितीय विचार:

"गांठ" (Knot) सिद्धांत: शोल्ज़ ने खोजा कि संख्याओं में "गांठें" होती हैं। कल्पना कीजिए कि एक रस्सी विभिन्न गणितीय दुनियाओं को जोड़ रही है। कभी-कभी, रस्सी कसी हुई होती (एक गांठ मौजूद होती है), और कभी-कभी ढीली होती है। उसने नए संख्या तंत्र बनाने के लिए इन गांठों को बांधने और खोलने का तरीका खोज निकाला।
"रीथ प्रोडक्ट" (Wreath Product): यह संख्याओं के समूहों को एक के ऊपर एक रखने का एक फैंसी तरीका है। शोल्ज़ ने महसूस किया कि आप सरल ब्लॉकों को एक विशिष्ट पैटर्न का पालन करते हुए स्टैक करके संख्याओं के जटिल टॉवर बना सकते हैं।
"रिफ्लेक्शन थ्योरम" (Reflection Theorem): उसने एक दर्पण पाया। यदि आप एक संख्या क्षेत्र को दर्पण में देखते हैं (एक विशिष्ट गणितीय रूपांतरण), तो प्रतिबिंब में "छेद" (class numbers) की संख्या मूल के लगभग समान होती है। यह एक बड़ी खोज थी जिसने अभाज्य संख्याओं (prime numbers) के पहेलियों को सुलझाने में मदद की।

भाग 2: राजनीतिक तूफान (द "बुरे पड़ोसी" की समस्या)

जब शोल्ज़ अपने गणितीय टावरों का निर्माण कर रहा था, तभी उसकी खिड़की के बाहर एक तूफान मंडरा रहा था।

"बुरे पड़ोसी" (नाजी): 1933 में, नाजी पार्टी ने जर्मनी पर कब्जा कर लिया। उनका एक सख्त नियम था: "यहूदियों (Jews) का प्रवेश वर्जित है।"
"यहूदी" का लेबल: शोल्ज़ यहूदी नहीं था, लेकिन उसके कई यहूदी गणितज्ञों (जैसे एमी नोएथर और इसाई शूर) के साथ गहरे संबंध थे। साथ ही, उसने नाजी छात्र समूहों में शामिल होने या "हाइल हिटलर" का अभिवादन करने से भी इनकार कर दिया।
"मुखबिर" (डोएच): शोल्ज़ का एक बॉस था जिसका नाम गुस्ताव डोएच था। डोएच शासन के लिए एक "उपयोगी मूर्ख" (useful idiot) था। वह आगे बढ़ना चाहता था, इसलिए उसने शोल्ज़ के खिलाफ साजिश रची।
- उपमा (Analogy): कल्पना कीजिए कि एक शिक्षक है जो गणित से प्यार करता है लेकिन नए प्रिंसिपल से नफरत करता है। शिक्षक (शोल्ज़) केवल पढ़ाना चाहता है। लेकिन प्रिंसिपल का पसंदीदा सहायक (डोएच) प्रिंसिपल से कहता है, "वह शिक्षक खतरनाक है! वह गलत लोगों के साथ घूमता है और झंडे को सलाम नहीं करता।"
- परिणाम: डोएच ने शोल्ज़ को "शिकायती" और "कम्युनिस्ट समर्थक" कहते हुए अपमानजनक पत्र लिखे। उसने शोल्ज़ को नौकरी पाने से रोका, भले ही शोल्ज़ देश के सबसे अच्छे गणितज्ञों में से एक था।

दुखद यात्रा:

फ्रीबर्ग: शोल्ज़ को फ्रीबर्ग में अपनी नौकरी छोड़ने के लिए मजबूर किया गया क्योंकि उसका बॉस (लोवी) यहूदी था और उसे निकाल दिया गया था। चूंकि शोल्ज़ सहायक था, इसलिए उसकी नौकरी भी चली गई।
कील (Kiel): वह कील चला गया, लेकिन वहां भी नाजी उस पर नज़र रख रहे थे। उसे नौकरी का वादा किया गया था, लेकिन महीनों तक देरी होती रही। वह काम और पैसे के लिए तरस रहा था।
जेना (Jena): अंततः उसे जेना में एक नौकरी मिली, लेकिन राजनीतिक दबाव उसका पीछा करता रहा।
युद्ध: जब द्वितीय विश्व युद्ध शुरू हुआ, तो शोल्ज़ को सेना में भर्ती कर लिया गया। वह सैनिक नहीं था; वह एक रेडियो ऑपरेटर और बाद में एक नौसेना अकादमी में शिक्षक था। वह थका हुआ, उदास और अकेला था।

भाग 3: दुखद अंत

शोल्ज़ की मृत्यु 1942 में 37 वर्ष की आयु में हुई।

कारण: शोध पत्र कहता है कि उसकी मृत्यु "गैलोपिंग डायबिटीज" (galloping diabetes) से हुई। यह एक पुराना शब्द है जो ऐसी बीमारी के लिए उपयोग किया जाता है जो आप पर बहुत तेजी से हमला करती है।
रूपक (Metaphor): शोल्ज़ को एक प्रतिभाशाली लाइटहाउस कीपर (प्रकाश स्तंभ के रखवाले) के रूप में सोचें। वह पूर्ण अंधकार (युद्ध और फासीवाद) के समय में गणित की रोशनी जलाए रखने की कोशिश कर रहा था। लेकिन तूफान बहुत शक्तिशाली था। राजनीतिक हवाओं ने उसकी रोशनी बुझा दी, और वह तनाव और अपने दोस्तों के खोने के कारण टूटकर कम उम्र में ही मर गया।

परिणाम:

खोया हुआ खजाना: जब शोल्ज़ की मृत्यु हुई, तो उसकी माँ ने उसके नोट्स और कागजात पोलैंड में रिश्तेदारों को भेजने की कोशिश की। लेकिन युद्ध के दौरान, जर्मनों को पोलैंड से निकाल दिया गया था, और शोल्ज़ के जीवन भर का सारा काम खो गया। यह एक ऐसी लाइब्रेरी के जल जाने जैसा है, जिसमें हजारों किताबें भी राख हो गईं।
पुनः खोज: दशकों बाद, ओल्गा टॉस्की (उसकी दोस्त) और वोल्फराम जेहने जैसे गणितज्ञों ने उसके पुराने, बिखरे हुए नोट्स को फिर से पढ़ना शुरू किया। उन्हें एहसास हुआ, "रुको! उसने यह 50 साल पहले ही सुलझा लिया था!" उन्होंने अंततः उसकी "गोएथे-शैली" की कविता को आधुनिक "लैंडौ-शैली" के गणित में अनुवादित किया।

सारांश: सबक

यह शोध पत्र एक ऐसे व्यक्ति को श्रद्धांजलि है जो एक मूर्ख दुनिया के लिए बहुत अधिक बुद्धिमान था।

गणितीय रूप से: वह एक दूरदर्शी था जिसने उन पैटर्नों को देखा जिन्हें अन्य लोग छोड़ देते थे, लेकिन वह उन्हें अपने समय में समझने के लिए पर्याप्त स्पष्ट रूप से समझाने में सक्षम नहीं था।
राजनीतिक रूप से: वह नफरत का शिकार था। उसने अपनी अखंडता या अपनी दोस्ती से समझौता करने से इनकार कर दिया, और व्यवस्था ने उसे कुचल दिया।

लेखक, फ्रांज लेमर्मियर, मूल रूप से यह कह रहे हैं: "हम आर्नोल्ड शोल्ज़ के ऋणी हैं कि हम अंततः उसकी प्रतिभा को एक ऐसी भाषा में अनुवादित करें जिसे हम सभी समझ सकें, ताकि हम उसके शानदार विचारों को इतिहास में खोने न दें।"

प्रदत्त पाठ के आधार पर, फ्रांज लेमरमेयर के लेख, "आर्नोल्ड शोल्स: गणित और राजनीति के बीच" का विस्तृत तकनीकी सारांश यहाँ दिया गया है।

1. समस्या और संदर्भ

यह शोध पत्र दो परस्पर जुड़े हुए मुद्दों को संबोधित करता है:

गणितीय: आर्नोल्ड शोल्स (1904–1942) के संख्या-सिद्धांत (number-theoretic) कार्य का पुनर्निर्माण और स्पष्टीकरण करना, जिनके परिणाम उनकी अनूठी, गैर-औपचारिक शैली और उनके जीवनकाल के दौरान आधुनिक बीजगणितीय भाषा (विशेष रूप से कोहोमोलॉजी सिद्धांत) के अभाव के कारण अक्सर पढ़ने में कठिन थे। लेखक का लक्ष्य शोल्स की अंतर्दृष्टि को आधुनिक शब्दावली में "अनुवादित" करना है ताकि उन अवधारणाओं में उनकी प्राथमिकता को उजागर किया जा सके जिन्हें बाद में दूसरों द्वारा पुन: खोजा गया था।
ऐतिहासिक/जीवनी संबंधी: नाजी शासन के तहत जर्मनी में शोल्स के करियर के प्रक्षेपवक्र (trajectory) का दस्तावेजीकरण करना, यह विवरण देना कि कैसे राजनीतिक उत्पीड़न, यहूदी सहयोगियों (जैसे इसाई शूर और अल्फ्रेड लोवी) की बर्खास्तगी, और अकादमिक जगत में नाजी विचारधारावादियों (जैसे गुस्ताव डोच और विल्हेम सुस) के उदय ने उनके करियर में बाधा डाली और अंततः उनकी असामयिक मृत्यु का कारण बना।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेमरमेयर एक ऐतिहासिक-जीवनी संबंधी और गणितीय पुनर्निर्माण दृष्टिकोण अपनाते हैं:

कालानुक्रमिक वृत्तांत: शोध पत्र शोल्स के जीवन का 1927 से 1942 तक अनुसरण करता है, जिसमें जीवनी संबंधी घटनाओं को उनके गणितीय कार्यों के साथ मिश्रित किया गया है।
तकनीकी अनुवाद: लेखक शोल्स के मूल प्रमाणों और परिभाषाओं को आधुनिक बीजगणितीय संख्या सिद्धांत (algebraic number theory) का उपयोग करके पुन: व्यक्त करते हैं, विशेष रूप से:
- कोहोमोलॉजी (Cohomology): शोल्स के "गाँठों" (Knots/Knoten) को गैलुआ कोहोमोलॉजी ( $H^2$ ) और शूर मल्टीप्लायर (Schur multipliers) की भाषा में अनुवादित करना।
- समूह सिद्धांत (Group Theory): शोल्स की "डिस्पोजिशन समूहों" (व्रेथ उत्पाद/wreath products) और "ब्रांच समूहों" (अधिकतम $p$ -समूहों) की अवधारणाओं को स्पष्ट करना।
- क्लास फील्ड थ्योरी (Class Field Theory): नॉर्म अवशेषों (norm residues), कैपिटुलेशन (capitulation), और क्लास फील्ड टावर्स पर शोल्स के कार्य की पुनर्व्याख्या करना।
अभिलेखागार विश्लेषण: लेखक शोल्स, हेल्मुट हासे और ओल्गा ताउस्की के बीच पत्राचार, साथ ही नाजी-युग की प्रशासनिक फाइलों (जैसे डोच के दोषारोपण) का उपयोग करके उन राजनीतिक दबावों का पुनर्निर्माण करते हैं जिनका सामना शोल्स ने किया था।

3. प्रमुख योगदान और गणितीय परिणाम

A. इनवर्स गैलुआ समस्या और समूह निर्माण

डिस्पोजिशन समूह: शोल्स ने पहचाना कि विलेय गैलुआ समूहों (solvable Galois groups) के साथ विस्तार (extensions) का निर्माण करने को विशिष्ट "डिस्पोजिशन समूहों" (आधुनिक शब्द: व्रेथ उत्पाद $C_m \wr N$ ) और ब्रांच समूहों के साथ विस्तार के निर्माण में बदला जा सकता है।
रैमिफिकेशन नियंत्रण (Ramification Control): उन्होंने ऐसे विस्तारों के निर्माण के लिए विधियाँ विकसित कीं जहाँ गैलुआ समूह पूर्व-निर्धारित होते हैं और रैमिफिकेशन नियंत्रित होता है (अक्सर प्रत्येक चरण में ठीक एक अभाज्य आदर्श (prime ideal) पर होता है)।
शूर मल्टीप्लायर (Schur Multipliers): शोल्स ने एम्बेडिंग समस्याओं (embedding problems) को हल करने के लिए अप्रत्यक्ष रूप से शूर मल्टीप्लायर का उपयोग किया (यद्यपि उनके प्रारंभिक कार्य में इसे इस नाम से नहीं पुकारा गया था)। उन्होंने दिखाया कि गैर-एबेलियन विस्तारों में कुछ क्षेत्रों (fields) की एंबेडेबिलिटी, गैलुआ समूह के शूर मल्टीप्लायर की गैर-तुच्छता (non-triviality) से जुड़ी हुई है।

B. क्लास फील्ड टावर्स और रैंक

अनंत टावर्स: 1929 ([S5]) में, शोल्स ने सिद्ध किया कि अभाज्य घात $\ell$ के चक्रीय संख्या क्षेत्रों (cyclic number fields) के पास $\ell$ -क्लास फील्ड टावर्स की लंबाई कितनी भी बड़ी हो सकती है, बशर्ते कि $\ell$ -क्लास समूह का रैंक पर्याप्त रूप से बड़ा हो। यह 1964 के निर्णायक गोलोड-शाफ़ारेविच प्रमेय (Golod-Shafarevich theorem) का एक पूर्ववर्ती था, जिसने अनंत क्लास फील्ड टावर्स के अस्तित्व को सिद्ध किया था।
कैपिटुलेशन (Capitulation): ओल्गा ताउस्की के साथ मिलकर, उन्होंने अनरैमिफाइड विस्तारों में आदर्श वर्गों (ideal classes) के कैपिटुलेशन की जांच की, और कैपिटुलेशन मानचित्र के कर्नेल (kernel) को कोहोमोलॉजिकल समूहों ( $H^1$ ) से जोड़ा।

C. गांठों का सिद्धांत (Number Knots)

परिभाषा: शोल्स ने वैश्विक नॉर्म्स (global norms) और स्थानीय नॉर्म अवशेषों (local norm residues) के बीच के अंतर को वर्णित करने के लिए "गाँठों" (knots) की अवधारणा पेश की।
- नंबर नॉट ( $\nu$ ): $N/NL/K L^\times$
- यूनिट नॉट ( $\omega$ ): $E_K \cap N / N E_L$
- आइडियल नॉट ( $\delta$ ): मुख्य आदर्शों (principal ideals) से संबंधित।
महत्व: उन्होंने इन गांठों के बीच सटीक अनुक्रम (exact sequences) स्थापित किए (जैसे, $1 \to \omega \to \nu \to \delta \to 1$ )। लेमरमेयर नोट करते हैं कि ये शूर मल्टीप्लायर $M(G) \cong H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ और नॉर्म टॉरस के टेट-शाफ़ारेविच समूह (Tate-Shafarevich group) के अनुरूप हैं। इस कार्य की लंबे समय तक उपेक्षा की गई जब तक कि 1970 के दशक में वोल्फ्राम जेने ने इसे आधुनिक नहीं बनाया।

D. रेसिप्रोसिटी लॉ (Reciprocity Laws) और यूनिट्स

शोल्स रेसिप्रोसिटी लॉ: उन्होंने मौलिक इकाइयों (fundamental units) के क्वार्टिक रेसिड्यू सिंबल के संबंध में शोनुमन के नियम का सामान्यीकरण किया। विशेष रूप से, अभाज्य $p, q \equiv 1 \pmod 4$ के लिए, उन्होंने मौलिक इकाइयों $\varepsilon_p$ और $\varepsilon_q$ के लिए एक रेसिप्रोसिटी संबंध स्थापित किया।
रिफ्लेक्शन थ्योरम (Reflection Theorem): उन्होंने द्विघात क्षेत्रों $K = \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ और $K' = \mathbb{Q}(\sqrt{-3m})$ के क्लास समूहों के 3-रैंक को संबंधित करने वाला एक प्रमेय सिद्ध किया, जो दर्शाता है कि उनके रैंक में अंतर अधिकतम 1 होता है। इसे बाद में लियोपोल्ड्ट द्वारा सामान्यीकृत किया गया था।

E. न्यूनतम डिस्क्रिमिनेन्ट (Minimal Discriminants)

शोल्स ने $n$ डिग्री के संख्या क्षेत्रों के न्यूनतम डिस्क्रिमिनेन्ट्स की जांच की। उन्होंने अनुमान लगाया कि रूट डिस्क्रिमिनेन्ट $rd(K) = |D_K|^{1/n}$ को $n$ के सापेक्ष अत्यंत छोटा बनाया जा सकता है (अर्थात, $\liminf rd(K)/n = 0$ ), विशेष क्षेत्रों के टावर्स का निर्माण करके; यह एक समस्या है जो अभी भी खुली है।

4. परिणाम और ऐतिहासिक निष्कर्ष

खोज की प्राथमिकता: यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि शोल्स ने कई परिणामों की खोज दशकों पहले कर ली थी जब उन्हें दूसरों द्वारा "पुनः खोजा" गया था (जैसे, सॉल्वेबल समूहों पर शाफ़ारेविच, गांठों पर जेने, रेसिप्रोसिटी लॉ पर लेमर)।
राजनीतिक उत्पीड़न:
- शोल्स एक "गैर-आर्य" समर्थक थे (शूर, नोथर और ताउस्की जैसे यहूदी सहयोगियों से जुड़े हुए) और उन्होंने नाजी विचारधारा के साथ तालमेल बिठाने से इनकार कर दिया था।
- 1934 में उन्हें फ्राइबर्ग में उनके सहायक पद से डोच द्वारा बर्खास्त कर दिया गया था, जिन्होंने उन्हें एक "शिकायती" (grumbler) और "अविश्वसनीय" व्यक्ति बताया था।
- हासे और श्मिट के प्रस्तावों के बावजूद, उन्हें राजनीतिक जांच के कारण जर्मनी में स्थायी पद खोजने में संघर्ष करना पड़ा। वे अंततः कील (Kiel) और बाद में जेना (Jena) चले गए लेकिन उनकी स्थिति अनिश्चित बनी रही।
मृत्यु: शोल्स की मृत्यु 1942 में 37 वर्ष की आयु में फ्लेंसबर्ग में एक नौसेना स्कूल में नागरिक शिक्षक के रूप में सेवा करते समय "गैलोपिंग डायबिटीज" (तीव्र मधुमेह) से हुई। 1945 में पोलैंड से जर्मनों के निष्कासन के दौरान उनकी संपत्ति और पांडुलिपियाँ खो गईं।

5. महत्व

गणितीय विरासत: यह शोध पत्र तर्क देता है कि शोल्स एक दूरदर्शी थे जिन्होंने संख्या सिद्धांत में कोहोमोलॉजी और समूह कोहोमोलॉजी की भाषा का पूर्वानुमान लगाया था। उनके "गाँठों" को अब एम्बेडिंग समस्याओं और टॉरी के अंकगणित (arithmetic of tori) के अध्ययन में मौलिक माना जाता है।
ऐतिहासिक सुधार: यह ऐतिहासिक रिकॉर्ड को सुधारता है और यह उजागर करता है कि कैसे नाजी शासन के कारण एक प्रतिभाशाली गणितज्ञ का नुकसान हुआ। यह दर्शाता है कि कैसे जर्मन गणित पर "यहूदी प्रभाव" के शुद्धिकरण ने न केवल यहूदी विद्वानों को, बल्कि उन लोगों को भी नष्ट कर दिया जो उनके साथ काम करते थे या उनके विरोध में थे।
शैक्षणिक मूल्य: शोल्स की "स्थानिक छवि" (spatial image) सोच को औपचारिक लेम्मा और प्रपोजिशन में अनुवादित करके, लेमरमेयर उनकी गहन लेकिन अस्पष्ट अंतर्दृष्टि को आधुनिक शोधकर्ताओं के लिए सुलभ बनाते हैं, जिससे 20वीं सदी की शुरुआत की सहज बुद्धि और आधुनिक बीजगणितीय कठोरता के बीच के अंतर को पाटा जा सके।

संक्षेप में, यह शोध पत्र आर्नोल्ड शोल्स के कार्य के गणितीय पुनर्वास के रूप में कार्य करता है, जो उन्हें क्लास फील्ड थ्योरी और इनवर्स गैलुआ थ्योरी के विकास में एक केंद्रीय व्यक्ति के रूप में स्थापित करता है, और साथ ही राष्ट्रीय समाजवाद के तहत जर्मन गणित के विनाश का एक ऐतिहासिक साक्ष्य भी है।