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Asymptotic stability of symmetric flows with viscous inflow boundary condition

यह शोधपत्र एक सटीक स्थिर समाधान (steady solution) का निर्माण करके और लघु एवं दीर्घ-चैनल शासन (regimes) दोनों में स्पष्ट थ्रेशोल्ड के साथ समान रैखिक स्थिरता और अरैखिक स्थिरता को सिद्ध करने के लिए एक नई भारित वोर्टिसिटीिटी ऊर्जा विधि (weighted vorticity energy method) का उपयोग करके, कम श्यानता (viscosity) और विशिष्ट सीमा स्थितियों वाले द्वि-आयामी चैनल में सममित प्रवाह की स्पर्शोन्मुख स्थिरता (asymptotic stability) स्थापित करता है।

मूल लेखक: Yan Guo, Zhuolun Yang

प्रकाशित 2026-02-24

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Yan Guo, Zhuolun Yang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि एक लंबी, सीधी नहर में एक नदी सुचारू रूप से बह रही है। भौतिक विज्ञान में, हम इसे "लैमिनार फ्लो" (laminar flow) कहते हैं। यह शांत, अनुमानित और व्यवस्थित है। लेकिन वास्तविक दुनिया में, नदियाँ पूर्ण नहीं होतीं। उनमें श्यानता (viscosity - चिपचिपाहट) होती है, और किनारे पूरी तरह से चिकने नहीं होते। यदि आप इस नदी में एक छोटा पत्थर (एक विक्षोभ या perturbation) फेंकते हैं, तो क्या पानी केवल लहरें बनाकर फिर से शांत हो जाएगा? या वह छोटी सी लहर एक विशाल, अराजक लहर में बदल जाएगी जो पूरी नदी को एक अशांत (turbulent) मलबे में बदल देगी?

यान गुओ और जुओलुन यांग का यह शोध पत्र एक मास्टर इंजीनियर की तरह है जो यह सिद्ध करने की कोशिश कर रहा है कि, बहुत विशिष्ट परिस्थितियों में, एक शांत नदी हमेशा शांत ही रहेगी, भले ही आप उसमें कुछ पत्थर फेंक दें।

यहाँ उनके कार्य का सरल उपमाओं के माध्यम से विवरण दिया गया है:

1. सेटअप: एक "फिसलन भरी" नहर

अधिकांश भौतिक मॉडल यह मानते हैं कि पानी नहर की दीवारों से पूरी तरह चिपक जाता है (इसे "नो-स्लिप" स्थिति कहा जाता है)। लेकिन इस शोध पत्र में, लेखक एक ऐसी नहर की कल्पना करते हैं जहाँ दीवारें थोड़ी फिसलन भरी हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि नहर की दीवारों पर एक विशेष मोम (wax) लगा हुआ है। पानी दीवार पर रुकता नहीं है; वह थोड़ा सा फिसलता है।
श्यानता (Viscosity): पानी भी बहुत "पतला" (low viscosity) है, जैसे शहद की तुलना में पानी। भौतिक विज्ञान के शब्दों में, यह एक उच्च रेनॉल्ड्स नंबर (high Reynolds number) वाली स्थिति है, जहाँ आमतौर पर अराजकता (विक्षोभ) छिपना पसंद करती है।

2. समस्या: "पूर्ण" प्रवाह का अस्तित्व नहीं है

लेखक एक "बेस फ्लो" (base flow) से शुरुआत करते हैं—एक सैद्धांतिक, आदर्श नदी प्रोफाइल। लेकिन यहाँ एक पेंच है: एक वास्तविक, चिपचिपे तरल में एक पूर्ण नदी प्रोफाइल वास्तव में मौजूद नहीं होता। यदि आप किसी चिपचिपे तरल में एक पूर्ण आकार थोपने की कोशिश करते हैं, तो तरल विरोध करता है और दीवारों के पास एक छोटा, अदृश्य "बाउंड्री लेयर" (boundary layer) बना देता है ताकि सामंजस्य बिठा सके।

नवाचार: इस समायोजन को अनदेखा करने के बजाय, लेखकों ने एक नया, सटीक स्थिर प्रवाह बनाया जो इस फिसलन और चिपचिपाहट को ध्यान में रखता है। उन्होंने एक "आदर्श" नदी का निर्माण किया जो वास्तव में भौतिकी के नियमों का पालन करती है, न कि केवल ऐसा दिखावा करती है।

3. दो परिदृश्य: छोटी बनाम लंबी नहरें

लेखकों ने दो अलग-अलग प्रकार की नहरों में अपने सिद्धांत का परीक्षण किया:

A. छोटी नहर (एक "त्वरित समाधान")

एक छोटी, संकरी चैनल की कल्पना करें।

रणनीति: उन्होंने एक "वेटेड एनर्जी" (weighted energy) विधि का उपयोग किया। इसे एक भारी, अदृश्य कंबल के रूप में सोचें जिसे नदी के ऊपर डाला गया है।
परिणाम: यदि नदी पर्याप्त छोटी है, तो कोई भी विक्षोभ (नदी में फेंका गया पत्थर) इस "कंबल" द्वारा बहुत तेज़ी से कुचल दिया जाता है। लहरें तेजी से समाप्त हो जाती हैं।
सीमा (Threshold): उन्होंने सिद्ध किया कि जब तक प्रारंभिक विक्षोभ एक विशिष्ट सूक्ष्म आकार (तरल की चिपचिपाहट से संबंधित) से छोटा है, नदी वापस सामान्य हो जाएगी। यह ऐसा है जैसे, "यदि आप कांच को धीरे से थपथपाते हैं, तो वह टूटता नहीं है।"

B. लंबी नहर (एक "मैराथन")

अब एक बहुत लंबी नदी की कल्पना करें। "भारी कंबल" वाली तकनीक यहाँ उतनी प्रभावी नहीं होती क्योंकि नदी बहुत लंबी है और कंबल सब कुछ प्रभावी ढंग से कवर नहीं कर पाता।

रणनीति: उन्होंने "रेले वोर्टिसिटी" (Rayleigh Vorticity) नामक एक नया उपकरण विकसित किया।
- रूपक: कल्पना कीजिए कि नदी की एक छिपी हुई "रीढ़" या एक विशिष्ट लय है। यदि आप नदी को विक्षोभित करते हैं, तो आप अनिवार्य रूप से इस लय के विरुद्ध लड़ रहे होते हैं। लेखकों ने मापने का एक तरीका खोजा कि विक्षोभ इस लय से कितना संघर्ष करता है। यदि नदी का आकार (बेस फ्लो) "कॉन्केव" (कटोरे जैसा) है, तो यह लय बहुत मजबूत होती है और एक स्व-सुधारात्मक तंत्र के रूप में कार्य करती है।
परिणाम: यहाँ तक कि एक लंबी नदी में भी, यदि आकार सही है और विक्षोभ पर्याप्त छोटा है, तो नदी की अपनी आंतरिक लय अंततः विक्षोभ को निगल लेगी और व्यवस्था बहाल कर देगी।

4. बड़ी खोज: "स्थिरता सीमा" (Stability Threshold)

इस शोध पत्र का सबसे रोमांचक हिस्सा स्थिरता सीमा है।

प्रश्न: यह सुनिश्चित करने के लिए कि नदी शांत बनी रहे, विक्षोभ को कितना छोटा होना चाहिए?
उत्तर: लेखकों ने एक सटीक गणितीय "आकार सीमा" की गणना की।
- छोटी नहर में, यह सीमा लगभग चिपचिपाहट के घनमूल ( $\epsilon^{2/3}$ ) के समानुपाती है।
- लंबी नहर में, यह सीमा थोड़ी अधिक सख्त ( $\epsilon^{5/6}$ ) है।
यह क्यों महत्वपूर्ण है: इससे पहले, हमें नहीं पता था कि इन विशिष्ट "फिसलन भरे" प्रवाहों के लिए विक्षोभ को वास्तव में कितना छोटा होना चाहिए। उन्होंने सिद्ध किया कि एक "सुरक्षित क्षेत्र" (safe zone) है। यदि आप उस क्षेत्र के भीतर रहते हैं, तो प्रवाह एसिम्प्टोटिकली स्टेबल (asymptotically stable) है—अर्थात, आप चाहे कितनी भी देर प्रतीक्षा करें, यह अंततः अपनी शांत अवस्था में लौट आएगा।

5. "जादुई" घटक: इन्फ्लो कंडीशन (Inflow Condition)

उनके तरीके के सफल होने का एक मुख्य कारण नहर के प्रवेश द्वार (विस्कस इन्फ्लो) पर उपयोग की गई एक विशिष्ट बाउंड्री कंडीशन है।

रूपक: कल्पना कीजिए कि नदी का प्रवेश द्वार एक शॉक एब्जॉर्बर (shock absorber) की तरह डिज़ाइन किया गया है। जब कोई लहर प्रवेश करने की कोशिश करती है, तो प्रवेश द्वार उसकी ऊर्जा को सोख लेता है और उसे वापस उछलने या बढ़ने से रोकता है।
प्रभाव: यह "शॉक एब्जॉर्बर" नदी को सामान्य से बहुत तेज़ी से शांत होने में मदद करता है। आमतौर पर, किसी तरल को स्थिर होने में लंबा समय लगता है (जैसे कॉफी के घूमना बंद होने का इंतज़ार करना)। उनके मॉडल में, इस विशेष प्रवेश द्वार के कारण नदी अविश्वसनीय रूप से तेज़ी से शांत हो जाती है।

सारांश

सरल शब्दोंियों में:
गुओ और यांग ने सिद्ध किया कि फिसलन भरी दीवारों वाली नहर में बहने वाले एक विशिष्ट प्रकार के तरल के लिए, अराजकता पर हमेशा व्यवस्था की जीत होती है, बशर्ते प्रारंभिक अराजकता बहुत बड़ी न हो। उन्होंने प्रवाह का एक नया गणितीय मॉडल बनाया, लहरों की "ऊर्जा" को मापने का एक नया तरीका विकसित किया, और दिखाया कि नदी में एक अंतर्निहित "स्व-उपचार" (self-healing) तंत्र होता है जो बहुत तेज़ी से काम करता है, विशेष रूप से यदि चैनल छोटा है या नदी का आकार कटोरे जैसा है।

उन्होंने अनिवार्य रूप से एक नक्शा खींचा है जो यह दिखाता है कि इस नदी में आप कितना छोटा "पत्थर" फेंक सकते हैं जिससे यह "अशांत तूफान" में न बदले, और उन्होंने सिद्ध किया कि यदि आप उस नक्शे के भीतर रहते हैं, तो नदी हमेशा शांत होने का रास्ता खोज लेगी।

यहाँ यान गुओ और झुलुन यांग के शोध पत्र "Asymptotic Stability of Symmetric Flows with Viscous Inflow Boundary Condition" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या की रूपरेखा (Problem Setup)

यह शोध पत्र एक चैनल $\Omega = (0, L) \times (0, H)$ में कम श्यानता (viscosity) $\varepsilon \ll 1$ वाले द्वि-आयामी असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स प्रवाह (incompressible Navier-Stokes flows) की स्पर्शोन्मुखी स्थिरता (asymptotic stability) की जांच करता है। यह अध्ययन सममित आधार प्रोफाइल (symmetric base profiles) $u_0(y)$ पर केंद्रित है जो दीवारों पर शून्य होते हैं, लेकिन आवश्यक रूप से शियर फ्लो (shear flows) नहीं होते (अर्थात, सीमा परत (boundary layers) के कारण वे स्थिर अवस्था में $x$ पर निर्भर हो सकते हैं)।

मुख्य सीमा स्थितियाँ (Key Boundary Conditions):

क्षैतिज दीवारें ( $y=0, H$ ): एक $\varepsilon$ -नेवियर स्लिप स्थिति (Navier slip condition) लागू की गई है:
$u \mp A\varepsilon^{1/3}u_y = 0, \quad v = 0$
यह स्थिति 'नो-स्लिप' (no-slip) स्थिति और अक्रिय सीमा (inviscid limit) के बीच के अंतर को पाटती है, जिससे सीमा परत के लिए एक विशिष्ट स्केलिंग की अनुमति मिलती है।
लंबवत इनफ्लो/आउटफ्लो ( $x=0, L$ ): विक्षोभ स्ट्रीम फंक्शन $\phi$ पर एक श्यान इनफ्लो सीमा स्थिति (viscous inflow boundary condition) लागू की गई है:
$\phi|_{x=0} = \phi_x|_{x=L} = \phi_{xx}|_{x=0} = \phi_{xxx}|_{x=L} = 0$
गैर-आवधिक डोमेन (non-periodic domains) में स्थिरता विश्लेषण के लिए यह स्थिति अत्यंत महत्वपूर्ण है।

उद्देश्य:
एक दिए गए सममित आधार प्रोफाइल $(u_0, 0)$ के निकट एक सटीक स्थिर-अवस्था समाधान $(u_s, v_s)$ का निर्माण करना और इसके रैखिक और गैर-रैखिक स्पर्शोन्मुखी स्थिरता (linear and nonlinear asymptotic stability) को स्पष्ट स्थिरता थ्रेशोल्ड (स्थिरता के लिए अनुमत प्रारंभिक विक्षोभ का अधिकतम आकार) के साथ सिद्ध करना।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक नया भारित वोर्टिसिटी ऊर्जा विधि (weighted vorticity energy method) विकसित करते हैं जो गैर-आवधिक चैनलों के लिए अनुकूलित है। यह दृष्टिकोण आवधिक डोमेन (periodic domains) पर पिछले कार्यों (जो फूरियर मोड अपघटन पर निर्भर करते हैं) से काफी भिन्न है और गैर-आवधिक सेटिंग्स में स्पेक्ट्रल गैप की कमी को संभालता है।

A. स्थिर अवस्था का निर्माण (Construction of the Steady State)

शियर फ्लो मान लेने के बजाय, लेखक एक स्थिर समाधान $(u_s, v_s)$ का निर्माण करते हैं जो अनफोर्स्ड नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को सटीक रूप से संतुष्ट करता है।

एन्सेत्ज़ (Ansatz): समाधान का निर्माण एक ऑसेमैटिक एक्सपेंशन के माध्यम से किया जाता है जिसमें एक यूलर प्रोफाइल, एक प्रैंडल सीमा परत सुधारक (Prandtl boundary layer corrector), और एक शेष भाग शामिल है:
$u_s \approx u_0 + \varepsilon u^1_e + \varepsilon u^1_p, \quad v_s \approx \varepsilon v^1_e + \varepsilon^{4/3} v^1_p$
सीमा परत (Boundary Layer): प्रैंडल सुधारक $u^1_p$ को $\varepsilon$ -नेवियर स्लिप स्थिति को संतुष्ट करने के लिए बनाया गया है, जो यूलर समाधान और सीमा के बीच के अंतर को हल करता है।
नियमितता (Regularity): निर्माण उन प्रोफाइल्स को संभालता है जहाँ $u_0$ सीमा पर शून्य हो जाता है, जिससे यूलर प्रोफाइल के उच्च-क्रम डेरिवेटिव में सिंगुलैरिटी (singularity) उत्पन्न होती है। लेखक सिद्ध करते हैं कि ये सिंगुलैरिटी स्थिरता विश्लेषण के लिए प्रबंधनीय हैं।

B. स्थिरता विश्लेषण ढांचा (Stability Analysis Framework)

स्थिरता का विश्लेषण विक्षोभ स्ट्रीम फंक्शन $\phi$ के अध्ययन द्वारा किया जाता है जो वोर्टिसिटी रूप में रैखिक और गैर-रैखिक नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को संतुष्ट करता है। लेखक चैनल की लंबाई $L$ के आधार पर दो अलग-अलग रणनीतियों का उपयोग करते हैं:

1. लघु चैनल शासन (Short Channel Regime - $L \ll 1$ ):

भारित परीक्षण फलन (Weighted Test Function): रैखिक समीकरण को $W(x) u_0 \Delta \phi$ के विरुद्ध टेस्ट किया जाता है, जहाँ $W(x) = 2 - x/L$ ।
तंत्र (Mechanism): भार $W$ रेले टर्म ( $u_0 \Delta \phi_x$ ) से एक बड़ा धनात्मक पद $\frac{1}{L}\|u_0 \Delta \phi\|^2$ उत्पन्न करता है। यह पद गैर-मोनोटोनिसिटी से उत्पन्न प्रतिकूल पद $-u_0'' \phi_x$ पर हावी हो जाता है।
सीमा हैंडलिंग: $\varepsilon$ -नेवियर स्थिति का उपयोग सीमा योगदान के क्रम को कम करने के लिए किया जाता है, जिससे अनुमानों को क्लोज करने के लिए हार्डी-टाइप असमानताओं (Hardy-type inequalities) का उपयोग संभव होता है।

2. दीर्घ चैनल शासन (Long Channel Regime - $L$ arbitrary):

रेले वोर्टिसिटी (Rayleigh Vorticity): लेखक एक नई मात्रा, रेले वोर्टिसिटी $R = u_0 \Delta \phi - u_0'' \phi$ पेश करते हैं।
कपलिंग (Coupling): वे रेले पदों को इस प्रकार समूहबद्ध करते हैं कि $R$ टेम्पोरल टर्म और विसरण (dissipation) के साथ अनुकूल रूप से कपल होता है।
स्पेक्ट्रल स्थिति (Spectral Condition): प्रतिकूल पदों को नियंत्रित करने के लिए एक स्पेक्ट्रल धारणा (हार्डी-टाइप असमानता जिसमें $u_0$ और $u_0''$ शामिल हैं) की आवश्यकता होती है। इस स्थिति को पोइज़ुइल फ्लो (Poiseille flow) और एक व्यापक वर्ग के अवतलता (concave) सममित प्रोफाइल्स के लिए सत्यापित किया गया है।
ड्युअलिटी अनुमान (Duality Estimate): टेम्पोरल टर्म $(\phi_t, \phi_x)$ को संभालने के लिए, वे डोमेन की समरूपता का लाभ उठाते हुए एक सहायक फलन $g$ (जो पॉइसन समीकरण को हल करता है) के साथ ड्युअलिटी तर्क का उपयोग करते हैं।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

गैर-आवधिक स्थिरता (Non-Periodic Stability): यह एक गैर-आवधिक चैनल में सममित प्रवाहों के लिए पहला स्थिरता थ्रेशोल्ड परिणाम है। पिछले परिणाम काफी हद तक आवधिक डोमेन में फूरियर विश्लेषण पर निर्भर थे।
विस्कस इनफ्लो स्थिति (Viscous Inflow Condition): यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि विस्कस इनफ्लो सीमा स्थिति (1.5) मानक आवधिक या नो-स्लिप स्थितियों की तुलना में अधिक मजबूत स्थिरीकरण प्रभाव प्रदान करती है, जिससे तेज़ क्षय दर (decay rates) प्राप्त होती है।
सटीक स्थिर अवस्था निर्माण (Exact Steady State Construction): कई अध्ययनों के विपरीत जो बाहरी बल के साथ शियर फ्लो का विश्लेषण करते हैं, यह कार्य एक सटीक, अनफोर्स्ड स्थिर अवस्था का निर्माण करता है जिसमें एक कमजोर प्रैंडल सीमा परत शामिल है, जो इसे चैनल फ्लो के लिए अधिक भौतिक रूप से प्रासंगिक बनाता है।
नई ऊर्जा विधि (New Energy Method): विकसित की गई भारित वोर्टिसिटी ऊर्जा विधि फूरियर विश्लेषण के विफल होने पर भी गैर-मोनोटोन प्रोफाइल के उपचार की अनुमति देती है, जो $-u_0'' \phi_x$ पद की कठिनाई को दूर करती है।

4. मुख्य परिणाम (Main Results)

A. लघु चैनल ( $L \ll 1$ )

स्थिरता थ्रेशोल्ड: गैर-रैखिक स्थिरता तब बनी रहती है यदि प्रारंभिक विक्षोभ $\|\sqrt{u_0} \Delta \phi_0\|_{L^2} \lesssim \varepsilon^{2/3}$ को संतुष्ट करता है।
क्षय दर (Decay Rate): विक्षोभ $O(\varepsilon^{-1/3})$ के टाइम स्केल पर तेजी से घटते हैं:
$\|\nabla \phi\|_{L^2} + \|\sqrt{u_0} \Delta \phi\|_{L^2} \lesssim e^{-c \varepsilon^{1/3} t}$
महत्व: $\varepsilon^{2/3}$ का थ्रेशोल्ड हालिया शियर फ्लो परिणामों से मेल खाता है, लेकिन यह विश्लेषण व्यापक श्रेणी के सममित प्रोफाइल्स (फ्लक्चुएशन सहित) पर लागू होता है। क्षय दर आवधिक चैनलों में देखे जाने वाले विशिष्ट $O(\varepsilon^{-1/2})$ एन्हांस्ड डिसिपेशन से तेज है।

B. दीर्घ चैनल ( $L$ arbitrary)

मान्यताएं (Assumptions): इसके लिए आधार प्रोफाइल का अवतल (concave, $-u_0'' \ge C_1 > 0$ ) होना और एक स्पेक्ट्रल स्थिति (हार्डी असमानता) को संतुष्ट करना आवश्यक है।
स्थिरता थ्रेशोल्ड: गैर-रैखिक स्थिरता तब बनी रहती है यदि $\|\sqrt{\frac{u_0}{-u_0''}} \Delta \phi_0\|_{L^2} \lesssim \varepsilon^{5/6 + \beta}$ ।
क्षय दर: समान चरघातांकीय क्षय $O(\varepsilon^{-1/3})$ के टाइम स्केल पर।
महत्व: $\varepsilon^{5/6}$ का थ्रेशोल्ड लघु चैनल की तुलना में अधिक है (कमजोर स्थिरता), जो बिना $1/L$ गेन के लंबी दूरी तक प्रतिकूल पदों को नियंत्रित करने की कठिनाई को दर्शाता है।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

इनविस्सिड लिमिट (Inviscid Limit): परिणाम सीमित चैनलों में उच्च रेनॉल्ड्स संख्या वाले प्रवाह के व्यवहार के बारे में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। यह तथ्य कि सममित प्रवाह $\varepsilon^{2/3}$ (लघु चैनल) या $\varepsilon^{5/6}$ (दीर्घ चैनल) के थ्रेशोल्ड के साथ स्थिर रह सकते हैं, यह सुझाव देता है कि इन विशिष्ट ज्यामिति में टर्बुलेंस ट्रांजिशन के लिए कुछ सीमा स्थितियों के लिए पहले की तुलना में बड़े विक्षोभों की आवश्यकता होती है।
सीमा परत भौतिकी (Boundary Layer Physics): यह कार्य $\varepsilon$ -नेवियर स्लिप स्थितियों के उपयोग को मान्य करता है, जो उच्च रेनॉल्ड्स संख्या वाले प्रवाह के लिए एक गणितीय रूप से सुलभ और भौतिक रूप से प्रासंगिक मॉडल है, जो इनविस्सिड लिमिट में नो-स्लिप स्थिति से जुड़ी सिंगुलैरिटी से बचता है।
पद्धतिगत प्रगति (Methodological Advancement): "रेले वोर्टिसिटी" और विशिष्ट भारित ऊर्जा अनुमानों का परिचय गैर-आवधिक डोमेन में स्थिरता का विश्लेषण करने के लिए एक नया टूलकिट प्रदान करता है, जो संभावित रूप से अन्य द्रव गतिकी समस्याओं पर भी लागू हो सकता है जहाँ फूरियर विश्लेषण विफल हो जाता है।

संक्षेप में, गुओ और यांग एक विस्तृत श्रेणी के सममित चैनल प्रवाहों के लिए कठोर स्पर्शोन्मुखी स्थिरता स्थापित करते हैं, यह सिद्ध करते हुए कि उपयुक्त सीमा स्थितियों के साथ, ये प्रवाह विशिष्ट थ्रेशोल्ड तक विक्षोभों के प्रति मजबूत रहते हैं, और उनकी क्षय दर मानक एन्हांस्ड डिसिपेशन से अधिक होती है।