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Hierarchical Aggregation Clustering Algorithms Derived from the Bi-partial Objective Function

यह शोध पत्र पदानुक्रमित एकत्रीकरण क्लस्टरिंग एल्गोरिदम (hierarchical aggregation clustering algorithms) को द्वि-आंशिक उद्देश्य फलन (bi-partial objective function) से जोड़ने वाला एक सामान्य सैद्धांतिक ढांचा स्थापित करता है, जिससे इन विधियों को एक गहरा अनुकूलन-आधारित औचित्य, गुणवत्ता मूल्यांकन मीट्रिक और स्पष्ट रुकने के मानदंड प्राप्त होते हैं।

मूल लेखक: Jan W. Owsiński

प्रकाशित 2026-02-25

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jan W. Owsiński

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक शिक्षक हैं जो 30 छात्रों की एक अव्यवस्थित कक्षा को अध्ययन समूहों (study groups) में व्यवस्थित करने की कोशिश कर रहे हैं। आप चाहते हैं कि एक ही समूह के छात्र मित्र (समान) हों और अलग-अलग समूहों के छात्र अजनबी (असमान) हों।

यह क्लस्टरिंग (clustering) की मूल समस्या है, जो डेटा साइंस में एक महत्वपूर्ण विषय है। दशकों से, वैज्ञानिकों के पास इसे करने के कई तरीके थे, लेकिन वे अक्सर ऐसा महसूस करते थे कि वे केवल अनुमान लगा रहे हैं। वे समूहों को बनाते थे, फिर परिणाम देखते थे और कहते थे, "हम्म, यह ठीक लग रहा है," या "शायद मुझे यहाँ पर समूह को काट देना चाहिए।" उनके पास एक स्पष्ट नियम पुस्तिका या एक "स्कोरकार्ड" नहीं था जिससे यह सिद्ध किया जा सके कि उनका बनाया गया समूह सबसे अच्छा था।

यह शोध पत्र, जिसे जान डब्ल्यू. ओविंस्की (Jan W. Owsiński) ने लिखा है, इस समस्या के बारे में सोचने का एक नया तरीका पेश करता है। यह एक "मास्टर स्कोरकार्ड" (जिसे बाय-पार्टियल ऑब्जेक्टिव फंक्शन कहा जाता है) का प्रस्ताव देता है जो दो प्रतिस्पर्धी इच्छाओं को संतुलित करता है, और फिर यह दिखाता है कि उस स्कोरकार्ड के आधार पर सर्वोत्तम समूह खोजने के लिए एक चरण-दर-चरण कार्य योजना (एल्गोरिदम) कैसे बनाई जाए।

यहाँ सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके इसका विवरण दिया गया है:

1. सिक्के के दो पहलू (The Bi-Partial Function)

लेखक सुझाव देते हैं कि जब भी हम चीजों को समूहित करने का प्रयास करते हैं, तो हम दो विपरीत बलों को संतुलित कर रहे होते हैं:

"हडल" फैक्टर (आंतरिक समानता - Internal Similarity): हम चाहते हैं कि एक ही समूह के लोग एक-दूसरे के करीब हों। इसे एक जलती हुई आग (campfire) की गर्माहट के रूप में सोचें; हर कोई गर्मी पाने के लिए पास में सिमट आता है।
"दूरी" फैक्टर (समूहों के बीच अलगाव - Inter-Group Separation): हम चाहते हैं कि अलग-अलग समूह एक-दूसरे से दूर हों। इसे एक बड़े मैदान में अलग-अलग कैंपों के रूप में सोचें; आप नहीं चाहेंगे कि कैंप A और कैंप B इतने करीब हों कि वे मिलकर एक बड़ा, भ्रमित ढेर बन जाएं।

"बाय-पार्टिशियल" फंक्शन एक तराजू की तरह है। एक तरफ, आप "हडल" स्कोर रखते हैं; दूसरी तरफ, आप "दूरी" स्कोर रखते हैं। लक्ष्य वह आदर्श संतुलन ढूंढना है जहाँ समूह घनिष्ठ हों लेकिन एक-दूसरे से स्पष्ट रूप से अलग भी हों।

2. "मर्ज" गेम (पदानुक्रमित एकत्रीकरण - Hierarchical Aggregation)

अधिकांश पारंपरिक क्लस्टरिंग एल्गोरिदम 'म्यूजिकल चेयर्स' के खेल की तरह काम करते हैं, लेकिन इसके विपरीत।

शुरुआत: कल्पना करें कि हर छात्र जिम के बीच में अकेला खड़ा है।
चाल (The Move): शिक्षक चारों ओर देखता है और कहता है, "आप दोनों जो एक-दूसरे के सबसे करीब हैं? तुम दोनों, हाथ मिलाओ!"
दोहराव: अब आपके पास 29 समूह हैं (28 अकेले व्यक्ति और 1 जोड़ी)। शिक्षक फिर से देखता है, अगली करीबी जोड़ी (या एक अकेला व्यक्ति और जोड़ी) को ढूंढता है, और कहता है, "इन्हें भी जोड़ लो!"
पेड़ (The Tree): यदि आप हर बार जब दो समूह मिलते हैं, तो एक रेखा खींचते हैं, तो आपको एक वंशावली मिलती है जिसे डेंड्रोग्राम (dendrogram) कहा जाता है। यह एक पेड़ की तरह दिखता है जिसमें शाखाएं बड़ी शाखाओं में मिलती जाती हैं, जब तक कि ऊपर सभी एक विशाल समूह में नहीं मिल जाते।

समस्या: पारंपरिक तरीके एक यादृच्छिक बिंदु पर रुक जाते हैं। "ठीक है, चलिए इस पेड़ को यहाँ से काटते हैं।" लेकिन क्यों वहीं पर? यह शोध पत्र पूछता है: "क्या होगा यदि हम गणना कर सकें कि सर्वोत्तम स्कोर प्राप्त करने के लिए हमें ठीक कब रुकना चाहिए?"

3. जादुई सूत्र (नियमों को व्युत्पन्न करना - Deriving the Rules)

लेखक की बड़ी सफलता यह दिखाना है कि ये "मर्ज" गेम केवल यादृच्छिक नियम नहीं हैं; उन्हें उस "मास्टर स्कोरकार्ड" से गणितीय रूप से निकाला जा सकता है।

कल्पना कीजिए कि आप एक मशीन के डायल को धीरे-धीरे घुमा रहे हैं।

डायल 0 पर, मशीन केवल सबको अलग रखने की परवाह करती है। इसलिए, हर कोई अकेला रहता है।
जैसे-जैसे आप डायल 1 की ओर धीरे-धीरे डायल घुमाते हैं, मशीन अब एक साथ सिमटने (huddling) की अधिक परवाह करने लगती है।
लेखक ने एक ऐसा सूत्र निकाला है जो आपको बताता है कि डायल के किस सटीक सेटिंग पर दो विशिष्ट लोगों को आपस में मिलना चाहिए।

यह आपके समूहीकरण के लिए एक GPS होने जैसा है। अनुमान लगाने के बजाय, गणित कहता है: "इस सटीक क्षण पर, इन दो समूहों को मिलाने से समग्र स्कोर में सबसे अधिक सुधार होता है।"

4. यह क्यों महत्वपूर्ण है ("अहा!" क्षण - The "Aha!" Moment)

इस शोध पत्र से पहले, यदि आप किसी लोकप्रिय एल्गोरिदम (जैसे "सिंगल लिंकेज" या "वर्ड्स मेथड") का उपयोग कर रहे थे, तो आप वास्तव में बिना यह जाने एक रेसिपी का पालन कर रहे थे कि उसके घटक क्या हैं। आप नहीं जानते थे कि आप "सबसे घनिष्ठ समूहों" के लिए अनुकूलित (optimize) कर रहे हैं या "सबसे चौड़ी दूरियों" के लिए।

यह पेपर कहता है: "यहाँ रेसिपी है, और यहाँ वह सटीक गणित है जो सिद्ध करता है कि यह रेसिपी क्यों काम करती है।"

यह विधि को न्यायसंगत बनाता है: यह सिद्ध करता है कि ये सामान्य एल्गोरिदम वास्तव में एक विशिष्ट, अच्छी तरह से परिभाषित गणितीय समस्या को हल करने की कोशिश कर रहे हैं।
यह एक रुकने का नियम देता है: यह आपको बताता है कि समूहों को जोड़ने से ठीक कब रुकना है। आपको अनुमान लगाने की आवश्यकता नहीं है। आप तब रुकते हैं जब "स्कोर" खराब होने लगता है या जब गणित कहता है कि समूह जितने अच्छे हो सकते हैं, वे उतने ही अच्छे हैं।
यह गुणवत्ता में सुधार करता है: यह हमें मूल्यांकन करने की अनुमति देता है कि क्या कोई समूहीकरण वास्तव में अच्छा है, न कि केवल उस चीज़ को स्वीकार करना जो कंप्यूटर हमें देता है।

5. वास्तविक दुनिया के उदाहरण

यह शोध पत्र दिखाता है कि यह विभिन्न परिदृश्यों के लिए कैसे काम करता है:

"फैसिलिटी लोकेशन" की उपमा: कल्पना करें कि नए कॉफी शॉप खोल रहे हैं। आप ग्राहकों के करीब (हडल) होना चाहते हैं लेकिन एक-दूसरे के इतने करीब नहीं कि वे आपस में प्रतिस्पर्धा करने लगें (दूरी)। गणित यह तय करने में मदद करता है कि अगला स्टोर कहाँ खोला जाए।
"K-मीन्स" अपग्रेड: K-Means डेटा को समूहित करने का एक बहुत प्रसिद्ध और तेज़ तरीका है। आमतौर पर, आपको यह अनुमान लगाना होता है कि आपको कितने समूह चाहिए (जैसे, "आइए 5 समूहों को आजमाते हैं")। यह पेपर एक तरीका प्रदान करता है जिससे आप गणित को बिना अनुमान लगाए स्वचालित रूप से आपके लिए सर्वोत्तम संख्या बताने दे सकते हैं।

सारांश

इस शोध पत्र को "समूहीकरण के खेल" (Grouping Game) के लिए निर्देश पुस्तिका (instruction manual) के रूप में समझें।

इससे पहले, हमारे पास ऐसे खिलाड़ी थे जो जानते थे कि मोहरों को कैसे चलाना है (क्लस्टरों को मर्ज करना), लेकिन वे जीतने की रणनीति नहीं जानते थे। यह शोध पत्र जीतने की रणनीति (बाय-पार्टिशियल ऑब्जेक्टिव फंक्शन) लिखता है और यह भी दिखाता है कि खिलाड़ियों द्वारा किए गए कदम वास्तव में जीतने के लिए सही कदम थे, बशर्ते वे जानते हों कि खेल को कब रोकना है।

यह क्लस्टरिंग को एक "ब्लैक बॉक्स" जादू के बजाय एक पारदर्शी, तार्किक प्रक्रिया में बदल देता है जिसमें एक स्पष्ट लक्ष्य और एक स्पष्ट समाप्ति रेखा होती है।

यहाँ जान डब्ल्यू. ओवसिंस्की के शोध पत्र "Hierarchical Aggregation Clustering Algorithms Derived from the Bi-partial Objective Function" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र क्लस्टर विश्लेषण में एक मौलिक अंतराल को संबोधित करता है: पदानुक्रमित एकत्रीकरण एल्गोरिदम (प्रक्रियात्मक विधियाँ जैसे सिंगल लिंकेज, वार्ड्स, आदि) और अनुकूलन उद्देश्यों (optimization objectives) के बीच का विच्छेद।

समस्या: पारंपरिक पदानुक्रमित एल्गोरिदम प्रक्रियात्मक रूप से परिभाषित होते हैं (जैसे, "दो सबसे करीबी क्लस्टरों को मिलाएँ") न कि किसी विशिष्ट अनुकूलन समस्या के समाधान के रूप में। हालांकि वे सहज हैं, लेकिन उनमें इस संबंध में कठोर गणितीय औचित्य की कमी है कि वे वास्तव में किस विशिष्ट उद्देश्य फलन (objective function) को अनुकूलित कर रहे हैं।
सीमा: मौजूदा विधियों को अक्सर क्लस्टरों की इष्टतम संख्या निर्धारित करने या विभाजन की गुणवत्ता का मूल्यांकन करने के लिए "बाहरी" मानदंडों (जैसे सिलुएट स्कोर या AIC जैसे पोस्ट-हॉक इंडेक्स) की आवश्यकता होती है। ये बाहरी मानदंड एल्गोरिदम के अपने तर्क से व्युत्पन्न नहीं होते हैं।
लक्ष्य: 'बाय-पार्टील' (bi-partial) फलनों के एक सामान्य वर्ग और पदानुक्रमित एकत्रीकरण एल्गोरिदम के बीच एक सीधा, स्पष्ट संबंध स्थापित करना, जिससे इन एल्गोरिदमों को एक सैद्धांतिक आधार, विलय प्रक्रिया को रोकने के लिए एक मानदंड, और विभाजन की गुणवत्ता का मूल्यांकन करने की विधि प्राप्त हो सके।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक बाय-पार्टील ऑब्जेक्टिव फंक्शन पर आधारित एक ढांचे का प्रस्ताव करते हैं, जो क्लस्टरिंग को एक ऐसे अनुकूलन समस्या के रूप में मानता है जो दो प्रतिस्पर्धी लक्ष्यों के बीच संतुलन बनाती है:

आंतरिक सामंजस्य (Internal Cohesion - $Q_S$ ): एक ही क्लस्टर के भीतर वस्तुओं के बीच समानता को अधिकतम करना (या दूरी को न्यूनतम करना)।
बाहरी पृथक्करण (External Separation - $Q_D$ ): विभिन्न क्लस्टरों में वस्तुओं के बीच दूरी को अधिकतम करना (या समानता को न्यूनतम करना)।

मुख्य ढांचा (The Core Framework)

कार्यप्रणाली में उद्देश्य फलन $Q(P, r)$ को एक भार पैरामीटर $r \in [0, 1]$ के साथ पैरामीटराइज़ करना शामिल है:
$\max_P Q(P, r) = r Q_S(P) + (1-r) Q_D(P)$
(नोट: शोध पत्र एक न्यूनता (minimization) के द्वैत रूप पर भी चर्चा करता है।

$P$ : डेटा सेट के एक विभाजन (partition) का प्रतिनिधित्व करता है।
$r$ : एक भार पैरामीटर है।
- $r=0$ पर, फलन पृथक्करण ( $Q_D$ ) को प्राथमिकता देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक विभाजन प्राप्त होता है जहाँ प्रत्येक वस्तु अपना स्वयं का क्लस्टर होती है ( $P=I$ )।
- $r=1$ पर, फलन सामंजस्य ( $Q_S$ ) को प्राथमिकता देता है, जिसके परिणामस्वरूप सभी वस्तुओं को समाहित करने वाला एक एकल क्लस्टर प्राप्त होता है।
- "वास्तविक" क्लस्टरिंग समाधान $r = 0.5$ (या एक विशिष्ट इष्टतम $r$ ) पर खोजा जाता है।

एल्गोरिदम का व्युत्पत्ति (Derivation of Algorithms)

शोध पत्र इस फलन से एक प्रगतिशील विलय एल्गोरिदम (progressive merger algorithm) को व्युत्पन्न करने का प्रदर्शन करता है:

प्रारंभ: $r=0$ (सभी वस्तुएं अलग) से शुरू करें।
पुनरावृत्ति चरण (Iterative Step): $r$ को धीरे-धीरे बढ़ाएं। उस विशिष्ट मान $r_t$ की पहचान करें जिस पर वर्तमान विभाजन $P_{t-1}$ अब इष्टतम नहीं रह जाता है और एक नया विभाजन $P_t$ (दो क्लस्टरों को मिलाकर बनाया गया) बेहतर हो जाता है।
विलय नियम (Merger Rule): एल्गोरिदम उन क्लस्टरों के जोड़े को चुनने के लिए क्लस्टरों को मिलाता है जो स्विच करने के लिए आवश्यक $r$ को न्यूनतम करता है। यह शास्त्रीय पदानुक्रमित विधियों के समान एक ग्रीडी (greedy) चयन नियम की ओर ले जाता है।
रोकने का मानदंड (Stopping Criterion): यह प्रक्रिया तब रुक जाती है जब गणना किया गया थ्रेशोल्ड $r_t$ लक्षित भार (जैसे, $r_t > 0.5$ ) से अधिक हो जाता है, जो यह दर्शाता है कि आगे के विलय से समग्र उद्देश्य फलन खराब हो जाएगा।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

A. सैद्धांतिक एकीकरण (Theoretical Unification)

शोध पत्र बाय-पार्टील ऑब्जेक्टिव फंक्शन और पदानुक्रमित एकत्रीकरण एल्गोरिदम के बीच पहला स्पष्ट, सामान्य संबंध प्रदान करता है। यह सिद्ध करता है कि शास्त्रीय एल्गोरिदम (जैसे एवरेज लिंकेज) को विशिष्ट बाय-पार्टील फंक्शन के उप-अनुकूलन प्रक्रियाओं के रूप में गणितीय रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है।

B. विलय नियमों की व्युत्पत्ति (Derivation of Merger Rules)

लेखक विलय थ्रेशोल्ड $r_t$ के लिए एक सामान्य सूत्र व्युत्पन्न करते हैं:
$r_t = \frac{Q_D(P_{t-1}) - Q_D(P_t)}{Q_D(P_{t-1}) - Q_D(P_t) + Q_S(P_t) - Q_S(P_{t-1})}$
यह सूत्र दिखाता है कि विलय का निर्णय आंतरिक समानता में लाभ और अंतर-क्लस्टर पृथक्करण में हानि के बीच के ट्रेड-ऑफ पर आधारित है।

C. विशिष्ट एल्गोरिदम उदाहरण (Specific Algorithmic Examples)

शोध पत्र दर्शाता है कि कैसे $Q_S$ और $Q_D$ की विभिन्न परिभाषाएँ अलग-अलग ज्ञात एल्गोरिदम उत्पन्न करती हैं:

एवरेज लिंकेज (Average Linkage): यह तब व्युत्पन्न होता है जब $Q_S$ और $Q_D$ को समानता और दूरी के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है (जो ड्यूसिमिटियर कनेक्शन से मेल खाता है)।
फैसिलिटी लोकेशन (Facility Location): इसे उद्देश्य फलन में एक स्थिर लागत (constant cost) जोड़कर मॉडल किया गया है।
बाय-पार्टील k-means (Bi-partial k-means): k-means का एक नवीन अनुकूलन जहाँ उद्देश्य फलन में अंतर-क्लस्टर भिन्नता ( $Q_D$ ) और पृथक्करण का एक माप ( $Q_S$ ) दोनों शामिल हैं। यह k-means को बाहरी मानदंडों के बिना आंतरिक रूप से क्लस्टरों की इष्टतम संख्या निर्धारित करने की अनुमति देता है।

D. रोकने का मानदंड और गुणवत्ता मूल्यांकन (Stopping Criterion and Quality Evaluation)

पारंपरिक पदानुक्रमित क्लस्टरिंग के विपरीत, जो एक मनमाने "कट" की आवश्यकता वाले पूर्ण डेंड्रोग्राम को उत्पन्न करती है, यह दृष्टिकोण एक प्राकृतिक स्टॉपिंग पॉइंट प्रदान करता है। एल्गोरिदम तब रुक जाता है जब विलय का सीमांत लाभ (marginal benefit) भार पैरामीटर $r$ के सापेक्ष लागत से अधिक नहीं रहता है। यह विभाजन की गुणवत्ता का एक अंतर्निहित माप प्रदान करता है।

4. परिणाम और चित्रण (Results and Illustrations)

सैद्धांतिक सत्यापन: शोध पत्र गणितीय रूप से प्रदर्शित करता है कि ग्रीडी मर्जर रणनीति (न्यूनतम $r_t$ ) वैश्विक बाय-पार्टील ऑब्जेक्टिव फंक्शन के उप-इष्टतम (sub-optimal) समाधान की ओर ले जाती है।
k-means केस स्टडी:
- लेखक ने एक कृत्रिम डेटासेट ( $n=60$ ) पर बाय-पार्टील दृष्टिकोण लागू किया।
- परिणाम: उद्देश्य फलन $Q_{DS}(p)$ (इंट्रा-क्लस्टर दूरी और इंटर-क्लस्टर समानता का योग) ने $p=4$ क्लस्टरों पर एक स्पष्ट वैश्विक न्यूनतम दिखाया, जिसने डेटा की अंतर्निहित संरचना को सही ढंग से पहचाना।
- तुलना: मानक k-means को $p=4$ खोजने के लिए बाहरी मानदंडों (जैसे कैलिंस्की-हैराबस) की आवश्यकता होती है। बाय-पार्टील पद्धति ने संयुक्त फलन के अनुकूलन के माध्यम से इसे सीधे खोज लिया।
- नेस्टेड पार्टिशन्स (Nested Partitions): पद्धति ने "नेस्टेड" अर्ध-इष्टतम विभाजनों की सफलतापूर्वक पहचान की, जिससे डेटा के भीतर पदानुक्रमित संरचनाओं का पता चला जो मानक विधियों से छूट सकती हैं।
सामान्यीकरण (Generalizability): यह दिखाया गया कि ढांचा विभिन्न दूरी मेट्रिक्स (मैनहट्टन, यूक्लिडियन) और समानता रूपांतरणों को अपनाने के लिए पर्याप्त लचीला है।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

अनुमानी (Heuristics) का औचित्य: यह पदानुक्रमित क्लस्टरिंग को अनुमानी नियमों के एक सेट से बदलकर एक कठोर अनुकूलन ढांचे में बदल देता है।
बाहरी मानदंडों का उन्मूलन: यह क्लस्टरों की संख्या निर्धारित करने के लिए पोस्ट-हॉक सांख्यिकीय सूचकांकों पर निर्भरता को कम करता है, क्योंकि उद्देश्य फलन स्वयं इष्टतम विभाजन को निर्देशित करता है।
एल्गोरिदम डिजाइन: यह उपयुक्त $Q_S$ और $Q_D$ घटकों को परिभाषित करके विशिष्ट डेटा विशेषताओं के अनुरूप नए क्लस्टरिंग एल्गोरिदम डिजाइन करने के लिए एक ब्लूप्रिंट प्रदान करता है।
कंप्यूटेशनल ट्रेड-ऑफ: लेखक स्वीकार करते हैं कि हालांकि यह दृष्टिकोण सैद्धांतिक रूप से सुदृढ़ है, बड़े डेटासेट के लिए कम्प्यूटेशनल लागत (पूर्ण दूरी मैट्रिक्स की गणना करना) उच्च बनी रहती है। इसलिए, शोध पत्र इन बाय-पार्टील नियमों को हाइब्रिड दृष्टिकोण (उदाहरण के लिए, प्रारंभिक मोटे क्लस्टरिंग के लिए k-means का उपयोग करना, फिर परिशोधन के लिए बाय-पार्टील पदानुक्रमित विलय लागू करना) में उपयोग करने का सुझाव देता है।

निष्कर्ष (Conclusion)

जान डब्ल्यू. ओवसिंस्की का शोध पत्र पदानुक्रमित क्लस्टरिंग की प्रक्रियात्मक प्रकृति और अनुकूलन की सैद्धांतिक कठोरता के बीच के अंतर को सफलतापूर्वक पाटता है। एक सामान्य बाय-पार्टील ऑब्जेक्टिव फंक्शन से एकत्रीकरण एल्गोरिदम को व्युत्पन्न करके, यह शोध पत्र एक एकीकृत ढांचा प्रदान करता है जो मौजूदा एल्गोरिदम को न्यायसंगत बनाता है, नए एल्गोरिदम बनाने में सक्षम बनाता है, और क्लस्टर गुणवत्ता तथा क्लस्टरों की इष्टतम संख्या निर्धारित करने के लिए अंतर्निहित तंत्र प्रदान करता है।