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Three-Sign Cancellation Hypernumber Systems and Associator Curvature

यह शोधपत्र वास्तविक क्षेत्र का विस्तार करने वाली एक गैर-साहचर्य (nonassociative) त्रि-चिह्न विलोपन हाइपरसंख्या प्रणाली प्रस्तुत करता है, जो इसके साहचर्य दोषों को एक बंद सूत्र के माध्यम से स्पष्ट रूप से अभिलक्षणित करता है और हाइपरफील्ड्स एवं ट्रॉपिकल ज्यामिति के साथ संबंधों की खोज करने के लिए इसे एक सख्त साहचर्य विलोपन मोनोइड के भीतर समाहित करता है।

मूल लेखक: Jaehwan Kim

प्रकाशित 2026-02-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jaehwan Kim

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक बैंक खाते का बहीखाता (ledger) रख रहे हैं, लेकिन एक ट्विस्ट के साथ। वास्तविक दुनिया में, यदि आपके पास \ $10 हैं और आप \$ 10 खर्च कर देते हैं, तो आपका बैलेंस $0 हो जाता है। लेनदेन पूरा हो गया है; पैसा चला गया है, और उस विशिष्ट "आय" और "व्यय" के बीच हुए संघर्ष का इतिहास मिट गया है।

यह शोध पत्र हाइपरनंबर्स (Hypernumbers) नामक एक नए प्रकार के गणितीय तंत्र का परिचय देता है जो इस इतिहास को गायब होने देने से इनकार करता है। यह एक ऐसे बैंक बहीखाते की तरह है जो न केवल आपका वर्तमान बैलेंस याद रखता है, बल्कि यह भी याद रखता है कि वहां तक पहुँचने के लिए कितनी "लड़ाई" हुई थी।

यहाँ इस शोध पत्र की कहानी है, जिसे सरल अवधारणाओं में विभाजित किया गया है।

1. तीन चिह्न: नया नियम पुस्तिका

हमारी सामान्य दुनिया में, संख्याओं के दो "चिह्न" होते हैं: धनात्मक (Positive) (+) और ऋणात्मक (Negative) (-)। शून्य बस शून्य है।

लेखक, जेहवान किम (Jaehwan Kim), एक तीसरा चिह्न जोड़ते हैं: $\Lambda$ (लैम्ब्डा)।
$\Lambda$ को "निरस्तीकरण की भावना" (Cancellation Spirit) के रूप में सोचें। यह उस क्षण का प्रतिनिधित्व करता है जब एक धनात्मक और एक ऋणात्मक बल मिलते हैं और एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।

(+) एक "जाओ" (Go) बल है।
(-) एक "रुको" (Stop) बल है।
( $\Lambda$ ) वह "शांति" (Peace) बल है जो केवल तभी अस्तित्व में आता है जब 'जाओ' और 'रुको' आपस में टकराते हैं।

2. "हाइपर-एडिशन" का जादू

सामान्य गणित में, $5 + (-5) = 0$ होता है। यह एक एकल, निश्चित उत्तर है।
इस नई प्रणाली में, एक धनात्मक और एक ऋणात्मक संख्या को जोड़ने से आपको केवल एक परिणाम नहीं मिलता; यह इस बात पर निर्भर करते हुए संभावनाओं का एक मेन्यू (विकल्पों की सूची) देता है कि कितना "निरस्तीकरण" हुआ था।

कल्पना कीजिए कि आप रंग मिला रहे हैं।

यदि आप समान मात्रा में लाल (+) और नीला (-) मिलाते हैं, तो आपको केवल "धूसर" (0) नहीं मिलता। आपको एक विशेष जार मिलता है जिस पर लेबल लगा होता है: "निरस्तीकरण का जार" ( $\Lambda$ )।
जार का आकार इस बात पर निर्भर करता है कि कितना पेंट इस्तेमाल किया गया था।
महत्वपूर्ण रूप से, यह प्रणाली सटीक रिकॉर्ड रखती है कि कितने लाल और नीले रंग ने एक-दूसरे से लड़ाई की।

3. बड़ी समस्या: क्रम मायने रखता है

सामान्य गणित में, यह मायने नहीं रखता कि आप अपनी संख्याओं को कैसे समूहबद्ध करते हैं: $(2 + 3) + 4$ वही है जो $2 + (3 + 4)$ है। इसे साहचर्यता (Associativity) कहा जाता है।

इस नई प्रणाली में, क्रम मायने रखता है। लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि आप संख्याओं को एक विशिष्ट क्रम में जोड़ते हैं—जैसे धनात्मक, फिर ऋणात्मक, फिर लैम्ब्डा—तो यह इस पर निर्भर करता है कि आपने पहले कौन सी जोड़ी को जोड़ा।

दो रास्तों की उपमा:
कल्पना कीजिए कि तीन यात्री (hikers) हैं:

यात्री A (धनात्मक, एक भारी बैकपैक ले जा रहा है)।
यात्री B (ऋणात्मक, एक भारी बैकपैक ले जा रहा है)।
यात्री C (लैम्ब्डा, एक भूत जो कुछ भी नहीं ले जाता लेकिन अतीत को याद रखता है)।

पथ 1 (बायां समूह): यात्री A और यात्री B पहले मिलते हैं। वे लड़ते हैं, एक-दूसरे को रद्द करते हैं, और एक "निशान" (निरस्तीकरण द्रव्यमान) छोड़ते हैं। फिर यात्री C उनके साथ जुड़ता है। अंतिम परिणाम एक छोटा निशान वाला भूत है।
पथ 2 (दायां समूह): यात्री B और यात्री C पहले मिलते हैं। वे एक मध्यम निशान वाले भूत में विलीन हो जाते हैं। फिर यात्री A उनके साथ जुड़ता है। अंतिम परिणाम एक विशाल निशान वाला भूत है।

"निशान का आकार" दोनों पथों में अलग है। गणित कहता है: $(A+B)+C \neq A+(B+C)$ । यह प्रणाली पारंपरिक अर्थों में "टूटी हुई" है, लेकिन यह टूटन वास्तव में एक विशेषता है—यह लड़ाई के इतिहास को रिकॉर्ड करती है।

4. गलती की "वक्रता" (Curvature)

लेखक गणना करते हैं कि दोनों पथों में कितना अंतर है। वे इसे "एसोसिएटर कर्वेचर" (Associator Curvature - $\kappa$ ) कहते हैं।

यह पाया गया है कि यह "वक्रता" ठीक उसी राशि के बराबर है जो निरस्तीकरण के दौरान गायब हो गई थी।
यदि यात्री A के पास \ $10 थे और यात्री B के पास \$ 10 थे, तो "वक्रता" 20 है। यह खोई हुई वैल्यू का एक सटीक माप है।

5. "एम्बिएंट" बैकअप सिस्टम

यह समझाने के लिए कि ऐसा क्यों होता है, लेखक एक सुपर-सिस्टम (जिसे एम्बिएंट कैंसिलेशन मोनोइडड कहा जाता है) का निर्माण करते हैं।

कल्पना कीजिए कि एक सुपर-बहीखाता है जो प्रत्येक संख्या के लिए दो चीजें रिकॉर्ड करता है:
1. शुद्ध शेष (Net Balance) (जो आपके पास बचा है)।
2. कुल युद्ध स्कोर (Total War Score) (कितनी लड़ाई हुई)।
इस सुपर-सिस्टम में, गणित पूरी तरह से काम करता है। यह साहचर्य (associative) है। यदि आप तीन संख्याएँ जोड़ते हैं, तो क्रम मायने नहीं रखता; "युद्ध स्कोर" सही ढंग से संचित होता है।

पेच (The Catch):
लेखक सिद्ध करते हैं कि आप इस पूर्ण सुपर-सिस्टम को हमारे नए हाइपरनंबर सिस्टम में बिना सूचना खोए सीधे "प्रोजेक्ट" नहीं कर सकते।

हाइपरनंबर सिस्टम उस पूर्ण सुपर-सिस्टम की एक परछाई (shadow) है।
क्योंकि परछाई एक कोण पर डाली गई है (विशेष नियमों के कारण), परछाई विकृत हो जाती है। यह विकृति ही "गैर-साहचर्यता" (non-associativity) है।
आप केवल वस्तु को देखकर परछाई को ठीक नहीं कर सकते; परछाई स्वयं वह विकृति है।

6. यह क्यों मायने रखता है?

यह सुनने में गणितज्ञों के लिए एक पहेली लग सकता है, लेकिन इसके जटिल प्रणालियों को मॉडल करने के तरीके में वास्तविक दुनिया के निहितार्थ हैं:

ट्रोपिकल ज्योमेट्री (Tropical Geometry): यह क्षेत्र अनुकूलन (optimization) समस्याओं से निपटता है (जैसे सबसे छोटा रास्ता खोजना)। यह नई प्रणाली उन स्थितियों को मॉडल करने में मदद करती है जहाँ "निरस्तीकरण" या "संघर्ष" एक वास्तविक, मापने योग्य मात्रा है, न कि केवल एक शून्य।
डेटा साइंस (Data Science): यह "खोई हुई जानकारी" को ट्रैक करने का एक तरीका प्रदान करता है। कई कंप्यूटर एल्गोरिदम में, जब धनात्मक और ऋणात्मक डेटा एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं, तो हम संघर्ष के संदर्भ को खो देते हैं। यह प्रणाली उस संदर्भ को जीवित रखती है।
गणित का दर्शन (Philosophy of Math): यह दिखाता है कि किसी नियम (साहचर्यता) को "तोड़ना" वास्तव में वास्तविकता के लिए एक समृद्ध, अधिक वर्णनात्मक भाषा बना सकता है।

सारांश

यह शोध पत्र एक ऐसी संख्या प्रणाली पेश करता है जहाँ निरस्तीकरण एक निशान छोड़ता है।

सामान्य गणित: $5 - 5 = 0$ । कहानी समाप्त।
हाइपर-मैथ: $5 - 5 = \Lambda_{10}$ । कहानी को "परिमाण 10 के भूत" के रूप में रिकॉर्ड किया गया है।
ट्विस्ट: यदि आप एक तीसरी संख्या जोड़ते हैं, तो गणित करने का क्रम भूत के आकार को बदल देता है। यह "त्रुटि" कोई बग नहीं है; यह उस संघर्ष का एक सटीक माप है जो हुआ था।

लेखक दिखाते हैं कि हालांकि यह प्रणाली "अव्यवस्थित" (non-associative) है, लेकिन यह एक सुंदर, नियंत्रित अव्यवस्था है जो संख्याओं के इतिहास को उस तरह से पकड़ती है जैसा मानक गणित कभी नहीं कर सका।

यहाँ जेहवान किम (Jaehwan Kim) के शोध पत्र "Three-Sign Cancellation Hypernumber Systems and Associator Curvature" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र वास्तविक क्षेत्र $\mathbb{R}$ के अंकगणित की एक मौलिक सीमा को संबोधित करता है: निरस्तीकरण (cancellation) के प्रति अंतर्निहित संवेदनहीनता। मानक अंकगणित में, जब एक धनात्मक संख्या $x$ और एक ऋणात्मक संख्या $-x$ को जोड़ा जाता है, तो परिणाम $0$ होता है, और विपरीत योगदान का "इतिहास" खो जाता है।

हाइपरस्ट्रक्चर (hypergroups, hyperrings, hyperfields) एक ऐसा ढांचा प्रदान करते हैं जहाँ योग 'सेट-वैल्यूड' (set-valued) होते हैं, जो संभावित रूप से अस्पष्टता को सुरक्षित रख सकते हैं। हालाँकि, मौजूदा संरचनाएँ अक्सर वास्तविक क्षेत्र का विस्तार करने और एक विशिष्ट "निरस्तीकरण परत" (cancellation layer) पेश करने के तरीके से निरस्तीकरण की विशिष्ट मात्रात्मक प्रकृति को पकड़ने में विफल रहती हैं। लेखक एक ऐसी प्रणाली का निर्माण करना चाहते हैं जो:

वास्तविक क्षेत्र $\mathbb{R}$ का विस्तार करे।
निरस्तीकरण घटनाओं को विशेष रूप से एनकोड करने के लिए एक तीसरे चिह्न $\Lambda$ को पेश करे।
निरस्तीकरण के कारण साहचर्य (associativity) की विफलता को परिमाणित करे।
यह जांच करे कि क्या ऐसी एक गैर-साहचर्य प्रणाली को एक अंतर्निहित साहचर्य संरचना से "पुनर्निर्मित" (reconstructed) किया जा सकता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक हाइपरस्ट्रक्चर सिद्धांत, वास्तविक विश्लेषण (real analysis) और मोनोइड सिद्धांत (monoid theory) को संयोजित करते हुए एक बहु-स्तरीय बीजगणितीय दृष्टिकोण अपनाते हैं:

हाइपरसंख्या प्रणाली ( $H$ ) का निर्माण: लेखक एक सेट $H = \{0\} \cup \{+, -, \Lambda\} \times \mathbb{R}_{>0}$ को परिभाषित करते हैं। इसके तत्व एक चिह्न और एक परिमाण (magnitude) के जोड़े हैं।
संचालनों की परिभाषा:
- गुणा (Multiplication): इसे एक चिह्न मोनोइड के माध्यम से परिभाषित किया गया है जहाँ $\Lambda$ एक अवशोषक/इडम्पोटेंट (absorbing/idempotent) तत्व के रूप में कार्य करता है, और परिमाण गुणा मानक वास्तविक अंकगणित का अनुसरण करता है।
- हाइपर-योग ( $\boxplus$ ): एक सावधानीपूर्वक डिज़ाइन किया गया बहु-मूल्य वाला ऑपरेशन। महत्वपूर्ण रूप से, एक धनात्मक और एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या का योग एक सिंगलटन (singleton) देता है (मानक वास्तविक जोड़), लेकिन $\Lambda$ चिह्न वाले इंटरैक्शन ऐसे सेट उत्पन्न करते हैं जो "खोए हुए" परिमाण को एनकोड करते हैं।
साहचर्य का विश्लेषण (Analysis of Associativity): शोध पत्र $\boxplus$ की साहचर्यता का कड़ाई से विश्लेषण करता है। केवल विफलता को नोट करने के बजाय, यह विशिष्ट त्रिकों (triples) के लिए एसोसिएटर कर्वेचर (associator curvature) (दोष/defect) की गणना करता है।
एम्बिएंट निर्माण (Ambient Construction): इस दोष की व्याख्या करने के लिए, लेखक $\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{\geq 0}$ पर एक एम्बिएंट निरस्तीकरण मोनोइड $(K, \oplus)$ का निर्माण करते हैं। यह मोनोइड शुद्ध वास्तविक योग और संचयी "निरस्तीकरण द्रव्यमान" (cancellation mass) दोनों को ट्रैक करता है।
अवरोध सिद्धांत (Obstruction Theory): शोध पत्र एक "ब्रैकेट-स्वतंत्र डिकोडिंग" (bracket-independent decoding) समस्या को सूत्रबद्ध करता है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि क्या $H$ को सूचना खोए बिना एक साहचर्य संरचना से प्राप्त किया जा सकता है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. तीन-चिह्न हाइपरसंख्या प्रणाली ( $H$ )

संरचना: $H$ में शास्त्रीय वास्तविक रेखा $\mathbb{R}_{cl}$ (चिह्न $+$ और $- $के रूप में एम्बेडेड) और एक नया क्षेत्र$ H_\Lambda $(चिह्न$ \Lambda$) शामिल है।
हाइपर-योग के नियम:
- समान चिह्न ( $+, +$ या $-, -$): मानक जोड़।
- विपरीत चिह्न ( $+, -$ ): मानक जोड़ (परिणाम एक सिंगलटन है)।
- $\Lambda$ के साथ इंटरैक्शन: एक वास्तविक संख्या को $\Lambda$ में जोड़ने से बढ़ा हुआ परिमाण वाला $\Lambda$ प्राप्त होता है।
- $\Lambda$ - $\Lambda$ योग: यह मुख्य नवाचार है। $(\Lambda, a) \boxplus (\Lambda, b)$ एक ऐसा सेट देता है जिसमें $\Lambda$ (परिमाण $a+b$ के साथ) और संभावित रूप से वास्तविक संख्याएँ ( $\pm |a-b|$ ) या $0$ शामिल हैं। यह इस विचार को एनकोड करता है कि दो "निरस्तीकरण अवशेष" (cancellation residues) पुन: संयोजित होकर एक अवशिष्ट वास्तविक मान प्रकट कर सकते हैं या लुप्त हो सकते हैं।

B. एसोसिएटर कर्वेचर और नियंत्रित गैर-साहचर्यता (Associator Curvature and Controlled Non-Associativity)

शोध पत्र सिद्ध करता है कि $H$ एक कैनोनिकल हाइपरग्रुप नहीं है क्योंकि इसमें साहचर्यता विफल हो जाती है।

दोष सूत्र (The Defect Formula): $x=(+, a)$ $x = (+, a)$ , $y=(-, b)$ $y = (-, b)$ , $z=(\Lambda, c)$ $z = (Λ, c)$ जैसे एक त्रिक के लिए, दो ब्रैकेटिंग $\Lambda$ $Λ$ -क्षेत्र में अलग-अलग परिमाणों वाले सिंगलटन देते हैं:
- $(x \boxplus y) \boxplus z = \{(\Lambda, c + |a-b|)\}$
- $x \boxplus (y \boxplus z) = \{(\Lambda, a + b + c)\}$
एसोसिएटर कर्वेचर ( $\kappa$ ): इन परिमाणों के बीच के अंतर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$\kappa(a, b, c) = (a + b + c) - (c + |a-b|) = a + b - |a-b| = 2\min(a, b)$
व्याख्या: यह दोष $\kappa$ ठीक वही निरस्तीकरण द्रव्यमान (cancellation mass) है जो वास्तविक क्षेत्र में $a$ और $-b$ को जोड़ने पर खो जाता है। गैर-साहचर्यता यादृच्छिक नहीं है; यह वास्तविक संख्या के निरस्तीकरण का एक सटीक मात्रात्मक माप है।

C. साइन लेयर और लिफाफा (The Sign Layer and Envelope)

लेखक चिह्न सेट $S = \{0, +, -, \Lambda\}$ पर एक कैनोनिकल कम्यूटेटिव हाइपरग्रुप $(S, \oplus_S)$ का निर्माण करते हैं।
लिफाफा गुण (Envelope Property): जबकि पूर्ण प्रणाली $H$ गैर-साहचर्य है, चिह्न परत $S$ साहचर्य है। चिह्न मानचित्र $\text{sgn}: H \to S$ एक लैक्स होमोमोर्फिज्म (lax homomorphism) है। इसका अर्थ है कि हाइपर-योग का चिह्न हमेशा चिह्नों के हाइपर-योग के भीतर होता है, और परिमाण को बदलकर, हाइपर-योग में प्रत्येक संभव चिह्न को साकार किया जाता है। यह प्रणाली का एक "छाया" (shadow) प्रदान करता है जहाँ साहचर्यता बनी रहती है।

D. एम्बिएंट निरस्तीकरण मोनोइड ( $K$ )

निर्माण: $K = \mathbb{R} \times \mathbb{R}_{\geq 0}$ जिसमें ऑपरेशन $(x, c) \oplus (y, d) = (x+y, c+d+C(x,y))$ है।
गुण: $K$ एक सख्त साहचर्य (associative) कम्यूटेटिव मोनोइड है। दूसरा निर्देशांक प्रत्येक चरण में उत्पन्न होने वाले "निरस्तीकरण द्रव्यमान" को संचित करता है।
एम्बेडिंग: एक इंजेक्टिव मैप $\iota: H \to K$ है जो $(\Lambda, a)$ को $(0, a)$ (शून्य वास्तविक मान, $a$ संचित निरस्तीकरण) में मैप करता है।
व्याख्या: $H$ में दो ब्रैकेटिंग $K$ में एकल, साहचर्य अवस्था को $H$ में वापस प्रोजेक्ट करने के विभिन्न तरीकों के अनुरूप हैं। दोष $\kappa$ इस बात का अंतर है कि ब्रैकेटिंग के आधार पर कितना निरस्तीकरण द्रव्यमान $\Lambda$ -परिमाण में परिवर्तित होता है।

E. अवरोध प्रमेय (The Obstruction Theorem)

प्रश्न: क्या $H$ को एक "ब्रैकेट-स्वतंत्र" डिकोडिंग मैप के माध्यम से एक साहचर्य मोनोइड से पुनः प्राप्त किया जा सकता है?
परिणाम: नहीं। शोध पत्र सिद्ध करता है कि त्रिक $((+, 1), (-, 1), (\Lambda, 1))$ के लिए, दो ब्रैकेटिंग $(x \boxplus y) \boxplus z$ और $x \boxplus (y \boxplus z)$ विजातीय सेट (disjoint sets) हैं ( $\{(\Lambda, 1)\}$ बनाम $\{(\Lambda, 3)\}$ )।
निहितार्थ: कोई भी एम्बिएंट प्रतिनिधित्व जो साहचर्य और ब्रैकेट-स्वतंत्र है, उसे डिकोड किए गए परिणाम को इन सेटों के प्रतिच्छेदन (intersection) में होना चाहिए। चूंकि प्रतिच्छेदन खाली है, इसलिए ऐसा कोई प्रतिनिधित्व मौजूद नहीं है। $H$ की गैर-साहचर्यता आंतरिक है और इसे विशिष्ट निरस्तीकरण डेटा खोए बिना एक साहचर्य संरचना में ऊपर उठाकर (lifting) हटाया नहीं जा सकता है।

4. महत्व (Significance)

मात्रात्मक गैर-साहचर्यता (Quantitative Non-Associativity): यह शोध पत्र गैर-साहचर्य हाइपरस्ट्रक्चर के गुणात्मक उदाहरणों से आगे बढ़कर, साहचर्य दोष के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म सूत्र प्रदान करके, इसे सीधे वास्तविक रेखा की ज्यामिति (त्रिकोण असमानता के समानता के मामले) से जोड़ता है।
एक नया बीजगणितीय ऑब्जेक्ट: यह वास्तविक क्षेत्र का विस्तार करने वाली एक "निरस्तीकरण परत" के साथ एक मूर्त हाइपरफील्ड-जैसी संरचना पेश करता है, जो खोई हुई जानकारी के स्मृति (memory) वाले अंकगणित का अध्ययन करने के लिए एक नया उपकरण प्रदान करता है।
हाइपरस्ट्रक्चर सिद्धांत की सीमाएं: अवरोध प्रमेय हाइपरस्ट्रक्चर के सिद्धांत में एक नकारात्मक परिणाम प्रदान करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि सभी गैर-साहचर्य प्रणालियों को साहचर्य संरचनाओं के प्रोजेक्शन के रूप में मॉडल नहीं किया जा सकता है। यह "निरस्तीकरण-संवेदनशील" अंकगणित और मानक साहचर्य बीजगणित के बीच संरचनात्मक अंतर को स्पष्ट करता है।
अनुप्रयोग: यह ढांचा ट्रॉपिकल ज्योमेट्री (tropical geometry), वैल्यूएशन थ्योरी (valuation theory), और मेट्रॉइड थ्योरी (matroid theory) के साथ संबंध सुझाता है, विशेष रूप से उन संदर्भों में जहाँ निरस्तीकरण की "लागत" या "द्रव्यमान" एक प्रासंगिक इनवेरिएंट (invariant) है।

संक्षेप में, जेहवान किम एक नवीन हाइपरसंख्या प्रणाली का निर्माण करते हैं जहाँ साहचर्यता की विफलता एक त्रुटि नहीं बल्कि एक विशेषता है: यह अंकगणितीय निरस्तीकरण का एक सटीक, मापने योग्य रिकॉर्ड है, और शोध पत्र कठोरता से सिद्ध करता है कि इस विशेषता को एक बड़ी साहचर्य संरचना में समाहित करके समाप्त नहीं किया जा सकता है।