🔢 mathematics

Two-dimensional Coulomb gases with multiple outposts

यह शोध पत्र दो-आयामी कूलम्ब गैसों पर पिछले शोध को कई आउटपोस्ट (outposts) के मामले में विस्तारित करता है, यह सिद्ध करते हुए कि इन ज्यामितीय रूप से विच्छेदित क्षेत्रों के पास कणों की गणनाओं का संयुक्त वितरण एक बहुआयामी हाइने (Heine) वितरण की ओर अभिसरित होता है और प्रबल दीर्घ-परासी सहसंबंध (long-range correlations) प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Kohei Noda

प्रकाशित 2026-02-26

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Kohei Noda

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि एक विशाल, खाली मैदान के बीचों-बीच एक विशाल, जादुई डांस फ्लोर है। इस फर्श पर, हजारों नन्हे, आवेशित (charged) नर्तक (मान लीजिए कि वे "इलेक्ट्रॉन्स" हैं) घूम रहे हैं। क्योंकि उन सभी का विद्युत आवेश समान है, वे एक-दूसरे के करीब रहना नापसंद करते हैं। वे एक-दूसरे को धकेलते हैं, दूर जाने की कोशिश करते हैं, ताकि वे जितना संभव हो सके समान रूप से फैल सकें, लेकिन उन्हें एक विशाल, अदृश्य कटोरे जैसे बल (the "potential") द्वारा थाम कर रखा गया है ताकि वे अनंत अंधकार में उड़ न जाएं।

इस सेटअप को गणितज्ञ कौलोम्ब गैस (Coulomb gas) कहते हैं। आमतौर पर, ये नर्तक एक व्यवस्थित, ठोस घेरे या रिंग (जिसे "ड्रॉपलेट" कहा जाता है) में बस जाते हैं जहाँ वे सबसे अधिक सहज महसूस करते हैं।

"आउटपोस्ट्स": समुद्र में भूतिया द्वीप

अब, कल्पना कीजिए कि हम डांस फ्लोर के नियमों में थोड़ा बदलाव करते हैं। हम मुख्य घेरे के बाहर कुछ अजीब, अलग-थलग "द्वीप" या "आउटपोस्ट" बनाते हैं। ये ठोस जमीन नहीं हैं; ये केवल विशिष्ट रिंग हैं जहाँ ऊर्जा के नियम थोड़े अलग हैं।

अतीत में, वैज्ञानिकों ने अध्ययन किया कि जब एक आउटपोस्ट होता है तो क्या होता है। उन्होंने पाया कि यह कुछ आश्चर्यजनक है: भले ही आउटपोस्ट मुख्य भीड़ से दूर हो, कभी-कभी नर्तकों की एक छोटी, यादृच्छिक (random) संख्या (आमतौर पर केवल 0, 1 या 2) आउटपोस्ट के पास रहने के लिए भटक कर आ जाती है। यह कोई निरंतर प्रवाह नहीं था; यह एक छोटी, अस्थिर हलचल थी।

नई खोज: आउटपोस्ट्स की "पार्टी"

इस नए शोध पत्र में, लेखक कोहेई नोडा (Kohei Noda) पूछते हैं: क्या होता है यदि हमारे पास कई आउटपोस्ट हों?

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक मुख्य डांस सर्कल है, और उसके चारों ओर 3, 5, या यहाँ तक कि 10 के कुछ बिखरे हुए "भूतिया द्वीप" हैं। क्या नर्तक किसी एक द्वीप पर जाने के लिए चुनेंगे या वे सभी द्वीपों पर जाने के लिए भटकेंगे?

इसका उत्तर स्वतंत्रता (independence) और गहरे जुड़ाव (deep connection) का एक दिलचस्प मिश्रण है।

1. "हाइने" डांस (यादृच्छिकता/Randomness)

किसी भी एकल आउटपोस्ट पर नर्तकों की संख्या एक विशिष्ट गणितीय पैटर्न का पालन करती है जिसे हाइने वितरण (Heine distribution) कहा जाता है। इसे एक बहुत ही विशिष्ट प्रकार के पासे (dice) के खेल की तरह समझें। आप यह नहीं जानते कि किसी विशिष्ट आउटपोस्ट पर कितने नर्तक आएंगे, लेकिन आप उनकी संभावनाओं (odds) की सटीक भविष्यवाणी कर सकते हैं। यह एक ऐसे खेल की तरह है जहाँ पासे बहुत जटिल, गणितीय तरीके से नियंत्रित किए गए हैं।

2. "टेलीपैथिक" संबंध (सहसंबंध/Correlation)

यहाँ सबसे आश्चर्यजनक बात है। भले ही आउटपोस्ट एक-दूसरे से दूर और अलग-थलग हैं, फिर भी एक आउटपोस्ट के नर्तक दूसरे सभी आउटपोस्ट के नर्तकों के साथ मजबूत रूप से जुड़े होते हैं।

रूपक (Metaphor): कल्पना कीजिए कि मुख्य डांस सर्कल एक विशाल ड्रम है। यदि कोई नर्तक सर्कल से कूदकर आउटपोस्ट A पर जाता है, तो यह ड्रम के तनाव (tension) को थोड़ा बदल देता है। यह परिवर्तन तुरंत आउटपोस्ट B और आउटपोस्ट C द्वारा महसूस किया जाता है।
परिणाम: यदि आप आउटपोस्ट A पर बहुत सारे नर्तक देखते हैं, तो यह वास्तव में इस बात की संभावना को कम कर देता है कि आउटपोस्ट B पर बहुत सारे नर्तक होंगे। वे सिस्टम के "स्थान" के लिए प्रतिस्पर्धा कर रहे हैं। यह म्यूजिकल चेयर के खेल की तरह है जहाँ कुर्सियाँ मीलों दूर बिखरी हुई हैं, लेकिन यदि एक व्यक्ति कुर्सी A पर बैठता है, तो कुर्सी B पर किसी के बैठने की संभावना गिर जाती है। वे "टेलीपैथिक" रूप से प्रतिस्पर्धा कर रहे हैं।

दो परिदृश्य: गैप के बाहर बनाम गैप के अंदर

यह शोध पत्र देखता है कि इन आउटपोस्ट्स को व्यवस्थित करने के दो विशिष्ट तरीके क्या हैं:

परिदृश्य A (बाहरी रिंग): आउटपोस्ट मुख्य डांस सर्कल के बाहर हैं।
- वाइब (Vibe): यह कई छोटे, अलग-थलग उपनगरों वाले एक मुख्य शहर की तरह है। उपनगर उन कुछ लोगों के लिए आपस में प्रतिस्पर्धा करते हैं जो शहर छोड़ने का निर्णय लेते हैं। एक उपनगर मुख्य शहर से जितना दूर होगा, उसे उतने ही कम लोग मिलेंगे।
परिदृश्य B (आंतरिक गैप): आउटपोस्ट नर्तकों की दो संकेंद्रित (concentric) रिंगों के बीच के एक "गैप" में फंसे हुए हैं (जैसे एक छेद वाला डोनट, और आउटपोस्ट उस छेद में तैर रहे हैं)।
- वाइब (Vibe): यहाँ, आउटपोस्ट एक आंतरिक रिंग और एक बाहरी रिंग के बीच दबे हुए हैं। व्यवहार थोड़ा अधिक जटिल है क्योंकि आउटपोस्ट दोनों रिंगों से एक साथ प्रभावित होते हैं। यह एक सैंडविच की तरह है जहाँ फिलिंग (आउटपोस्ट) को ऊपर और नीचे की दोनों ब्रेड स्लाइस द्वारा दबाया जा रहा है। गणित दिखाता है कि इन आउटपोस्ट्स पर यादृच्छिकता वास्तव में विपरीत दिशाओं से धक्का देने वाले दो स्वतंत्र "यादृच्छिकता स्रोतों" का योग है।

यह क्यों मायने रखता है?

आप पूछ सकते हैं, "नृत्य करते इलेक्ट्रॉन्स की परवाह कौन करता है?"

यह केवल भौतिकी (physics) के बारे में नहीं है। यह गणित कई अलग-अलग प्रणालियों में वर्णन करता कि चीजें खुद को कैसे व्यवस्थित करती हैं:

रैंडम मैट्रिसेस (Random Matrices): क्वांटम भौतिकी और संख्या सिद्धांत (number theory) में उपयोग किया जाता है।
वायरलेस नेटवर्क: सिग्नल एक-दूसरे के साथ कैसे हस्तक्षेप (interfere) करते हैं।
अर्थशास्त्र: संसाधनों को बाजार में कैसे वितरित किया जाता है।

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि कई अलग-थलग "द्वीपों" वाले एक अराजक (chaotic) सिस्टम में भी, एक छिपा हुआ, सुंदर क्रम होता है। यादृच्छिकता केवल शोर (noise) नहीं है; यह एक सख्त, बहु-आयामी पैटर्न (multi-dimensional pattern) का पालन करती है जिसे बहु-आयामी हाइने वितरण (Multi-dimensional Heine distribution) कहा जाता है, जहाँ सिस्टम का हर हिस्सा सूक्ष्म रूप से दूसरे हिस्से से बात कर रहा है।

निष्कर्ष (Takeaway)

यदि आपके पास लोगों की एक भीड़ है जो एक-दूसरे से दूर रहने की कोशिश कर रही है, और आप मुख्य समूह के बाहर कुछ विशेष "क्षेत्र" पेश करते हैं, तो उन क्षेत्रों में जाने वाले लोगों की संख्या यादृच्छिक अराजकता नहीं है। यह एक नाजुक, सहसंबद्ध (correlated) नृत्य है। यदि एक क्षेत्र भीड़भाड़ वाला हो जाता है, तो अन्य क्षेत्र खाली होने लगते हैं, और यह सब एक जटिल, सुरुचिपूर्ण गणितीय नियम द्वारा संचालित होता है जिसे लेखक ने अंततः किसी भी संख्या में क्षेत्रों के लिए मैप कर दिया है।

यहाँ कोहेई नोडा के शोध पत्र "Two-dimensional Coulomb gases with multiple outposts" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण और संदर्भ (Problem Statement and Context)

यह शोध पत्र आउटपोस्ट्स (outposts) की उपस्थिति में द्वि-आयामी कूलम्ब गैसों (तदनुसार रैंडम नॉर्मल मैट्रिसेस के आइजनवैल्यूज़) के सांख्यिकीय यांत्रिकी (statistical mechanics) की जांच करता है।

प्रणाली (The System): $\mathbb{C}$ में $n$ कणों $\{z_j\}_{j=1}^n$ की एक प्रणाली, जो वेंडरमंडोंड (Vandermonde determinant) के वर्ग और एक बाहरी विभव (external potential) $Q(z)$ से नियंत्रित एक डिटरमिनेंटल पॉइंट प्रोसेस द्वारा संचालित होती है।
ड्रॉपलेट ( $S$ ): जब $n \to \infty$ , तो कण एक सघन सेट में संघनित हो जाते हैं जिसे ड्रॉपलेट $S = \text{supp}(\sigma)$ कहा जाता है, जहाँ $\sigma$ भारित लघुगणकीय ऊर्जा (weighted logarithmic energy) को न्यूनतम करने वाला साम्यावस्था माप (equilibrium measure) है।
आउटपोस्ट्स (The Outposts): $Q$ से संबंधित बाधा समस्या (obstacle problem) के संदर्भ में, सहि coincence set $S^* = \{z : Q(z) = \check{Q}(z)\}$ (जहाँ $\check{Q}$ बाधा फलन है) में ड्रॉपलेट $S$ के बाहर के घटक हो सकते हैं। $S^* \setminus S$ के इन जुड़े हुए घटकों को आउटपोस्ट्स कहा जाता है।
गैप (The Gap): शोध पत्र इन आउटपोस्ट्स के पास कणों के व्यवहार पर ध्यान केंद्रित करता है, जो आमतौर पर स्पेक्ट्रल गैप्स (वे क्षेत्र जहाँ साम्यावस्था घनत्व शून्य होता है) में स्थित होते हैं।
पूर्व कार्य: एमीर, चार्लियर और क्रोनवॉल (2023) ने एकल आउटपोस्ट ( $m=1$ ) के मामले का अध्ययन किया था, यह दिखाते हुए कि आउटपोस्ट के पास कणों की संख्या एक हाइने वितरण (Heine distribution) (एक पॉइसन वितरण का $q$ -अनुरूप) की ओर अभिसरित होती है।
खुला प्रश्न: क्या यह परिणाम एकाधिक आउटपोस्ट्स ( $m > 1$ ) के लिए सामान्यीकृत होता है? विशेष रूप से, क्या विभिन्न आउटपोस्ट्स के पास कणों की गणनाกัน (counts) स्पर्शोन्मुख रूप से स्वतंत्र (asymptotically independent) होती है, या वे सह-संबंधित (correlated) होती हैं?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन (MGF) के कण गणनाओं के गहन स्पर्शोन्मुखी विश्लेषण (asymptotic analysis) का उपयोग करता है।

ऑर्थोगोनल पॉलीनोमियल्स (Orthogonal Polynomials): एमजीएफ (MGF) के लिए रैखिक सांख्यिकी (linear statistics) के मोमेंट्स और विभव $Q$ से जुड़े भारित ऑर्थोगोनल पॉलीनोमियल्स $p_{j, s f}$ के नॉर्म्स के बीच संबंध मुख्य उपकरण है। आंद्रेइफ की पहचान (Andréief's identity) का उपयोग करके, कण गणना के एक्सपोनेंशियल का प्रत्याशा (expectation) इन नॉर्म्स के अनुपातों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
लैपलेस विधि और पीक सेट्स (Laplace Method & Peak Sets): नॉर्म्स की स्पर्शोन्मुखी गणना लैपलेस विधि का उपयोग करके की जाती है। विश्लेषण $g_\tau(r) = q(r) - 2\tau \log r$ $g_{τ} (r) = q (r) - 2 τ lo g r$ के स्थानीय पीक बिंदुओं (local peak points) (न्यूनतम मान) और महत्वपूर्ण स्थानीय पीक्स ( $SLP(\tau)$ $S L P (τ)$ ) की पहचान करने पर निर्भर करता है।
- ग्लोबल पीक सेट $P(\tau)$ यह बताता है कि आउटपोस्ट कहाँ हो सकते हैं।
- महत्वपूर्ण पीक सेट $SLP(\tau)$ उन बिंदुओं को पकड़ता है जो $n \to \infty$ होने पर इंटीग्रल के अग्रणी क्रम (leading order) में योगदान देते हैं।
फ्लक्चुएशन का डिकपलिंग (Decoupling Fluctuations): प्रमाण में नॉर्म्स के लॉग के योग को ड्रॉपलेट के बल्क (bulk) और आउटपोस्ट्स के पड़ोस के योगदान में विभाजित करना शामिल है। लेखक सीमित एमजीएफ (limiting MGF) प्राप्त करने के लिए आउटपोस्ट्स से संबंधित पदों को अलग करता है।
बहु-आयामी सामान्यीकरण (Multi-dimensional Generalization): शोध पत्र संयुक्त सीमा (joint limit) का वर्णन करने के लिए एक बहु-आयामी हाइने वितरण (Multi-dimensional Heine distribution) पेश करता है। प्रमाण यह प्रदर्शित करता है कि संयुक्त एमजीएफ एक विशिष्ट अनंत उत्पाद रूप में अभिसरित होता है जो इस नए वितरण के जनरेटिंग फंक्शन से मेल खाता है।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

A. बहु-आयामी हाइने वितरण की परिभाषा

शोध पत्र एक वेक्टर के यादृच्छिक चरों $(X_1, \dots, X_m)$ के लिए एक नया प्रायिकता वितरण परिभाषित करता है।

पैरामीटर: $k=1,\dots,m$ के लिए $\theta_k > 0$ और $q_k \in (0,1)$ ।
संरचना: इस वितरण का निर्माण स्वतंत्र बर्नौली-जैसे परीक्षणों (Bernoulli-like trials) के माध्यम से किया जाता है जो $j \in \mathbb{N}$ द्वारा अनुक्रमित हैं, जहाँ प्रत्येक परीक्षण $m$ घटकों में से एक को "सफलता" (success) या "विफलता" (0) आवंटित करता है।
मुख्य गुण: मल्टीनोमियल वितरण के विपरीत, इस वितरण के मार्जिनल्स पॉयसन-बाइनोमियल (Poisson-binomial) हैं, न कि हाइने वितरण। घटक मजबूत रूप से सह-संबंधित (strongly correlated) हैं, भले ही उनके ज्यामितीय स्थान दूर हों।

B. एकाधिक आउटपोस्ट्स का विस्तार

शोध पत्र $m=1$ के परिणाम को $m$ आउटपोस्ट्स के लिए विस्तारित करता है। यह दो ज्यामितीय विन्यासों पर विचार करता है:

केस 1: आउटपोस्ट ड्रॉपलेट के सबसे बाहरी जुड़े हुए घटक के बाहर स्थित हैं (उदाहरण के लिए, $S$ एक एनुलस है, आउटपोस्ट बाहर के वृत्त हैं)।
केस 2: आउटपोस्ट ड्रॉपलेट के दो जुड़े हुए घटकों के बीच के स्पेक्ट्रल गैप में स्थित हैं (उदाहरण के लिए, $S$ दो एनुलस हैं, आउटपोस्ट उनके बीच के गैप में वृत्त हैं)।

C. दीर्घ-रेंज सहसंबंध की खोज

एक प्रमुख निष्कर्ष यह है कि विभिन्न आउटपोस्ट्स के पास कण गणना स्पर्शोन्मुख रूप से स्वतंत्र नहीं है।

भले ही आउटपोस्ट ज्यामितीय रूप से असंबद्ध हों और बड़ी दूरियों से अलग हों, एक आउटपोस्ट के पास कणों की संख्या दूसरे के पास कणों की संख्या के साथ ऋणात्मक रूप से सह-संबंधित (negatively correlated) होती है।
यह सहसंबंध कणों की कुल संख्या के वैश्विक प्रतिबंध और ऑर्थोगोनल पॉलीनोमियल नॉर्म्स की विशिष्ट संरचना से उत्पन्न होता है।

4. मुख्य परिणाम (Main Results)

प्रमेय 1.7 (केस 1: बाहरी आउटपोस्ट्स)

ड्रॉपलेट (त्रिज्या $b_0$ ) के बाहर त्रिज्या $t_1 < \dots < t_m$ पर स्थित $m$ आउटपोस्ट्स के लिए:

मान लीजिए कि $N_{n,k}$ $k$ -वें आउटपोस्ट के छोटे पड़ोस में कणों की संख्या है।
जैसे-जैसे $n \to \infty$ , संयुक्त वितरण अभिसरित होता है:
$(N_{n,1}, \dots, N_{n,m}) \xrightarrow{d} \text{He}(\vartheta_1\rho_1, \dots, \vartheta_m\rho_m; \rho_1^2, \dots, \rho_m^2)$
जहाँ $\rho_k = b_0/t_k$ और $\vartheta_k = \sqrt{\Delta Q(b_0)/\Delta Q(t_k)}$ ।
सहसंबंध (Correlation): $N_{n,p}$ और $N_{n,q}$ ( $p \neq q$ ) के बीच सहप्रसरण (covariance) स्पष्ट रूप से ऋणात्मक है, जो कणों के लिए प्रतिस्पर्धा को दर्शाता है।

प्रमेय 1.9 (केस 2: आंतरिक आउटपोस्ट्स)

एक आंतरिक ड्रॉपलेट घटक (त्रिज्या $b_0$ ) और एक बाहरी घटक (त्रिज्या $a_1$ ) के बीच के गैप में स्थित $m$ आउटपोस्ट्स के लिए:

सीमित वितरण अधिक जटिल है। कण गणनाओं का संयुक्त वेक्टर दो स्वतंत्र बहु-आयामी हाइने यादृच्छिक वेक्टर्स के योग के रूप में अभिसरित होता है:
$(N_{n,0}, \dots, N_{n,m}) \approx X^{(1)} + X^{(2)}$
$X^{(1)}$ गैप के आंतरिक सीमा (inner boundary) द्वारा संचालित उतार-चढ़ाव (fluctuations) को कैप्चर करता है।
$X^{(2)}$ गैप की बाहरी सीमा (outer boundary) द्वारा संचालित उतार-चढ़ाव को कैप्चर करता है।
यह अपघटन (decomposition) प्रकट करता है कि स्पेक्ट्रल गैप में "विस्थापन घटना" (displacement phenomenon) दो स्वतंत्र स्रोतों द्वारा संचालित होती है, फिर भी गैप के भीतर विशिष्ट आउटपोस्ट्स पर गणनाएँ इन सीमाओं के साझा प्रभाव के कारण सह-संबंधित रहती हैं।

कोरोलरीज (अपेक्षाएं और विचरण)

शोध पत्र अपेक्षाओं (expectations), विचरण (variances) और सहप्रसरण (covariances) के लिए स्पष्ट सूत्र प्रदान करता है।

अपेक्षा (Expectation): एक आउटपोस्ट पर कणों की अपेक्षित संख्या परिमित है और जैसे-जैसे आउटपोस्ट ड्रॉपलेट से दूर जाता है, घटती जाती है।
सहप्रसरण (Covariance):
- केस 1 में: सहप्रसरण एक एकल ऋणात्मक योग है।
- केस 2 में: सहप्रसरण दो ऋणात्मक पदों का योग है (गैप के प्रत्येक पक्ष से एक)।
- महत्वपूर्ण रूप से, दो स्वतंत्र घटकों ( $X^{(1)}$ और $X^{(2)}$ ) के बीच का मिश्रित सहप्रसरण शून्य हो जाता है, लेकिन प्रत्येक घटक के भीतर आंतरिक सहसंबंध बने रहते हैं।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

सैद्धांतिक भौतिकी: ये परिणाम कूलम्ब गैसों और रैंडम मैट्रिक्स थ्योरी में उतार-चढ़ाव (fluctuations) की समझ को गहरा करते हैं। वे दिखाते हैं कि 2D प्रणालियों में स्थानीय सांख्यिकी पूरी तरह से स्थानीय नहीं होती है; वैश्विक प्रतिबंध अलग-अलग क्षेत्रों (आउटपोस्ट्स) के बीच दीर्घ-रेंज सहसंबंध पैदा करते हैं।
गणितीय नवाचार: बहु-आयामी हाइने वितरण को पेश करना सांख्यिकीय यांत्रिकी से उत्पन्न सह-संबंधित असतत यादृच्छिक चरों को मॉडल करने के लिए एक नया उपकरण प्रदान करता है। यह स्पष्ट करता है कि ऐसे वितरणों को सरल 1D वितरणों के उत्पादों में नहीं बदला जा सकता है।
सार्वभौमिकता (Universality): निष्कर्ष बताते हैं कि स्पेक्ट्रल गैप के पास कण गणनाओं की सहसंबंध संरचना रोटेशन-इनवेरिएंट पोटेंशियल (rotation-invariant potentials) के लिए सार्वभौमिक है, जो ड्रॉपलेट की ज्यामिति और विभव के लाप्लासियन (Laplacian) द्वारा नियंत्रित होती है।
भविष्य की दिशाएँ: यह शोध पत्र कई आउटपोस्ट्स वाले गैर-रेडियली सिमेट्रिक पोटेंशियल के अध्ययन और इन आउटपोस्ट्स के पास सहसंबंध कर्नेल (correlation kernels) के व्यवहार की जांच के मार्ग खोलता है।

संक्षेप में, नोडा का कार्य यह प्रदर्शित करता है कि 2D कूलम्ब गैसों में, कई आउटपोस्ट्स की उपस्थिति एक समृद्ध, सह-संबंधित सांख्यिकीय संरचना की ओर ले जाती है जिसे एक नए बहु-आयामी वितरण द्वारा वर्णित किया जाता है, जो इस सहज ज्ञान को चुनौती देती है कि ऐसी प्रणालियों में दूर के क्षेत्र स्वतंत्र रूप से व्यवहार करते हैं।