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HYCO: A Formalism for Hybrid-Cooperative PDE Modelling

यह शोध पत्र HYCO को प्रस्तुत करता है, जो एक हाइब्रिड मॉडलिंग फ्रेमवर्क है जो विरल (sparse) और शोर युक्त (noisy) डेटा वाले इल-पोज़्ड (ill-posed) PDE समस्याओं को मजबूती से हल करने के लिए पारस्परिक नियमितीकरण (mutual regularization) और गेम-थ्योरेटिक अल्टरनेटिंग ऑप्टिमाइज़ेशन के माध्यम से भौतिकी-आधारित और डेटा-संचालित घटकों को एकीकृत करता है।

मूल लेखक: Lorenzo Liverani, Enrique Zuazua

प्रकाशित 2026-03-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Lorenzo Liverani, Enrique Zuazua

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, जटिल पहेली को हल करने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन आपके पास केवल कुछ बिखरे हुए टुकड़े और अंतिम चित्र कैसा दिखना चाहिए, इसकी एक धुंधली सी तस्वीर है। यह उन वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के दैनिक संघर्ष जैसा है जो वास्तविक दुनिया की प्रणालियों, जैसे मौसम के पैटर्न, रासायनिक प्रतिक्रियाओं, या बिजली के प्रवाह को मॉडल करने की कोशिश करते हैं।

पारंपरिक रूप से, उनके पास दो मुख्य उपकरण रहे हैं, लेकिन दोनों में खामियां हैं:

"नियमों का विशेषज्ञ" (भौतिकी-आधारित मॉडल - Physics-Based Models): यह विशेषज्ञ प्रकृति के सभी नियमों को पूरी तरह से जानता है। वह गणित के आधार पर भविष्यवाणी कर सकता है कि एक प्रणाली को कैसे व्यवहार करना चाहिए। लेकिन, वे कठोर हैं। यदि वास्तविक दुनिया अव्यवस्थित, शोर भरी, या यदि उन्हें कोई विशिष्ट नियम (जैसे कोई छिपा हुआ चर) नहीं पता है, तो वे अटक जाते हैं या गलत उत्तर देते हैं।
"पैटर्न पहचानने वाला" (डेटा-संचालित मॉडल - Data-Driven Models): यह एक सुपर-फास्ट सीखने वाला विशेषज्ञ है जो पहेली की हजारों तस्वीरों को देखता है और पैटर्न का अनुमान लगाता है। वे उन टुकड़ों को फिट करने में माहिर हैं जिन्हें उन्होंने देखा है, लेकिन यदि आप उनसे पहेली के उस हिस्से के बारे में पूछते हैं जिसे उन्होंने कभी नहीं देखा, तो वे अक्सर बेतुकी चीजें बनाना शुरू कर देते हैं। उन्हें कुछ भी सीखने के लिए डेटा के एक विशाल ढेर की आवश्यकता होती है।

HYCO से मिलिए: "सहकारी जोड़ी" (The Cooperative Duo)

यह पेपर HYCO (हाइब्रिड-कोऑपरेटिव लर्निंग) का परिचय देता है। "नियमों के विशेषज्ञ" को "पैटर्न पहचानने वाले" की तरह व्यवहार करने के लिए मजबूर करने के बजाय (जिससे अक्सर एक खराब समझौता होता है), HYCO उन्हें दो अलग-अलग साथियों के रूप में एक साथ काम करने के रूप में देखता है।

यह इस प्रकार काम करता है, एक सरल उपमा का उपयोग करते हुए:

उपमा: वास्तुकार और सर्वेक्षक (The Architect and the Surveyor)

कल्पना कीजिए कि आप एक धुंधले जंगल में एक घर बना रहे हैं।

वास्तुकार (भौतिकी मॉडल): भौतिकी के नियमों को जानता है। वह जानता है कि दीवारें सीधी होनी चाहिए, छत ढलान वाली होनी चाहिए, और घर खड़ा रहना चाहिए। लेकिन उसे यह नहीं पता कि इस विशिष्ट स्थान पर पेड़ वास्तव में कहाँ हैं या जमीन कितनी ढलान वाली है।
सर्वेक्षक (डेटा मॉडल): उसके पास एक ड्रोन और एक कैमरा है। वह देख सकता है कि पेड़ वास्तव में कहाँ हैं और जमीन अभी कैसी दिख रही है। लेकिन वह इंजीनियरिंग के नियमों को नहीं जानता; यदि वह केवल पेड़ों के आधार पर घर बनाता है, तो वह ढह सकता है।

पुराना तरीका (PINNs): आप वास्तुकार को मजबूर करते हैं कि वह सर्वेक्षक की तस्वीरों के अंदर घर बनाने की कोशिश करे। वास्तुकार भ्रमित हो जाता है, क्योंकि वह नियमों का पालन करने और उन अस्त-व्यस्त तस्वीरों की नकल करने के बीच संघर्ष करता है। यह एक खींचतान की तरह है।

HYCO का तरीका: आप वास्तुकार और सर्वेक्षक को एक कमरे में रखते हैं।

वास्तुकार भौतिकी के आधार पर एक ब्लूप्रिंट बनाता है।
सर्वेक्षक ड्रोन तस्वीरों के आधार पर एक स्केच बनाता है।
जादुई कदम: वे अपने चित्रों की तुलना करते हैं। यदि वास्तुकार कहता है, "छत को इस तरह ढलना चाहिए," और सर्वेक्षक कहता है, "लेकिन पेड़ इसे रोक रहे हैं," तो वे लड़ते नहीं हैं। इसके बजाय, वे एक-दूसरे को संकेत (nudge) देते हैं।
- वास्तुकार पेड़ों के अनुकूल होने के लिए ब्लूप्रिंट को थोड़ा समायोजित करता है।
- सर्वेक्षक अपने स्केच को इस तरह समायोजित करता है कि घर ढह न जाए।
वे इस आने-जाने की प्रक्रिया को तब तक दोहराते हैं जब तक कि उनके चित्र पूरी तरह से मेल न खा जाएं।

यह विशेष क्यों है?

1. "घोस्ट पॉइंट" (Ghost Point) की ट्रिक
आमतौर पर, दो जटिल मॉडलों की तुलना करने के लिए ब्रह्मांड के हर बिंदु की जांच करने की आवश्यकता होती है, जिसमें बहुत समय लगता है। HYCO "घोस्ट पॉइंट्स" नामक एक चतुर ट्रिक का उपयोग करता है।
कल्पना कीजिए कि वास्तुकार और सर्वेक्षक पूरे घर की जांच नहीं करते। इसके बजाय, वे हर दिन जंगल में 100 अदृश्य स्थानों (घोस्ट पॉइंट्स) को याद से चुनते हैं ताकि अपने चित्रों की तुलना कर सकें। यदि वे उन यादृच्छिक बिंदुओं पर सहमत होते हैं, तो वे मान लेते हैं कि वे हर जगह सहमत हैं। यह प्रक्रिया को अविश्वसनीय रूप से तेज़ और कुशल बनाता है।

2. "अंधा" साथी (The Blind Partner)
सबसे दिलचस्प विशेषताओं में से एक यह है कि एक साथी को डेटा देखने की आवश्यकता भी नहीं है!

कल्पना कीजिए कि सर्वेक्षक की आंखों पर पट्टी बंधी है (कोई डेटा नहीं)। वह केवल घर के नियमों को जानता है।
वास्तुकार (जिसके पास तस्वीरें हैं) एक स्केच बनाता है।
सर्वेक्षक कहता है, "यह स्केच भौतिकी के नियमों का उल्लंघन करता है!"
वास्तुकार सुधार करता है।
अंततः, अंधा सर्वेक्षक वास्तुकार के सुधारों को सुनकर घर के आकार को सीख जाता है, और वास्तुकार सर्वेक्षक की तस्वीरों के माध्यम से पेड़ों के स्थान को सीख जाता है। वे एक-दूसरे की कमियों को भरने में मदद करते हैं।

3. गोपनीयता और टीम वर्क
चूंकि वे केवल अपने चित्रों (भविठवाणियों) का आदान-प्रदान करते हैं, न कि अपने कच्चे डेटा या गुप्त सूत्रों का, इसलिए यह तरीका गोपनीयता के लिए बहुत अच्छा है। दो अस्पताल रोगी के रिकॉर्ड साझा किए बिना किसी बीमारी के बारे में सीखने के लिए सहयोग कर सकते हैं। एक अस्पताल के पास चिकित्सा नियम (Physics) हैं, दूसरे के पास रोगी का डेटा (Data) है। वे एक-दूसरे को बेहतर बनाने के लिए केवल अपने "सर्वश्रेष्ठ अनुमान" साझा करते हैं।

परिणाम: कौन जीतता है?

पेपर ने दो कठिन समस्याओं पर इसका परीक्षण किया:

रासायनिक प्रतिक्रियाएं (Gray-Scott): एक ऐसी प्रणाली जो जटिल, चलती हुई आकृतियाँ बनाती है।
- परिणाम: पुराने तरीकों (PINNs) ने भ्रमित होकर पैटर्न को बिगाड़ दिया। HYCO ने पैटर्न को स्थिर और सटीक रखा, यहाँ तक कि यह भी भविष्यवाणी की कि वे भविष्य में कैसे बदलेंगे।
छिपी हुई लहरें (Helmholtz Equation): दीवार के केवल एक छोटे से कोने को देखकर उसके अंदर क्या है, इसका पता लगाना।
- परिणाम: जब डेटा गायब था (दीवार का केवल 25% हिस्सा दिखाई दे रहा था), तो पुराने तरीकों ने गलत अनुमान लगाया। HYCO ने छिपे हुए हिस्सों का सही अनुमान लगाने के लिए "सहयोगात्मक संकेत" का उपयोग किया।

निष्कर्ष

HYCO दो विशेषज्ञों के बीच एक नृत्य (dance) की तरह है। एक विशेषज्ञ द्वारा सब कुछ करने की कोशिश करने और विफल होने के बजाय, वे बारी-बारी से नेतृत्व करते हैं और अनुसरण करते हैं। "भौतिकी" विशेषज्ञ समाधान को वास्तविकता से जोड़े रखता है, जबकि "डेटा" विशेषज्ञ इसे वास्तव में जो हुआ उससे जोड़े रखता है। एक-दूसरे से लगातार संपर्क करके, वे उन समस्याओं को हल करते हैं जिन्हें वे अकेले हल नहीं कर सकते थे, विशेष रूप से जब डेटा कम या शोर भरा हो।

यह एक कठिन गणितीय समस्या को "सहयोकारी सहमति" के खेल में बदल देता है, जहाँ लक्ष्य जीतना नहीं, बल्कि एक पूर्ण सहमति तक पहुँचना है।

यहाँ लॉरेन्ज़ो लिवरानी और एनरिके ज़ुआज़ुआ के शोध पत्र "HYCO: A Formalism for Hybrid-Cooperative PDE Modelling" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

गणितीय मॉडलिंग आमतौर पर दो अलग-अलग प्रतिमानों (paradigms) पर निर्भर करती है, जिनमें से प्रत्येक की महत्वपूर्ण सीमाएँ हैं:

भौतिकी-आधारित मॉडल (Physics-Based Models): विभेदक समीकरणों (differential equations) पर आधारित, ये व्याख्यात्मकता (interpretability) और एक्सट्रपलेशन (extrapolation) क्षमताएं प्रदान करते हैं, लेकिन जब शासन समीकरण (governing equations) अज्ञात या जटिल हों, या डेटा विरल (sparse) हो, तो ये संघर्ष करते हैं।
डेटा-संचालित मॉडल (जैसे न्यूरल नेटवर्क): डेटा को फिट करने में लचीले और शक्तिशाली, लेकिन इन्हें बड़े डेटासेट की आवश्यकता होती है, इनमें व्याख्यात्मकता का अभाव होता है, और अक्सर प्रशिक्षण वितरण (training distribution) के बाहर सामान्यीकरण (generalize) करने में विफल रहते हैं।

अंतराल (The Gap): मौजूदा हाइब्रिड दृष्टिकोण, जैसे कि फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क्स (PINNs), एक ही मॉडल के भीतर भौतिक नियमों और डेटा निष्ठा (data fidelity) को संतुष्ट करने का प्रयास करते हैं। यह एक कठिन बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन (multi-objective optimization) समस्या पैदा करता है जहाँ प्रतिस्पर्धी लॉस टर्म्स (डेटा बनाम भौतिकी) को संतुलित करना कठिन हो सकता है, जो अक्सर अस्थिरता या खराब अभिसरण (convergence) का कारण बनता है, विशेष रूप से विरल डेटा वाले इल-पोस्ड (ill-posed) इन्वर्स समस्याओं में।

लक्ष्य (The Goal): लेखक HYCO (Hybrid-Cooperative Learning) का प्रस्ताव करते हैं, जो भौतिक और डेटा-संचालित घटकों को अलग करता है, और उन्हें एक ही नेटवर्क के 'प्रतिबंधित उप-घटकों' के बजाय 'सहकारी एजेंटों' के रूप में मानता है। इसका लक्ष्य विरल या शोर वाले डेटा की स्थिति में समाधान क्षेत्रों (solution fields) और अज्ञात सिस्टम मापदंडों (parameters) को एक साथ रिकवर करना है।

2. कार्यप्रणाली: HYCO फ्रेमवर्क (Methodology: The HYCO Framework)

HYCO दो स्वतंत्र मॉडलों के बीच एक सममित, पीयर-टू-पीयर कपलिंग पेश करता है:

भौतिक मॉडल ( $u_{phy}$ ): एक संरचनात्मक एंसेट्रल (structural ansatz) (जैसे, डिस्क्रीटाइज्ड PDEs) पर आधारित, जिसमें अज्ञात पैरामीटर $\Lambda$ हैं। यह एक डेटा-फिटिंग लॉस $L_{phy}$ को कम करता है (यदि डेटा उपलब्ध हो)।
सिंथेटिक मॉडल ( $u_{syn}$ ): एक डेटा-संचालित अनुमानक (जैसे, न्यूरल नेटवर्क) जिसके पैरामीटर $\Theta$ हैं। यह एक डेटा-फिटिंग लॉस $L_{syn}$ को कम करता है।

सहकारी तंत्र (The Cooperative Mechanism)

PINNs के विपरीत, जहाँ भौतिकी को न्यूरल नेटवर्क के भीतर एक दंड (penalty) के रूप में कोड किया जाता है, HYCO दोनों मॉडलों को पूरे डोमेन $\Omega$ में उनके भविष्यवाणियों के बीच विसंगति को मापने वाले एक इंटरैक्शन लॉस ( $L_{int}$ ) के माध्यम से जोड़ता है:
$L_{int}(\Theta, \Lambda) = \int_{\Omega} \|u_{syn}(x) - u_{phy}(x)\|^2 dx$

कुल उद्देश्य एक भारित योग (weighted sum) है:
$\min_{\Theta, \Lambda} \alpha L_{syn}(\Theta) + \beta L_{phy}(\Lambda) + L_{int}(\Theta, \Lambda)$
महत्वपूर्ण रूप से, भार $\alpha$ और $\beta$ शून्य हो सकते हैं, जिससे एक मॉडल केवल इंटरैक्शन टर्म के माध्यम से प्रशिक्षित हो सकता है यदि उसके पास प्रत्यक्ष अवलोकन संबंधी डेटा तक पहुँच नहीं है।

गेम-थ्योरेटिक व्याख्या और एल्गोरिदम (Game-Theoretic Interpretation & Algorithm)

इस फ्रेमवर्क को एक दो-खिलाड़ी खेल (two-player game) के रूप में व्याख्यायित किया गया है जो एक नैश इक्विलिब्रियम (Nash equilibrium) की तलाश कर रहा है:

खिलाड़ी 1 (भौतिक): $L_1 = \beta L_{phy} + L_{int}$ को कम करता है।
खिलाड़ी 2 (सिंथेटिक): $L_2 = \alpha L_{syn} + L_{int}$ को कम करता है।

एल्गोरिदम 1 (अल्टरनेटिंग ऑप्टिमाइजेशन):
संयुक्त ग्रेडिएंट डिसेंट के बजाय, मॉडलों को बारी-बारी से अपडेट किया जाता है:

$\Theta$ को स्थिर रखते हुए $\Lambda$ (भौतिक) को अपडेट करें।
$\Lambda$ को स्थिर रखते हुए $\Theta$ (सिंथेटिक) को अपडेट करें।
यह आगे-पीछे की प्रक्रिया दोनों मॉडलों को आपसी सहमति की ओर ले जाती है।

दक्षता के लिए घोस्ट पॉइंट्स (Ghost Points for Efficiency)

पूरे डोमेन को डिस्क्रीटाइज किए बिना इंटरैक्शन लॉस की गणना करने के लिए, लेखक घोस्ट पॉइंट्स (Ghost Points) पेश करते हैं:

प्रत्येक पुनरावृत्ति (iteration) पर, $\Omega$ से $H$ बिंदु यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं।
इन बिंदुओं का उपयोग केवल $u_{syn}$ और $u_{phy}$ के बीच की विसंगति के इंटीग्रल को अनुमानित करने के लिए किया जाता है।
यह स्टोकेस्टिक दृष्टिकोण विसंगति लागत को भौतिक मेश रिज़ॉल्यूशन से अलग करता है और ओवरफिटिंग के विरुद्ध एक रेगुलराइज़र के रूप में कार्य करता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

सममित हाइब्रिडाइजेशन (Symmetric Hybridization): PINNs के विपरीत जहाँ भौतिकी न्यूरल नेटवर्क को बाधित करती है, HYCO दोनों मॉडलों को समान साथियों के रूप में मानता है। यह पदानुक्रमित पूर्वाग्रह (hierarchical bias) से बचता है और लचीला मॉडल चयन की अनुमति देता है।
गेम-थ्योरेटिक ट्रेनिंग: नैश इक्विलिब्रियम समस्या के रूप में इसके फॉर्मूलेशन से एक सरल, कार्यान्वयन योग्य अल्टरनेटिंग ऑप्टिमाइजेशन स्कीम सक्षम होती है जो स्वाभाविक रूप से प्रतिस्पर्धी उद्देश्यों को संभालती है।
गोपनीयता जागरूकता (Privacy Awareness): मॉडल केवल अनुमानित अवस्थाओं (या अवशेषों/residuals) का आदान-प्रदान करते हैं, न कि कच्चे डेटा या आंतरिक मापदंडों का। यह फ्रेमवर्क फेडरेटेड लर्निंग या मल्टी-इंस्टीट्यूशनल सेटिंग्स के लिए उपयुक्त बनाता है जहाँ डेटा साझा नहीं किया जा सकता है।
विरलता के प्रति मजबूती (Robustness to Sparsity): इंटरैक्शन लॉस एक अंतर्निहित रेगुलराइजेशन प्रदान करता है। सीमित अवलोकन संबंधी डेटा के साथ भी, भौतिक मॉडल सिंथेटिक मॉडल का मार्गदर्शन करता है, और सिंथेटिक मॉडल भौतिक मॉडल को स्थिर करता है, जिससे बेहतर एक्सट्रपलेशन संभव होता है।

4. संख्यात्मक परिणाम (Numerical Results)

लेखकों ने दो बेंचमार्क इन्वर्स समस्याओं पर HYCO का सत्यापन किया:

A. ग्रे-स्कॉट रिएक्शन-डिफ्यूजन सिस्टम (गतिशील/Dynamic)

कार्य: विरल, रैंडम स्पैटियो-टेम्पोरल डेटा से समय-विकास (time-evolution) और डिफ्यूजन गुणांकों ( $D_u, D_v$ ) को रिकवर करना।
तुलना: HYCO बनाम बेसलाइन NN बनाम PINN।
परिणाम:
- सटीकता: PINN (0.123) और NN (0.153) की तुलना में HYCO ने सबसे कम $L_2$ त्रुटियां (भौतिक के लिए 0.020, सिंथेटिक के लिए 0.063) प्राप्त कीं।
- पैरामीटर रिकवरी: HYCO ने वास्तविक डिफ्यूजन गुणांकों की सटीक पहचान की। इसके विपरीत, PINN गलत मापदंडों पर अभिसरित हुआ क्योंकि इसके लचीले नेटवर्क ने प्रशिक्षण डेटा को फिट करने के लिए गलत भौतिकी की भरपाई की थी।
- स्थिरता: HYCO ने पैटर्न जटिलता बढ़ने के साथ स्थिरता बनाए रखी, जबकि PINN और NN अस्थिर हो गए और विफल रहे।

B. हेट्रोजेनियस हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण (स्थिर/Static इन्वर्स समस्या)

कार्य: सेंसर डेटा से गाऊसी मापदंडों द्वारा परिभाषित स्थानिक रूप से परिवर्तनशील गुणांकों ( $\kappa, \eta$ ) को रिकवर करना।
परिदृश्य: फुल डोमेन, पार्शियल डोमेन, और क्वार्टर डोमेन (अत्यधिक इल-पोस्ड) सेंसर कवरेज के लिए परीक्षण किया गया।
तुलना: HYCO बनाम फाईनाइट एलीमेंट मेथड (FEM) बनाम PINN।
परिणाम:
- विरल डेटा (क्वार्टर डोमेन): यह सबसे चुनौतीपूर्ण मामला है।
  - FEM: पूरी तरह विफल रहा (पैरामीटर त्रुटि $e_p \approx 1.1$ ), गलत मापदंडों पर अभिसरित हुआ जो स्थानीय डेटा को फिट करते थे लेकिन वैश्विक स्तर पर विफल रहे।
  - PINN: काफी संघर्ष किया (पैरामीटर त्रुटि $e_p \approx 0.75$ )।
  - HYCO: सफलतापूर्वक ग्राउंड ट्रुथ मापदंडों ( $e_p \approx 0.04$ ) और समाधान क्षेत्र ( $e_s \approx 0.07$ ) को रिकवर किया।
- निष्कर्ष: सहकारी बाधा (cooperative constraint) ने HYCO को उन अनऑब्जर्व्ड क्षेत्रों में फील्ड्स को पुनर्निर्मित करने में सक्षम बनाया जहाँ शुद्ध डेटा-संचालित या मानक इन्वर्स विधियाँ विफल रहीं।

5. महत्व और भविष्य का कार्य (Significance and Future Work)

महत्व:
HYCO "प्रतिबंधित अनुकूलन" (constrained optimization) से "सहकारी शिक्षण" (cooperative learning) की ओर एक प्रतिमान बदलाव (paradigm shift) का प्रतिनिधित्व करता है। भौतिकी और डेटा को दो अलग-अलग, परस्पर क्रिया करने वाले एजेंटों के रूप में मानकर, यह फ्रेमवर्क इल-पोस्ड समस्याओं और विरल डेटा व्यवस्थाओं में बेहतर मजबूती प्राप्त करता है। यह उन परिदृश्यों के लिए एक व्यावहारिक समाधान प्रदान करता जहाँ डेटा विरल, शोर वाला या प्रतिबंधित (गोपनीयता संबंधी चिंताएं) है।

सीमाएं और भविष्य की दिशाएं:

कंप्यूटेशनल लागत: दो मॉडलों को एक साथ प्रशिक्षित करने में ओवरहेड होता है, हालांकि पैरेललाइजेशन इसे कम कर सकता है।
सैद्धांतिक अंतराल: वर्तमान में अभिसरण गारंटी केवल सरलीकृत उत्तोलक (convex) सेटिंग्स के लिए स्थापित की गई है; सामान्य गैर-उत्तोलक (non-convex) मामलों के लिए और अधिक सैद्धांतिक विश्लेषण की आवश्यकता है।
भविष्य का कार्य: लेखक मल्टीफिजिक्स समस्याओं, डोमेन अपघटन (domain decomposition), और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों (जलवायु, रोबोटिक्स) पर HYCO को लागू करने का सुझाव देते हैं। वे उन्नत आर्किटेक्चर (ट्रांसफॉर्मर, न्यूरल ऑपरेटर्स) का उपयोग करने और प्रशिक्षण एल्गोरिदम को बेहतर बनाने के लिए गेम-थ्योरेटिक विश्लेषण को गहरा करने की भी योजना बना रहे हैं।