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Neural Luenberger state observer for nonautonomous nonlinear systems

यह शोधपत्र एक विस्तारित KKL संरचना और डेटा से इसके गैररेखीय मैपिंग को सीखकर, नॉनऑटोनॉमस नॉनलीनियर सिस्टम्स के लिए एक न्यूरल लुएनबर्गर स्टेट ऑब्जर्वर को सिंथेसाइज करने हेतु एक मॉडल-फ्री विधि प्रस्तावित करता है, जो त्रुटि सीमाओं की सैद्धांतिक गारंटी देता है और बायोरिएक्टर केस स्टडीज पर दृष्टिकोण को मान्य करता है।

मूल लेखक: Moritz Woelk, Jarod Morris, Wentao Tang

प्रकाशित 2026-03-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Moritz Woelk, Jarod Morris, Wentao Tang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, अपारदर्शी बर्तन में पक रहे एक गुप्त सूप की सटीक रेसिपी का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। आप अंदर नहीं देख सकते, और आपके पास रेसिपी बुक भी नहीं है। आप केवल ये चीजें कर सकते हैं:

बर्तन में सामग्री डालना (जैसे नमक या पानी)।
एक छोटे से निकास द्वार (स्प्राउट) से निकलने वाले शोरबे (ब्रोथ) का स्वाद लेना।

आपका लक्ष्य यह पता लगाना है कि बर्तन के अंदर वास्तव में क्या हो रहा है (तापमान, मसालों की सांद्रता, बुलबुलों का आकार) - केवल यह देखकर कि आप क्या डाल रहे हैं और क्या स्वाद ले रहे हैं।

इंजीनियरिंग की दुनिया में, इसे स्टेट ऑब्जर्वेशन (State Observation) कहा जाता है। वह "सूप" एक जटिल मशीन (जैसे एक केमिकल रिएक्टर) है, "सामग्रियां" कंट्रोल्स हैं, और "स्वाद" सेंसर रीडिंग है।

यह पेपर इन मशीनों के लिए एक "स्मार्ट वर्चुअल गेसर" (एक ऑब्जर्वर) बनाने का एक नया और चतुर तरीका पेश करता है, खासकर जब वे जटिल हों, समय के साथ बदलती हों, और हमारे पास उनके ब्लूप्रिंट न हों।

समस्या: "ब्लैक बॉक्स" की दुविधा

पारंपरिक रूप से, मशीन के अंदर क्या है इसका अनुमान लगाने के लिए इंजीनियरों को एक सटीक गणितीय मॉडल (एक रेसिपी) की आवश्यकता होती थी। वे गर्मी कैसे चलती है या रसायन कैसे प्रतिक्रिया करते हैं, इसका वर्णन करने के लिए समीकरण लिखते थे।

चुनौती: वास्तविक दुनिया की मशीनें अव्यवस्थित होती हैं। कभी-कभी हमें सटीक रेसिपी नहीं पता होती, या गणित को हल करना बहुत कठिन होता है।
पुराना तरीका: यदि आपका अनुमान गलत होता है, तो आपका "वर्चुअल पॉट" वास्तविकता से भटक जाता है, और आपका कंट्रोल सिस्टम विफल हो जाता है।

समाधान: "न्यूरल ल्यूएनबर्गर ऑब्जर्वर" (NLOX)

लेखक एक ऐसा तरीका प्रस्तावित करते हैं जिसे रेसिपी की आवश्यकता नहीं है। इसके बजाय, यह इतिहास को देखकर सीखता है। इसे एक ऐसे जासूस के रूप में सोचें जिसने बर्तन पकने के हजारों वीडियो देखे हैं।

यहाँ उनका सिस्टम कैसे काम करता है, इसे सरल उपमाओं में विभाजित किया गया है:

1. "शैडो पपेट" ट्रिक (KKL फ्रेमवर्क)

कल्पना कीजिए कि मशीन की वास्तविक स्थिति एक जटिल 3D वस्तु है। इसे सीधे ट्रैक करना कठिन है।
लेखक KKL ऑब्जर्वर नामक एक ट्रिक का उपयोग करते हैं। वे एक "शैडो पपेट" (परछाईं के खेल) शो की कल्पना करते हैं।

वे वास्तविक, अव्यवस्थित 3D वस्तु (मशीन की स्थिति) को एक सपाट दीवार (एक सरल, लीनियर स्पेस) पर प्रोजेक्ट करते हैं।
इस सपाट दुनिया में, परछाइयां बहुत ही अनुमानित और सीधी रेखा में चलती हैं।
लक्ष्य उस प्रोजेक्शन के सही कोण को खोजना है ताकि परछाईं को ट्रैक करना आसान हो जाए, और फिर उस प्रोजेक्शन को उलटने (रिवर्स करने) का तरीका खोजना है ताकि 3D वस्तु को वापस प्राप्त किया जा सके।

2. दो न्यूरल नेटवर्क "हेल्पर"

चूंकि हमें इस प्रोजेक्शन को करने की गणितीय विधि नहीं पता है, इसलिए लेखक इसे सीखने के लिए न्यूरल नेटवर्क्स (AI मस्तिष्क) का उपयोग करते हैं। वे दो विशिष्ट AI सहायकों का उपयोग करते हैं:

हेल्पर A (इनपुट एडजस्टर): यह AI सीखता है कि आपके द्वारा डाली गई "सामग्रियां" (कंट्रोल्स) मशीन को कैसे प्रभावित करती हैं। यह एक सहायक शेफ की तरह है जो जानता है, "यदि मैं अभी नमक डालता हूँ, तो 5 मिनट में सूप नमकीन हो जाएगा।" यह ऑब्जर्वर में एक सुधार टर्म जोड़ता है ताकि जब आप कंट्रोल्स बदलें तो यह भ्रमित न हो।
हेल्पर B (ट्रांसलेटर): यह AI रिवर्स प्रोजेक्शन को सीखता है। यह आसान-से-ट्रैक होने वाली "परछाईं" को देखता है और उसे वास्तविक 3D स्थिति में अनुवादित करता है। यह एक अनुवादक की तरह है जो कहता है, "उस दीवार पर दिखने वाली परछाईं का मतलब है कि सूप वास्तव में 95°C पर उबल रहा है।"

3. ट्रेनिंग कैंप (ऑफलाइन लर्निंग)

असली फैक्ट्री में काम पर जाने से पहले, ऑब्जर्वर "ट्रेनिंग कैंप" में जाता है।

इंजीनियर AI को "अतीत में क्या हुआ था" (इनपुट और आउटपुट) का एक विशाल डेटासेट खिलाते हैं।
AI एक खेल खेलता है: "मैं स्थिति का अनुमान लगाता हूँ, फिर मैं जाँचता हूँ कि क्या मैं सही था।"
यदि वह गलत होता है, तो वह अपने आंतरिक कनेक्शनों (वेट्स) को थोड़ा बदल देता है ताकि अगली बार बेहतर परिणाम मिल सके।
वह तब तक यह करता है जब तक कि वह इनपुट और आउटपुट को देखकर स्थिति का अनुमान लगाने में मास्टर न बन जाए।

यह एक बड़ी बात क्यों है?

पेपर दो बहुत कठिन केमिकल "सूप पॉट्स" पर इसका परीक्षण करता है:

एक बायोरिएक्टर: बैक्टीरिया उगाना (जैसे दही या बीयर बनाना)।
एक विलियम्स-ओटो रिएक्टर: एक जटिल केमिकल प्लांट जिसमें छह अलग-अलग सामग्रियां एक साथ प्रतिक्रिया करती हैं।

परिणाम:

कोई रेसिपी की आवश्यकता नहीं: AI ने बिना किसी रासायनिक समीकरण के कभी बताए, मशीन की आंतरिक स्थिति का अनुमान लगाना सीख लिया।
पुराने दिग्गजों से बेहतर: उन्होंने उद्योग के मानकों के साथ इसकी तुलना की:
- एक्सटेंडेड कालमन फिल्टर (EKF): "मानक डिटेक्टिव" जो लीनियर एप्रोक्सीमेशन पर निर्भर करता है। जब मशीन बहुत अधिक जटिल हो जाती है, तो यह अक्सर रास्ता भटक जाता है।
- स्लाइडिंग मोड ऑब्जर्वर (SMO): एक "कठोर डिटेक्टिव" जो त्रुटि को शून्य करने के लिए मजबूर करता है लेकिन यह अस्थिर और शोर (नॉइजी) वाला हो सकता है।
विजेता: NLOX (न्यूरल ऑब्जर्वर) अक्सर दोनों से अधिक सटीक था, विशेष रूप से जटिल, हाई-डायमेंशनल रिएक्टर में। यह मजबूत था, स्थिर था, और इसे मानवीय रूप से अपनी "सेंसिटिविटी नॉब्स" को ट्यून करने की आवश्यकता नहीं थी।

"एरर बाउंड" का वादा

इस पेपर का सबसे शानदार हिस्सा यह है कि लेखकों ने केवल यह नहीं कहा कि "यह काम करता है।" उन्होंने उन्नत गणित का उपयोग करके यह सिद्ध किया कि यदि आप इसे पर्याप्त डेटा पर प्रशिक्षित करते हैं, तो त्रुटि (अनुमान और वास्तविकता के बीच का अंतर) एक गारंटीकृत, छोटी सीमा के भीतर रहेगी। यह कहने जैसा है कि, "हम वादा करते हैं कि हमारा जासूस सच्चाई से कभी भी 5 फीट से अधिक दूर नहीं होगा।"

सारांश

इस पेपर को एक कंप्यूटर को लाखों घंटों के ड्राइविंग वीडियो देखकर कार चलाना सिखाने के रूप में समझें, बजाय इसके कि उसे एरोडायनामिक्स और घर्षण (फ्रिक्शन) पर एक भौतिकी की पाठ्यपुस्तक दी जाए।

पुराना तरीका: कार को एक पाठ्यपुस्तक दें, उसे घर्षण की गणना करने के लिए कहें, और उम्मीद करें कि वह दुर्घटनाग्रस्त न हो।
नया तरीका (NLOX): कार को ड्राइविंग के लाखों वीडियो दिखाएं। AI को उन पैटर्न को सीखने दें कि स्टीयरिंग व्हील (इनपुट) और सड़क (आउटपुट) का कार की छिपी हुई स्थिति (गति, टायर का घिसाव, इंजन का तापमान) से क्या संबंध है।

यह इंजीनियरों को जटिल, खतरनाक या कम समझे गए मशीनों को उच्च सटीकता के साथ नियंत्रित करने की अनुमति देता है, भले ही वे अंतर्निहित विज्ञान को पूरी तरह से न समझते हों।

यहाँ मोरिट्ज़ वोएलक, जारोड मॉरिस और वेन्टाओ तांग के शोध पत्र "Neural Luenberger state observer for nonautonomous nonlinear systems" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र नॉन-ऑटोनॉमस नॉनलीनियर सिस्टम्स (बाहरी हेरफेर योग्य इनपुट वाले सिस्टम) के लिए स्टेट ऑब्जर्वेशन की चुनौती को संबोधित करता है, जहाँ अंतर्निहित गणितीय मॉडल अज्ञात होता है या उसे विश्लेषणात्मक रूप से प्राप्त करना बहुत जटिल होता है।

संदर्भ: पारंपरिक ऑब्जर्वर्स (जैसे, एक्सटेंडेड कलमन फ़िल्टर, हाई-गेन ऑब्जर्वर्स) सटीक प्रथम-सिद्धांतों (first-principles) वाले मॉडलों पर बहुत अधिक निर्भर करते हैं। जब मॉडल उपलब्ध नहीं होते, तो डेटा-संचालित विधियों को प्राथमिकता दी जाती है।
अंतराल (Gap): मौजूदा डेटा-संचालित ऑब्जर्वर्स अक्सर ऑटोनॉमस (बिना फोर्स वाले) सिस्टम पर ध्यान केंद्रित करते हैं या उन्हें ऑब्जर्वर संरचना डिजाइन करने के लिए ज्ञात सिस्टम डायनेमिक्स की आवश्यकता होती है। एक पूर्णतः मॉडल-मुक्त ढांचे की कमी है जो नॉन-ऑटोनॉमस सिस्टम के लिए बाहरी इनपुट को संभालने हेतु आवश्यक नॉनलीनियर स्टेट ट्रांसफॉर्मेशन और विशिष्ट इनपुट-एफाइन टर्म्स को एक साथ सीख सके।
लक्ष्य: एक मॉडल-फ्री स्टेट ऑब्जर्वर विकसित करना जो सीधे ऐतिहासिक इनपुट-आउटपुट-स्टेट डेटा से सीख सके, और जो $f$ और $g$ के स्पष्ट ज्ञान की आवश्यकता के बिना बाहरी इनपुट को संभालने में सक्षम हो।

2. कार्यप्रणाली: न्यूरल लुएनबर्गर ऑब्जर्वर (NLOX)

लेखक नॉन-लीनियर सिस्टम्स विद एक्सटर्नल इनपुट्स के लिए न्यूरल लुएनबर्गर ऑब्जर्वर (NLOX) का प्रस्ताव करते हैं। यह दृष्टिकोण डीप लर्निंग का उपयोग करके काज़ेंटिस-क्रावरिस/लुएनबर्गर (KKL) ऑब्जर्वर फ्रेमवर्क का विस्तार करता है।

सैद्धांतिक आधार (Theoretical Foundation)

KKL फ्रेमवर्क: KKL ऑब्जर्वर एक इनजेक्टिव नॉनलीनियर ट्रांसफॉर्मेशन $T$ के माध्यम से मूल नॉनलीनियर सिस्टम स्टेट्स ( $x$ ) को एक ऑब्जर्वर स्टेट स्पेस ( $z$ ) में मैप करता है। ऑब्जर्वर स्पेस में, डायनेमिक्स लीनियर टाइम-इनवेरिएंट (LTI) होते हैं।
नॉन-ऑटोनॉमस विस्तार: इनपुट्स ( $u \neq 0$ $u \neq = 0$ ) वाले सिस्टम के लिए, मानक KKL संरचना विफल हो जाती है। लेखक Bernard और Andrieu (2018) द्वारा किए गए विस्तार को अपनाते हैं, जो LTI ऑब्जर्वर डायनेमिक्स को एक इनपुट-एफाइन टर्म $\omega(z)u$ $ω (z) u$ के साथ जोड़ता है।
- ऑब्जर्वर डायनेमिक्स: $\dot{z} = Az + By + \omega(z)u$
- स्टेट एस्टीमेशन: $\hat{x} = T^\dagger(z)$ , जहाँ $T^\dagger$ , ट्रांसफॉर्मेशन $T$ का लेफ्ट इनवर्स है।

न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर

$T$ और $\omega$ को खोजने के लिए आवश्यक जटिल पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशंस (PDEs) को हल करने के बजाय, लेखक इन मैपिंग्स को डेटा से सीखने के लिए फुल्ली कनेक्टेड फीडफॉरवर्ड मल्टीलेयर पर्सेप्ट्रॉन्स (MLPs) का उपयोग करते हैं।

इनपुट-एफाइन टर्म नेटवर्क ( $\omega$ ): एक न्यूरल नेटवर्क जो ऑब्जर्वर स्टेट $z$ को लेता है और हेरफेर योग्य इनपुट $u$ की क्षतिपूर्ति करने के लिए फंक्शन $\omega(z)$ को सीखता है।
इनवर्स मैपिंग नेटवर्क ( $T^\dagger$ ): दूसरा न्यूरल नेटवर्क जो ऑब्जर्वर स्टेट $z$ को वापस अनुमानित सिस्टम स्टेट $\hat{x}$ में मैप करता है।
प्रशिक्षण प्रक्रिया (Training Process):
- डेटा: इनपुट्स ( $u$ ), आउटपुट्स ( $y$ ), और वास्तविक स्टेट्स ( $x$ ) वाली ट्राजेक्टरीज का ऑफलाइन संग्रह।
- विस्क्रीटाइजेशन (Discretization): निरंतर (continuous) ऑब्जर्वर डायनेमिक्स को फॉरवर्ड यूलर विधि से डिस्क्रीटाइज किया जाता है।
- लॉस फंक्शन: नेटवर्क को वास्तविक स्टेट $x$ और अनुमानित स्टेट $\hat{x}$ के बीच स्क्वेर्ड एरर को कम करने के लिए प्रशिक्षित किया जाता है:
  $\mathcal{L} = \frac{1}{MN} \sum_{i,k} \| x_k^{(i)} - T^\dagger(z_k^{(i)} | \psi) \|_2^2$
- ऑप्टिमाइज़ेशन: RMSprop ऑप्टिमाइज़र का उपयोग करके बैकप्रोपैगेशन के माध्यम से पैरामीटर्स को अपडेट किया जाता है।

सैद्धांतिक गारंटी (Theoretical Guarantees)

शोध पत्र ऑब्जर्वर के जनरलाइजेशन एरर के लिए एक कठोर सैद्धांतिक विश्लेषण प्रदान करता है:

स्टेबिलिटी धारणाएं: सिस्टम को इन्क्रिमेंटली इनपुट-टू-स्टेट स्टेबल ( $\delta$ ISS) माना गया है।
लिप्सचिट्ज कंटीन्यूटी (Lipschitz Continuity): लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि न्यूरल नेटवर्क के वेट्स (weights) बाउंडेड हैं, तो लॉस फंक्शन प्रारंभिक स्थितियों और इनपुट सीक्वेंस के संबंध में लिप्सचिट्ज कंटीन्यूअस है।
एरर बाउंड: रेडमेकर कॉम्प्लेक्सिटी (Rademacher complexity) का उपयोग करके जनरलाइजेशन एरर का एक प्रोबेबिलिस्टिक अपर बाउंड निकाला गया है। यह बाउंड $\mathcal{O}(1/\sqrt{MN})$ के रूप में स्केल करता है, जहाँ $M$ ट्राजेक्टरीज की संख्या है और $N$ ट्राजेक्टरी की लंबाई है, जो सांख्यिकीय स्थिरता (statistical consistency) को सिद्ध करता है। यह डिस्क्रीटाइजेशन एरर्स को भी ध्यान में रखता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

मॉडल-फ्री सिंथेसिस: नॉन-ऑटोनॉमस नॉनलीनियर सिस्टम्स के लिए ऑब्जर्वर्स को सिंथेसाइज करने के लिए एक पूर्णतः डेटा-संचालित फ्रेमवर्क, जिसमें प्रथम-सिद्धांतों वाले मॉडल की आवश्यकता नहीं है।
स्ट्रक्चर का संयुक्त शिक्षण: KKL संरचना के भीतर दोनों—इनपुट-एफाइन करेक्शन टर्म ( $\omega$ ) और नॉनलीनियर स्टेट रिकंस्ट्रक्शन ( $T^\dagger$ )—को एक साथ सीखना।
सैद्धांतिक एरर बाउंड्स: एक परिमित-नमूना (finite-sample) जनरलाइजेशन एरर बाउंड का व्युत्पन्न, जो डेटा की प्रचुरता (नमूनों की संख्या) और संख्यात्मक रिज़ॉल्यूशन (सैंपलिंग समय) के बीच के ट्रेड-ऑफ को मात्रात्मक रूप से दर्शाता है।
उच्च-आयामी अनुप्रयोग क्षमता: एक 6-स्टेट विलियम्स-ओटो रिएक्टर पर विधि का प्रदर्शन, जो मौजूदा डेटा-संचालित साहित्य की सीमाओं को संबोधित करता है जो अक्सर निम्न-आयामी (2-स्टेट) सिस्टम पर केंद्रित होते हैं।

4. संख्यात्मक परिणाम (Numerical Results)

विधि को दो रासायनिक प्रक्रिया केस स्टडीज पर मान्य किया गया और मॉडल-आधारित बेंचमार्क (एनालिटिकल KKL, एक्सटेंडेड कलमन फ़िल्टर - EKF, और स्लाइडिंग मोड ऑब्जर्वर - SMO) के विरुद्ध तुलना की गई।

केस स्टडी 1: बायो रिएक्टर (2 स्टेट्स)

सेटअप: कॉन्टोइस ग्रोथ काइनेटिक्स के साथ कांस्टेंट-वॉल्यूम बायो रिएक्टर।
प्रदर्शन:
- NLOX ने एनालिटिकल KKL समाधान (जो "ग्राउंड ट्रुथ" है) के तुलनीय RMSE प्राप्त किया, बावजूद इसके कि यह मॉडल-फ्री है।
- NLOX ने समग्र सटीकता और मजबूती (robustness) के मामले में EKF और SMO को पछाड़ दिया।
- मजबूती (Robustness): स्टोकेस्टिक इनपुट डिस्टर्बेंस के तहत, NLOX ने प्रतिस्पर्धी प्रदर्शन बनाए रखा, जो माइक्रोऑर्गेनिज्म कंसंट्रेशन ( $x_1$ ) के लिए बेंचमार्क्स की तुलना में कम एरर दिखाता है।

केस स्टडी 2: विलियम्स-ओटो रिएक्टर (6 स्टेट्स)

सेटअप: 3 प्रतिक्रियाओं वाला नॉन-आइसोथर्मल CSTR और 6 स्टेट वेरिएबल्स (जटिल नॉनलीनियर डायनेमिक्स)।
कार्यान्वयन विवरण: उच्च-आयामीता और नॉन-कॉन्वेक्स लॉस लैंडस्केप के कारण, लेखकों ने ग्रेडिएंट कॉम्पिटिशन और लोकल मिनिमा से बचने के लिए प्रत्येक स्टेट के लिए एक अलग $T^\dagger$ (एक ही नेटवर्क के बजाय छह अलग-अलग नेटवर्क) को प्रशिक्षित किया।
प्रदर्शन:
- NLOX ने EKF की तुलना में 3.96 गुना बेहतर सटीकता और SMO की तुलना में 1.37 गुना सुधार प्रदर्शित किया।
- महत्वपूर्ण रूप से, NLOX ने इनिशियलाइजेशन चरण (ट्रांजिएंट रिस्पॉन्स) के दौरान उत्कृष्ट प्रदर्शन दिखाया, जहाँ EKF खराब लीनियराइजेशन धारणाओं के कारण संघर्ष करता है।
- विधि ने शोर और व्यवधानों को सफलतापूर्वक संभाला, सभी 6 स्टेट वेरिएबल्स के लिए स्थिर एस्टीमेशन बनाए रखा।

5. महत्व और भविष्य का कार्य

महत्व: यह कार्य सैद्धांतिक ऑब्जर्वर डिजाइन (KKL) और आधुनिक डेटा-संचालित तकनीकों (डीप लर्निंग) के बीच के अंतर को पाटता है। यह सिद्ध करता है कि जटिल, उच्च-आयामी, नॉन-ऑटोनॉमस सिस्टम को बिना किसी स्पष्ट मॉडलिंग के सटीक रूप से ऑब्जर्व किया जा सकता है, जो उन औद्योगिक प्रक्रियाओं के लिए महत्वपूर्ण है जहाँ मॉडल अनिश्चित या अनुपलब्ध होते हैं।
सीमाएँ: वर्तमान दृष्टिकोण सुपरवाइज्ड लर्निंग पर निर्भर करता है, जिसके लिए ऑफलाइन प्रशिक्षण के लिए वास्तविक स्टेट डेटा ( $x$ ) तक पहुँच की आवश्यकता होती है।
भविष्य की दिशाएँ: लेखक अनसुपरवाइज्ड लर्निंग विधियों की खोज करने की योजना बना रहे हैं। लक्ष्य एक संयुक्त अनुकूलन (joint optimization) समस्या को तैयार करना है जहाँ ऑब्जर्वर एक ऐसा "लेटेंट स्टेट" प्रतिनिधित्व सीखता है जो इनपुट-आउटपुट डेटा के अनुरूप हो, जिससे प्रशिक्षण चरण के दौरान ग्राउंड-ट्रुथ स्टेट मेजरमेंट्स की आवश्यकता समाप्त हो जाएगी।

संक्षेप में, यह शोध पत्र जटिल रासायनिक प्रक्रियाओं में स्टेट एस्टीमेशन के लिए एक मजबूत, सैद्धांतिक रूप से आधारित और व्यावहारिक रूप से प्रभावी विधि प्रस्तुत करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि न्यूरल नेटवर्क नॉनलीनियर ऑब्जर्वर डिजाइन के लिए आवश्यक जटिल ज्यामितीय संरचनाओं को सफलतापूर्वक सीख सकते हैं।