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Learning with the Nash-Sutcliffe loss

यह शोध पत्र नैश-सटक्लिफ लॉस (Nash-Sutcliffe loss) को एक विशिष्ट बहु-आयामी फलन (multi-dimensional functional) के लिए पूर्णतः सुसंगत (strictly consistent) सिद्ध करके नैश-सटक्लिफ दक्षता (Nash-Sutcliffe efficiency) के लिए एक निर्णय-सैद्धांतिक आधार स्थापित करता है, जिससे नैश-सटक्लिफ रैखिक प्रतिगमन (Nash-Sutcliffe linear regression) का विकास सक्षम होता है और भिन्न स्टोकेस्टिक गुणों वाली कई स्थिर आश्रित समय श्रृंखलाओं (stationary dependent time series) के पूर्वानुमान के लिए इस मीट्रिक की प्रयोज्यता का विस्तार होता है।

मूल लेखक: Hristos Tyralis, Georgia Papacharalampous

प्रकाशित 2026-03-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Hristos Tyralis, Georgia Papacharalampous

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप 100 अलग-अलग धावकों की एक टीम को प्रशिक्षित करने वाले कोच हैं। कुछ समतल ट्रैक पर दौड़ते हैं, कुछ पहाड़ियों पर, कुछ बारिश में, और कुछ धूप में। आपका लक्ष्य उन्हें सभी को तेज़ दौड़ने में मदद करने के लिए सबसे अच्छा प्रशिक्षण तरीका चुनना है।

द दशकों से, कोच किसी धावक के प्रदर्शन को केवल उसकी औसत गति के अनुमान से बेहतर बताने के लिए NSE (नैश-सटक्लिफ एफिशिएंसी) नामक एक विशिष्ट स्टॉपवॉच मीट्रिक का उपयोग करते आए हैं। यह एक लोकप्रिय मीट्रिक है क्योंकि यह निष्पक्ष है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि धावक स्वाभाविक रूप से तेज़ है या धीमा; यह केवल इस बात पर ध्यान देता है कि उसने अपने स्वयं के बेसलाइन के सापेक्ष सुधार किया है या नहीं।

हालाँकि, यह शोध पत्र एक छिपे हुए जाल को उजागर करता है। लेखकों, हिस्ट्रोस टायरालिस और जॉर्जिया पापाकरालम्पौस ने पाया कि जबकि हर कोई धावकों को परखने के लिए इस स्टॉपवॉच का उपयोग कर रहा था, वे उन्हें प्रशिक्षित करने के लिए पूरी तरह से अलग नियमों का उपयोग कर रहे थे।

यहाँ उनकी खोज का सरल शब्दों में विवरण दिया गया है:

1. "गलत मानचित्र" की समस्या

कल्पना कीजिए कि आप एक विशिष्ट गंतव्य (सर्वश्रेष्ठ भविष्यवाणी) तक पहुँचना चाहते हैं।

पुराना तरीका: आप एक GPS का उपयोग करते हैं जो आपको "कुल तय की गई दूरी" को कम करने के लिए कहता है (यह मानक मीन स्क्वेर्ड एरर या MSE है)। यह आपको सभी संभावित रास्तों के ज्यामितीय केंद्र तक ले जाता है।
जज का नियम: लेकिन जज (NSE मीट्रिक) को कुल दूरी से कोई फर्क नहीं पड़ता। जज को एक "भारित स्कोर" (weighted score) की परवाह है जो सड़क कितनी ऊबड़-खाबड़ थी, इसके आधार पर आपको अलग तरह से दंडित करता है।

लेखक तर्क देते हैं कि लंबे समय से, वैज्ञानिक अपने मॉडलों को "दूरी" वाले GPS (MSE) से प्रशिक्षित कर रहे हैं, लेकिन फिर उन्हें "ऊबड़-खाबड़ सड़क" वाले स्कोर (NSE) से परख रहे हैं।

परिणाम: मॉडल गलत गंतव्य की ओर बढ़ रहे हैं। वे गलत लक्ष्य के लिए अनुकूलित (optimized) किए गए हैं।

2. "भारित औसत" का रहस्य

लेखक सिद्ध करते हैं कि NSE मीट्रिक केवल "औसत" धावक की तलाश नहीं कर रहा है। यह वास्तव में एक डेटा-भारित औसत (Data-Weighted Average) की तलाश कर रहा है।

उपमा:
कल्पना कीजिए कि आप किसी शहर के औसत तापमान का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं।

मानक औसत (MSE): आप हर दिन का तापमान लेते हैं, उन्हें जोड़ते हैं, और दिनों की संख्या से विभाजित करते हैं। 100°F वाला दिन 70°F वाले दिन के समान ही गिना जाता है।
नैश-सटक्लिफ औसत: यह तरीका कहता है, "रुको! यदि किसी दिन बहुत कम भिन्नता है (यह हमेशा 70°F रहता है), तो इसकी भविष्यवाणी करना आसान है, इसलिए आइए इस पर अधिक भरोसा करें। लेकिन यदि कोई दिन अराजक (chaotic) है (50°F और 90°F के बीच झूल रहा है), तो इसकी भविष्यवाणी करना कठिन है, इसलिए आइए इसे अलग तरह से तौलें।"

NSE मीट्रिक मूल रूप से कहता है: "मुझे उन दिनों की अधिक परवाह है जो स्थिर हैं और उन दिनों की कम परवाह है जो अराजक हैं।"

शोध पत्र सिद्ध करता है कि यदि आप NSE गेम जीतना चाहते हैं, तो आपको इस विशिष्ट "भारित औसत" को लक्षित करने के लिए अपने मॉडल को प्रशिक्षित करना होगा, न कि साधारण औसत को।

3. नया समाधान: "नैश-सटक्लिफ रिग्रेशन"

लेखक एक नया प्रशिक्षण तरीका पेश करते हैं जिसे नैश-सटक्लिफ लीनियर रिग्रेशन कहा जाता है।

पुराना प्रशिक्षण (OLS): "हे मॉडल, सबके लिए मध्य के जितना संभव हो सके करीब रहने की कोशिश करो।"
नया प्रशिक्षण (नैश-सटक्लिफ): "हे मॉडल, मैं तुम्हें एक विशेष चश्मा देने जा रहा हूँ। इन चश्मों के माध्यम से, कुछ दिन बड़े और अधिक महत्वपूर्ण दिखाई देते हैं। उस विशिष्ट लक्ष्य को हिट करने के लिए खुद को प्रशिक्षित करो।"

वे गणितीय रूप से दिखाते हैं कि यदि आप इस नए प्रशिक्षण तरीके का उपयोग करते हैं, तो आपका मॉडल NSE मीट्रिक द्वारा परखे जाने पर काफी बेहतर प्रदर्शन करेगा। वास्तव में, वास्तविक नदी प्रवाह और तापमान डेटा के साथ उनके परीक्षणों में, नए तरीके ने पुराने तरीके की तुलना में स्कोर में भारी सुधार किया (कभी-कभी त्रुटि को आधा कर दिया)।

4. "सेब और संतरे" की चेतावनी

यह शोध पत्र तुलना करने के बारे में एक बहुत ही महत्वपूर्ण चेतावनी भी देता है।

उपमा:
कल्पना कीजिए कि आप एक फॉर्मूला 1 कार और एक साइकिल के प्रदर्शन की तुलना कर रहे हैं।

यदि आप एक मानक पैमाने (MSE) का उपयोग करते हैं, तो आप कह सकते हैं कि कार "बेहतर" है क्योंकि वह अधिक दूरी तय करती है।
यदि आप एक "सापेक्ष गति" मीट्रिक (NSE) का उपयोग करते हैं, तो आप कह सकते हैं कि साइकिल "बेहतर" है क्योंकि वह एक इंसान के चलने के सापेक्ष अद्भुत चीजें कर रही है।

लेखक कहते हैं: आप इन तुलनाओं को मिला नहीं सकते।
यदि आपके पास 100 नदियाँ हैं, और 50 छोटी पहाड़ी धाराएँ (तेज़, अराजक) हैं और 50 बड़ी धीमी नदियाँ (स्थिर) हैं, तो आप केवल उनके NSE स्कोर का औसत निकालकर यह नहीं कह सकते कि "हमारा मॉडल 80% अच्छा है।"

NSE स्कोर केवल तभी सार्थक होता है जब सभी नदियाँ एक ही प्रकार की नदी की तरह व्यवहार कर रही हों।
यदि आप विभिन्न प्रकार की नदियों को मिलाते हैं, तो "भारित औसत" टूट जाता है, और स्कोर अर्थहीन हो जाता है।

मुख्य निष्कर्ष

यह शोध पत्र वैज्ञानिकों, डेटा विश्लेषकों और मशीन लर्निंग इंजीनियरों के लिए एक चेतावनी है।

मेल बिठाना बंद करें: यदि आप अपने मॉडल को परखने के लिए NSE मीट्रिक का उपयोग करने की योजना बना रहे हैं, तो आपको इसे नैश-सटक्लिफ लॉस फंक्शन के साथ प्रशिक्षित करना ही होगा। मानक "औसत" प्रशिक्षण विधि का उपयोग करना ऐसा ही है जैसे चेस टूर्नामेंट जीतने के लिए चेकर्स खेलने की कोशिश करना।
डेटा का सम्मान करें: केवल सभी टाइम सीरीज़ को एक बड़े बकेट में न डालें। सुनिश्चित करें कि आप जिन चीजों की तुलना कर रहे हैं वे वास्तव में एक ही "परिवार" की हैं।
नया उपकरण: उन्होंने एक नया गणितीय उपकरण (नैश-सटक्लिफ रिग्रेशन) प्रदान किया है जो उपयोग में आसान है और गारंटी देता है कि आपका मॉडल सही लक्ष्य की ओर बढ़ रहा है।

संक्षेप में: खेल जीतने के लिए, आपको खेल के नियमों के अनुसार खेलना होगा, न कि किसी दूसरे खेल के नियमों के अनुसार।

यहाँ ह्रिस्टोस टायरलिस और जॉर्जिया पापाचारालम्पोस के शोध पत्र "Learning with the Nash-Sutcliffe loss" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

नैश-सटक्लिफ एफिशिएंसी (NSE) भू-विज्ञान (विशेष रूप से जल विज्ञान/hydrology) में कई टाइम सीरीज़ (time series) के पूर्वानुमान प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए एक व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला मीट्रिक है। इसे एक नैव बेंचमार्क (माध्य का अनुमान लगाना) के सापेक्ष एक स्किल स्कोर के रूप में परिभाषित किया गया है:
$NSE = 1 - \frac{MSE}{MSE_{benchmark}}$
इसकी लोकप्रियता के बावजूद, यह शोध पत्र एक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक अंतराल की पहचान करता है: NSE में मॉडल अनुमान (model estimation) के लिए निर्णय-सैद्धांतिक आधार (decision-theoretic foundation) का अभाव है।

विसंगति (Misalignment): अभ्यासी आमतौर पर मीन स्क्वेर्ड एरर (MSE) को कम करके मॉडल को प्रशिक्षित करते हैं (जो कंडीशनल मीन को लक्षित करता है), लेकिन उनका मूल्यांकन NSE का उपयोग करके करते हैं।
सैद्धांतिक दोष (Theoretical Flaw): शोध पत्र तर्क देता है कि NSE कंडीशनल मीन के लिए कड़ाई से सुसंगत (strictly consistent) नहीं है। इसलिए, MSE को कम करना अनिवार्य रूप से NSE को अनुकूलित नहीं करता है, जिससे तब उप-इष्टतम (suboptimal) पूर्वानुमान होते हैं जब NSE प्राथमिक मूल्यांकन मीट्रिक होता है।
बहु-श्रृंखला जटिलता (Multi-Series Complexity): जब कई टाइम सीरीज़ के बीच NSE का औसत ( $\overline{NSE}$ ) निकाला जाता है, तो अंतर्निहित धारणा यह होती है कि सभी श्रृंखलाएं एक ही स्टोकेस्टिक प्रक्रिया (stochastic process) से उत्पन्न होती हैं। यह शोध पत्र इस चरित्र का वर्णन करने का प्रयास करता है कि $\overline{NSE}$ वास्तव में किस फंक्शनल (functional) को लक्षित करता है और एक सुसंगत अनुमान ढांचा प्रदान करता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक समस्या को पुनर्गठित करने के लिए स्ट्रिक्टली कंसिस्टेंट लॉस फंक्शन्स और एलिसेबिलिटी (elicitability) (गनेटिंग, 2011) के सिद्धांत का उपयोग करते हैं।

A. नैश-सटक्लिफ लॉस ( $L_{NS}$ )

लेखक एक ऋणात्मक उन्मुख लॉस फंक्शन, नैश-सटक्लिफ लॉस, को परिभाषित करते हैं:
$L_{NS}(\mathbf{z}_d, \mathbf{y}_d) = 1 - NSE(\mathbf{z}_d, \mathbf{y}_d) = \frac{\|\mathbf{z}_d - \mathbf{y}_d\|_2^2}{\|\mu(\mathbf{y}_d)\mathbf{1}_d - \mathbf{y}_d\|_2^2}$
जहाँ $\mathbf{y}_d$ एक $d$ -आयामी यथार्थ (एक लंबाई $d$ की एकल टाइम सीरीज़) है, $\mathbf{z}_d$ पूर्वानुमान है, और हर (denominator) इसके माध्य के सापेक्ष विचरण (variance) का प्रतिनिधित्व करता है।

B. नैश-सटक्लिफ फंक्शनल (The Nash-Sutcliffe Functional)

वेटेड लॉस फंक्शन्स पर सिद्धांतों का उपयोग करते हुए, लेखक सिद्ध करते हैं कि अपेक्षित $L_{NS}$ को कम करने से कंडीशनल मीन प्राप्त नहीं होता है। इसके बजाय, यह एक नया फंक्शनल, नैश-सटक्लिफ फंक्शनल ( $T^{(w)}$ ) को एलीट (elicit) करता है:
$T^{(w)}(F) = \frac{\mathbb{E}_F[\mathbf{y}_d w(\mathbf{y}_d)]}{\mathbb{E}_F[w(\mathbf{y}_d)]}$
जहाँ $w(\mathbf{y}_d) = 1 / \|\mu(\mathbf{y}_d)\mathbf{1}_d - \mathbf{y}_d\|_2^2$ है।

व्याख्या: यह फंक्शनल एक डेटा-वेटेड कंपोनेंट-वाइज मीन (data-weighted component-wise mean) है। यह आंतरिक परिवर्तनशीलता (variability) के आधार पर अवलोकनों को पुन: भारित (re-weight) करता है। वे श्रृंखलाएं जिनमें कम आंतरिक परिवर्तनशीलता होती है, उन्हें अनुमान में उच्च भार प्राप्त होता है।
एलिसेबिलिटी और आइडेंटिफिएबिलिटी (Elicitability & Identifiability): शोध पत्र यह सिद्ध करता है कि $L_{NS}$ इस फंक्शनल के लिए स्ट्रिक्टली कंसिस्टेंट है और यह फंक्शनल एक विशिष्ट आइडेंटिफिकेशन फंक्शन के माध्यम से आइडेंटिफिएबल है।

C. नैश-सटक्लिफ लीनियर रिग्रेशन (Nash-Sutcliffe Linear Regression)

अनुमान को मूल्यांकन के साथ संरेखित करने के लिए, लेखक नैश-सटक्लिफ लीनियर रिग्रेशन का प्रस्ताव करते हैं।

प्रारूप (Formulation): ऑर्डिनरी लीस्ट स्क्वायर्स (OLS) के बजाय, जो यूक्लिडियन नॉर्म को कम करता है, यह विधि वास्तविक नैश-सटक्लिफ लॉस को कम करती है।
समाधान: इसका क्लोज्ड-फॉर्म समाधान एक वेटेड लीस्ट स्क्वायर्स (WLS) एस्टीमेटर है जहाँ भार प्रत्येक टाइम सीरीज़ के अपने माध्य के सापेक्ष व्युत्क्रम विचरण (inverse variance) द्वारा निर्धारित होते हैं।
$\hat{\Theta} = \mathbf{Y}\mathbf{W}\mathbf{X}(\mathbf{X}^T\mathbf{W}\mathbf{X})^{-1}$
यहाँ, $\mathbf{W}$ एक डायगोनल मैट्रिक्स है जहाँ प्रत्येक प्रविष्टि $j$ -वीं टाइम सीरीज़ के लिए भार $w(\mathbf{y}_j)$ के अनुरूप होती है।

D. डेटा ओरिएंटेशन (Data Orientations)

शोध पत्र दो प्रकार के डेटा मैट्रिक्स ओरिएंटेशन के बीच अंतर करता है:

$d \times n$ (स्थानिक/एन्सेम्बल): $d$ टाइम स्टेप्स, $n$ सीरीज़। यह मानता है कि सभी श्रृंखलाएं एक ही स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के यथार्थ हैं।
$n \times d$ (अस्थायी/पूर्वानुमान): $n$ टाइम स्टेप्स, $d$ सीरीज़ (चर)। यह मानता है कि प्रत्येक टाइम स्टेप पर चरों का वेक्टर एक $d$ -आयामी रैंडम वेक्टर का यथार्थ है।
लेखक दोनों के लिए विशिष्ट रिग्रेशन फॉर्मुलेशन निकालते हैं, यह नोट करते हुए कि मानक रियलइज्ड NSE (सीरीज के ऊपर औसत निकालना) $d \times n$ दृश्य के अनुरूप है, जबकि फोरकास्टिंग दृश्य के लिए वेट फंक्शन को सावधानीपूर्वक संभालने की आवश्यकता होती है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

सैद्धांतिक आधार: यह स्थापित किया गया कि NSE, कंडीशनल मीन के बजाय नैश-सटक्लिफ फंक्शनल (एक वेटेड मीन) के लिए स्ट्रिक्टली कंसिस्टेंट है। यह स्पष्ट करता है कि क्यों NSE और MSE अक्सर अलग-अलग मॉडल रैंकिंग प्रदान करते हैं।
नया एस्टीमेटर: नैश-सटक्लिफ लीनियर रिग्रेशन पेश किया गया, जो एक डेटा-वेटेड लीस्ट स्क्वायर्स दृष्टिकोण है जो प्रशिक्षण उद्देश्य को NSE मूल्यांकन मीट्रिक के साथ संरेखित करता है।
असंगति का समाधान: यह प्रदर्शित किया गया कि MSE के साथ प्रशिक्षण लेना और NSE के साथ मूल्यांकन करना सैद्धांतिक रूप से असंगत है, जब तक कि डेटा विशिष्ट स्थितियों (जैसे, स्वतंत्र गाऊसी चर जहाँ वेटेड मीन अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है) का पालन न करे।
संख्यात्मक अस्थिरता को संभालना: शून्य विचरण वाली टाइम सीरीज़ के मामलों को संभालने के लिए एक एक्सटेंडेड नैश-सटक्लिफ लॉस (हर में एक छोटा $\epsilon$ जोड़ना) प्रस्तावित किया गया, जो यह सिद्ध करता है कि यह एक रूपांतरित फंक्शनल को एलीट करता है।
व्यावहारिक दिशानिर्देश: NSE के उपयोग के लिए एक ढांचा प्रदान किया गया, जिसमें यह强调 किया गया कि विजातीय (disparate) डेटासेट (जैसे, दैनिक और मासिक प्रवाह को मिलाना) के बीच NSE का औसत निकालना सांख्यिकीय रूप से अमान्य है, जब तक कि वे एक ही अंतर्निहित स्टोकेस्टिक प्रक्रिया साझा न करें।

4. परिणाम (Results)

लेखकों ने सिमुलेशन और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों के माध्यम से अपने सिद्धांत को मान्य किया:

सिमुलेशन 1 (फंक्शनल विचलन): गैर-गाऊसी वितरणों (जैसे, लॉग-नॉर्मल) के तहत, नैश-सटक्लिफ फंक्शनल कंपोनेंट-वाइज मीन से काफी भिन्न हुआ। नैश-सटक्लिफ क्लाइमेटोलॉजी (वेटेड मीन) ने मानक मीन की तुलना में कम रियलइज्ड NSE लॉस प्राप्त किया, जो इसके सैद्धांतिक लक्ष्य की पुष्टि करता है।
सिमुलेशन 2 और 3 (रिग्रेशन प्रदर्शन):
- गैर-गाऊसी त्रुटियों वाले परिदृश्यों में, नैश-सटक्लिफ रिग्रेशन ने मल्टी-डायमेंशनल लीनियर रिग्रेशन (OLS) की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन किया (कुछ मामलों में लॉस को कई गुना कम कर दिया) जब NSE द्वारा मूल्यांकन किया गया।
- इसके विपरीत, जब यूक्लिडियन नॉर्म (MSE) द्वारा मूल्यांकन किया गया तो OLS ने बेहतर प्रदर्शन किया, जो पुष्टि करता है कि प्रत्येक विधि अपने संबंधित फंक्शनल को लक्षित करती है।
वास्तविक दुनिया का अनुप्रयोग (जल विज्ञान और मौसम विज्ञान):
- फ्रांसीसी नदी बेसिनों के लिए स्ट्रीमफ्लो (streamflow) और तापमान पूर्वानुमान के लिए लागू किया गया।
- स्ट्रीमफ्लो: नैश-सटक्लिफ रिग्रेशन ने मल्टी-डायमेंशनल लीनियर रिग्रेशन की तुलना में ~46% और वन-डायमेंशनल लीनियर रिग्रेशन की तुलना में ~68% कम रियलइज्ड NSE लॉस दर्ज किया।
- तापमान: लाभ छोटे थे (तापमान डेटा अधिक गाऊसी होने के कारण), फिर भी नैश-सटक्लिफ रिग्रेशन ने NSE मीट्रिक के तहत OLS से बेहतर प्रदर्शन किया।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

जल विज्ञान/भू-विज्ञान में प्रतिमान परिवर्तन (Paradigm Shift): यह शोध पत्र प्रशिक्षण के लिए MSE का उपयोग करने और परीक्षण के लिए NSE का उपयोग करने की मानक पद्धति को चुनौती देता है। यह तर्क देता है कि NSE को अधिकतम करने के लिए, आपको नैश-सटक्लिफ लॉस का उपयोग करके प्रशिक्षण लेना ही होगा।
ग्लोबल बनाम लोकल मॉडल: निष्कर्ष ग्लोबल मॉडल (सभी श्रृंखलाओं को एक साथ फिट करना) के लाभों को स्पष्ट करते हैं। एक ग्लोबल नैश-सटक्लिफ रिग्रेशन, अलग-अलग लोकल मॉडल को फिट करने की तुलना में वेटेड फंक्शनल को अधिक मजबूती से अनुमानित करने के लिए क्रॉस-सीरीज़ जानकारी का लाभ उठा सकता है।
निर्णय-सैद्धांतिक कठोरता: NSE को एलिसेबिलिटी थ्योरी में स्थापित करके, यह शोध पत्र यह स्पष्ट करता है कि NSE, MSE से अलग व्यवहार क्यों करता है, विशेष रूप से यह कि यह कम-विचरण बनाम उच्च-विचरण वाली श्रृंखलाओं में त्रुटियों को कैसे दंडित करता है।
व्यावहारिक उपयोगिता: प्रस्तावित रिग्रेशन विधि गणनात्मक रूप से कुशल (क्लोज्ड-फॉर्म समाधान) है और इसे मौजूदा सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर (जैसे, R, Python) में वेटेड लीस्ट स्क्वायर्स समस्या के रूप में आसानी से लागू किया जा सकता है।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र नैश-सटक्लिफ एफिशिएंसी के लिए लुप्त सैद्धांतिक कड़ी प्रदान करता है, जिससे यह एक ह्यूरिस्टिक स्किल स्कोर से बदलकर मॉडल अनुमान के लिए एक कठोरता से परिभाषित ऑब्जेक्टिव फंक्शन बन जाता है, जिसका पर्यावरणीय विज्ञानों में बहु-श्रृंखला पूर्वानुमान में सुधार के लिए तत्काल अनुप्रयोग है।