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Safe and Robust Domains of Attraction for Discrete-Time Systems: A Set-Based Characterization and Certifiable Neural Network Estimation

यह शोध पत्र एक नवीन ढांचे का प्रस्ताव करता है जो कॉम्पैक्ट सेट मीट्रिक स्पेस पर वैल्यू फंक्शन्स का उपयोग करके डिस्क्रीट-टाइम नॉनलीन अनसर्टेन सिस्टम्स के लिए सुरक्षित और सुदृढ़ आकर्षण डोमेन को अभिलक्षित करता है और प्रमाणित अनुमान प्रदान करने के लिए फॉर्मल वेरिफिकेशन के साथ फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क्स का लाभ उठाता है।

मूल लेखक: Mohamed Serry, Maxwell Fitzsimmons, Jun Liu

प्रकाशित 2026-03-04

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Mohamed Serry, Maxwell Fitzsimmons, Jun Liu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक घुमावदार पहाड़ी रास्ते पर कार चला रहे हैं। आप यह जानना चाहते हैं: "यदि मैं इस विशिष्ट स्थान से गाड़ी चलाना शुरू करता हूँ, तो क्या मैं निश्चित रूप से सुरक्षित रूप से गंतव्य तक पहुँच जाऊँगा, भले ही सड़क फिसलन भरी हो, हवा तेज़ चल रही हो, या मुझसे कोई छोटी सी गलती हो जाए?"

इंजीनियरिंग और रोबोटिक्स की दुनिया में, यह प्रश्न डोमेन ऑफ अट्रैक्शन (DOA) को खोजने के बारे में है। यह उन सभी शुरुआती बिंदुओं का मानचित्र है जहाँ एक सिस्टम (जैसे कि एक ड्रोन, पावर ग्रिड, या खुद चलने वाली कार) गारंटी के साथ सुरक्षित रहेगा और अनपेक्षित झटकों या अनिश्चितताओं के बावजूद अंततः स्थिर हो जाएगा।

यह शोध पत्र जटिल, अप्रत्याशित प्रणालियों के लिए उस सुरक्षा मानचित्र को बनाने का एक नया, स्मार्ट तरीका प्रस्तावित करता है। उन्होंने इसे कैसे किया, इसे सरल अवधारणाओं में यहाँ समझाया गया है:

1. समस्या: "परफेक्ट वर्ल्ड" का जाल

पारंपरिक रूप से, इंजीनियर इन सुरक्षा मानचित्रों को कठोर, पूर्व-निर्मित आकृतियों (जैसे कि पूर्ण वृत्त या दीर्घवृत्त) का उपयोग करके या यह मानकर बनाने की कोशिश करते थे कि दुनिया "परफेक्ट" है (कोई हवा नहीं, कोई घर्षण नहीं)।

दोष: वास्तविक जीवन परफेक्ट नहीं होता। यदि आप बिना हवा के मानकर सुरक्षा मानचित्र डिजाइन करते हैं, और फिर हवा का एक झोंका आता है, तो आपका "सुरक्षित" मानचित्र वास्तव में आपको खाई में ले जा सकता है।
पुराना गणित: इन मानचित्रों की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला गणित या तो बहुत धीमा था (गणना करने में अनंत समय लेता था) या बहुत सरल था (अनिश्चितता की अव्यवस्थ को अनदेखा करता था)।

2. नया विचार: सुरक्षा के लिए एक "स्मार्ट जीपीएस"

लेखकों ने एक नया ढांचा तैयार किया है जो एक स्मार्ट जीपीएस की तरह कार्य करता है। सुरक्षित क्षेत्र के आकार का अनुमान लगाने के बजाय, वे कंप्यूटर को सड़क के नियमों को समझकर उस आकार को "सीखने" देते हैं।

उन्होंने तीन मुख्य सामग्रियों का उपयोग किया:

A. "स्कोरकीपर" (वैल्यू फंक्शन्स)

एक खेल की कल्पना करें जहाँ आपका लक्ष्य एक सुरक्षित बंदरगाह (गंतव्य) तक पहुँचना है।

लेखकों ने एक विशेष स्कोरकीपर (जिसे वैल्यू फंक्शन कहा जाता है) का आविष्कार किया है।
यह स्कोरकीपर केवल यह नहीं देखता कि आप अभी कहाँ हैं; यह आपके पूरे भविष्य के पथ को देखता है।
नियम: यदि आप एक सुरक्षित स्थान पर हैं, तो आपका स्कोर कम होगा। यदि आप एक खतरनाक स्थान पर हैं या ऐसे पथ पर हैं जो दुर्घटना का कारण बन सकता है, तो आपका स्कोर बढ़ जाएगा।
जादू: उन्होंने सिद्ध किया कि यदि आप एक ऐसा स्कोरकीपर पा सकते हैं जो बंदरगाह के करीब पहुँचने पर हमेशा कम होता जाता है, तो आपने एक सुरक्षित क्षेत्र पा लिया है।

B. "फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड" न्यूरल नेटवर्क (सीखने वाला)

आमतौर पर, AI (न्यूरल नेटवर्क) लाखों उदाहरणों को देखकर सीखता है। लेकिन सुरक्षा-महत्वपूर्ण प्रणालियों में, आप सीखने के दौरान गलतियाँ करने का जोखिम नहीं उठा सकते।

नवाचार: केवल AI को डेटा खिलाने के बजाय, उन्होंने AI को सीधे भौतिकी के नियमों (laws of physics) को सिखाया।
इसे एक छात्र को केवल टेस्ट के उत्तर दिखाकर नहीं, बल्कि उसे उन सूत्रों (formulas) को याद कराकर पढ़ाने जैसा समझें जो उत्तर उत्पन्न करते हैं।
AI को सीखने के दौरान "स्कोरकीपर" के नियमों (बेलमैन समीकरणों) का पालन करने के लिए मजबूर किया जाता है। यह सुनिश्चित करता है कि AI केवल अनुमान नहीं लगाता; वह सुरक्षा के अंतर्निहित तर्क को समझता है।

C. "सेफ्टी इंस्पेक्टर" (फॉर्मल वेरिफिकेशन)

यहाँ तक कि एक स्मार्ट AI भी एक छोटी सी गलती कर सकता है। इंजीनियरिंग में, "लगभग पक्का" होना काफी नहीं है; आपको "100% पक्का" होना चाहिए।

AI द्वारा सुरक्षा मानचित्र सीखने के बाद, लेखक एक सेफ्टी इंस्पेक्टर (एक फॉर्मल वेरिफिकेशन टूल) का उपयोग करते हैं।
यह इंस्पेक्टर एक अत्यंत कठोर ऑडिटर की तरह है। यह AI के मानचित्र के हर एक बिंदु की जाँच करता है और गणितीय रूप से सिद्ध करता है: "हाँ, यदि आप यहाँ से शुरू करते हैं, तो आप कभी दुर्घटनाग्रस्त नहीं होंगे, चाहे हवा कुछ भी करे।"
यदि AI दावा करता है कि एक स्थान सुरक्षित है लेकिन इंस्पेक्टर को उसमें कोई खामी मिलती है, तो मानचित्र को तब तक छोटा किया जाता है जब तक कि वह 100% प्रमाणित न हो जाए।

3. उपमा: "बाढ़ वाला बेसमेंट"

कल्प_ना कीजिए कि आपका घर एक घाटी में है, और आप जानना चाहते हैं कि बाढ़ आने पर (अनिश्चितता) कौन से कमरे सूखे रहेंगे।

पुराना तरीका: आप लिविंग रूम के चारों ओर एक वृत्त खींचते हैं और कहते हैं, "यदि पानी इस वृत्त के अंदर रहता है, तो हम सुरक्षित हैं।" लेकिन यदि पानी एक अजीब आकार में बहता है, तो आपका वृत्त बेकार है।
इस शोध पत्र का तरीका:
1. आप एक स्मार्ट वॉटर सेंसर (न्यूरल नेटवर्क) बनाते हैं जो आपके विशिष्ट घर में पानी के प्रवाह को सीखता है।
2. आप सेंसर को पानी के प्रवाह के नियमों (भौतिकी के समीकरणों) का पालन करने के लिए मजबूर करते हैं ताकि वह भ्रमित न हो।
3. आप एक प्रमाणित इंजीनियर (वेरिफिकेशन टूल) को नियुक्त करते हैं जो सेंसर द्वारा चिह्नित प्रत्येक कमरे में जाकर गणितीय रूप से सिद्ध करता है कि अराजक बाढ़ के दौरान भी पानी कभी अंदर नहीं आ सकता।

4. यह क्यों महत्वपूर्ण है

लेखकों ने इसका परीक्षण चार अलग-अलग जटिल प्रणालियों (जैसे कि एक पावर ग्रिड और एक रोबोटिक आर्म) पर किया।

परिणाम: उनके तरीके ने पिछले तरीकों की तुलना में बड़े सुरक्षित क्षेत्र खोजे। इसका मतलब है कि हम अधिक तेज़ी से गाड़ी चला सकते हैं, ऊँचा उड़ सकते हैं, या अधिक ऊर्जा का उपयोग कर सकते हैं, यह जानते हुए कि हम अभी भी सुरक्षित हैं।
मजबूती (Robustness): यह तब भी काम करता है जब सिस्टम "लड़खड़ाता" है या वातावरण अप्रत्याशित होता है।
दक्षता: यह उपयोग के लिए पर्याप्त तेज़ है, जबकि पुराने तरीके इसमें कई दिन लगा सकते थे।

सारांश

यह शोध पत्र हमें अधिक सुरक्षित, अधिक विश्वसनीय मशीनें बनाने के लिए एक नया टूलकिट प्रदान करता है। यह AI के लचीलेपन (जटिल आकृतियों को संभालने के लिए) को गणित की कठोरता (सुरक्षा की गारंटी देने के लिए) और औपचारिक जाँच की शक्ति (यह सिद्ध करने के लिए कि यह काम करता है) के साथ जोड़ता है। यह एक ऐसे कागजी मानचित्र से अपग्रेड करने जैसा है जो गलत हो सकता है, एक ऐसे GPS में जो न केवल सड़क जानता है बल्कि आपके साथ एक वकील भी रखता है ताकि यह गारंटी दी जा सके कि आपको कोई चालान नहीं मिलेगा।

यहाँ मोहम्मद सेरी, मैक्सवेल फिट्ज़गिल्बर्ट और जुन लियू के शोध पत्र "Safe and Robust Domains of Attraction for Discrete-Time Systems: A Set-Based Characterization and Certifiable Neural Network Estimation" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र डिस्क्रीट-टाइम नॉनलीन अनसर्टेन सिस्टम्स (discrete-time nonlinear uncertain systems) के लिए सेफ रोबस्ट डोमेन ऑफ अट्रैक्शन (Safe Robust Domain of Attraction - DOA) के अनुमान की चुनौती को संबोधित करता है।

सिस्टम मॉडल: $x_{k+1} = f(x_k, w_k)$ , जहाँ $x_k$ अवस्था (state) है, $w_k$ एक कॉम्पैक्ट सेट $W$ से विक्षोभ (disturbance) है, और $f$ निरंतर (continuous) है।
उद्देश्य: उन प्रारंभिक अवस्थाओं (initial states) के सेट की पहचान करना जिनसे सभी प्रक्षेप पथ (trajectories) यह सुनिश्चित करते हैं कि:
1. वे एक निर्धारित रोबस्ट इनवेरिएंट सेट (Robust Invariant Set - RIS), जिसे $A$ द्वारा दर्शाया गया है, की ओर अभिसरित (converge) हों।
2. वे सभी समय चरणों और सभी स्वीकार्य विक्षोभ अनुक्रमों (disturbance sequences) के लिए अवस्था बाधाओं (state constraints) का पालन करें (अर्थात एक ओपन सेफ सेट $X$ के भीतर रहें)।
चुनौतियां:
- मौजूदा विधियाँ अक्सर निश्चित-रूप (fixed-form) लियापुनोव फलनों (जैसे द्विघात/quadratic) पर निर्भर करती हैं, जिससे अत्यधिक रूढ़िवादी (conservative) अनुमान प्राप्त होते हैं।
- बेलमैन समीकरणों (Bellman equations) के पारंपरिक ग्रिड-आधारित समाधान कम्प्यूटेशनल रूप से महंगे होते हैं और "डायमेंशनलिटी के अभिशाप" (curse of dimensionality) से ग्रस्त होते हैं।
- सम-ऑफ-स्क्वायर (Sum-of-Squares - SOS) विधियाँ केवल बहुपद (polynomial) प्रणालियों तक सीमित हैं।
- मानक न्यूरल नेटवर्क (NN) दृष्टिकोण अक्सर अनुमान त्रुटियों और सेट-वैल्यूड डायनेमिक्स के सत्यापन की कठिनाई के कारण सुरक्षा और मजबूती के संबंध में औपचारिक गारंटी (formal guarantees) की कमी रखते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक नवीन ढांचा प्रस्तावित करते हैं जो सेट-बेस्ड वैल्यू फंक्शन्स (set-based value functions), फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क्स (physics-informed neural networks) और फॉर्मल वेरिफिकेशन (formal verification) को एकीकृत करता है।

A. सैद्धांतिक आधार: सेट-बेस्ड वैल्यू फंक्शन्स

स्टेट स्पेस $\mathbb{R}^n$ पर वैल्यू फंक्शन को परिभाषित करने के बजाय, लेखक उन्हें कॉम्पैक्ट सेट्स के मेट्रिक स्पेस $K(\mathbb{R}^n)$ पर परिभाषित करते हैं, जो हॉडॉर्फ दूरी (Hausdorff distance) से सुसज्जित है।

मान्यताएं: यह माना गया है कि RIS $A$ यूनिफॉर्मली लोकली $\ell_p$ -स्टेबल है। यह एक सामान्य स्थिति है जिसमें एक्सपोनेंशियल और पॉलिनोमियल स्टेबिलिटी दोनों शामिल हैं।
वैल्यू फंक्शन्स: दो फंक्शन पेश किए गए हैं:
1. $V(X) = \sum_{k=0}^{\infty} \Psi(R(X, k))$ , जहाँ $R(X, k)$ समय $k$ पर रीचेबल सेट (reachable set) है, और $\Psi$ एक कॉस्ट फंक्शनल है जिसमें $A$ से दूरी और सेफ सेट $X$ के लिए एक बैरियर फंक्शन शामिल है।
2. $W(X) = 1 - \exp(-V(X))$ ।
विशेषण (Characterization): सेफ रोबस्ट DOA को सटीक रूप से सबलेवल सेट $\{x \mid W(\{x\}) < 1\}$ के रूप में वर्णित किया गया है।
बेलमैन-टाइप समीकरण: लेखक इन वैल्यू फंक्शन्स द्वारा संतुष्ट होने वाले फंक्शनल समीकरणों (Zubov-type) को व्युत्पन्न करते हैं:
- $V(X) = \Psi(X) + V(F(X))$
- $W(X) - W(F(X)) = \xi(X)(1 - W(F(X)))$
  ये समीकरण सेट-वैल्यूड तर्कों के लिए मान्य हैं, जहाँ $F(X)$ अनसर्टेन डायनेमिक्स के तहत सेट $X$ का इमेज (image) है।

B. फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क (PINN) ढांचा

उच्च-आयामी स्थानों में इन वैल्यू फंक्शन्स को अनुमानित करने के लिए, लेखक एक न्यूरल नेटवर्क लर्निंग रणनीति का उपयोग करते हैं:

एम्बेडिंग (Embedding): चूंकि बेलमैन समीकरण में सेट-वैल्यूड टर्म्स ( $F(\{x\})$ ) शामिल हैं, इसलिए एक इनजेक्टिव एम्बेडिंग $T$ का उपयोग सिंगलटन सेट्स $\{x\}$ और रीचेबल सेट्स $F(\{x\})$ को एक परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस $\mathbb{R}^L$ में मैप करने के लिए किया जाता है।
लॉस फंक्शन (Loss Function): प्रशिक्षण एक मिश्रित लॉस को कम करता है:
- डेटा-ड्रिवन लॉस: ग्राउंड-ट्रुथ वैल्यू फंक्शन (जो ट्राजेक्टरी सैंपलिंग के माध्यम से गणना किया गया है) और NN आउटपुट के बीच की त्रुटि को कम करता है।
- फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड लॉस: सीधे ट्रेनिंग लूप के भीतर व्युत्पन्न बेलमैन-टाइप समीकरण के रेसिडुअल (residual) को कम करता है। यह बिना लेबल वाले डेटा के वैल्यू फंक्शन के संरचनात्मक गुणों को लागू करता है।
अनुमान (Approximation): रीचेबल सेट्स को सैंपल किए गए विक्षोभ ट्राजेक्टरीज की एक सीमित संख्या का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है।

C. सर्टिफिएबल वेरिफिकेशन (Certifiable Verification)

चूंकि NN अनुमान त्रुटियां पेश कर सकते हैं, इसलिए एक औपचारिक सत्यापन चरण आवश्यक है:

प्रारंभिक ROA: एक प्रारंभिक सुरक्षित क्षेत्र (जैसे, एक द्विघात लियापुनोव फंक्शन के माध्यम से) स्थापित किया जाता है।
विस्तार (Enlargement): ढांचा इस क्षेत्र का विस्तार करने के लिए शर्तों को सत्यापित करता है। यह जाँचता है कि क्या सीखा गया NN फंक्शन $\omega_{nn}$ $ω_{nn}$ निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:
1. सुरक्षा (Safety): अनुमानित क्षेत्र से शुरू होने वाले प्रक्षेप पथ सेफ सेट $X$ के भीतर रहते हैं।
2. अभिसरण (Convergence): वैल्यू फंक्शन प्रक्षेप पथों के साथ घटता है ( $\omega_{nn}(f(x,w)) - \omega_{nn}(x) \leq -\epsilon$ )।
टूल्स (Tools): सत्यापन के लिए $\alpha,\beta$ -CROWN और dReal जैसे अत्याधुनिक फॉर्मल वेरिफिकेशन टूल्स का उपयोग किया जाता है ताकि न्यूरल नेटवर्क की नॉन-कॉन्वेक्सिटी और सिस्टम डायनेमिक्स की नॉन-लिनियरिटी को संभाला जा सके।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

सेट-बेस्ड कैरेक्टराइजेशन: कॉम्पैक्ट सेट्स के मेट्रिक स्पेस पर परिभाषित वैल्यू फंक्शन्स का परिचय, जो सामान्य नॉनलीन सिस्टम्स के लिए सेफ रोबस्ट DOA का सटीक चित्रण प्रदान करता है।
सामान्य स्थिरता मान्यताएं: यूनिफॉर्म $\ell_p$ -स्टेबिलिटी का उपयोग करके प्रतिबंधात्मक मान्यताओं (जैसे लिप्सचिट्ज़ निरंतरता) को शिथिल करना, जो क्षय दरों (decay rates) के एक व्यापक वर्ग (पॉलिनोमियल और एक्सपोनेंशियल) को कवर करता है।
फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड लर्निंग: एक नवीन प्रशिक्षण योजना जो बेलमैन-टाइप समीकरणों को सीधे NN लॉस फंक्शन में एम्बेड करती है, जिससे फिक्स्ड टेम्पलेट्स के बिना रोबस्ट लियापुनोव फंक्शन सीखना संभव होता है।
सर्टिफिएबल एस्टीमेशन: एक कठोर सत्यापन प्रक्रिया जो फ्लेक्सिबल NN एप्रोक्सिमेशन और औपचारिक सुरक्षा गारंटी के बीच के अंतर को पाटती है, जो आधुनिक वेरिफिकेशन टूल्स के अनुकूल है।
स्केलेबिलिटी: यह विधि ग्रिड-आधारित विविक्तकरण (discretization) से बचती है, जिससे यह उच्च-आयामी सिस्टम के लिए भी उपयुक्त हो जाती है जहाँ पारंपरिक विधियाँ विफल हो जाती हैं।

4. परिणाम (Results)

कार्यप्रणाली को चार संख्यात्मक उदाहरणों पर मान्य किया गया, जिनमें शामिल हैं:

एक विक्षोभित (perturbed) टू-मशीन पावर सिस्टम।
स्थानीय पॉलिनोमियल स्टेबिलिटी वाला एक अनसर्टेन नॉनलीन सिस्टम।
गुरुत्वाकर्षण और सैचुरेटेड टॉर्क के साथ एक रिजिड रॉड।
एक विक्षोभित रेशनल सिस्टम।

मुख्य निष्कर्ष:

प्रदर्शन: पूर्ण अनिश्चितता (परिदृश्य 2) को ध्यान में रखते हुए, प्रस्तावित ढांचा लगातार अन्य की तुलना में सबसे बड़े सर्टिफिएबल DOA अनुमान प्रदान करता है:
- ऑप्टिमाइज्ड एललिप्सॉइडल ROAs (लियापुनोव-आधारित)।
- नोमिनल (अनपरटर्बड) डायनेमिक्स पर प्रशिक्षित न्यूरल नेटवर्क।
मजबूती (Robustness): नोमिनल-ट्रेन्ड NNs कई अनसर्टेन उदाहरणों के लिए सर्टिफिएबल अनुमान देने में विफल रहे, जबकि प्रस्तावित रोबस्ट फ्रेमवर्क सफल रहा।
व्यापकता (Generality): पद्धति ने गैर-पॉलिनोमियल सिस्टम (रेशनल, ट्रिगोनोमेट्रिक) को सफलतापूर्वक संभाला जहाँ SOS-आधारित विधियाँ लागू नहीं होती हैं।
कम्प्यूटेशनल लागत: हालांकि डेटा जनरेशन (रीचेबल सेट एप्रोक्सिमेशन) कम्प्यूटेशनल रूप से गहन है, समग्र प्रशिक्षण और सत्यापन समय नोमिनल दृष्टिकोणों के तुलनीय था। ट्राजेक्टरी सैंपलिंग काउंट और सटीकता के बीच के ट्रेड-ऑफ को प्रभावी ढंग से प्रबंधित किया गया।

5. महत्व (Significance)

यह शोध पत्र अनसर्टेन नॉनलीन सिस्टम्स के नियंत्रण में एक महत्वपूर्ण प्रगति का प्रतिनिधित्व करता है। पॉइंट-वाइज लियापुनोव विश्लेषण से सेट-बेस्ड वैल्यू फंक्शन्स की ओर बढ़कर, लेखक रोबस्ट कंट्रोल समस्याओं की अंतर्निहित सेट-वैल्यूड प्रकृति को संभालने के लिए एक गणितीय रूप से कठोर तरीका प्रदान करते हैं। फॉर्मल वेरिफिकेशन को फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड लर्निंग के साथ एकीकृत करना उस महत्वपूर्ण बाधा को हल करता है जो डीप लर्निंग को सुरक्षा-महत्वपूर्ण (safety-critical) सिस्टम में लागू करने में आती है: सुरक्षा गारंटी की कमी।

यह ढांचा जटिल, उच्च-आयामी और अनसर्टेन डायनेमिकल सिस्टम्स के लिए सुरक्षित और अधिक मजबूत नियंत्रकों को सक्षम करने के लिए पारंपरिक ग्रिड-आधारित या पॉलिनोमियल ऑप्टिमाइजेशन विधियों का एक व्यावहारिक, स्केलेबल और सैद्धांतिक रूप से सुदृढ़ विकल्प प्रदान करता है।