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Direct Product of Picture Fuzzy Subgroups

यह शोध पत्र पिक्चर फजी उपसमूहों की अवधारणा का अन्वेषण करता है, जिसमें उनके प्रत्यक्ष उत्पाद (direct product) को प्रस्तुत किया गया है और $(r, s, t)$ -कट सेट्स का उपयोग करके इस उत्पाद के कई अभिलक्षणों को स्थापित किया गया है।

मूल लेखक: Taiwo O. Sangodapo

प्रकाशित 2026-03-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Taiwo O. Sangodapo

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, अराजक मतदान प्रणाली को व्यवस्थित करने की कोशिश कर रहे हैं। वास्तविक दुनिया में, जब लोग मतदान करते हैं, तो वे केवल "हाँ" या "नहीं" नहीं कहते। कभी-कभी वे कहते हैं "शायद," कभी-कभी वे कहते हैं "मैं मतदान करने से इनकार करता हूँ," और कभी-कभी वे बस चुप रहते हैं।

ताइवो ओ. सांगोडैपो का यह शोध पत्र इस बारे में है कि इस तरह के जटिल, मानवीय निर्णय लेने की प्रक्रिया को संभालने के लिए एक गणितीय ढांचा कैसे बनाया जाए, और फिर यह पता लगाया जाए कि जब आप दो अलग-अलग समूहों के मतदाताओं को एक साथ मिलाते हैं तो क्या होता है।

यहाँ सरल उपमाओं का उपयोग करके शोध पत्र का विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "तीन-रंगों वाला" मतपत्र

पारंपरिक गणित (क्लासिकल सेट थ्योरी) एक लाइट स्विच की तरह है: यह या तो ON है या OFF।
बाद में, फजी लॉजिक (Fuzzy Logic) का आविष्कार किया गया, जो एक डिमर स्विच की तरह है: यह 50% ON या 80% ON हो सकता है।

लेकिन लेखक पिक्चर फजी सेट्स (Picture Fuzzy Sets) पेश करते हैं, जो एक तीन-रंगों वाले वोटिंग कार्ड की तरह है। प्रत्येक व्यक्ति (या वस्तु) के समूह के लिए, आपको तीन स्कोर असाइन करने होंगे:

हरा (सकारात्मक): वे कितना सहमत हैं? (जैसे, "हाँ में वोट दें")
पीला (तटस्थ): वे कितने अनिश्चित हैं? (जैसे, "abstain" या तटस्थ रहना)
लाल (नकारात्मक): वे कितना असहमत हैं? (जैसे, "नहीं में वोट दें")

नियम: इन तीन रंगों का योग 100% से अधिक नहीं हो सकता। यदि कोई 60% हरा और 30% पीला है, तो वे केवल 10% लाल हो सकते हैं।

2. लक्ष्य: "फजी सबग्रुप" (Fuzzy Subgroup)

गणित में, एक ग्रुप (समूह) चीजों का एक संग्रह है जिन्हें विशिष्ट नियमों का पालन करते हुए संयोजित किया जा सकता है (जैसे संख्याओं को जोड़ना या सामग्री मिलाना)। एक सबग्रुप (उपसमूह) उस ग्रुप के अंदर एक छोटा क्लब है जो उन्हीं नियमों का पालन करता है।

एक पिक्चर फजी सबग्रुप एक "फजी क्लब" है। हर कोई 100% सदस्य नहीं होता। कुछ "काफी हद तक" सदस्य हैं, कुछ "बमुश्किल" सदस्य हैं, और कुछ "थोड़े बहुत" सदस्य हैं। शोध पत्र पूछता है: यदि मेरे पास दो ऐसे फजी क्लब हैं, तो क्या होता है यदि मैं उन्हें आपस में मिला दूँ?

3. मुख्य घटना: "डायरेक्ट प्रोडक्ट" (क्लबों का विवाह)

शोध पत्र का मूल भाग डायरेक्ट प्रोडक्ट (Direct Product) है। कल्पना कीजिए कि आपके पास है:

क्लब A: इबादान के मतदाताओं का एक समूह।
क्लब B: लागोस के मतदाताओं का एक समूह।

डायरेक्ट प्रोडक्ट एक नया, विशाल क्लब बनाना है जहाँ प्रत्येक सदस्य एक जोड़ा (pair) है: (इबादान से एक व्यक्ति + लागोस से एक व्यक्ति)।

शोध पत्र पूछता है: यदि क्लब A एक वैध फजी क्लब है और क्लब B एक वैध फजी क्लब है, तो क्या नया "सुपर क्लब" (A × B) भी एक वैध फजी क्लब है?

उत्तर: हाँ! शोध पत्र सिद्ध करता है कि यदि आप दो वैध फजी क्लबों को लेते हैं और उन्हें मिलाते हैं, तो परिणाम स्वतः ही एक वैध फजी क्लब बन जाता है।

4. गुप्त हथियार: "कट सेट्स" (टॉर्च की रोशनी)

लेखक ने यह कैसे सिद्ध किया? उन्होंने $(r, s, t)$ -कट सेट्स नामक एक चतुर तरकीब का उपयोग किया।

एक पिक्चर फजी सेट को एक धुंधले परिदृश्य (foggy landscape) के रूप में सोचें। इसके किनारे स्पष्ट रूप से देखना कठिन है क्योंकि हर किसी की सदस्यता का स्तर अलग-अलग होता है।

कट सेट (Cut Set) एक टॉर्च की रोशनी या एक फ़िल्टर की तरह है।
आप टॉर्च की चमक को एक विशिष्ट स्तर ( $r, s, t$ ) पर सेट करते हैं।
जो भी "पर्याप्त उज्ज्वल" है (थ्रेशोल्ड को पूरा करता है), वह दिखाई देता रहता है। जो बहुत धुंधला है, वह गायब हो जाता है।

जादू: लेखक दिखाते हैं कि यदि आप इस टॉर्च की रोशनी को "सुपर क्लब" (डायरेक्ट प्रोडक्ट) पर डालते हैं, तो जो लोग आपको दिखाई देते हैं वे बिल्कुल वही हैं जो क्लब A और क्लब B पर अलग-अलग टॉर्च चमकाने और फिर उन दिखाई देने वाले लोगों को मिलाने से मिलते हैं।

क्योंकि "दिखाई देने वाले" हिस्से (क्रिस्प सेट्स) को समझना आसान है और वे नियमों का पालन करते हैं, लेखक सिद्ध करते हैं कि "धुंधला" संपूर्ण (फजी सेट) भी नियमों का पालन करता है।

5. विशेष मामले: नॉर्मल सबग्रूप्स और कंजुगेट्स

शोध पत्र दो विशेष परिदृश्यों को भी देखता है:

नॉर्मल सबग्रूप्स (Normal Subgroups): ये ऐसे क्लब हैं जहाँ सदस्यों को मिलाने का क्रम मायने नहीं रखता (A + B = B + A)। शोध पत्र सिद्ध करता है कि यदि आप दो "क्रम-स्वतंत्र" फजी क्लबों को मिलाते हैं, तो परिणाम भी "क्रम-स्वतंत्र" होता है।
कंजुगेट सबग्रूप्स (Conjugate Subgroups): ये ऐसे क्लब हैं जो अनिवार्य रूप से एक ही हैं, बस उन्हें अलग दृष्टिकोण से देखा गया है (जैसे एक मूर्ति को बाईं ओर से बनाम दाईं ओर से देखना)। शोध पत्र सिद्ध करता है कि यदि आप "दर्पण-छवि" वाले दो जोड़ों के क्लबों को मिलाते हैं, तो परिणामी सुपर-क्लब भी एक-दूसरे के दर्पण-छवि (mirror images) होते हैं।

सारांश: यह क्यों मायने रखता है?

यह शोध पत्र जटिल निर्णय लेने के लिए एक गणितीय सुरक्षा जाल बनाने जैसा है।

यह सिद्ध करके कि आप नियमों को तोड़े बिना इन "फजी" समूहों को संयोजित कर सकते हैं, लेखक वैज्ञानिकों और इंजीनियरों को एक विश्वसनीय उपकरण प्रदान करते हैं। अब वे जटिल प्रणालियों का मॉडल बना सकते—जैसे चिकित्सा निदान (जहाँ एक रोगी "काफी हद तक बीमार," "थोड़ा स्वस्थ," और "अनिश्चित" हो सकता है) या मतदान प्रणाली (हाँ/नहीं/तटस्थ/इनकार के साथ)—और डेटा के विभिन्न स्रोतों को बिना उसके गणितीय ढांचे को खोए संयोजित कर सकते हैं।

संक्षेप में: शोध पत्र कहता है, "यदि आपके पास तीन-रंगीन निर्णय लेने वाले दो समूह हैं, और आप उन्हें एक बड़े टीम में मिलाते हैं, तो गणित अभी भी पूरी तरह से काम करता है, बशर्ते आप उन्हें सही 'टॉर्च की रोशनी' (कट सेट्स) के माध्यम से देखें।"

यहाँ ताईवो ओ. सांगोडापो के शोध पत्र "डायरेक्ट प्रोडक्ट ऑफ पिक्चर फजी सबग्रुप्स" (Direct Product of Picture Fuzzy Subgroups) का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र फजी सेट्स (Fuzzy Sets) के बीजगणितीय सिद्धांत में एक अंतराल को संबोधित करता है। जबकि फजी सेट्स (ज़ेडेह, 1965), इंट्यूशनिस्टिक फजी सेट्स (अटानासोव, 1984), और पिक्चर फजी सेट्स (कुओंग और क्रेइनोविच, 2013) की अवधारणाएँ सुस्थापित हैं, पिक्चर फजी सबग्रुप्स (PFSG) की विशिष्ट बीजगणितीय संरचना और डायरेक्ट प्रोडक्ट के तहत उनके व्यवहार का चरित्र वर्णन अभी भी आवश्यक है।

पिछले कार्यों (जैसे डॉग्रा और पाल, सांगोडापो और ओनासान्या) ने $(r, s, t)$ -कट सेट्स के माध्यम से PFSGs की परिभाषा और उनके गुणों को स्थापित किया था। हालाँकि, दो पिक्चर फजी सबग्रुप्स के डायरेक्ट प्रोडक्ट का व्यवहार—विशेष रूप से यह कि सदस्यता स्तर (सकारात्मक, तटस्थ, नकारात्मक) उत्पाद स्थान (product space) में कैसे परस्पर क्रिया करते हैं और किन परिस्थितियों में उत्पाद सबग्रुप गुणों को बनाए रखता है—पूरी तरह से अन्वेषित नहीं किया गया था। इस शोध का उद्देश्य PFSGs के डायरेक्ट प्रोडक्ट को परिभाषित करना और इन उत्पादों के वैध सबग्रुप और नॉर्मल सबग्रुप बनने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करना है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक पिक्चर फजी सेट (PFS) सिद्धांत और ग्रुप थ्योरी पर आधारित एक कठोर बीजगणितीय दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं। मुख्य कार्यप्रणाली में शामिल हैं:

परिभाषाएँ (Definitions): समूहों $G$ $G$ और $G^*$ $G^{*}$ पर परिभाषित दो पिक्चर फजी सेट्स (PFS) $P$ $P$ और $Q$ $Q$ के कार्टेशियन उत्पाद (Cartesian product) को औपचारिक रूप देना। $P \times Q$ $P \times Q$ के लिए सदस्यता फलन (membership functions) को निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:
- सकारात्मक सदस्यता ( $\sigma$ ): व्यक्तिगत सदस्यताओं का अधिकतम (supremum)।
- तटस्थ सदस्यता ( $\tau$ ): व्यक्तिगत सदस्यताओं का अधिकतम (supremum)।
- नकारात्मक सदस्यता ( $\eta$ ): अधिकतम सदस्यताओं के न्यूनतम (infimum) का न्यूनतम (विशेष रूप से $\min(\eta_P(p) \vee \eta_Q(q))$ )।
कट सेट विश्लेषण (Cut Set Analysis): लक्षण वर्णन के लिए प्राथमिक उपकरण $(r, s, t)$ -कट सेट है। शोध पत्र इस गुण का उपयोग करता है कि एक PFS एक सबग्रुप है यदि और केवल यदि इसके $(r, s, t)$ -कट सेट्स सभी वैध थ्रेशोल्ड के लिए 'क्रिस्प' (crisp) सबग्रुप हैं।
तार्किक निष्कर्ष (Logical Deduction): प्रमेय (Theorems) फजी सेट्स और उनके संगत क्रिस्प कट सेट्स के बीच समानता स्थापित करके सिद्ध किए जाते हैं, जो शास्त्रीय समूह सिद्धांत (classical group theory) में डायरेक्ट प्रोडक्ट के ज्ञात गुणों का लाभ उठाते हैं।

3. प्रमुख योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. डायरेक्ट प्रोडक्ट की परिभाषा (Definition of Direct Product)

यह शोध पत्र दो PFSs $P$ (पर $G$ ) और $Q$ (पर $G^*$ ) के डायरेक्ट प्रोडक्ट $P \times Q$ को कार्टेशियन उत्पाद समूह $G \times G^*$ पर एक PFS के रूप में परिभाषित करता है।

सदस्यता फलन (Membership Functions):
- $\sigma_{P \times Q}(p, q) = \max(\sigma_P(p), \sigma_Q(q))$
- $\tau_{P \times Q}(p, q) = \max(\tau_P(p), \tau_Q(q))$
- $\eta_{P \times Q}(p, q) = \min(\eta_P(p) \vee \eta_Q(q))$ (नोट: परिभाषा तर्क में पेपर $\min$ के लिए $\wedge$ और $\max$ के लिए $\vee$ का उपयोग करता है)।

B. कट सेट्स के माध्यम से लक्षण वर्णन (Characterization via Cut Sets - Theorem 3.1)

एक मौलिक परिणाम यह स्थापित करता है कि एक डायरेक्ट प्रोडक्ट का $(r, s, t)$ -कट सेट, व्यक्तिगत कट सेट्स का डायरेक्ट प्रोडक्ट होता है:
$C_{r,s,t}(P \times Q) = C_{r,s,t}(P) \times C_{r,s,t}(Q)$
यह फजी बीजगणित और शास्त्रीय बीजगणित के बीच के अंतर को पाटता है, जिससे क्रिस्प ग्रुप गुणों को फजी डोमेन में ले जाया जा सकता है।

C. सबग्रुप गुणों का संरक्षण (Preservation of Subgroup Properties - Theorem 3.2 & 3.3)

सबग्रुप्स (Subgroups): यदि $P$ और $Q$ क्रमशः $G$ और $G^*$ के पिक्चर फजी सबग्रुप (PFSG) हैं, तो $P \times Q$ , $G \times G^*$ का एक PFSG है।
नॉर्मल सबग्रुप्स (Normal Subgroups): यदि $P$ और $Q$ पिक्चर फजी नॉर्मल सबग्रुप (PFNSG) हैं, तो $P \times Q$ , $G \times G^*$ का एक PFNSG है।
प्रमाण रणनीति (Proof Strategy): ये परिणाम सीधे तौर पर प्रमेय 3.1 और इस ज्ञात तथ्य से प्राप्त होते हैं कि शास्त्रीय सबग्रुप (या नॉर्मल सबग्रुप) का डायरेक्ट प्रोडक्ट एक सबग्रुप (या नॉर्मल सबग्रुप) होता है।

D. पहचान तत्वों के लिए आवश्यक शर्तें (Necessary Conditions for Identity Elements - Theorem 3.4)

पेपर समूहों के पहचान तत्वों ( $e_1, e_2$ ) के संबंध में महत्वपूर्ण बाधाओं की पहचान करता है। यदि $P \times Q$ एक PFSG है, तो कम से कम एक निम्नलिखित सत्य होना चाहिए:

$Q$ में पहचान (identity) के सदस्यता मान $P$ के किसी भी तत्व के मानों पर हावी हैं (अर्थात, $\sigma_Q(e_2) \geq \sigma_P(g)$ , आदि)।
$P$ में पहचान के सदस्यता मान $Q$ के किसी भी तत्व के मानों पर हावी हैं।
इसका तात्पर्य यह है कि एक वैध सबग्रुप होने के लिए, घटक फजी सेट्स में से एक को पहचान स्तर पर दूसरे के सापेक्ष "प्रभावी" (dominant) होना चाहिए।

E. व्युत्क्रम निहितार्थ (Inverse Implications - Theorem 3.5 & Corollary 3.2)

शोध पत्र एक विलोम प्रश्न की जांच करता है: यदि $P \times Q$ एक PFSG है, तो क्या इसका अर्थ यह है कि $P$ और $Q$ भी PFSGs हैं?

प्रमेय 3.5: यदि $P \times Q$ एक PFSG है और $G^*$ के पहचान के संबंध में विशिष्ट प्रभुत्व स्थितियाँ (विशेष रूप से $\sigma_P(g) \leq \sigma_Q(e_2)$ ) पूरी होती हैं, तो $P$ निश्चित रूप से $G$ का एक PFSG होगा।
कोरोलरी 3.2: सामान्यतः, यदि $P \times Q$ एक PFSG है, तो या तो $P$ , $G$ का एक PFSG है या $Q$ , $G^*$ का एक PFSG है (या दोनों)।

F. डायरेक्ट प्रोडक्ट में संयुग्मीता (Conjugacy in Direct Products - Theorem 3.6)

यह शोध पत्र पिक्चर फजी संयुग्मी सबग्रुप (PFCSG) की अवधारणा का विस्तार करता है। यह सिद्ध करता है कि यदि $P_1, P_2$ समूह $G$ में संयुग्मी (conjugate) हैं, और $Q_1, Q_2$ समूह $G^*$ में संयुग्मी हैं, तो उनके डायरेक्ट प्रोडक्ट $P_1 \times Q_1$ और $P_2 \times Q_2$ , $G \times G^*$ में संयुग्मी होंगे।

4. महत्व और प्रभाव (Significance and Impact)

सैद्धांतिक प्रगति: यह कार्य फजी समूहों की बीजगणितीय संरचना को अधिक जटिल पिक्चर फजी वातावरण तक विस्तारित करता है, जो सकारात्मक, तटस्थ और नकारात्मक विचारों (जो मतदान प्रणालियों और चिकित्सा निदान के लिए महत्वपूर्ण हैं) को ध्यान में रखता है।
कार्यप्रणाली उपयोगिता: यह सिद्ध करके कि एक उत्पाद का $(r, s, t)$ -कट सेट, उसके व्यक्तिगत कट सेट्स का उत्पाद है, यह शोध पत्र शोधकर्ताओं को एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है। यह उन्हें जटिल फजी समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें शास्त्रीय क्रिस्प समस्याओं में बदलने की अनुमति देता है।
अनुप्रयोग क्षमता: इसके परिणाम निर्णय लेने वाली प्रणालियों में सीधे लागू होते हैं जिनमें कई एजेंट या मानदंड (जो समूहों के रूप में मॉडल किए गए हैं) शामिल हैं, जहाँ तटस्थता और इनकार (refusal) महत्वपूर्ण कारक होते हैं। नॉर्मलिटी और संयुग्मीता की स्थितियाँ पिक्चर फजी बीजगणित में कोटिशेंट संरचनाओं (quotient structures) के निर्माण के लिए आवश्यक हैं, जो फजी वातावरण के भीतर उन्नत क्रिप्टोग्राफी और कोडिंग थ्योरी के अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक हैं।

संक्षेप में, सांगोडाप ने पिक्चर फजी सबग्रुप्स के डायरेक्ट प्रोडक्ट के लिए बीजगणितीय ढांचे को सफलतापूर्वक स्थापित किया है, यह सिद्ध करते हुए कि ये संरचनाएं विशिष्ट स्थितियों के तहत सबग्रुप और नॉर्मल सबग्रुप गुणों को बनाए रखती हैं और कट सेट्स के माध्यम से एक स्पष्ट लक्षण वर्णन प्रदान करती हैं।