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Computing Green's functions and improving ground state energy estimation on quantum computers with Liouvillian recursion

यह शोध पत्र नियर-टर्म क्वांटम हार्डवेयर पर मेनी-बॉडी ग्रीन फंक्शन्स की गणना करने के लिए लियुविलियन रिकर्सन (Liouvillian recursion) का उपयोग करते हुए एक शोर-रोधी (noise-robust), क्वांटम-क्लासिकल हाइब्रिड एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है, जो तत्पश्चात सीधे हैमिल्टोनियन एक्सपेक्टेशन वैल्यूज की तुलना में गैलिट्स्की-मिगल (Galitskii-Migdal) फॉर्मूला के माध्यम से अधिक सटीक ग्राउंड स्टेट एनर्जी एस्टीमेशन को सक्षम बनाता है।

मूल लेखक: Jérôme Leblanc, Olivier Nahman-Lévesque, Julien Forget, Thomas Lepage-Lévesque, Simon Verret, Alexandre Foley

प्रकाशित 2026-03-06

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jérôme Leblanc, Olivier Nahman-Lévesque, Julien Forget, Thomas Lepage-Lévesque, Simon Verret, Alexandre Foley

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक आदर्श चॉकलेट केक (एक जटिल पदार्थ का ग्राउंड स्टेट) बनाने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास एक रेसिपी है, लेकिन आपका ओवन थोड़ा पुराना और अविश्वसनीय है (आपका क्वांटम कंप्यूटर शोर वाला/नोइज़ी है), और आपकी सामग्री 100% शुद्ध नहीं है (आपका अनुमानित ग्राउंड स्टेट एकदम सटीक नहीं है)।

आमतौर पर, यदि आप ओवन से सीधे केक चखते हैं, तो वह थोड़ा खराब हो सकता है। लेकिन क्या होगा अगर आपके पास उस थोड़े से अपूर्ण केक को लेने का, उसे एक विशेष "फ्लेवर एनालाइजर" से गुजारने का, और गणितीय रूप से उस असली रेसिपी को फिर से बनाने का तरीका हो, जो कच्चे माल को सीधे चखने की तुलना में कहीं अधिक बेहतर हो?

यह पेपर मूल रूप से यही करता है, लेकिन केक के बजाय, वे पदार्थों में इलेक्ट्रॉन्स का अनुकरण (सिमुलेशन) कर रहे हैं, और फ्लेवर एनालाइजर के बजाय, वे क्वांटम कंप्यूटर पर लिविलियन रिकर्सन (Liouvillian recursion) नामक एक गणितीय तकनीक का उपयोग कर रहे हैं।

यहाँ उनके ब्रेकथ्रू का सरल शब्दों में विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "शोर वाला" किचन

वैज्ञानिक यह सिम्युलेट करना चाहते हैं कि जटिल पदार्थों (जैसे सुपरकंडक्टर्स) में इलेक्ट्रॉन कैसे व्यवहार करते हैं। ऐसा करने के लिए, उन्हें ग्रीन'स फंक्शन (Green's function) नामक कुछ कैलकुलेट करने की आवश्यकता होती है। ग्रीन'स फंक्शन को एक "मैप" की तरह समझें जो आपको बताता है कि एक इलेक्ट्रॉन कैसे चलता है और दूसरों के साथ कैसे इंटरैक्ट करता है।

हालाँकि, वर्तमान क्वांटम कंप्यूटर "नोइज़ी" (शोर वाले) हैं। वे गलतियाँ करते हैं। यदि आप इस मैप को सीधे कैलकुलेट करने की कोशिश करते हैं, तो शोर पूरी तस्वीर को बिगाड़ देता है। साथ ही, एक आदर्श शुरुआती बिंदु (ग्राउंड स्टेट) प्राप्त करना भी बेहद कठिन है। अधिकांश विधियों के लिए गहरे और जटिल सर्किटों की आवश्यकता होती है जो आज की मशीनों पर विफल हो जाते हैं।

2. समाधान: द "रिकर्सिव लैडर" (पुनरावर्ती सीढ़ी)

लेखकों ने लिविलियन रिकर्सन (Liouvillian recursion) नामक विधि का उपयोग किया।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक अंधेरे कमरे में छिपी हुई वस्तु के आकार का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। आप पूरी वस्तु को एक साथ नहीं देख सकते।
- चरण 1: आप अपने हाथ से वस्तु को छूते हैं (पहले ऑब्जर्वेबल को मापते हैं)।
- चरण 2: फिर आप उस स्पर्श का उपयोग करके आकृति के अगले हिस्से का अनुमान लगाते हैं, फिर उस हिस्से को छूते हैं (अगले ऑब्जर्वेबल को मापते हैं)।
- चरण 3: आप यह सिलसिला जारी रखते हैं, कदम-दर-कदम सूचना की एक "सीढ़ी" बनाते हैं।

भौतिकी (फिजिक्स) में, यह "सीढ़ी" बार-बार क्वांटम कंप्यूटर से यह पूछकर बनाई जाती है: "यदि मैं इस इलेक्ट्रॉन को यहाँ धकेलता हूँ, तो आगे क्या होता है?" कंप्यूटर उत्तर देता है, और एल्गोरिदम उस उत्तर का उपयोग अगला, थोड़ा अधिक जटिल प्रश्न पूछने के लिए करता है।

3. जादू का कमाल: शुरुआती बिंदु से भी बेहतर परिणाम पाना

यहाँ इस पेपर का सबसे आश्चर्यजनक हिस्सा है।

आमतौर पर, यदि आप एक खराब अनुमानित केक से शुरुआत करते हैं, तो आपका अंतिम परिणाम भी एक खराब केक ही होता है। लेकिन यह एल्गोरिदम एक जादुई फिल्टर की तरह है।

उन्होंने तीन अलग-अलग "अपूर्ण" शुरुआती बिंदुओं से शुरुआत की (कुछ 99% सटीक थे, कुछ केवल 76% सटीक थे)।
उन्होंने अपना रिकर्सिव लैडर चलाया।
परिणाम: भले ही उन्होंने एक बहुत ही खराब अनुमान (76% सटीक) से शुरुआत की थी, फिर भी उनके द्वारा कैलकुलेट किया गया सिस्टम का ऊर्जा स्तर (energy) उस ऊर्जा से अधिक सटीक था जो आपको केवल उस अपूर्ण शुरुआती बिंदु को सीधे देखकर प्राप्त होता।

यह ऐसा है जैसे आपने एक थोड़ा जला हुआ केक लिया, उसे उनकी मशीन से गुजारा, और मशीन ने आपको बताया, "वास्तव में, असली रेसिपी एकदम सटीक थी, और आपको वास्तव में इसी तापमान की आवश्यकता थी।"

4. "एक्सपोनेंशियल" ट्रेड-ऑफ (घातांकीय समझौता)

यहाँ एक पेंच है। जैसे-जैसे आप "सीढ़ी" पर ऊपर चढ़ते हैं (अधिक इटरेशन करते हैं), गणित अविश्वसनीय रूप से जटिल होता जाता है। गणनाओं की संख्या एक्सपोनेंशियल रूप से बढ़ती है (यह दोगुना होती है, फिर चार गुना, फिर विस्फोट की तरह बढ़ती है)।

डर: "इसमें बहुत समय लगेगा और इसमें बहुत अधिक शक्ति/ऊर्जा खर्च होगी!"
वास्तविकता: लेखकों ने पाया कि सटीकता भी एक्सपोनेंशियल रूप से सुधरती है। आप जितने अधिक कदम उठाते हैं, आप सत्य के उतने ही करीब पहुँचते हैं, और आप वहाँ इतनी तेजी से पहुँचते हैं कि यह अतिरिक्त काम को संतुलित कर देता है।

उन्होंने इसे वॉसरस्टीन डिस्टेंस (Wasserstein distance) का उपयोग करके मापा (जो दो प्रोबेबिलिटी मैप्स के बीच की दूरी मापने का एक फैंसी तरीका है)। उन्होंने पाया कि भले ही काम तेजी से बढ़ता है, त्रुटि (error) उससे भी अधिक तेजी से घटती है। परिणाम यह है कि कुल प्रयास वास्तव में काफी प्रबंधनीय (पॉलीनोमियल) है, जिससे यह विधि भविष्य के क्वांटम कंप्यूटरों के लिए व्यावहारिक बन जाती है।

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है?

शोर के प्रति लचीलापन (Noise Resilience): यह विधि आश्चर्यजनक रूप से अच्छी तरह से काम करती है, भले ही क्वांटम कंप्यूटर गलतियाँ कर रहा हो। यह एक ऐसे गाने की तरह है जो तब भी अच्छा सुनाई देता है जब गायक थोड़ा बेसुरा हो।
बेहतर ऊर्जा अनुमान: इस विधि का उपयोग करके, वे किसी पदार्थ की ऊर्जा का अधिक सटीक अनुमान लगा सकते हैं, जो नई बैटरी, सुपरकंडक्टर्स या दवाओं को डिजाइन करने के लिए महत्वपूर्ण है।
वास्तविक परीक्षण: उन्होंने इसे केवल सुपरकंप्यूटर पर सिम्युलेट नहीं किया; उन्होंने वास्तव में इसे एक वास्तविक IBM क्वांटम प्रोसेसर (IBM "Quebec" चिप) पर चलाया और यह काम कर गया।

निष्कर्ष

यह पेपर आज के अपूर्ण क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग करके जटिल भौतिकी समस्याओं को हल करने का एक नया तरीका पेश करता है। एक "रिकर्सिव लैडर" दृष्टिकोण का उपयोग करके, वे एक मोटे, शोर वाले अनुमान को इलेक्ट्रॉन्स के व्यवहार की अत्यधिक सटीक भविष्यवाणी में बदल सकते हैं। यह उन नए पदार्थों की खोज के लिए क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग करने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है जो हमारी दुनिया को बदल सकते हैं।

यहाँ शोध पत्र "Computing Green's functions and improving ground state energy estimation on quantum computers with Liouvillian recursion" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

दृढ़ता से सहसंबद्ध इलेक्ट्रॉन प्रणालियों (strongly correlated electron systems) का अनुकरण करना क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए एक प्राथमिक अनुप्रयोग है, विशेष रूप से डायनेमिकल मीन-फील्ड थ्योरी (DMFT) इम्प्योरिटी सॉल्वर्स के लिए। इन सिमुलेशनों के लिए एक महत्वपूर्ण आवश्यकता सिंगल-पार्टिकल ग्रीन'स फंक्शन (single-particle Green's function) की गणना करना है, जो रिस्पॉन्स फंक्शन्स और भौतिक अवलोकन (physical observables) प्रदान करता है।

ग्रीन'स फंक्शन की गणना करने वाले मौजूदा क्वांटम एल्गोरिदम निकट-अवधि मध्यवर्ती-पैमाने के क्वांटम (NISQ) उपकरणों के लिए महत्वपूर्ण बाधाओं का सामना करते हैं:

सर्किट डेप्थ (Circuit Depth): कई विधियों में गहरे सर्किटों की आवश्यकता होती है जिनमें मल्टी-क्यूबिट कंट्रोल ऑपरेशंस या टाइम इवोल्यूशन शामिल होते हैं, जो वर्तमान में अव्यवहार्य हैं।
ग्राउंड स्टेट संवेदनशीलता (Ground State Sensitivity): अधिकांश एल्गोरिदम को एक पूर्ण ग्राउंड स्टेट की आवश्यकता होती है। चूंकि उच्च-फिडेलिटी ग्राउंड स्टेट तैयार करना क्वांटम कंप्यूटरों पर भी कठिन है, इसलिए प्रारंभिक अवस्था में त्रुटियां परिणामों को खराब कर सकती हैं और उन्हें प्रभावित करती हैं।
जटिलता (Complexity): सबस्पेस डायगोनलाइजेशन विधियाँ कम्प्यूटेशनल रूप से महंगी हो सकती हैं या उनमें व्यवस्थित अभिसरण (convergence) गारंटी का अभाव हो सकता है।

लेखक एक हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल एल्गोरिदम विकसित करने का लक्ष्य रखते हैं जो केवल एक अनुमानित ग्राउंड स्टेट तक क्वेरी एक्सेस (query access) का उपयोग करके सटीक ग्रीन'स फंक्शन की गणना करता है और ग्राउंड स्टेट ऊर्जा अनुमान में सुधार करता है, जबकि शोर (noise) और ग्राउंड स्टेट खामियों के प्रति मजबूती बनाए रखता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

यह शोध पत्र एक लिउविलियन रिकर्सन (Liouvillian recursion) विधि का प्रस्ताव करता है जिसे क्वांटम कंप्यूटरों के लिए अनुकूलित किया गया है। मुख्य विचार लिउविलियन सुपरऑपरेटर द्वारा उत्पन्न अवलोकनों (observables) को पुनरावर्ती रूप से मापकर ग्रीन'स फंक्शन का एक कंटिन्यूड-फ्रैक्शन (continued-fraction) प्रतिनिधित्व बनाना है।

A. सैद्धांतिक ढांचा (Theoretical Framework)

रिटार्डेड ग्रीन'स फंक्शन (Retarded Green's Function): इसे $G_{rr'}(t) = -i\langle \{c_r(t), c^\dagger_{r'}\} \rangle \theta(t)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
डायगोनल एलिमेंट्स (स्थानीय): डायगोनल ग्रीन'स फंक्शन $G_{rr}(\omega)$ $G_{r r} (ω)$ को एक कंटिन्यूड फ्रैक्शन के रूप में व्यक्त किया जाता है:
$G^{(k)}_{rr}(\omega) = \frac{1}{\omega - \alpha_{0,r} - \frac{\beta^2_{1,r}}{\omega - \alpha_{1,r} - \dots}}$
गुणांक $\alpha_{k,r}$ $α_{k, r}$ और $\beta_{k,r}$ $β_{k, r}$ को लिउविलियन क्रिया $L(f) = [H, f]$ $L (f) = [H, f]$ का उपयोग करके पुनरावर्ती रूप से परिकलित किया जाता है।
- रिकर्सन (Recursion): $f_{k+1,r} \propto [H, f_{k,r}] - \alpha_{k,r}f_{k,r} - \beta_{k,r}f_{k-1,r}$ ।
- मापन (Measurement): गुणांकों को एंटी-कम्यूटेटर्स के एक्सपेक्टेशन वैल्यू से प्राप्त किया जाता है:
  - $\beta^2_{k,r} = \langle \{ \beta_{k,r}f^\dagger_{k,r}, \beta_{k,r}f_{k,r} \} \rangle$
  - $\alpha_{k,r} = \langle \{ f^\dagger_{k,r}, [H, f_{k,r}] \} \rangle$
ऑफ-डायगोनल एलिमेंट्स (इंटर-साइट): मैट्रिक्स कंटिन्यूड फ्रैक्शंस के बजाय, लेखक एक पॉलीनोमियल हाइब्रिड फॉर्मुलेशन का उपयोग करते हैं। ऑफ-डायगोनल एलिमेंट्स $G_{r'r}(\omega)$ को डायगोनल ग्रीन'स फंक्शन और ऑर्थोगोनल पॉलिनॉमियल्स $Q_{k,r}(\omega)$ और $L_{k,r}(\omega)$ का उपयोग करके पुनर्गठित किया जाता है, जिसमें प्रति इटरेशन केवल एक अतिरिक्त एक्सपेक्टेशन वैल्यू की आवश्यकता होती है: $m_{k,r'r} = \langle \{f_{k,r}, c^\dagger_{r'}\} \rangle$ ।

B. क्वांटम कार्यान्वयन (Quantum Implementation)

हाइब्रिड दृष्टिकोण: क्वांटम कंप्यूटर एक अनुमानित ग्राउंड स्टेट $|g\rangle = U_g|0\rangle$ तैयार करता है और सांख्यिकीय सैंपलिंग के माध्यम से आवश्यक एक्सपेक्टेशन वैल्यू (पेपर में 4, 5 और 9) को मापता है। क्लासिकल कंप्यूटर रिकर्सन संबंधों, पॉलिनॉमियल एक्सपेंशन और कंटिन्यूड फ्रैक्शन असेंबली को संभालता है।
हैमिल्टनियन मैपिंग: इस पद्धति का परीक्षण 1D हबार्ड मॉडल (4 साइट्स, ओपन बाउंड्री, हाफ-फिलिंग, $U=4t$ ) पर किया गया है। हैमिल्टनियन को जॉर्डन-विग्नर ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग करके 8 क्यूबिट्स पर मैप किया गया है, जिसके परिणामस्वरूप 17 पाउली टर्म्स प्राप्त होते हैं।
त्रुटि शमन (Error Mitigation): IBM Quebec प्रोसेसर पर चलने वाले हार्डवेयर ने ट्वर्ल्ड रीडआउट एरर एक्सटेंक्शन (TREX), जीरो नॉइज़ एक्सट्रैपोलेशन (ZNE) और गेट ट्वर्लिंग (gate twirling) का उपयोग किया।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

पूर्ण रिटार्डेड ग्रीन'स फंक्शन: पिछले कार्यों के विपरीत, जो होल और इलेक्ट्रॉन योगदान को अलग करते थे, यह एल्गोरिदम पूर्ण रिटार्डेड ग्रीन'स फंक्शन की गणना करता है।
पॉलीनोमियल हाइब्रिड फॉर्मुलेशन: लेखक एक विधि पेश करते हैं जो मैट्रिक्स कंटिन्यूड फ्रैक्शंस के बजाय पॉलिनॉमियल एक्सपेंशन का उपयोग करके ऑफ-डायगोनल एलिमेंट्स की गणना करती है, जिससे जटिलता कम हो जाती है।
गैलिट्स्की-मिगल (Galitskii-Migdal) के माध्यम से ऊर्जा सुधार: पेपर यह प्रदर्शित करता है कि इस रिकर्सन के माध्यम से गणना किए गए ग्रीन'स फंक्शन का उपयोग ग्राउंड स्टेट ऊर्जा का अनुमान लगाने के लिए गैलिट्स्की-मिगल फॉर्मूला में फीड करने के लिए किया जा सकता है। महत्वपूर्ण बात यह है कि यह अनुमान अक्सर अनुमानित ग्राउंड स्टेट सर्किट के प्रत्यक्ष एक्सपेक्टेशन वैल्यू $\langle H \rangle$ की तुलना में अधिक सटीक होता है, भले ही सर्किट की फिडेलिटी कम हो।
जटिलता विश्लेषण: लेखक सिद्ध करते हैं कि हालांकि पाउली ऑपरेटर्स की संख्या इटरेशन के साथ तेजी से (exponentially) बढ़ती है (जो एक सामान्य बाधा है), रिकर्सन विधि की एक्सपोनेंशियल कन्वर्जेंस इस लागत की भरपाई करती है। इसके परिणामस्वरूप, ग्रीन'स फंक्शन की सटीकता (वॉसेरस्टीन दूरी द्वारा मापी गई) के संबंध में प्रभावी कम्प्यूटेशनल जटिलता पॉलिनॉमियल होती है।

4. परिणाम (Results)

एल्गोरिदम का परीक्षण IBM Quebec सुपरकंडक्टिंग प्रोसेसर पर और तीन अनुमानित ग्राउंड स्टेट्स के लिए क्लासिकल सिमुलेशन के माध्यम से किया गया, जिनकी फिडेलिटी क्रमशः 0.999, 0.963, और 0.768 थी।

ग्रीन'स फंक्शन सटीकता:
- डायगोनल ( $G_{00}$ ) और ऑफ-डायगोनल ( $G_{01}$ ) दोनों तत्वों के लिए हार्डवेयर परिणाम इटरेशन $k=6$ पर सिमुलेशन परिणामों के साथ मात्रात्मक रूप से मेल खाते हैं।
- परिणाम गुणात्मक रूप से (qualitatively) सटीक समाधान (जो $k=30$ पर अभिसरित हुआ) के करीब पहुँचते हैं, भले ही ग्राउंड स्टेट की फिडेलिटी कम हो।
ऊर्जा अनुमान:
- तीनों सर्किटों के लिए, गैलिट्स्की-मिगल फॉर्मूला (इवन इटरेशन $k=2, 4, 6...$ का उपयोग करके) से प्राप्त ऊर्जा अनुमान, प्रत्यक्ष हार्डवेयर एक्सपेक्टेशन वैल्यू $\langle H \rangle$ की तुलना में वास्तविक ग्राउंड स्टेट ऊर्जा ( $E_0 = -9.9531$ ) के अधिक करीब थे।
- मजबूती (Robustness): एक लो-फिडेलिटी सर्किट (0.768) के साथ भी, जहाँ $\langle H \rangle$ वास्तविक ऊर्जा से बहुत दूर था, ग्रीन'स फंक्शन-आधारित अनुमान बेहतर बना रहा।
- शोर प्रतिरोध (Noise Resilience): एल्गोरिदम में अंतर्निहित मजबूती देखी गई; लो-फिडेलिटी अवस्थाओं के परिणाम शुरुआती इटरेशन में हाई-फिडेलिटी अवस्थाओं के करीब रहे, जो दर्शाता है कि यह विधि प्रारंभिक ग्राउंड स्टेट खामियों के प्रति असंवेदनशील है।
अभिसरण बनाम लागत (Convergence vs. Cost):
- पेपर में चित्र 3 प्रदर्शित करता है कि सटीक समाधान के प्रति वॉसेरस्टीन दूरी $d \propto p^{-1/4}$ के रूप में स्केल करती है, जहाँ $p$ पाउली ऑपरेटर्स की संख्या है। यह पुष्टि करता है कि ऑपरेटरों के एक्सपोनेंशियल विकास के बावजूद, सटीकता के संबंध में कम्प्यूटेशनल लागत का पॉलिनॉमियल स्केलिंग होता है।

5. महत्व (Significance)

NISQ उपयुक्तता: यह विधि निकट-अवधि क्वांटम कंप्यूटरों के लिए विशिष्ट रूप से उपयुक्त है क्योंकि यह गहरे टाइम-इवोल्यूशन सर्किटों से बचती है और हार्डवेयर शोर तथा अपूर्ण ग्राउंड स्टेट तैयारी दोनों के प्रति मजबूत है।
DMFT अनुप्रयोग: सहसंबद्ध सामग्रियों के अध्ययन के लिए डायनेमिकल मीन-फील्ड थ्योरी वर्कफ़्लो में क्वांटम कंप्यूटरों को एकीकृत करने के लिए एक विश्वसनीय तरीका प्रदान करके, यह एल्गोरिदम इम्प्योरिटी ग्रीन'स फंक्शन की गणना करने और ऊर्जा अनुमान को बेहतर बनाने का एक व्यवहार्य मार्ग प्रदान करता है।
सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि: यह कार्य इस सैद्धांतिक भविष्यवाणी को मान्य करता है कि लिउविलियन रिकर्सन तेजी से (exponentially) अभिसरित होता है, जो प्रभावी रूप से ऑपरेटर विस्तार की एक्सपोनेंशियल लागत को निष्प्रभावी कर देता है। यह सुझाव देता है कि अपेक्षाकृत उथले (shallow) सर्किट और मध्यम इटरेशन काउंट के साथ ग्रीन'स फंक्शन गणना के लिए क्वांटम लाभ प्राप्त किया जा सकता है।

निष्कर्षतः, यह पेपर एक मजबूत, हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो ग्रीन'स फंक्शन की गणना करने और ग्राउंड स्टेट ऊर्जा को परिष्कृत करने के लिए लिउविलियन रिकर्सन का लाभ उठाता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि निम्न-गुणवत्ता वाली स्टेट तैयारी के साथ भी उच्च-सटीकता वाले परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं।