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The Planar Coleman--Gurtin model with Beltrami conductivity

यह शोध पत्र बेल्ट्रामी गुणांक द्वारा कूटबद्ध रफ अनिसोट्रोपिक डिफ्यूजन और मेमोरी वाले प्लेनर कोलमैन-गर्टिन हीट समीकरण के लिए परिमित फ्रैक्टल आयाम वाले नियमित ग्लोबल और एक्सपोनेंशियल अट्रैक्टर्स के अस्तित्व को स्थापित करता है, जिसमें इंस्टेंटेनियस स्मूथिंग तकनीकों, मैक्सिमल पैराबोलिक रेगुलैरिटी और क्वासीकॉन्फॉर्मल अनुमानों के संयोजन का उपयोग किया गया है।

मूल लेखक: Francesco Di Plinio

प्रकाशित 2026-03-09

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Francesco Di Plinio

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक बड़ी तस्वीर: एक अजीब, मुड़ी हुई दुनिया में ऊष्मा (Heat)

कल्पना कीजिए कि आप यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि कपड़े के एक टुकड़े से ऊष्मा कैसे गुजरती है। एक सामान्य, चिकने सूती कपड़े में, ऊष्मा आसानी से और पूर्वानुमानित तरीके से बहती है, जैसे एक हल्की ढलान से पानी बहता है। गणितज्ञों के पास इसका वर्णन करने के लिए एक मानक सूत्र (लैपलेसियन/Laplacian) होता है।

लेकिन यह शोध पत्र एक बहुत अधिक जटिल परिदृश्य के बारे में है। कल्पना कीजिए कि वह कपड़ा एक हाई-टेक, कंपोजिट मटेरियल है जो हजारों छोटे, मुड़े हुए रेशों (fibers) से बना है, जो आपस में एक अराजक, सूक्ष्म भूलभुलैया की तरह बुने गए हैं।

मरोड़ (The Twist): यह सामग्री "एनिसोट्रोपिक" (anisotropic) है, जिसका अर्थ है कि ऊष्मा हर दिशा में एक समान नहीं बहती। यह एक रेशे के साथ तेजी से बह सकती है लेकिन उसे पार करने की कोशिश में अटक सकती है।
स्मृति (The Memory): इस सामग्री में "स्मृति" भी है। यह केवल अभी के तापमान पर प्रतिक्रिया नहीं देती; इसे याद रहता है कि कुछ क्षण पहले, एक घंटे पहले, या उससे भी पहले तापमान कैसा था। इसे "फेडिंग मेमोरी" (fading memory) कहा जाता है।

लेखक, फ्रांसेस्को डी प्लिनियो, एक विशाल पहेली को सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं: क्या हम इस बिखरी हुई, मुड़ी हुई और स्मृति रखने वाली सामग्री में ऊष्मा के दीर्घकालिक व्यवहार की भविष्यवाणी कर सकते हैं?

मुख्य पात्र

सामग्री (बेल्ट्रामी गुणांक - The Beltrami Coefficient):
सामग्री की आंतरिक संरचना को एक जटिल, मुड़े हुए मानचित्र के रूप में सोचें। गणित में, इसे "बेल्ट्रामी गुणांक" द्वारा वर्णित किया जाता है।
- समस्या: आमतौर पर, गणितज्ञ चाहते हैं कि उनके मानचित्र चिकने और पूरी तरह से बने हों। लेकिन वास्तविक जीवन में (जैसे फाइबर-प्रबलित प्लास्टिक या नैनोकम्पोजिट में), मानचित्र "खुरदरा" होता है। यह ऊबड़-खाबड़, अस्त-व्यस्त होता है और इसमें अचानक बदलाव भी हो सकते हैं।
- चुनौती: मानक गणितीय उपकरण तब काम करना बंद कर देते हैं जब मानचित्र इतना खुरदरा हो। वे आमतौर पर काम करने के लिए सामग्री का "चिकना" होना आवश्यक मानते हैं।
ऊष्मा समीकरण (कोलमैन-गर्टिन मॉडल - The Coleman–Gurtin Model):
यह ऊष्मा के चलने के नियम का नियम पुस्तिका है। यह कहता है: "तापमान में परिवर्तन ऊष्मा प्रवाह के वर्तमान आकार, ऊष्मा प्रवाह के पिछले इतिहास और कुछ बाहरी बलों (जैसे हीटर) पर निर्भर करता है।"
लक्ष्य (अट्रैक्टर - The Attractors):
लेखक जानना चाहता है कि यदि हम इस प्रणाली को लंबे समय तक चलने दें, तो क्या यह पागल हो जाएगी? या क्या यह स्थिर हो जाएगी?
- अट्रैक्टर (The Attractor): एक नदी में भंवर (whirlpool) की कल्पना करें। आप जहाँ भी पत्ता (प्रारंभिक तापमान) गिराते हैं, पानी अंततः उसे भंवर की ओर खींच लेता है। गणित में, यह "भंवर" अट्रैक्टर कहलाता है। यह उन सभी संभावित भविष्य की अवस्थाओं का समूह है जिनमें प्रणाली अंततः स्थिर हो जाएगी।
- सपना: लेखक यह सिद्ध करना चाहता है कि इस बिखरी हुई, मुड़ी हुई और स्मृति रखने वाली सामग्री के साथ भी, ऊष्मा अंततः एक अनुमानित, सीमित पैटर्न (एक "फाइनाइट-डायमेंशनल" अट्रैक्टर) में स्थिर हो जाती है।

यात्रा: लेखक ने इसे कैसे हल किया

यह शोध पत्र पुराने और नए उपकरणों के चतुर मिश्रण का उपयोग करके बाधाओं को पार करने की एक कहानी है।

चरण 1: ऊबड़-खाबड़ रास्ता (समस्या)

3D (जैसे धातु का एक ब्लॉक) में, गणितज्ञों के पास एक तरकीब है: वे ऊष्मा को तुरंत चिकना कर सकते हैं। यदि आप एक खुरदरा तापमान शुरू करते हैं, तो गणित कहता है कि यह तुरंत चिकना हो जाता है।

मुद्दा: 2D (एक सपाट शीट) में, इस विशिष्ट "मुड़ी हुई" सामग्री के साथ, वह तरकीब काम नहीं करती। सामग्री का खुरदरापन ऊष्मा को सामान्य तरीके से चिकना होने से रोकता है। यह रेगमाल (sandpaper) से बने शर्ट को इस्त्री करने की कोशिश करने जैसा है; सामान्य इस्त्री करने की गति यहाँ विफल हो जाती है।

चरण 2: नया उपकरण (मैक्सिमल पैराबोलिक रेगुलैरिटी)

लेखक एक शक्तिशाली नए उपकरण को सामने लाते हैं जिसे मैक्सिमल पैराबोलिक रेगुलैरिटी (Maximal Parabolic Regularity) कहा जाता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक घने, कोहरे से भरे जंगल (खुरदरी सामग्री) से गुजरने की कोशिश कर रहे हैं। आप रास्ता स्पष्ट रूप से नहीं देख पा रहे हैं। पूरे रास्ते को एक साथ देखने के बजाय, आप एक बहुत ही विशिष्ट, हाई-टेक टॉर्च का उपयोग करते हैं जो आपको कोहरे में भी अगले कुछ कदमों को पूरी तरह से देखने की अनुमति देती है।
यह उपकरण लेखक को यह सिद्ध करने की अनुमति देता है कि भले ही सामग्री खुरदरी हो, ऊष्मा अंततः खुद को संभाल लेती है। यह एक "सुरक्षित क्षेत्र" में प्रवेश करती है जहाँ तापमान सीमित (bounded) रहता है (यह अनंत रूप से गर्म या ठंडा नहीं होगा)।

चरण 3: "इंस्टेंट" स्मूदी (त्वरित चिकनापन - Instantaneous Smoothing)

एक बार जब ऊष्मा उस सुरक्षित क्षेत्र में पहुँच जाती है, तो लेखक दिखाते हैं कि यह उम्मीद से कहीं अधिक "चिकनी" हो जाती है।

उपमा: यह पानी के गिलास में स्याही की एक बूंद डालने जैसा है। आमतौर पर, इसे घुलने में समय लगता है। लेकिन यहाँ, लेखक सिद्ध करते हैं कि स्याही बाधाओं से भरे पानी में भी तुरंत एक आदर्श भंवर में मिल जाती है।
यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह लेखक को उन उन्नत गणितीय तकनीकों का उपयोग करने की अनुमति देता है जिनके लिए समाधान का "चिकना" होना आवश्यक है (वह हिस्सा जहाँ ऊष्मा सामग्री के गुणों को प्रभावित करती है)।

चरण 4: अंतिम पुरस्कार (अट्रैक्टर)

जब ऊष्मा को चिकना और सीमित सिद्ध कर दिया जाता है, तो लेखक अंततः "भंवर" (अट्रैक्टर) का निर्माण कर सकते हैं।

वे सिद्ध करते हैं कि चाहे शुरुआती तापमान कितना भी बिखरा हुआ क्यों न हो या सामग्री की संरचना कैसी भी हो, प्रणाली अंततः पैटर्न के एक सघन, सीमित सेट में स्थिर हो जाएगी।
वे यह भी सिद्ध करते हैं कि यह पैटर्न स्थिर (stable) है। यदि आप प्रणाली को थोड़ा सा हिलाते हैं, तो यह बिखरती नहीं है; यह बस थोड़ा सा डगमगाती है और पैटर्न पर वापस आ जाती है।

यह क्यों मायने रखता है?

यह केवल अमूर्त गणित नहीं है; इसके वास्तविक दुनिया में अनुप्रयोग हैं।

कंपोजिट सामग्रियाँ (Composite Materials): आधुनिक इंजीनियरिंग उन सामग्रियों का उपयोग करती है जो रेशों और पॉलिमर से बनी होती हैं (जैसे हवाई जहाज या स्पोर्ट्स कार में)। ये सामग्रियाँ सूक्ष्म स्तर पर अक्सर "खुरदरी" होती हैं और उनमें "स्मृति" (वे धीरे-धीरे रिलैक्स होती हैं) होती है।
विश्वसनीयता: यह शोध पत्र इंजीनियरों और वैज्ञानिकों को यह गणितीय गारंटी देता है कि इन सामग्रियों के लिए उनके मॉडल समय के साथ अनुमानित व्यवहार करेंगे। यह सिद्ध करता है कि एक अराजक, मुड़ी हुई सूक्ष्म दुनिया में भी, व्यापक ऊष्मा प्रवाह एक स्थिर, समझने योग्य अवस्था में स्थिर हो जाता है।

एक वाक्य में सारांश

लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि आपके पास एक सपाट, मुड़ी हुई और बिखरी हुई सामग्री है जो अपने अतीत को याद रखती है, तो उसमें बहने वाली ऊष्मा अंततः शांत हो जाएगी और एक अनुमानित, स्थिर पैटर्न में बस जाएगी, और यह नए गणितीय "टॉर्च" और पुरानी स्मूथिंग तकनीकों के चतुर संयोजन के कारण संभव हुआ है।

यहाँ फ्रांसेस्को डि प्लिनियोओ के शोध पत्र "The Planar Coleman–Gurtin Model with Beltrami Conductivity" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र विषम (heterogeneous) और अनिसोट्रोपिक (anisotropic) माध्यमों में मेमोरी वाले प्लेनर हीट कंडक्शन मॉडल के दीर्घकालिक स्पर्शोन्मुखी व्यवहार (long-time asymptotic behavior) की जांच करता है। संबोधित किए गए विशिष्ट चुनौतियाँ हैं:

हेरेडिटरी हीट कंडक्शन (Hereditary Heat Conduction): यह प्रणाली कोलमैन-गर्टिन (Coleman–Gurtin) मॉडल का अनुसरण करती है, जहाँ ऊष्मा प्रवाह (heat flux) न केवल वर्तमान तापमान प्रवणता (temperature gradient) पर, बल्कि प्रवणता के इतिहास (fading memory) पर भी निर्भर करता है।
रफ अनिसोट्रॉपी (Rough Anisotropy): माध्यम द्वि-आयामी ( $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ ) है जिसमें एक चालकता टेंसर $\sigma_\mu$ है जिसे बेल्ट्रामी गुणांक (Beltrami coefficient) $\mu$ द्वारा कूटबद्ध किया गया है। मानक मॉडलों के विपरीत, जो चिकने (smooth) गुणांकों को मानते हैं, यहाँ $\mu$ केवल मापने योग्य (measurable) है ( $\mu \in L^\infty(\Omega)$ ) जो एक समान दीर्घवृत्तीय स्थिति (uniform ellipticity condition) $\|\mu\|_\infty < 1$ को संतुष्ट करता है। यह जटिल सम्मिश्र सामग्रियों (जैसे फाइबर-रीइन्फोर्स्ड लैमिनेट्स) को मॉडल करता है जहाँ सूक्ष्म संरचना (microstructure) के कारण तापीय चालकता में अचानक, गैर-चिकने परिवर्तन होते हैं।
गैर-रैखिकता (Nonlinearity): प्रणाली में एक गैर-रैखिक प्रतिक्रिया पद $\phi(u)$ शामिल है जो तापमान-निर्भर स्रोतों या विकिरण हानियों (radiative losses) का प्रतिनिधित्व करता है।

शासी समीकरण (governing equation) यह पूर्णांक-अवकल समीकरण (integro-differential system) है:
$\partial_t u + A_\mu u + \int_0^\infty \kappa(s) A_\mu u(t-s) ds + \phi(u) = f$
जहाँ $A_\mu = -\text{div}(\sigma_\mu \nabla \cdot)$ एक दीर्घवृत्तीय बेल्ट्रामी ऑपरेटर है।

2. कार्यप्रणाली और तकनीकी ढांचा (Methodology and Technical Framework)

लेखक क्वासिकोंफॉर्मैलिटी मैपिंग थ्योरी (quasiconformal mapping theory), मैक्सिमल पैराबोलिक रेगुलैरिटी (maximal parabolic regularity), और डायनामिकल सिस्टम्स थ्योरी (attractors) के संयोजन का उपयोग करते हैं।

कार्यात्मक सेटिंग (Functional Setting):
- समस्या को डेफ़रमोस हिस्ट्री स्पेस (Dafermos history space) ढांचे में तैयार किया गया है, जो पूर्णांक-अवकल समीकरण को एक विस्तारित फेज स्पेस $\mathcal{H}^j = V_j \times \mathcal{M}_{j+1}$ पर एक स्वायत्त विकास प्रणाली (autonomous evolution system) में परिवर्तित करता है, जहाँ $V_j$ ऑपरेटर $A_\mu$ से जुड़े हिल्बर्ट स्पेस हैं।
- मेमोरी कर्नेल $\kappa$ को एक जनरेटर $T$ और एक भारित मेमोरी स्पेस $\mathcal{M}_r$ के माध्यम से संभाला जाता है।
प्रमुख विश्लेषणात्मक उपकरण (Key Analytical Tools):
1. बेल्ट्रामी दीर्घवृत्तीय अनुमान (Beltrami Elliptic Estimates): यह शोध पत्र क्वासिकोंफॉर्म मैपिंग से जुड़े हालिया परिणामों पर गहराई से निर्भर करता है।
  - केवल मापने योग्य $\mu$ के लिए, लेखक बेल्ट्रामी रेज़ोलवेंट $(I - \mu S_\Omega)$ की व्युत्क्रमता से प्राप्त $W^{1,q}$ अनुमानों (प्रपोजिशन 2.5) का उपयोग करते हैं।
  - यदि $\mu \in W^{1,2}(\Omega)$ है, तो लेखक द्वितीय-क्रम की रेगुलरिटी प्राप्त करने के लिए $W^{2,p}$ अनुमानों (प्रपोजिशन 2.6) का उपयोग करते हैं।
2. मैक्सिमल पैराबोलिक रेगुलरिटी (Maximal Parabolic Regularity): रफ गुणांकों के कारण $H^2$ रेगुलरिटी की कमी को दूर करने के लिए, लेखक मापने योग्य गुणांकों वाले डाइवर्जेंस-फॉर्म ऑपरेटरों के लिए मैक्सिमल $L^r$ -रेगुलरिटी का उपयोग करते हैं। यह यह सिद्ध करने की अनुमति देता है कि समाधान तुरंत एक $L^\infty$ शासन (regime) में प्रवेश करते हैं, जिससे Agmon-प्रकार के अनुमानों (inequalities) की आवश्यकता समाप्त हो जाती है जिन्हें $H^2$ स्मूथनेस की आवश्यकता होती है।
3. विघटन तकनीकें (Decomposition Techniques): एक अट्रैक्टर स्थापित करने के लिए सेमग्रुप (semigroup) को एक क्षयकारी रैखिक भाग और एक नियमित भाग में विभाजित किया जाता है।

3. मुख्य योगदान और नवाचार (Key Contributions and Innovations)

यह शोध पत्र 2D में "रफ" बेल्ट्रामी चालकता को संभालने के लिए कई नवीन तकनीकों को पेश करता है:

$H^2$ के बिना तात्कालिक स्मूथिंग (Instantaneous Smoothing without $H^2$ ): मानक 3D होमोजेनियस सेटिंग्स में, समाधान तुरंत $H^2$ में प्रवेश करते हैं, जिससे सोबोलेव एम्बेडिंग के माध्यम से गैर-रैखिकता को नियंत्रित करना संभव होता है। इस रफ 2D सेटिंग में, $H^2$ उपलब्ध नहीं है। लेखक मैक्सिमल पैराबोलिक रेगुलरिटी और बेल्ट्रामी $W^{1,q}$ थ्योरी के माध्यम से यह सिद्ध करते हैं कि समाधान एक $L^\infty$ -बाउंडेड एब्जॉर्बिंग सेट में प्रवेश करते हैं। यह $L^\infty$ बाउंड $\phi(u)$ गैर-रैखिक पद को नियंत्रित करने के लिए पर्याप्त है।
अपग्रेडेड रेगुलरिटी (Upgraded Regularity): $\mu \in W^{1,2}(\Omega)$ के हल्के अतिरिक्त अनुमान के तहत, शोध पत्र यह सिद्ध करता है कि समाधान तात्कालिक रूप से द्वितीय-क्रम के ग्राफ स्पेस $D(A_\mu)$ में रेगुलराइज होते हैं, जो $W^{2,p}(\Omega)$ में एम्बेड होता है जहाँ $1 < p < 2$ ।
एक्सपोनेंशियल अट्रैक्टर्स का निर्माण (Construction of Exponential Attractors): लेखक $\mathcal{H}^0$ और $\mathcal{H}^1_0$ -आधारित फेज स्पेस दोनों पर डायनेमिक्स के लिए रेगुलर एक्सपोनेंशियल अट्रैक्टर्स (परिमित फ्रैक्टल आयाम) का निर्माण करते हैं। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि एक्सपोनेंशियल अट्रैक्टर्स, ग्लोबल अट्रैक्टर्स के विपरीत (जो अस्थिर हो सकते हैं), अशांति (perturbations) के तहत स्थिर रहने वाले दीर्घकालिक व्यवहार का एक मजबूत विवरण प्रदान करते हैं।

4. मुख्य परिणाम (Main Results)

A. सुव्यवस्थितता और विपाच्यता (Well-posedness and Dissipativity - सेक्शन्स 3-4)

प्रणाली फेज स्पेस $\mathcal{H}^0$ ( $L^2$ -आधारित) और $\mathcal{H}^1$ ( $H^1_0$ -आधारित) पर एक स्ट्रॉन्गली कंटीन्यूअस सेमग्रिप $S(t)$ उत्पन्न करती है।
सेमग्रिप दोनों स्थानों में एब्जॉर्बिंग बॉल्स को स्वीकार करता है, जो यह सिद्ध करता है कि प्रणाली विपाचित (dissipative) है।
$\mathcal{H}^1$ में शुरू होने वाले समाधान $\mathcal{H}^0$ से शुरू होने के बावजूद, तेजी से (exponentially fast) $\mathcal{H}^1$ के एब्जॉर्बिंग बॉल में प्रवेश करते हैं।

B. तात्कालिक स्मूथिंग (Instantaneous Smoothing - सेक्शन्स 5-6)

थ्योरम 3.4: $\mathcal{H}^1$ में प्रारंभिक डेटा के लिए, समाधान $t > 0$ के लिए $V = D(A_\mu) \times \mathcal{M}_2$ स्थान में प्रवेश करता है।
थ्योरम 3.7: समाधान समय अंतराल $[t_0, t_0+1]$ पर एक समान $L^\infty$ बाउंड संतुष्ट करता है, अर्थात $u \in L^r(t_0, t_0+1; L^\infty(\Omega))$ । यह बिना $\mu$ को स्मूथ माने प्राप्त किया गया है, जो केवल $\mu \in L^\infty$ पर निर्भर करता है।
कोरोलरी 3.5: यदि $\mu \in W^{1,2}(\Omega)$ , तो समाधान $1 < p < 2$ के लिए $W^{2,p}$ रेगुलरिटी प्राप्त करता है।

C. अट्रैक्टर्स का अस्तित्व (Existence of Attractors - सेक्शन्स 7-8)

थ्योरम 3.8: $\mu \in W^{1,2}(\Omega)$ $μ \in W^{1, 2} (Ω)$ मानते हुए, सेमग्रिप के पास एक रेगुलर एक्सपोनेंशियल अट्रैक्टर $\mathcal{E} \subset V$ $E \subset V$ है।
- $\mathcal{E}$ का परिमित फ्रैक्टल आयाम है।
- $\mathcal{E}$ धनात्मक रूप से अपरिवर्तनीय (positively invariant) है और $\mathcal{H}^0$ , $\mathcal{H}^1$ , और $V$ से $\omega$ -लिमिट सेट को तेजी से आकर्षित करता है।
- अट्रैक्टर "रेगुलर" है, जिसका अर्थ है कि यह उच्च-क्रम स्थानों ( $W^{2,p}$ ) में सीमित है।
कोरोलरी 3.9: एक ग्लोबल अट्रैक्टर $\mathcal{A}$ का अस्तित्व स्थापित किया गया है, जो एक्सपोनेंशियल अट्रैक्टर के $\omega$ -लिमिट सेट के साथ मेल खाता है। $\mathcal{A}$ पर सेमग्रिप का प्रतिबंध ऑपरेटरों का एक समूह (group of operators) है।

5. महत्व (Significance)

रफ मीडिया में गणितीय कठोरता (Mathematical Rigor in Rough Media): यह कार्य मेमोरी वाले हीट कंडक्शन के सिद्धांत और क्वासिकोंफॉर्म मैपिंग के सिद्धांत के बीच के अंतर को पाटता है। यह प्रदर्शित करता है कि अत्यधिक अनियमित (मेजेरेबल) अनिसोट्रॉपी के साथ भी, प्रणाली मजबूत विपाचित गुण और परिमित-आयामी स्पर्शोन्मुखी व्यवहार बनाए रखती है।
आयामी बाधाओं को पार करना (Overcoming Dimensional Constraints): यह कार्य उन 2D अनिसोट्रोपिक समस्याओं के लिए $L^\infty$ नियंत्रण का एक नया मार्ग प्रदान करता है जहाँ मानक $H^2$ -आधारित तकनीकें विफल हो जाती हैं। यह उन मिश्रित सामग्रियों के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण है जहाँ इंटरफेस (interfaces) स्मूथ नहीं होते हैं।
भौतिक प्रासंगिकता (Physical Relevance): परिणाम यह प्रमाणित करते हैं कि जटिल, विषम 2D सामग्रियों (जैसे नैनोकम्पोजिट्स) में तापीय विश्रांति (thermal relaxation), चालकता टेंसर की सूक्ष्म जटिलता के बावजूद, स्थिर, परिमित-आयामी दीर्घकालिक गतिशीलता की ओर ले जाती है।

संक्षेप में, डि प्लिनियो सफलतापूर्वक प्लेनर क्वासिकोंफॉर्म चालकताओं के चुनौतीपूर्ण परिवेश में कोलमैन-गर्टिन समीकरणों के सिद्धांत का विस्तार करते हैं, यह सिद्ध करते हुए कि माध्यम की "रफनेस" (roughness) प्रणाली को एक नियमित, परिमित-आयामी अट्रैक्टर में स्थिर होने से नहीं रोकती है।