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On a Problem Posed by Brezis and Mironescu

यह शोध पत्र ब्रेज़िस और मिरोनस्कु की पुस्तक *सोबोलेव मैप्स टू द सर्कल* में प्रस्तुत एक खुली समस्या का सकारात्मक समाधान प्रदान करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि एक चिकनी सीमा (smooth boundary) वाले क्षेत्र-न्यूनतम (area-minimizing) पूर्णांक रेक्टिफिएबल करेंट्स का न्यूनतम द्रव्यमान, उस सीमा को साझा करने वाले चिकने इमर्स्ड सबमैनिफ़ोल्ड्स के क्षेत्रों के इन्फिमम (infimum) के बराबर होता है।

मूल लेखक: Fanghua Lin, Malkeil Shoshan, Changyou Wang

प्रकाशित 2026-03-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Fanghua Lin, Malkeil Shoshan, Changyou Wang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ एक उन्नत गणितीय भाषा से आकृतियों, छिद्रों और एक "परफेक्ट फिट" की कहानी में अनुवादित किया गया शोध पत्र का विवरण दिया गया है।

मुख्य प्रश्न: क्या हम हमेशा एक "परफेक्ट" चिकनी आकृति (Smooth Shape) पा सकते हैं?

कल्पना कीजिए कि आपके पास अंतरिक्ष में तैरता हुआ एक धागे का टुकड़ा (एक लूप) है। आप उस पर साबुन की एक झिल्ली (soap film) फैलाकर एक सतह बनाना चाहते हैं। वास्तविक दुनिया में, प्रकृति दक्षता (efficiency) को पसंद करती है: साबुन की झिल्ली स्वाभाविक रूप से उस आकार में स्थिर हो जाएगी जो सतह के क्षेत्रफल का न्यूनतम उपयोग करता है।

गणितज्ञ लंबे समय से इसका अध्ययन कर रहे हैं। वे जानते हैं कि यदि आप सतह को थोड़ा "खुरदरा" होने या इसमें तीखे कोने होने की अनुमति देते हैं (गणितज्ञ इन्हें करंट्स/currents कहते हैं), तो आप हमेशा एक आदर्श, न्यूनतम आकार पा सकते हैं जो सामग्री की बिल्कुल न्यूनतम मात्रा का उपयोग करता है।

समस्या:
ब्रेज़िस और मिरोनस्कू (दो प्रसिद्ध गणितज्ञों) ने एक पेचीदा सवाल पूछा: यदि सीमा (धागा/लूप) पूरी तरह से चिकनी है, तो क्या "परफेक्ट" न्यूनतम सतह को भी पूरी तरह से चिकना होना चाहिए?

या फिर, ऐसा हो सकता है कि सबसे छोटा क्षेत्रफल केवल एक ऐसे आकार द्वारा प्राप्त किया जा सके जो थोड़ा मुड़ा-तुड़ा (crumpled) हो या जिसमें कोई छिपा हुआ सिंगुलैरिटी (एक "किंक" या मोड़) हो, और उसे चिकना करने का कोई भी प्रयास क्षेत्रफल को थोड़ा बढ़ा दे?

यह शोध पत्र कहता है: नहीं, आपको मुड़े-तुड़े आकार से समझौता करने की आवश्यकता नहीं है। भले ही गणितीय रूप से पूर्ण आकार में एक 'किंक' (मोड़) हो, आप एक पूरी तरह से चिकनी, चमकदार सतह का उपयोग करके उस पूर्ण आकार के अत्यंत करीब पहुँच सकते हैं।

उपमा: मुड़ा हुआ कागज बनाम चिकनी चादर

"एरिया मिनिमाइज़िंग करंट" (Area Minimizing Current) को मुड़े हुए कागज के एक टुकड़े के रूप में सोचें जिसे एक बॉक्स के अंदर फिट होने के लिए सबसे छोटे संभव आकार में सिकोड़ा गया है। इसमें तीखी सिलवटें और मोड़ हैं। यह दक्षता का गणितीय चैंपियन है।

अब, कल्पना कीजिए कि आप एक रेशम की चिकनी चादर चाहते हैं जो उसी सीमा को कवर करे।

संदेहवादी का दृष्टिकोण: "आप एक चिकनी चादर को मुड़े हुए कागज जितना छोटा नहीं रख सकते। यदि आप मोड़ों को चिकना करते हैं, तो आपको अतिरिक्त कपड़ा जोड़ना होगा, जिससे यह बड़ा हो जाएगा।"
लेखकों का दृष्टिकोण (लिन, शोशन और वांग): "वास्तव में, आप ऐसा कर सकते हैं। आप उस मुड़े हुए कागज को ले सकते हैं, उसके छोटे, अस्त-व्यस्त मोड़ों को काट सकते हैं, और उसमें एक छोटा, चिकना पैच (patch) इस तरह सिल सकते हैं कि वह इतना सटीक रूप से फिट हो जाए कि कुल आकार मुड़े हुए संस्करण के लगभग समान हो जाए। आप चिकनी चादर का उपयोग करके 'परफेक्ट' आकार के जितना चाहें उतना करीब पहुँच सकते हैं।"

उन्होंने यह कैसे किया: "काटो, उल्टा करो और जोड़ो" (Cut, Invert, and Paste) की तकनीक

लेखकों ने इसे सिद्ध करने के लिए एक चतुर तीन-चरणीय निर्माण विकसित किया। कल्पना कीजिए कि आप एक आकृति पर ऑपरेशन कर रहे एक सर्जन हैं:

"किंक्स" (सिंगुलर सेट) की पहचान करें:
सबसे पहले, वे मुड़े हुए कागज (न्यूनतम करंट) को देखते हैं। वे अल्मग्रेन के प्रमेय (Almgren's theorem) से जानते हैं कि "किंक्स" या तीखे बिंदु बहुत दुर्लभ होते हैं। वे इतने छोटे हैं कि यदि आप दूर से देखें, तो वे बहुत कम जगह घेरते हैं। उन्हें सूक्ष्म झुर्रियों के रूप में समझें।
अस्त-व्यस्त हिस्से को काटें:
वे एक छोटा स्कैल्पल (सर्जिकल चाकू) लेते हैं और इन झुर्रियों के चारों ओर एक छोटी ट्यूब काट देते हैं। अब, आकृति में एक छेद हो गया है। उन्होंने जो क्षेत्रफल हटाया है वह बहुत कम है।
जादुई दर्पण (स्फेरिकल इन्वर्जन):
यह सबसे रचनात्मक हिस्सा है। वे आकृति के शेष चिकने हिस्से को लेते हैं और उसे एक विशेष "फनहाउस मिरर" (जिसे गणितीय रूप से स्फेरिकल इन्वर्जन कहा जाता है) के माध्यम से देखते हैं।

यह दर्पण आकृति को सिकोड़ देता है। यदि मूल आकृति बड़ी थी, तो उसका प्रतिबिंब छोटा होगा।
क्योंकि दर्पण चीजों को सिकोड़ देता है, मूल आकृति द्वारा छोड़ा गया "छेद" अब मूल आकृति के एक छोटे, सिकुड़े हुए संस्करण द्वारा कवर हो जाता है।

इसे वापस जोड़ दें (द कोन):
अब उनके पास दो टुकड़े हैं: छेद वाला मूल आकार, और पास में तैरता हुआ मूल आकार का एक छोटा, सिकुड़ा हुआ संस्करण। वे उन्हें एक कोन (जैसे पार्टी हैट या फनल) के साथ जोड़ते हैं।

चूंकि सिकुड़ा हुआ टुकड़ा बहुत छोटा है, इसलिए उन्हें जोड़ने वाला कोन भी बहुत छोटा है।
इस नए "पैच" (सिकुड़ा हुआ टुकड़ा + कोन) द्वारा जोड़ा गया कुल क्षेत्रफल इतना कम है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

परिणाम: उन्होंने एक नई आकृति बनाई है जो पूरी तरह से चिकनी है, जिसमें कोई मोड़ (kinks) नहीं है, और जिसका क्षेत्रफल मूल मुड़े हुए कागज के लगभग बराबर है।

ट्विस्ट: "लगभग" ही सबसे अच्छा क्यों है?

यह शोध पत्र (अनुभाग 7) एक दिलचस्प उदाहरण प्रस्तुत करता है ताकि यह दिखाया जा सके कि हम हमेशा चिकनी आकृति के साथ सटीक न्यूनतम तक क्यों नहीं पहुँच सकते।

कल्पना कीजिए कि धागे के दो अलग-अलग लूप हैं, जो एक-दूसरे से दूर हैं।

"मुड़ा हुआ कागज" वाला समाधान दो अलग-अलग, असंबद्ध (disconnected) साबुन की झिल्लियाँ हो सकती हैं, एक प्रत्येक लूप के लिए। यह सबसे कुशल तरीका है।
हालाँकि, यदि आप मांग करते हैं कि चिकनी चादर एक एकल जुड़ी हुई आकृति (दोनों लूपों को जोड़ने वाली एक एकल रेशम की चादर) हो, तो आपको उनके बीच एक पुल खींचने के लिए मजबूर होना पड़ेगा।
वह पुल अतिरिक्त क्षेत्रफल जोड़ता है। "परफेक्ट" चिकनी आकृति (जुड़ी हुई वाली) हमेशा अलग-अलग (disconnected) "परफेक्ट" आकृति से थोड़ी बड़ी होगी।

इसलिए, यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि जबकि आप चिकनी आकृतियों का उपयोग करके "परफेक्ट" क्षेत्रफल के अनंत रूप से करीब पहुँच सकते हैं, कभी-कभी यदि चिकनी आकृति को जुड़ा हुआ होने के लिए मजबूर किया जाए, तो आप कभी भी उसे पूरी तरह से प्राप्त नहीं कर सकते।

सामान्य दर्शकों के लिए सारांश

लक्ष्य: यह सिद्ध करना कि चिकनी आकृतियाँ "खुरदरी" गणितीय आकृतियों जितनी ही कुशल हो सकती हैं।
विधि: खुरदरी आकृति के छोटे, अस्त-व्यस्त हिस्सों को काटें, एक गणितीय दर्पण का उपयोग करके बाकी हिस्से की एक प्रति को सिकोड़ें, और उसे एक छोटे कोन के साथ वापस जोड़ दें।
निष्कर्ष: आप चिकनी सतहों का उपयोग करके "परफेक्ट" क्षेत्रफल के जितना चाहें उतना करीब पहुँच सकते हैं। हालाँकि, कभी-कभी "परफेक्ट" चिकनी सतह मौजूद ही नहीं होती है (आप करीब तो पहुँच सकते हैं, लेकिन लक्ष्य को ठीक से छू नहीं सकते), यह सीमा के आकार पर निर्भर करता है।

यह कार्य ज्यामिति के एक लंबे समय से चले आ रहे प्रश्न को हल करता है, जो यह दर्शाता है कि चिकनी सतहों की दुनिया जटिल, मुड़ी हुई गणितीय वस्तुओं की दक्षता की नकल करने के लिए पर्याप्त समृद्ध और लचीली है।

यहाँ फंगहुआ लिन, माल्केल शोशन और चांगयौ वांग के शोध पत्र "On a Problem Posed by Brezis and Mironescu" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र एच. ब्रेज़िस और पी. मिरोनस्कु की पुस्तक Sobolev Maps to the Circle (प्रपोजिशन 4.3) में प्रस्तावित एक खुले प्रश्न को संबोधित करता है। मुख्य प्रश्न एक निश्चित सीमा (boundary) वाली सतहों के लिए क्षेत्रफल/द्रव्यमान (area/mass) के न्यूनीकरण (minimization) से जुड़े दो अलग-अलग वेरिएशनल समस्याओं के बीच संबंध के बारे में है।

माना कि $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ एक परिबद्ध उत्तल खुला सेट (bounded convex open set) है, और $T$ एक चिकना (smooth), बंद, $l$ -आयामी मैनिफोल्ड है ( $0 \le l \le N-2$ ), जो किसी $(l+1)$ -आयामी संरचना की सीमा के रूप में कार्य करता है। लेखक दो इन्फिमा (infima) की तुलना करते हैं:

$A_l(T)$ (इंटीग्रल करेंट्स): $\Omega \subset \Gamma$ ऐसे सभी $(l+1)$ -इंटीग्रल रेक्टिफिएबल करेंट्स $\Gamma$ के द्रव्यमान $M(\Gamma)$ का इन्फिमम, जहाँ $\partial \Gamma = T$ है। फेडेरर-फ्लेमिंग कॉम्पैक्टनेस प्रमेय (Federer-Fleming compactness theorem) के अनुसार, यह इन्फिमम एक एरिया-मिनिमाइजिंग करंट $\Gamma$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$A_l^0(T)$ (स्मूथ मैनिफोल्ड्स): सभी $(l+1)$ -आयामी चिकने इमर्स्ड और ओरिएंटेड (smoothly immersed and oriented) सब-मैनिफोल्ड्स $M \subset \Omega \times \mathbb{R}$ के क्षेत्रफल $|M|$ का इन्फिमम, जहाँ $\partial M = T$ है।

कन्जैक्चर (The Conjecture): ब्रेज़िस और मिरोनस्कु ने दावा किया था कि ये दोनों मान समान हैं ( $A_l^0(T) = A_l(T)$ ), जिसका अर्थ है कि सिंगुलर इंटीग्रल करेंट्स द्वारा प्राप्त न्यूनतम द्रव्यमान को चिकने इमर्स्ड मैनिफोल्ड्स द्वारा अनिश्चित रूप से करीब से अनुमानित (approximate) किया जा सकता है।

सूक्ष्म अंतर (The Nuance): लेखक नोट करते हैं कि मूल प्रपोजिशन में यह माना गया था कि स्मूथ मैनिफोल्ड $M$ , $\Omega$ में स्थित है, जबकि उनके निर्माण के लिए $M$ का $\Omega \times \mathbb{R}$ में होना आवश्यक है (हालांकि वे तर्क देते हैं कि $\mathbb{R}$ कारक को अनिश्चित रूप से छोटा बनाया जा सकता है)।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रमाण एक "कट-एंड-पेस्ट" रणनीति पर आधारित है ताकि एक सिंगुलर एरिया-मिनिमाइजिंग करंट को एक स्मूथ मैनिफोल्ड द्वारा अनुमानित किया जा सके। कार्यप्रणाली चार मुख्य चरणों में आगे बढ़ती है:

A. रेगुलैरिटी और सिंगुलर सेट्स (Regularity and Singular Sets)

लेखक अल्मजेन के पार्शियल रेगुलैरिटी प्रमेय (Almgren's Partial Regularity Theorem) का उपयोग करते हैं। एक एरिया-मिनिमाइजिंग $(l+1)$ -इंटीग्रल रेक्टिफिएबल करंट $\Gamma$ के लिए, सिंगुलर सेट $S = \text{sing}(\Gamma)$ का हॉसडॉर्फ डायमेंशन (Hausdorff dimension) अधिकतम $l-1$ होता है।

लेम्मा 3.3: वे सिंगुलर सेट $S$ के चारों ओर एक छोटा ट्यूबलर नेबरहुड $E_{\epsilon'}$ का निर्माण करते हैं। को-एरिया फॉर्मूला (Co-area Formula) और मोनोटोनिसिटी इनइक्वेलिटी (Monotonicity Inequality) का उपयोग करते हुए, वे सिद्ध करते हैं कि पर्याप्त छोटे $\epsilon$ के लिए, $E_{\epsilon'}$ का $(l+1)$ -आयामी आयतन और इसके बाउंड्री $\partial E_{\epsilon'}$ का $l$ -आयामी क्षेत्रफल, दोनों ही अनिश्चित रूप से छोटे (क्रमशः $\epsilon^2$ और $\epsilon$ के साथ स्केल होते हुए) हैं।

B. स्फेरिकल इन्वर्जन (Spherical Inversion)

सिंगुलर सेट को हटाने से उत्पन्न होने वाले "छेद" (holes) को संभालने के लिए, लेखक स्फेरिकल इन्वर्जन का उपयोग करते हैं।

वे एक मानचित्र $f(x) = \frac{\epsilon^2}{|x|^2}x$ (एक छोटे गोले के सापेक्ष इन्वर्जन) को परिभाषित करते हैं।
लेम्मा 4.3: वे दिखाते हैं कि इस इन्वर्जन को शेष करंट (और एक पूर्व-मौजूद स्मूथ मैनिफोल्ड $M_0$ जिसमें $\partial M_0 = T$ ) पर लागू करने से एक ऐसा सेट प्राप्त होता जिसका $(l+1)$ -आयामी हॉसडॉर्फ मेजर काफी कम हो जाता है। विशेष रूप से, यह मेजर $\epsilon^{2l+2}$ के साथ स्केल होता है, जिससे "इनवर्टेड इमेज" का क्षेत्रफल नगण्य हो जाता है।

C. कोनिकल अटैचमेंट (Conical Attachment)

ट्यूबलर नेबरहुड को हटाने से मूल करंट और इनवर्टेड इमेज पर सीमाएँ (छेद) बन जाती हैं।

लेम्मा 5.1: लेखक मूल करंट ( $\partial E_{\epsilon'}$ ) को इनवर्टेड इमेज के बाउंड्री से जोड़ने के लिए एक ट्रंकेटेड कोन (truncated cone) का निर्माण करते हैं।
वे सिद्ध करते हैं कि इस कोनिकल ब्रिज का क्षेत्रफल भी छोटा है (लीनियरली $\epsilon$ के साथ स्केल होता है)।

D. स्मूथिंग और इमर्शन (Smoothing and Immersion)

अंतिम चरण इन घटकों को एक साथ जोड़ना है:

मूल करंट $\Gamma$ को उसके सिंगुलर नेबरहुड को हटाकर लें।
इनवर्टेड इमेज (स्केल डाउन की गई) को संलग्न करें।
ट्रंकेटेड कोन के माध्यम से उन्हें जोड़ें।
स्मूथिंग (Smoothing): लेखक प्रदर्शित करते हैं कि इस यूनियन को एक एकल, वैश्विक रूप से चिकने इमर्स्ड और ओरिएंटेड सब-मैनिफोल्ड में स्मूथ किया जा सकता है। इसमें टुकड़ों के जंक्शनों के पास स्थानीय स्मूथिंग शामिल है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि डिफरेंशियल हर जगह फुल रैंक (full rank) हो।

3. प्रमुख योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

मुख्य प्रमेय (Main Theorem / Proposition 6.1)

लेखक सिद्ध करते हैं कि किसी भी $T \in \mathcal{F}_l^0$ के लिए (जहाँ $T$ एक स्मूथ मैनिफोल्ड की सीमा है), न्यूनतम द्रव्यमान की दो परिभाषाएँ समान हैं:
$A_l^0(T) = A_l(T)$
यह पुष्टि करता है कि स्मूथ इमर्स्ड मैनिफोल्ड्स के एरिया का इन्फिमम, एरिया-मिनिमाइजिंग इंटीग्रल रेक्टिफिएबल करंट के मास के ठीक बराबर है।

तकनीकी नवाचार (Technical Innovations)

इन्वर्जन के माध्यम से आयामी कमी (Dimensional Reduction via Inversion): एक बड़े, संभावित रूप से जटिल सेट को नगण्य आयतन वाले एक छोटे गोले में मैप करने के लिए स्फेरिकल इन्वर्जन का उपयोग करना एक प्रमुख ज्यामितीय उपकरण है जिसका उपयोग एरर टर्म्स को नियंत्रित करने के लिए किया जाता है।
सिंगुलर सेट को संभालना: को-एरिया फॉर्मूला और अल्मजेन के डायमेंशन बाउंड्स का उपयोग करके ट्यूबलर नेबरहुड वॉल्यूम का कठोर अनुमान लगाना, सिंगुलरिटी हटाने की "लागत" को नियंत्रित करने के लिए एक मात्रात्मक हैंडल प्रदान करता है।
कोबोर्डिज्म तर्क (Cobordism Argument): लेखक थॉम के कोबोर्डिज्म प्रमेय (Thom's Cobordism Theorem) के माध्यम से यह स्पष्ट करते हैं कि $T$ के एक स्मूथ मैनिफोल्ड की सीमा होने की धारणा क्यों आवश्यक है। यदि $T$ एक स्मूथ मैनिफोल्ड की सीमा नहीं है, तो स्मूथ प्रतियोगियों (competitors) का सेट खाली होगा, और समानता (equality) नहीं हो सकती।

अस्तित्व के लिए काउंटर-एग्जांपल (Counter-Example to Existence of Minimizer - Section 7)

शोध पत्र इस बात पर चर्चा करता है कि क्या $A_l^0(T)$ का इन्फिमम वास्तव में किसी स्मूथ मैनिफोल्ड द्वारा प्राप्त (achieved) किया जाता है।

परिणाम: उत्तर नहीं है।
निर्माण: वे एक सीमा $T = T_1 \cup T_2$ $T = T_{1} \cup T_{2}$ का निर्माण करते हैं जहाँ $T_1$ $T_{1}$ एक नॉन-नुल-कोबोडेंट (non-null-cobordant) मैनिफोल्ड है। जबकि एक एरिया-मिनिमाइजिंग करंट मौजूद है (सिंगुलैरिटीज के साथ), इस सीमा के लिए कोई स्मूथ मिनिमल सरफेस मौजूद नहीं है।
- यदि स्मूथ सरफेस डिस्कनेक्टेड (disconnected) होती, तो इसका अर्थ होता कि $T_1$ एक स्मूथ मैनिफोल्ड की सीमा है (जो विरोधाभास है)।
- यदि स्मूथ सरफेस कनेक्टेड (connected) होती, तो एरिया मोनोटोनिसिटी फॉर्मूला (Area Monotonicity Formula) यह संकेत देता कि इसका क्षेत्रफल बहुत अधिक बढ़ जाएगा ( $T_1$ और $T_2$ के बीच की दूरी के साथ स्केल होता हुआ), जिससे विरोधाभास उत्पन्न होगा।
महत्व: यह सिद्ध करता कि जबकि इन्फिमम समान है, कुछ सीमाओं के लिए स्मूथ मैनिफोल्ड्स के वर्ग में मिनिमम प्राप्त नहीं होता है। समानता केवल सीमा (limit) में ही मान्य है।

4. महत्व (Significance)

एक खुले प्रश्न का समाधान: यह शोध पत्र ब्रेज़िस और मिरोनस्कु की एक प्रमुख संदर्भ पुस्तक में छोड़े गए एक विशिष्ट प्रश्न का कठोर सकारात्मक उत्तर प्रदान करता है, जो ज्योमेट्रिक मेजर थ्योरी (currents) और क्लासिकल डिफरेंशियल ज्योमेट्री (smooth manifolds) के बीच के अंतर को पाटता है।
अनुमान सिद्धांत (Approximation Theory): यह स्थापित करता है कि सिंगुलर एरिया-मिनिमाइजिंग करेंट्स को मास और फ्लैट नॉर्म (flat norm) दोनों में स्मूथ इमर्स्ड मैनिफोल्ड्स द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, बशर्ते कि बाउंड्री शून्य के कोबोडेंट (cobordant to zero) हो।
पद्धतिगत प्रभाव: अल्मजेन की रेगुलैरिटी, स्फेरिकल इन्वर्जन और कोनिकल ग्लूइंग का संयोजन एक मजबूत ढांचा प्रदान करता है जिसका उपयोग सिंगुलर ज्यामितीय वस्तुओं को स्मूथ वस्तुओं के साथ अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है, जो वेरिएशनल कैलकुलस और मिनिमल सरफेस थ्योरी में अन्य समस्याओं में भी लागू हो सकता है।
मिनिमाइजेशन बनाम इन्फिमम का स्पष्टीकरण: सेक्शन 7 में दिया गया काउंटर-एग्जांपल वेरिएशनल समस्याओं की समझ में गहराई जोड़ता है, यह उजागर करता है कि इंटीग्रल करेंट्स में रिलैक्सेशन (relaxation) कभी-कभी केवल अस्तित्व के लिए ही नहीं, बल्कि इसलिए भी आवश्यक होता है क्योंकि स्मूथ क्लास में मिनिमाइज़र (minimizer) मौजूद नहीं हो सकता है, भले ही इन्फिमम अच्छी तरह से परिभाषित हो।