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Random divergence-free drifts and the Onsager-Richardson threshold

यह शोध पत्र कम्युटेटर अनुमानों (commutator estimates) के बजाय आयामी-सैद्धांतिक तर्कों (dimension-theoretic arguments) का उपयोग करके $\alpha > 1/3$ नियमितता वाले होल्डर वर्गों (Hölder classes) में यादृच्छिक डाइवर्जेंस-मुक्त स्वायत्त सदिश क्षेत्रों (random divergence-free autonomous vector fields) द्वारा संचालित निष्क्रिय स्केलर्स (passive scalars) के लिए विसंगत क्षय (anomalous dissipation) की अनुपस्थिति को सिद्ध करता है, जिससे यह स्थापित होता है कि इस वर्ग के क्षेत्रों के लिए विसंगत नियमितीकरण (anomalous regularization) घटित नहीं होता है।

मूल लेखक: Daniel W. Boutros, Camillo De Lellis, Svitlana Mayboroda

प्रकाशित 2026-03-13

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Daniel W. Boutros, Camillo De Lellis, Svitlana Mayboroda

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ शोध पत्र "Random Divergence-Free Drifts and the Onsager-Richardson Threshold" का सरल भाषा, उपमाओं और रूपकों के साथ विवरण दिया गया है।

बड़ी तस्वीर: "परफेक्ट स्टिर" (पूर्ण मिश्रण) बनाम "मेसी स्टिर" (अव्यवस्थित मिश्रण)

कल्पना कीजिए कि आप एक कप कॉफी बना रहे हैं। आप गर्म पानी में चीनी का एक टुकड़ा डालते हैं।

परिदृश्य A (बिना हिलाए/Stirring के): चीनी पानी की गर्मी (विसरण/diffusion) के कारण बहुत धीरे-धीरे घुलती है।
परिदृश्य B (हिलाने के साथ): आप एक चम्मच लेते हैं और पानी को घुमाते हैं। चीनी लगभग तुरंत घुल जाती है।

भौतिकी (Physics) में, इस "हिलाने" या मिलाने की प्रक्रिया को एडवेक्शन (Advection) कहा जाता है। पानी (द्रव) चीनी (पैसिव स्केलर) को इधर-उधर ले जाता है।

अब, कल्पना कीजिए कि पानी टर्बुलेंट (Turbulent) है। यह केवल एक सुचारू घुमाव नहीं है; यह छोटे-छोटे भंवरों और भँवरों का एक अराजक, अत्यंत अव्यवस्थित ढेर है। भौतिकविदों का लंबे समय से मानना रहा है कि इस अराजक अवस्था में, चीनी इतनी कुशलता से घुलती है कि यदि आप "गर्मी" (विसरण) को पूरी तरह से हटा भी दें, तो भी चीनी तुरंत गायब हो जाएगी। इसे एनोमलस डिसिपेशन (Anomalous Dissipation) कहा जाता है।

यह ऐसा ही है जैसे पानी की अराजकता स्वयं एक सुपर-पावरफुल ब्लेंडर की तरह काम करती है, जो बिना किसी गर्मी की आवश्यकता के चीनी को नष्ट कर देती है।

रहस्य: मिश्रण कितना 'रफ' (Rough) होना चाहिए?

दशकों से, गणितज्ञ यह पूछ रहे हैं: पानी को कितना अराजक होने की आवश्यकता है ताकि यह "जादुई ब्लेंडर" प्रभाव पैदा हो सके?

द्रव गतिज विज्ञान (Fluid Dynamics) में एक प्रसिद्ध नियम है जिसे ओन्सेगर का अनुमान (Onsager's Conjecture) कहा जाता है (लार्स ओन्सेगर के नाम पर)। यह कहता है कि किसी द्रव को इस तरह के जंगली, ऊर्जा-नष्ट करने वाले व्यवहार के लिए, प्रवाह (flow) को पर्याप्त "रफ" (खुरदरा/असतत) होना चाहिए। विशेष रूप से, प्रवाह की चिकनाई को $\alpha$ (अल्फा) नामक संख्या द्वारा मापा जाता है।

यदि प्रवाह बहुत चिकना है ( $\alpha > 1/3$ ), तो यह अच्छे से व्यवहार करता है। ऊर्जा संरक्षित रहती है।
यदि प्रवाह बहुत रफ है ( $\alpha < 1/3$ ), तो यह बहुत अनियंत्रित व्यवहार करता है। ऊर्जा रहस्यमय तरीके से गायब हो सकती है।

संख्या $1/3$ वह जादुई सीमा (threshold) है। यह "व्यवस्था" और "अराजकता" के बीच की सीमा है।

यह शोध पत्र क्या करता है

इस शोध पत्र के लेखक (बौट्रोस, डी लेलिस और मेबोरोडा) इस "कॉफी में चीनी" वाली समस्या (पैसिव स्केलर ट्रांसपोर्ट) के लिए इस नियम का परीक्षण करना चाहते थे।

उन्होंने पूछा: "यदि हमारे पास एक यादृच्छिक (random), अराजक प्रवाह है जो थोड़ा रफ है (लेकिन फिर भी $1/3$ की सीमा से अधिक चिकना है), तो क्या चीनी बिना गर्मी के भी तुरंत घुल जाएगी?"

उत्तर: नहीं।

उन्होंने सिद्ध किया कि यदि प्रवाह "यादृच्छिक" है लेकिन फिर भी इसका चिकनापन स्तर $1/3$ से अधिक है, तो वह "जादुई ब्लेंडर" प्रभाव नहीं होता है। चीनी तुरंत नहीं घुलेगी यदि आप गर्मी को बंद कर देते हैं। सिस्टम सामान्य रूप से व्यवहार करता है।

प्रमाण का "जादू": एक ज्यामितीय पहेली

उन्होंने इसे कैसे सिद्ध किया? उन्होंने सामान्य भारी गणितीय उपकरणों (जैसे जटिल ऊर्जा गणनाओं) का उपयोग नहीं किया। इसके बजाय, उन्होंने आकृतियों और आयामों (shapes and dimensions) से जुड़ी एक चतुर ज्यामितीय युक्ति का उपयोग किया।

यहाँ उपमा दी गई है:

स्ट्रीम फंक्शन (नक्शा): कल्पना कीजिए कि अराजक प्रवाह एक मानचित्र पर खींचा गया है। इस मानचित्र में "पहाड़ियाँ" और "घाटियाँ" हैं। पानी इन पहाड़ियों के कंटूर (contours) के साथ बहता है।
क्रिटिकल पॉइंट्स (शिखर): किसी भी मानचित्र में, ऐसे शिखर और घाटियाँ होती हैं जहाँ ढलान सपाट होती है। ये "क्रिटिकल पॉइंट्स" हैं।
मौर-सार्ड प्रॉपर्टी (Morse-Sard Property): एक प्रसिद्ध गणितीय नियम कहता है कि एक पर्याप्त चिकने मानचित्र के लिए, इन शिखरों की "ऊँचाई" (critical values) इतनी दुर्लभ होती है कि यदि आप एक यादृच्छिक ऊँचाई चुनते हैं, तो आप लगभग कभी भी किसी शिखर पर नहीं पहुँचेंगे। इन विशेष ऊँचाइयों का सेट शून्य आकार का होता है (जैसे एक पृष्ठ पर एक बिंदु का क्षेत्रफल शून्य होता है)।

लेखकों की अंतर्दृष्टि:
उन्होंने दिखाया कि यदि प्रवाह यादृच्छिक और पर्याप्त चिकना ( $\alpha > 1/3$ ) है, तो प्रवाह का "मानचित्र" इतना व्यवस्थित है कि "शिखर" गणितीय रूप से नगण्य हैं।

क्योंकि शिखर नगण्य हैं, पानी का प्रवाह एक बहुत ही अनुमानित पथ (जिसे लैग्रेंजियन फ्लो कहा जाता है) का अनुसरण करता है।
यदि पानी एक अनुमानित पथ का अनुसरण करता है, तो वह उस जादुई, तात्कालिक तरीके से चीनी को "मिश्रित" नहीं कर सकता।
इसलिए, "एनोमलस डिसिपेशन" (जादुई ब्लेंडर) अस्तित्व में नहीं रह सकता।

यहाँ $1/3$ संख्या विशेष क्यों है?

आप सोच सकते हैं: "यह कटऑफ $1/3$ क्यों है? $1/2$ या $1/4$ क्यों नहीं?"

शोध पत्र में, वे बताते हैं कि यह संख्या दो चीजों के बीच के संघर्ष से आती है:

प्रवाह कितना रफ है (मानचित्र का "ऊबड़-खाबड़पन")।
"शिखर" कितने आयाम घेरते हैं।

यदि प्रवाह बहुत अधिक रफ है (नीचे $1/3$ ), तो "शिखर" इतने असंख्य और फैले हुए हो जाते हैं कि वे एक महत्वपूर्ण क्षेत्र को कवर कर लेते हैं, जिससे खेल के नियम टूट जाते हैं। लेकिन यदि प्रवाह थोड़ा सा भी अधिक चिकना है (ऊपर $1/3$ ), तो "शिखर" सिमटकर शून्य हो जाते हैं, और सिस्टम फिर से स्थिर हो जाता है।

यह एक आश्चर्यजनक संयोग है कि वही संख्या ( $1/3$ ) जो घूमते हुए द्रवों में ऊर्जा संरक्षण को सीमित करती है (ओन्सेगर के मूल सिद्धांत में), वही संख्या यह भी सीमित करती है कि यादृच्छिक प्रवाह चीजों को कितनी अच्छी तरह मिला सकते हैं।

रोजमर्रा की जिंदगी के लिए निष्कर्ष

इस शोध पत्र को एक अराजक प्रणाली के लिए "सुरक्षा जांच" के रूप में देखें।

पुरानी धारणा: "यदि दुनिया पर्याप्त अराजक है, तो यह बिना किसी मदद के सब कुछ पूरी तरह से मिला देगी।"
नई खोज: "वास्तव में, यदि अराजकता बहुत अधिक चिकनी (smooth) है (थोड़ी सी भी), तो यह अपनी सुपर-मिक्सिंग शक्ति खो देती है। इसे नियमों को तोड़ने के लिए वास्तव में, हिंसक रूप से रफ (rough) होना चाहिए।"

लेखकों ने सिद्ध किया कि यादृच्छिक, स्वायत्त (समय-स्वतंत्र) प्रवाहओं के लिए, आपको "एनोमलस" मिश्रण प्राप्त करने के लिए प्रवाह का अत्यंत रफ होना आवश्यक है। यदि प्रवाह $1/3$ की दहलीज से थोड़ा भी अधिक चिकना है, तो भौतिकी के नियम स्थिर रहते हैं, और चीनी तब तक नहीं घुलेगी जब तक आप गर्मी नहीं जोड़ते।

संक्षेप में: अराजकता की एक सीमा होती है। यदि यह पर्याप्त रफ नहीं है, तो यह ऊष्मागतिकी (thermodynamics) के नियमों को नहीं तोड़ सकती।

यहाँ बोट्रोस, डे लेलिस और मेबोडा के शोध पत्र "Random Divergence-Free Drifts and the Onsager-Richardson Threshold" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र रैंडम (यादृच्छिक), स्वायत्त (autonomous), डाइवर्जेंस-फ्री (divergence-free) वेक्टर फील्ड्स के संदर्भ में पैसिव स्केलर ट्रांसपोर्ट (passive scalar transport) में होने वाली एनोमलस डिसिपेशन (anomalous dissipation) की घटना को संबोधित करता है।

संदर्भ: वैनिशिंग विस्कॉसिटी लिमिट ( $\varepsilon \to 0$ ) में, एडवेक्शन-डिफ्यूजन समीकरण $\partial_t \theta_\varepsilon + (v \cdot \nabla)\theta_\varepsilon = \varepsilon \Delta \theta_\varepsilon$ से अपेक्षित है कि टर्बुलेंट रेजीम में गैर-शून्य ऊर्जा क्षय (non-vanishing energy dissipation) ( $\limsup_{\varepsilon \to 0} \varepsilon \int |\nabla \theta_\varepsilon|^2 > 0$ ) प्रदर्शित हो। यह "ज़ेरोथ लॉ ऑफ टर्बुलेंस" और ओबुखोव-कॉरसिन-याग्लोम (OCY) नियम से जुड़ा है, जो वेग क्षेत्र $v$ की हॉल्डर रेगुलैरिटी $\alpha$ और स्केलर की प्रभावी रेगुलरिटी $\beta$ के बीच एक संबंध की भविष्यवाणी करता है: $\alpha + 2\beta = 1$ ।
अंतराल (The Gap): जबकि ऑन्सेगर कंजेक्चर (Onsager's conjecture) यूलर समीकरणों के लिए ऊर्जा संरक्षण हेतु $1/3$ को एक सटीक थ्रेशोल्ड (threshold) के रूप में स्थापित करता है, रैंडम ड्रिफ्ट्स के साथ पैसिव स्केलर ट्रांसपोर्ट में एनोमलस डिसिपेशन के लिए थ्रेशोल्ड को कठोरता से स्थापित नहीं किया गया था, विशेष रूप से $\alpha > 1/3$ रेगुलरिटी के लिए।
लक्ष्य: यह निर्धारित करना कि क्या $\alpha > 1/3$ हॉल्डर रेगुलरिटी वाले रैंडम डाइवर्जेंस-फ्री वेक्टर फील्ड्स, स्वयं स्केलर पर किसी रेगुलरिटी की धारणा बनाए बिना, एनोमलस डिसिपेशन या एनोमलस रेगुलाइजेशन (प्रभावी स्मूथिंग) उत्पन्न कर सकते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक प्रोबेबिलिस्टिक (संभाव्य) तर्कों और जियोमेट्रिक मेजर थ्योरी (ज्यामितीय माप सिद्धांत) के एक नवीन संयोजन का उपयोग करते हैं, जिससे वे पारंपरिक डिटर्मिनिस्टिक फ्लूइड डायनेमिक्स में उपयोग होने वाले कम्यूटेटर एस्टीमेट्स (commutator estimates) से बचते हैं।

A. डिपर्ना-लिओन्स रिनॉर्मलाइजेशन प्रॉपर्टी (The DiPerna-Lions Renormalization Property)

मुख्य रणनीति यह सिद्ध करना है कि रैंडम वेक्टर फील्ड $v$ लगभग निश्चित रूप से (almost surely) डिपर्ना-लिओन्स रिनॉर्मलाइजेशन प्रॉपर्टी को संतुष्ट करता है।

यदि किसी वेक्टर फील्ड में यह गुण है, तो ट्रांसपोर्ट समीकरण के बाउंडेड वीक सॉल्यूशंस अद्वितीय होते हैं, और समाधान के $L^p$ नॉर्म्स संरक्षित रहते हैं।
महत्वपूर्ण रूप से, यह गुण यह भी दर्शाता है कि वैनिशिंग विस्कॉसिटी लिमिट अद्वितीय इनविस्सिड (inviscid) समाधान की ओर दृढ़ता से अभिसरित होती है, जिससे एनोमलस डिसिपेशन का खंडन होता है।

B. मोर्स-सार्ड प्रॉपर्टी (Reduction to the Morse-Sard Property) तक न्यूनीकरण

लेखक अल्बर्टी, बियान्चिनी और क्रिप्पा [2] के एक गहरे परिणाम पर भरोसा करते हैं, जो कहता है कि यदि वेक्टर फील्ड से जुड़े स्ट्रीम फंक्शन (या हैमिल्टनियन) में मोर्स-सार्ड प्रॉपर्टी (अर्थात, इसके क्रिटिकल वैल्यूज का लेबेग मेजर शून्य है) होती है, तो वेक्टर फील्ड रिनॉर्मलाइजेशन प्रॉपर्टी रखता है।

C. डायमेंशन-थ्योरेटिक तर्क (Dimension-Theoretic Arguments)

रैंडम फील्ड के लिए मोर्स-सार्ड प्रॉपर्टी स्थापित करने के लिए प्रमाण को दो मुख्य चरणों में विभाजित किया गया है:

प्रोबेबिलिस्टिक स्टेप (लेम्मा 3.1): संभाव्यता माप (probability measure) की मानी गई नॉन-डेजेनरेसी (बिंदुवार घनत्व के सीमित होने) का उपयोग करते हुए, लेखक सिद्ध करते हैं कि स्ट्रीम फंक्शन $\phi$ के क्रिटिकल सेट $Z = \{x : \text{rank}(D\phi(x)) \le d-2\}$ का हॉसडॉर्फ डायमेंशन (Hausdorff dimension) लगभग निश्चित रूप से इस प्रकार सीमित है:
$\dim_H(Z) \le d - 2\alpha$
डिटर्मिनिस्टिक स्टेप (लेम्मा 3.2): वे एक कवरिंग तर्क सिद्ध करते हैं जो दिखाता है कि यदि $\phi \in C^{1,\alpha}$ और $\dim_H(Z) \le d - 2\alpha$ है, तो क्रिटिकल सेट का इमेज $\phi(Z)$ शून्य लेबेग मेजर (मोर्स-सार्ड प्रॉपर्टी) रखता है यदि और केवल यदि:
$1 + \alpha > 2 - 2\alpha \implies \alpha > 1/3$
यह असमिका (inequality) मैप की हॉल्डर रेगुलरिटी और क्रिटिकल सेट के डायमेंशन के बीच संतुलन बनाने से उत्पन्न होती है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

मुख्य प्रमेय (Main Theorems)

यह शोध पत्र स्थापित करता है कि $\alpha > 1/3$ के लिए रैंडम ऑटोनॉमस वेक्टर फील्ड्स के लिए, एनोमलस डिसिपेशन लगभग निश्चित रूप से (almost surely) नहीं होता है।

थ्योरम 1.2 (2D केस): $\mathbb{T}^2$ पर डाइवर्जेंस-फ्री, मीन-जीरो वेक्टर फील्ड्स पर एक प्रोबेबिलिटी मेजर के लिए, जिसमें:
1. $v \in C^\alpha(\mathbb{T}^2)$ है जहाँ $\alpha > 1/3$ a.s.
2. एक हल्का नॉन-डेजेनरेसी कंडीशन ( $v(x)$ का बाउंडेड डेंसिटी) है।
  परिणाम: $v$ लगभग निश्चित रूप से (a.s.) डिपर्ना-लिओन्स रिनॉर्मलाइजेशन प्रॉपर्टी को संतुष्ट करता है। कोई डिसिपेशन विसंगति (dissipation anomalies) नहीं होती है।
थ्योरम 1.3 (3D केस): $\phi = (\phi_1, \phi_2): \mathbb{T}^3 \to \mathbb{R}^2$ मैપ્स के लिए एक प्रोबेबिलिटी मेजर के लिए जहाँ $\phi \in C^{1,\alpha}$ ( $\alpha > 1/3$ ) है और $D\phi$ पर एक समान नॉन-डेजेनरेसी कंडीशन है।
परिणाम: वेक्टर फील्ड $v = \nabla \phi_1 \times \nabla \phi_2$ लगभग निश्चित रूप से रिनॉर्मलाइजेशन प्रॉपर्टी को संतुष्ट करता है।
थ्योरम 2.2 (सामान्य आयाम): Hodge star ऑपरेटर और $(d-1)$ -forms का उपयोग करके $d$ आयामों के लिए एक सामान्य फॉर्मूलेशन, जो 2D और 3D मामलों को एकीकृत करता है।

तकनीकी बारीकियां (Technical Nuances)

स्केलर पर कोई रेगुलरिटी नहीं: पिछले परिणामों के विपरीत, यहाँ पैसिव स्केलर $\theta$ को प्रारंभिक डेटा के अलावा किसी भी रेगुलरिटी के लिए नहीं माना गया है। परिणाम "ऑन्सेगर-सुपरक्रिटिकल" (Onsager-supercritical) हैं।
हल्की नॉन-डेजेनरेसी: प्रोबेबिलिटी मेजर पर शर्त (बाउंडेड डेंसिटी) अत्यंत हल्की है और मानक कंस्ट्रक्शन्स (जैसे नॉन-डेजेनरेट कोएफिशिएंट्स के साथ रैंडम फूरियर सीरीज़) द्वारा संतुष्ट होती है।
ऑटोनॉमस फील्ड्स: परिणाम समय-स्वतंत्र (autonomous) फील्ड्स पर लागू होते हैं, जो उन्हें स्टोकैस्टिक PDE परिणामों (जैसे क्रैंकन मॉडल) से अलग करते हैं जो समय में व्हाइट नॉइज़ (white noise) पर निर्भर करते हैं।

4. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

$1/3$ थ्रेशोल्ड की शार्पनेस (Sharpness): यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि रैंडम ऑटोनॉमस फील्ड्स में पैसिव स्केलर ट्रांसपोर्ट के लिए $1/3$ $1/3$ का एक्सपोनेंट एक सटीक थ्रेशोल्ड है, जो ऑन्सेगर कंजेचर (यूलर समीकरणों के लिए) की नकल करता है।
- आश्चर्य: यह आश्चर्यजनक है क्योंकि इसका तंत्र विशुद्ध रूप से डायमेंशन-थ्योरेटिक (ज्यामितीय) है, जबकि ऑन्सेगर का मूल परिणाम नॉन-लीनियर एनर्जी फ्लक्स आर्गुमेंट्स पर आधारित था।
- हीयुरिस्टिक्स (Heuristics) का विरोधाभास: यह परिणाम "ओबुखोव-कॉरसिन-याग्लोम" नियम ( $\alpha + 2\beta = 1$ ) का खंडन करता है, जो $\alpha > 1/3$ के लिए एनोमलस रेगुलाइजेशन का सुझाव देता है। लेखक दिखाते हैं कि $\alpha > 1/ باشد$ के लिए, स्केलर स्मूथ आउट नहीं होता है; बल्कि, यह अपने प्रारंभिक डेटा के वितरण को सुरक्षित रखता है (उदाहरण के लिए, विच्छिन्नता/discontinuities बनी रहती हैं), जिससे आयामी विश्लेषण (dimensional analysis) द्वारा अनुमानित "एनोमलस रेगुलाइजेशन" रुक जाता है।
ज्यामितीय तंत्र: यह कार्य रेखांकित करता है कि इस रेजीम में ट्रांसपोर्ट समीकरण की रिजिडिटी (rigidity) ऊर्जा कैस्केड्स या सांख्यिकीय होमोजेनिटी के बजाय स्ट्रीम फंक्शन के क्रिटिकल वैल्यूज की ज्यामितीय संरचना (मोर्स-सार्ड प्रॉपर्टी) द्वारा संचालित होती है।
प्रोबेबिलिस्टिक रिजिडिटी: यह स्थापित करता है कि पर्याप्त रेगुलरिटी ( $\alpha > 1/3$ ) वाले "जेनेरिक" रैंडम वेक्टर फील्ड्स इतने रिजिड हैं कि वे एनोमलस डिसिपेशन के लिए आवश्यक अराजक मिश्रण (chaotic mixing) को सहारा नहीं दे सकते।

5. निष्कर्ष (Conclusion)

लेखक सिद्ध करते हैं कि $\alpha > 1/3$ हॉल्डर रेगुलरिटी वाले रैंडम, ऑटोनॉमस, डाइवर्जेंस-फ्री वेक्टर फील्ड्स के लिए, पैसिव स्केलर ट्रांसपोर्ट समीकरण लगभग निश्चित रूप से डिपर्ना-लिओन्स रिनॉर्मलाइजेशन प्रॉपर्टी रखता है। फलस्वरूप, वैनिशिंग विस्कॉसिटी लिमिट अद्वितीय इनविस्सिड सॉल्यूशन की ओर स्ट्रॉन्ग कन्वर्जेंस देती है, और एनोमलस डिसिपेशन अनुपस्थित रहता है। यह परिणाम एनोमलस डिसिपेशन की शुरुआत के लिए $1/3$ को एक क्रिटिकल थ्रेशोल्ड के रूप में पहचानता, जो क्रिटिकल सेट्स के हॉसडॉर्फ डायमेंशन से जुड़े एक ज्यामितीय तंत्र द्वारा संचालित है।