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Weak Adversarial Neural Pushforward Method for Fractional Fokker-Planck Equations

यह शोध पत्र समाधान को एक न्यूरल नेटवर्क पुशफॉरवर्ड के रूप में निरूपित करके और फ्रैक्शनल लैपलेसियन्स (fractional Laplacians) की सटीक गणना करने के लिए प्लेन वेव्स (plane waves) के आइजनफंक्शन (eigenfunction) गुण का लाभ उठाकर, फ्रैक्शनल फॉकर-प्लांक समीकरणों (fractional Fokker-Planck equations) को हल करने के लिए 'वीक एडवर्सरियल न्यूरल पुशफॉरवर्ड मेथड' (Weak Adversarial Neural Pushforward Method) का विस्तार करता है, जिससे भारी-पूंछ वाले सिस्टम (heavy-tailed systems) के लिए सेकंड-मोमेंट मेट्रिक्स (second-moment metrics) की कमियों से बचते हुए सटीक ट्रांजिएंट डिस्ट्रीब्यूशन (transient distributions) प्राप्त किए जाते हैं जो कण सिमुलेशन (particle simulations) के अनुरूप होते हैं।

मूल लेखक: Andrew Qing He, Wei Cai

प्रकाशित 2026-03-16

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Andrew Qing He, Wei Cai

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि कांच के गिलास में पानी के साथ स्याही की एक बूंद कैसे फैलती है।

"सामान्य" दुनिया में (जिसे वैज्ञानिक शास्त्रीय भौतिकी या क्लासिकल फिजिक्स कहते हैं), स्याही सुचारू रूप से और समान रूप से फैलती है, जैसे टोस्ट पर मक्खन पिघलता है। यह एक प्रसिद्ध गणितीय समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है जिसे फॉकर-प्लांक समीकरण (Fokker-Planck Equation) कहा जाता है। यह एक नियम पुस्तिका की तरह है जो आपको बताती है कि किसी दिए गए समय पर स्याही के कण वास्तव में कहाँ होंगे।

लेकिन प्रकृति अव्यवस्थित है। कभी-कभी, स्याही केवल सुचारू रूप से नहीं फैलती; वह छलांग लगाती है। एक कण अचानक बहुत दूर टेलीपोर्ट हो सकता है, या कणों का एक समूह अजीब, लंबी पूंछ (tails) बना सकता है। इसे एनोमैलस डिफ्यूजन (anomalous diffusion) कहा जाता है, और यह अशांत हवा (turbulent air), वित्तीय बाजारों, या आपके शरीर में दवाओं के संचार जैसी चीजों में होता है। इस "छलांग लगाने" वाले व्यवहार का वर्णन करने के लिए, गणितज्ञ इस नियम पुस्तिका के एक अधिक जटिल संस्करण का उपयोग करते हैं जिसे फ्रैक्शनल फॉकर-प्लांक समीकरण (fFPE) कहा जाता है।

समस्या क्या है? इस "छलांग लगाने" वाले समीकरण को हल करना कंप्यूटरों के लिए अविश्वसनीय रूप से कठिन है, विशेष रूप से जब आपके पास कई चर (variables) हों (जैसे कि 3D स्पेस या उच्च-आयामी डेटा में)। पारंपरिक कंप्यूटर एक विशाल ग्रिड (जैसे शतरंज का बोर्ड) बनाने की कोशिश करते हैं ताकि हर एक स्थान को ट्रैक किया जा सके, लेकिन "छलांग" लगने के कारण ग्रिड का आकार और जटिलता बहुत बढ़ जाती है।

नया समाधान: "आकार बदलने वाला" न्यूरल नेटवर्क

यह शोध पत्र एक चतुर नई विधि पेश करता है जिसे वीक एडवर्सरियल न्यूरल पुशफॉरवर्ड मेथड (WANPM) कहा जाता है। यह कैसे काम करता है, यहाँ सरल भाषा में समझाया गया है:

1. "पुशफॉरवर्ड" ट्रिक: नक्शा न बनाएं, लोगों को हिलाएं

यह प्रयास करने के बजाय कि स्याही कहाँ है उसका एक जटिल नक्शा बनाया जाए (जो कठिन है), शोधकर्ता एक न्यूरल नेटवर्क का उपयोग एक "आकार बदलने वाले" (shape-shifter) के रूप में करते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास कंचों (marbles) का एक थैला है (शुरुआती स्याही की बूंद)। आप उन्हें एक कन्वेयर बेल्ट पर रखते हैं। यह गणना करने के बजाय कि प्रत्येक कंचा अंततः कहाँ पहुँचेगा, आप एक जादुई मशीन (न्यूरल नेटवर्क) को प्रशिक्षित करते हैं जो कंचों को पकड़ती है और उन्हें एक सुरंग के माध्यम से धकेलती है।
जादू: मशीन को इस तरह डिज़ाइन किया गया है कि यदि आप शुरुआत में एक कंचा डालते हैं, तो उसे ठीक वहीं निकलना चाहिए जहाँ भौतिकी (physics) कहती है कि उसे होना चाहिए। आपको स्याही के घनत्व (density) को जानने की आवश्यकता नहीं है; आपको बस यह जानने की आवश्यकता है कि मशीन कंचों को कैसे हिलाती है। इसे पुशफॉरवर्ड मैप (Pushforward Map) कहा जाता है।

2. "एडवर्सरियल" खेल: शिक्षक बनाम छात्र

हमें कैसे पता चलेगा कि मशीन कंचों को सही ढंग से हिला रही है? हम "शिक्षक बनाम छात्र" का खेल खेलते हैं।

छात्र (नेटवर्क): भौतिकी के नियमों से मेल खाने के लिए कंचों को हिलाने की कोशिश करता है।
शिक्षक (टेस्ट फंक्शन्स): छात्र के काम में खामी खोजने की कोशिश करता है। शिक्षक विशेष "टेस्ट वेव्स" (जैसे तालाब में उठने वाली लहरें) का उपयोग यह जांचने के लिए करता है कि क्या कंचे सही व्यवहार कर रहे हैं।
खेल: छात्र गलतियों को कम करने की कोशिश करता है, जबकि शिक्षक सबसे कठिन लहरों को ढूंढकर गलतियों को अधिकतम करने की कोशिश करता है। वे इस खेल को तब तक आगे-पीछे खेलते हैं जब तक कि छात्र पूर्ण (perfect) न हो जाए। इसे एडवर्सरियल ट्रेनिंग (Adversarial Training) कहा जाता है।

3. गुप्त हथियार: "जादुई लहर"

यहाँ शोध पत्र का सबसे बड़ा "अहा!" क्षण है।

"छलांग लगाने" वाली दुनिया (फ्रैक्शनल डिफ्यूजन) में, नियमों की गणना करना आमतौर पर एक दुःस्वप्न होता है क्योंकि छलांग कहीं से भी कहीं भी लग सकती है (non-local)। यह पूरी दुनिया में हवा के हर झोंके को मापने की कोशिश करने जैसा है।

लेकिन शोधकर्ताओं ने कुछ अद्भुत महसूस किया: यदि आप "प्लेन वेव्स" (पूर्ण, चिकनी साइन वेव्स) को अपनी टेस्ट लहरों के रूप में उपयोग करते हैं, तो गणित तुरंत हल हो जाता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि "फ्रैक्शनल लैपलेसियन" (छलांगों के लिए गणित) एक रहस्यमय ब्लैक बॉक्स है। आमतौर पर, आपको यह देखने के लिए कि बाहर क्या निकलता है, इसमें जटिल डेटा डालना पड़ता है। लेकिन लेखकों ने खोजा कि यदि आप इसमें एक विशिष्ट प्रकार की लहर डालते हैं, तो ब्लैक बॉक्स उस लहर को बस एक साधारण संख्या से गुणा कर देता है।
परिणाम: कंप्यूटर को कोई भारी काम नहीं करना पड़ता। इसे बस एक संख्या से गुणा करना होता है। यह "छलांग लगाने" वाले गणित को "सुचारू" गणित जितना ही तेज़ और आसान बना देता है।

यह क्यों मायने रखता है

शोधकर्ताओं ने इसका परीक्षण एक कंप्यूटर सिमुलेशन पर किया जहाँ कण बेतरतीब ढंग से "छलांग" लगा रहे थे (जैसे कि एक नशे में धुत्त व्यक्ति घर जाते समय चलता है)।

परिणाम: उनके AI पद्धति ने पूरी तरह से भविष्यवाणी की कि कणों का समूह समय के साथ कैसे हिलता है, फैलता है और उन अजीब "भारी पूंछों" (heavy tails) का निर्माण करता है।
चेतावनी: उन्होंने एक मजेदार सबक भी पाया: यदि आप इन कूदने वाले कणों के "औसत प्रसार" (standard deviation) को मापने की कोशिश करते हैं, तो गणित टूट जाता है क्योंकि दुर्लभ, बड़ी छलांगें होती हैं। इसके बजाय, उन्होंने "रोबस्ट स्टैटिस्टिक्स" (जैसे कि मीडियन, या मध्य मान) का उपयोग किया, जो एक नाजुक पैमाने के बजाय एक मजबूत रूलर का उपयोग करने जैसा है जो दबाव में टूटता नहीं है।

बड़ी तस्वीर

यह शोध पत्र जटिल डिफ्यूजन समस्याओं को हल करने का एक मेश-फ्री (mesh-free), सुपर-फास्ट तरीका प्रदान करता है।

कोई ग्रिड नहीं: इसे विशाल शतरंज के बोर्ड की आवश्यकता नहीं है।
कोई भारी गणित नहीं: यह कठिन "छलांग लगाने" वाले गणित को सरल गुणा में बदल देता है।
स्केलेबल: यह अंततः वित्त, जीव विज्ञान या जलवायु विज्ञान जैसी जटिल प्रणालियों को मॉडल करने में मदद कर सकता है जिनमें अचानक, अप्रत्याशित उछाल शामिल होते हैं।

संक्षेप में: उन्होंने एक स्मार्ट, आकार बदलने वाली मशीन बनाई है जो एक वेव-आधारित शिक्षक के खिलाफ खेल खेलकर कणों को सही ढंग से हिलाना सीखती है, जिसमें एक गुप्त गणितीय ट्रिक का उपयोग किया गया है जो "छलांग लगाने" वाली भौतिकी को "सुचारू" भौतिकी जितना आसान बना देती है।

यहाँ एंड्रयू किंग हे और वेई काई के शोध पत्र "Weak Adversarial Neural Pushforward Method for Fractional Fokker-Planck Equations" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र फ्रैक्शनल फॉकर-प्लैंक समीकरण (fFPE) को हल करने की चुनौती को संबोधित करता है, जो मानक ब्राउनियन मोशन के बजाय लेवी प्रक्रियाओं (Lévy processes) द्वारा संचालित स्टोकेस्टिक प्रणालियों में प्रायिकता घनत्व फलनों (probability density functions) के विकास को नियंत्रित करता है।

गणितीय संदर्भ: शास्त्रीय फॉकर-प्लैंक समीकरण में द्वितीय-क्रम का लैपलेसियन डिफ्यूजन ऑपरेटर ( $-\Delta$ ) शामिल होता है। fFPE इस ऑपरेटर को एक फ्रैक्शनल लैपलेसियन ऑपरेटर, $(-\Delta)^{\alpha/2}$ से बदल देता है, जहाँ $\alpha \in (0, 2]$ है।
भौतिक महत्व: यह एनोमलस डिफ्यूजन (anomalous diffusion) (विशेष रूप से सुपरडिफ्यूजन) को मॉडल करता है जो टर्बुलेंट ट्रांसपोर्ट, अमोर्फस सेमीकंडक्टर्स और जटिल तरल पदार्थों में पाया जाता है, जो गाऊसी पूंछ (Gaussian tails) के बजाय भारी-पूंछ (heavy-tailed/algebraic) वितरणों द्वारा अभिलक्षित है।
संगणनात्मक चुनौतियाँ:
1. गैर-स्थानीयता (Non-locality): फ्रैक्शनल लैपलेसियन एक गैर-स्थानीय इंटीग्रल ऑपरेटर है, जिससे मानक फाइनाइट-एलिमेंट या फाइनाइट-डिफरेंस विधियाँ घने स्टिफनेस मैट्रिसेस (dense stiffness matrices) के कारण गणनात्मक रूप से अत्यधिक महंगी हो जाती हैं।
2. उच्च आयाम (High Dimensions): स्पेक्ट्रल विधियाँ जटिल या अनबाउंडेड डोमेन के साथ संघर्ष करती हैं, और डीप लर्निंग दृष्टिकोण अक्सर विफल हो जाते हैं क्योंकि न्यूरल नेटवर्क आउटपुट का फ्रैक्शनल लैपलेसियन कंप्यूट करना महंगा होता है, और भारी-पूंछ (heavy tails) को दर्शाने के लिए घातीय रूप से बड़े डोमेन को हल करने की आवश्यकता होती है।
3. भारी पूंछ (Heavy Tails): $\alpha < 2$ के लिए, समाधान का विचरण (variance) अनंत होता है, जिससे मानक विचलन (standard deviation) जैसे मानक मेट्रिक्स अविश्वसनीय हो जाते हैं।

2. कार्यप्रणाली: वीक एडवर्सरियल न्यूरल पुशफॉरवर्ड मेथड (WANPM)

लेखक शास्त्रीय FPEs पर अपने पिछले कार्य का विस्तार फ्रैक्शनल सेटिंग में करते हैं। मुख्य नवाचार समाधान वितरण को एक स्पष्ट घनत्व फलन के रूप में नहीं, बल्कि एक पुशफॉरवर्ड मैप (pushforward map) के रूप में प्रस्तुत करना है जिसे वीक एडवर्सरियल फॉर्मुलेशन के माध्यम से प्रशिक्षित किया जाता है।

A. न्यूरल पुशफॉरवर्ड आर्किटेक्चर

एक घनत्व $\rho(x,t)$ सीखने के बजाय, यह विधि एक रूपांतरण मैप $F_\vartheta(t, x_0, r)$ सीखती है जो एक सरल बेस डिस्ट्रीब्यूशन को समय $t$ पर समाधान वितरण में पुशफॉरवर्ड करती है।

इनपुट: प्रारंभिक स्थिति के नमूने $x_0 \sim \rho_0$ और लेटेंट नॉइज़ $r \sim \mathcal{N}(0, I_d)$ ।
पैरामीट्राइजेशन: मैप को $F_\vartheta(t, x_0, r) = x_0 + \sqrt{t}\tilde{F}_\vartheta(t, x_0, r)$ $F_{ϑ} (t, x_{0}, r) = x_{0} + t \tilde{F}_{ϑ} (t, x_{0}, r)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
- यह संरचना प्रारंभिक स्थिति को सटीक रूप से लागू करती है ( $t=0 \implies x=x_0$ )।
- $\sqrt{t}$ प्रीफैक्टर $\alpha$ के 2 के करीब होने पर लेवी प्रक्रियाओं के लघु-समय स्केलिंग ( $t^{1/\alpha}$ ) का अनुमान लगाता है।
ओवरपैरामीट्राइजेशन: लेटेंट डायमेंशन $d$ को आउटपुट डायमेंशन $n$ से बड़ा रखा गया है (जैसे, $d=5, n=1$ ), ताकि जैकोबियन डिटर्मिनेंट गणनाओं (नॉर्मलाइजिंग फ्लो के विपरीत) की आवश्यकता के बिना भारी-पूंछ वाले वितरणों को दर्शाने के लिए पर्याप्त क्षमता प्रदान की जा सके।

B. वीक फॉर्मुलेशन और मोंटे कार्लो डिस्क्रीटाइजेशन

यह विधि स्पष्ट घनत्व मूल्यांकन से बचती है और fFPE के वीक फॉर्मुलेशन का उपयोग करती है। एक टेस्ट फंक्शन $f(t,x)$ के लिए, वीक फॉर्म है:
$\mathbb{E}_{\rho(T)}[f(T)] - \mathbb{E}_{\rho_0}[f(0)] - \int_0^T \mathbb{E}_{\rho(t)} \left[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathcal{L}f \right] dt = 0$
जहाँ ऑपरेटर $\mathcal{L} = -(-\Delta_x)^{\alpha/2} + b(x)\partial_x$ है।

डिस्क्रीटाइजेशन: समाकलन और अपेक्षाओं (expectations) को पूरी तरह से समय और स्थान पर मोंटे कार्लो सैंपलिंग के माध्यम से अनुमानित किया जाता है, जिससे टेम्पोरल या स्पेशियल मेश की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
लॉस फंक्शन: प्रशिक्षण उद्देश्य टेस्ट फंक्शन्स के ऊपर वीक-फॉर्म रेसिड्यूल का स्क्वेर्ड $L_2$ नॉर्म है।

C. प्लेन-वेव टेस्ट फंक्शन्स के साथ एडवर्सरियल ट्रेनिंग

यह विधि पुशफॉरवर्ड नेटवर्क (जेनेरेटर) और टेस्ट फंक्शन्स (एडवर्सरी) के बीच एक मिन-मैक्स गेम का उपयोग करती है।

टेस्ट फंक्शन्स: लेखक प्लेन वेव्स (plane waves) $f^{(k)}(t, x) = \sin(w^{(k)}x + \kappa^{(k)}t + b^{(k)})$ का उपयोग करते हैं।
मुख्य संगणनात्मक लाभ: प्लेन वेव्स फ्रैक्शनल लैपलेसियन के सटीक आइगेनफंक्शंस (eigenfunctions) हैं:
$(-\Delta_x)^{\alpha/2} \sin(w \cdot x) = |w|^\alpha \sin(w \cdot x)$
यह फ्रैक्शनल ऑपरेटर को सटीक रूप से और $O(1)$ लागत पर कंप्यूट करने की अनुमति देता है (एक साधारण स्केलर मल्टीप्लिकेशन), जिससे महंगे नॉन-लोकल क्वाड्रचर से बचा जा सकता है।
ट्रेनिंग लूप:
- जेनेरेटर ( $\vartheta$ ): वीक फॉर्म को संतुष्ट करने के लिए लॉस (ग्रेडिएंट डिसेंट) को कम करता है।
- एडवर्सरी ( $\eta$ ): लॉस को अधिकतम करने के लिए (ग्रेडिएंट एसेंट) वेव पैरामीटर्स ( $w, \kappa, b$ ) को समायोजित करता है, ताकि उन "कठिन" मोड्स को खोजा जा सके जहाँ वर्तमान सन्निकटन विफल हो रहा है।

3. मुख्य योगदान

फ्रैक्शनल ऑपरेटर्स का विस्तार: प्लेन-वेव टेस्ट फंक्शन्स के आइगेनफंक्शन गुण का लाभ उठाकर फ्रैक्शनल लैपलेसियन को कुशलतापूर्वक संभालने के लिए वीक एडवर्सरियल न्यूरल पुशफॉरवर्ड मेथड को सफलतापूर्वक अनुकूलित किया।
मेश-फ्री, टेम्पोरल-डिस्क्रीटाइजेशन-फ्री सॉल्वर: यह विधि बिना किसी टेम्पोरल स्टेपिंग या स्पेशियल ग्रिड के समय-निर्भर समस्या को हल करती है, जो सीधे प्रोडक्ट स्पेस $[0, T] \times \rho_0 \times \text{Base}$ से नमूना लेती है।
मजबूत सांख्यिकीय सत्यापन: यह प्रदर्शित किया कि भारी-पूंछ वाले वितरणों ( $\alpha < 2$ ) के लिए, मानक विचलन एक अविश्वसनीय मीट्रिक है क्योंकि इसमें अनंत विचरण होता है। लेखकों ने बेंचमार्किंग के लिए रोबस्ट स्टैटिस्टिक्स (मीडियन, इंटरक्वाटाइल रेंज, मीडियन एब्सोल्यूट डेविएशन और परसेंटाइल बैंड्स) को पेश किया।
संगणनात्मक दक्षता: दिखाया कि फ्रैक्शनल FPEs को हल करने की लागत शास्त्रीय FPEs के बराबर है क्योंकि फ्रैक्शनल ऑपरेटर मूल्यांकन स्केलर मल्टीप्लिकेशन में बदल जाता है।

4. संख्यात्मक परिणाम (Numerical Results)

विधि को एक द्विघाती कन्फाइनिंग पोटेंशियल ( $V(x) = \frac{1}{2}x^2$ ) और $\alpha = 1.5$ के साथ एक 1D fFPE पर सत्यापित किया गया।

बेंचमार्क: सिमेट्रिक $\alpha$ -स्टेबल लेवी इंक्रीमेंट्स (यूलेर-मारुमा स्कीम) का उपयोग करके एक पार्टिकल सिमुलेशन ग्राउंड ट्रुथ के रूप में उपयोग किया गया।
अभिसरण (Convergence): ट्रेनिंग लॉस तेजी से कम हुआ, जो विशेषता एडवर्सरियल ऑसिलेशन्स के साथ $10^{-2}$ के आसपास स्थिर हुआ, जो मोड कोलैप्स के बिना स्थिर अभिसरण की पुष्टि करता है।
डिस्ट्रीब्यूशन ट्रैकिंग:
- सीखा गया पुशफॉरवर्ड वितरण $t=0$ से $t=2$ तक के ट्रांजिएंट इवोल्यूशन को वफादारी से पुनरुत्पादित करता है।
- इसने पोटेंशियल मिनिमम ( $x=0$ ) की ओर ड्रिफ्ट और अल्जेब्रिकली डिके होने वाली भारी पूंछ के विकास को सटीक रूप से पकड़ा।
मात्रात्मक तुलना:
- रोबस्ट मेट्रिक्स: न्यूरल सॉल्यूशन का मीडियन, IQR और MAD, पार्टिकल सिमुलेशन के बहुत करीब था।
- स्टैंडर्ड डेविएशन की विफलता: पार्टिकल सिमुलेशन का स्टैंडर्ड डेविएशन दुर्लभ चरम घटनाओं (extreme events) के कारण अनियमित उछाल प्रदर्शित करता है, जबकि न्यूरल नेटवर्क का स्टैंडर्ड डेविएशन कृत्रिम रूप से स्थिर था। इसने पुष्टि की कि $\alpha < 2$ के लिए स्टैंडर्ड डेविएशन अनुपयुक्त है, और न्यूरल नेटवर्क, हालांकि बल्क और मध्यम पूंछ को पकड़ता है, सीमित सैंपल के कारण अत्यंत दूर-पूंछ (extreme far-tail) की घटनाओं को कम सैंपल कर सकता है।

5. महत्व और भविष्य की संभावनाएं

स्केलेबिलिटी: यह दृष्टिकोण स्वाभाविक रूप से मेश-फ्री है और ग्रिड-आधारित विधियों से जुड़े "कर्स ऑफ डायमेंशनलिटी" से बचता है, जो इसे उच्च-आयामी फ्रैक्शनल काइनेटिक्स समस्याओं के लिए एक आशाजनक उम्मीदवार बनाता है।
सामान्यीकरण: यह विधि बिना किसी एल्गोरिथमिक जटिलता परिवर्तन के, केवल एक पैरामीटर अपडेट के साथ किसी भी $\alpha \in (0, 2]$ के लिए लागू है।
सीमाएं: वर्तमान प्रयोग 1D हैं; उच्च आयामों में स्केल करने के लिए टेस्ट मोड्स और लेटेंट डायमेंशन की संख्या पर और अध्ययन की आवश्यकता है। यह सीमित सैंपल सीमाओं के कारण अत्यधिक दूर-पूंछ व्यवहार ( $>90$ वां परसेंटाइल) को हल करने में संघर्ष कर सकता है।
भविष्य का कार्य: लेखक इसे वेरिएबल-ऑर्डर फ्रैक्शनल ऑपरेटर्स, टेम्पर्ड फ्रैक्शनल लैपलेसियन्स और फ्रैक्शनल ब्राउनियन मोशन (fBm) द्वारा संचालित सिस्टम तक विस्तारित करने की योजना बना रहे हैं।

संक्षेप में, यह शोध पत्र फ्रैक्शनल फॉकर-प्लैंक समीकरणों के लिए एक संगणनात्मक रूप से कुशल, मेश-फ्री सॉल्वर प्रस्तुत करता है जो प्लेन-वेव टेस्ट फंक्शन्स के माध्यम से एडवर्सरियल ट्रेनिंग का उपयोग करके फ्रैक्शनल ऑपरेटर्स की गैर-स्थानीयता को दूर करता है, जो उच्च-आयामी स्थानों में एनोमलस डिफ्यूजन को मॉडल करने के लिए एक मजबूत ढांचा प्रदान करता है।