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High-Probability Bounds for SGD under the Polyak-Lojasiewicz Condition with Markovian Noise

यह शोध पत्र विकेंद्रीकृत, गोपनीयता-संरक्षण और सिस्टम पहचान अनुप्रयोगों में स्टेट-डिपेंडेंट मैग्नीट्यूड के साथ मिश्रित मार्कोवियन और मार्टिंगेल शोर को ध्यान में रखते हुए, पोलियाक-लोजसिएविक स्थिति के तहत स्टोकेस्टिक ग्रेडिएंट डिसेंट के लिए प्रथम यूनिफॉर्म-इन-टाइम हाई-प्रोबेबिलिटी कन्वर्जेंस बाउंड्स और मैचिंग $1/k$ एक्सपेक्टेड सबऑप्टिमैलिटी रेट्स स्थापित करता है।

मूल लेखक: Avik Kar, Siddharth Chandak, Rahul Singh, Eric Moulines, Shalabh Bhatnagar, Nicholas Bambos

प्रकाशित 2026-03-17

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Avik Kar, Siddharth Chandak, Rahul Singh, Eric Moulines, Shalabh Bhatnagar, Nicholas Bambos

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, धुंधली पर्वत श्रृंखला में सबसे निचले बिंदु को खोजने की कोशिश कर रहे हैं। मशीन लर्निंग मॉडल इसी तरह "सीखते" हैं: वे एक त्रुटि फलन (error function - जो पहाड़ की ऊंचाई है) को कम करने की कोशिश करते हैं ताकि सर्वोत्तम समाधान (घाटी) मिल सके।

वह उपकरण जिसका उपयोग वे नेविगेशन के लिए करते हैं, उसे स्टोकेस्टिक ग्रेडिएंट डिसेंट (SGD) कहा जाता है। SGD को एक ऐसे पर्वतारोही के रूप में सोचें जो ढलान की ओर कदम बढ़ा रहा है। हर कदम पर, पर्वतारोही अपने आस-पास देखता है कि नीचे जाने का रास्ता किस ओर है और वह उसी दिशा में एक कदम बढ़ाता है।

हालाँकि, वास्तविक दुनिया में, पर्वतारोही दोषरहित नहीं होता। वह पूरी पहाड़ी को स्पष्ट रूप से नहीं देख सकता। कभी-कभी जमीन फिसलन भरी होती है, या हवा उन्हें रास्ते से भटका देती है। यह शोर (noise) है।

समस्या: "धुंधला" और "सहसंबंधित" (Correlated) पर्वतारोही

लंबे समय तक, गणितज्ञों ने माना कि पर्वतारोही की गलतियाँ (शोर) हर कदम पर एक निष्पक्ष सिक्के को उछालने जैसी होती हैं। यदि आज आपको बाईं ओर धकेला गया, तो कल दाएं धकेले जाने की 50-50 संभावना थी। इसे "रैंडम शोर" या "मार्टिंगेल" (martingale) कहा जाता है।

लेकिन वास्तविक दुनिया के कई परिदृश्यों में, शोर इतना रैंडम नहीं होता। यह मार्कोवियन (Markovian) होता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि पर्वतारोही एक जंगल में चल रहा है जहाँ हवा केवल यादृच्छिक (random) रूप से नहीं बदलती; बल्कि यह एक पैटर्न का पालन करती है। यदि आज हवा उत्तर से चल रही है, तो इसकी बहुत अधिक संभावना है कि कल भी उत्तर से ही चलेगी, और शायद उसके अगले दिन भी। यहाँ गलतियाँ सहसंबंधित (correlated) हैं।
यह क्यों मायने रखता है: यदि एक झोंके से पर्वतारोही रास्ते से भटक जाता है, और हवा कुछ समय तक उसी दिशा में बहती रहती है, तो हवा के बदलने से पहले वह असली रास्ते से बहुत दूर भटक सकता है। मानक गणितीय उपकरण यह अनुमान लगाने में विफल रहते हैं कि इस "चिपचिपी" हवा में वे कितना भटक सकते हैं।

समाधान: पर्वतारोही के लिए एक नया मानचित्र

यह शोध पत्र उन कठिन, हवा से घिरे पहाड़ों में नेविगेट करने वाले पर्वतारोहियों (एल्गोरिदम) के लिए एक नया, अत्यधिक विश्वसनीय मानचित्र प्रस्तुत करता है। विशेष रूप से, यह उन पहाड़ों पर ध्यान केंद्रित करता है जिनका एक विशेष आकार है जिसे पॉलिक-लोजसिएविक (Polyak-Łojasiewicz - PL) स्थिति कहा जाता है।

PL स्थिति की उपमा: एक कीप (funnel) के आकार वाली घाटी की कल्पना करें। आप उस कीप में कहीं भी हों, यदि आप ढलान को देखते हैं, तो वह आपको तल की ओर ले जाती है। भले ही घाटी पूरी तरह से गोल (convex) न हो, जब तक कि वह हर जगह "पर्याप्त रूप से तीव्र" है, आप अंततः नीचे पहुँचने की गारंटी रखते हैं। यह आकार आधुनिक AI, जैसे न्यूरल नेटवर्क को प्रशिक्षित करने में आम है।

लेखक इन "चिपचिपी" हवा वाले फनल में पर्वतारोहियों के बारे में दो मुख्य बातें सिद्ध करते हैं:

"उच्च-संभाव्यता" (High-Probability) की गारंटी: वे अत्यंत उच्च विश्वास (जैसे 99.9%) के साथ सिद्ध करते हैं कि पर्वतारोही न केवल अंततः नीचे पहुँचेगा, बल्कि वह वहाँ तक पहुँचने के लिए एक अनुमानित पथ पर बना रहेगा। वे एक सूत्र देते हैं जो दिखाता है कि इस कठिन हवा के बावजूद पर्वतारोही कितनी तेज़ी से लक्ष्य के करीब पहुँचता है।
"औसत" (Average) गारंटी: वे कई परीक्षणों पर पर्वतारोही की औसत गति की भी गणना करते हैं, जो यह दर्शाता है कि जैसे-जैसे समय बीतता है, यह बेहतर होता जाता है।

उन्होंने यह कैसे किया? (गुप्त नुस्खा)

लेखकों ने इस "चिपचिपी हवा" की समस्या को हल करने के लिए दो चतुर युक्तियों का उपयोग किया:

"पॉइसन समीकरण" (हवा का भविष्यवक्ता):
हवा को एक रैंडम आश्चर्य के रूप में मानने के बजाय, उन्होंने हवा के व्यवहार की "भविधीवाणी" करने के लिए पॉइसन समीकरण नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग किया। उन्होंने मूल रूप से हवा द्वारा उत्पन्न "औसत बहाव" (average drift) की गणना की और उसे हटा दिया। इसने "चिपचिपी" हवा को कुछ ऐसा बना दिया जो रैंडम शोर जैसा दिखता है, जिसे गणितीय रूप से संभालना बहुत आसान है।
प्रायिकता प्रेरण (Probabilistic Induction - "अच्छे दिन" की श्रृंखला):
आमतौर पर, यह सिद्ध करने के लिए कि पर्वतारोही नहीं भटकेगा, आपको यह जानना आवश्यक होता है कि उसने कभी भी एक बहुत बड़ा गलत कदम नहीं लिया। लेकिन इस समस्या में, यदि हवा पर्याप्त खराब है, तो सैद्धांतिक रूप से पर्वतारोही एक बहुत बड़ा गलत कदम ले सकता है।
लेखकों ने एक चतुर तर्क का उपयोग किया: "यदि पर्वतारोही आज तक अच्छा प्रदर्शन कर रहा है, तो हवा आज नियंत्रण में होने की संभावना है, जिसका अर्थ है कि वह कल भी अच्छा प्रदर्शन करेगा।"
उन्होंने "अच्छे दिनों" की एक श्रृंखला बनाई। यदि पर्वतारोही आज पथ पर रहता है, तो गणित गारंटी देता है कि वह कल भी पथ पर रहने की संभावना रखता है। इन दिनों को एक साथ जोड़कर, उन्होंने यह सिद्ध किया कि पर्वतारोही केवल एक कदम के लिए नहीं, बल्कि पूरी यात्रा के लिए सुरक्षित रहता है।

वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग

यह शोध पत्र केवल सिद्धांत तक सीमित नहीं है; यह दिखाता है कि यह तीन वास्तविक परिदृश्यों में कैसे काम करता है:

विकेंद्रीकृत शिक्षण (टोकन गेम): कल्पना कीजिए कि लोगों का एक समूह मिलकर एक पहेली को हल करने की कोशिश कर रहा है, लेकिन वे केवल अपने पड़ोसियों से बात कर सकते हैं। एक "टोकन" (वर्तमान उत्तर के साथ एक कागज का टुकड़ा) एक नेटवर्क में घूमता है। टोकन द्वारा लिया गया पथ रैंडम (मार्कोवियन) है। यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि इस रैंडम प्रसार के बावजूद, समूह जल्दी ही सर्वोत्तम उत्तर खोज लेगा।
गोपनीयता-संरक्षित शिक्षण (Privacy-Preserving Learning): कभी-कभी, लोगों की गोपनीयता की रक्षा के लिए, डेटा को विशिष्ट पैटर्न में शफल (shuffle) किया जाता है (जैसे ताश के पत्तों को फेंटना)। यह शफलिंग सहसंबंधित शोर पैदा करती है। यह शोध पत्र दिखाता है कि इन गोपनीयता नियमों के बावजूद इन गोपनीयता नियमों के बावजूद AI मॉडल को सुरक्षित और कुशलतापूर्वक कैसे प्रशिक्षित किया जा सकता है।
सिस्टम पहचान (System Identification): कल्पना कीजिए कि आप कार के चलते समय उसकी आवाज़ सुनकर उसके इंजन के काम करने के तरीके को समझने की कोशिश कर रहे हैं। इंजन की स्थिति एक क्षण पर पिछले क्षण पर निर्भर करती है। यह शोध पत्र इंजीनियरों को सिस्टम की "याददाश्त" (memory) के बावजूद इंजन के मापदंडों का सटीक अनुमान लगाने में मदद करता है।

निष्कर्ष

यह शोध पत्र "पर्वतारोही के मानचित्र" के लिए एक बड़ा अपग्रेड है। यह हमें बताता है कि भले ही वातावरण अव्यवस्थित, सहसंबंधित और अप्रत्याशित (मार्कोवियन) हो, और लक्ष्य जटिल (गैर-उत्तल लेकिन PL-आकार का) हो, फिर भी हम गारंटी दे सकते हैं कि हमारे AI एल्गोरिदम तेजी से और विश्वसनीयता के साथ समाधान खोज लेंगे। यह सैद्धांतिक गणित और वास्तविक दुनिया के डेटा संग्रह की जटिल वास्तविकता के बीच के अंतर को पाटता है।

यहाँ शोध पत्र "High-Probability Bounds for SGD Under the Polyak-Łojasiewicz Condition with Markovian Noise" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का निरूपण (Problem Formulation)

यह शोध पत्र अनकन्स्ट्रेंड ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याओं के रूप में $\min_{x \in \mathbb{R}^d} f(x)$ के लिए स्टोकेस्टिक ग्रेडिएंट डिसेंट (SGD) एल्गोरिदम के अभिसरण विश्लेषण (convergence analysis) को संबोधित करता है। इसमें निम्नलिखित विशिष्ट चुनौतियों का समाधान किया गया है:

गैर-उत्तलता (Non-Convexity): ऑब्जेक्टिव फंक्शन $f$ के लिए उत्तलता (convexity) का अनुमान नहीं लगाया गया है, बल्कि यह पोल्याक-लोजासिएविच (PL) स्थिति का पालन करता है। यह स्थिति, जिसे $\|\nabla f(x)\|^2 \ge 2\mu (f(x) - f^\star)$ के रूप में परिभाषित किया गया है, ग्रेडिएंट डिसेंट के लिए ग्लोबल लीनियर कन्वर्जेंस की गारंटी देती है और कई आधुनिक मशीन लर्निंग मॉडलों (जैसे, वाइड न्यूरल नेटवर्क, लीनियर क्वाड्रेटिक रेगुलेटर्स) द्वारा संतुष्ट की जाती है।
मार्कोवियन नॉइज़ (Markovian Noise): मानक SGD विश्लेषणों के विपरीत, जो मानते हैं कि ग्रेडिएंट नॉइज़ एक मार्टिंगेल डिफरेंस सीक्वेंस (i.i.d. या कंडिशनली अनबायस्ड) है, यह कार्य टेम्पोरल कोरिलेशन (temporal correlations) वाले नॉइज़ पर विचार करता है। ग्रेडिएंट एस्टीमेट $G_k$ को इस प्रकार मॉडल किया गया है:
$G_k = g(x_k, Z_k) + M_{k+1}$
जहाँ $Z_k$ एक टाइम-होमोजेनियस मार्कोव चेन से एक स्टेट है (जो सह-संबंधित नॉइज़ के स्रोत का प्रतिनिधित्व करता है, जैसे विकेंद्रीकृत नेटवर्क या ऑनलाइन सिस्टम आइडेंटिफिकेशन में) और $M_{k+1}$ एक मार्टिंगेल डिफरेंस नॉइज़ घटक है।
अनबाउंडेड नॉइज़ (Unbounded Noise): यह ढांचा नॉइज़ के परिमाण को फंक्शन वैल्यू और वास्तविक ग्रेडिएंट के साथ बढ़ने की अनुमति देता है (सामान्यीकृत ABC स्थिति), जो व्यावहारिक सबसैंपलिंग रणनीतियों के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक यूनिफॉर्म-इन-टाइम हाई-प्रोबेबिलिटी बाउंड्स (गारंटी जो उच्च संभाव्यता के साथ सभी $k \ge 0$ के लिए एक साथ लागू होती है) प्राप्त करने के लिए एक नवीन प्रमाण तकनीक विकसित करते हैं, न कि केवल अपेक्षित (expected) बाउंड्स। यह कार्यप्रणाली तीन मुख्य स्तंभों पर आधारित है:

पॉइसन इक्वेशन डीकंपोजिशन (Poisson Equation Decomposition):
मार्कोवियन नॉइज़ घटक $g(x_k, Z_k) - \nabla f(x_k)$ को संभालने के लिए, लेखक पॉइसन इक्वेशन का उपयोग करते हैं। वे एक फलन $V(x, z)$ को इस प्रकार परिभाषित करते हैं कि:
$g(x, z) - \nabla f(x) = V(x, z) - \int V(x, z') p(dz'|z)$
यह मार्कोवियन नॉइज़ को एक मार्टिंगेल डिफरेंस सीक्वेंस ( $\tilde{M}_{k+1}$ ) और एक करेक्शन टर्म ( $d_k$ ) में विभाजित करने की अनुमति देता है। मार्टिंगेल भाग को मानक कंसंट्रेशन इनइक्वेलिटीज़ का उपयोग करके संभाला जा सकता है, जबकि करेक्शन टर्म को अभिसरण दर (convergence rate) के लिए नगण्य दिखाया गया है।
प्रोबेबिलिस्टिक इंडक्शन तर्क (Probabilistic Induction Argument):
हाई-प्रोबेबिलिटी विश्लेषण में एक बड़ी बाधा यह है कि मानक कंसंट्रेशन इनइक्वेलिटीज़ (जैसे अज़ुमा-होफ़डिंग) के लिए नॉइज़ या इटरेट के लगभग-निश्चित (almost-sure) बाउंड की आवश्यकता होती है। हालाँकि, अनबाउंडेड नॉइज़ के साथ PL स्थिति के तहत, ऐसे नियतात्मक (deterministic) बाउंड मौजूद नहीं हैं।
- लेखक "अच्छी घटनाओं" (good events) $E_k$ की एक श्रृंखला पेश करते हैं, जो उस घटना को परिभाषित करती है जहाँ सबऑप्टिमलिटी गैप $\Delta_k = f(x_k) - f^\star$ समय $k$ तक वांछित दर से घटता है।
- वे एक प्रोबेबिलिस्टिक इंडक्शन तर्क का उपयोग करते हैं: यह मानते हुए कि $E_\ell$ सत्य है (इटरेट सुव्यवस्थित हैं), नॉइज़ टर्म सीमित हो जाते हैं, जिससे अज़ुमा-होफ़डिंग को यह दिखाने के लिए लागू करना संभव होता है कि $E_{\ell+1}$ भी उच्च संभाव्यता के साथ सत्य है।
- यह इंडक्टिव स्टेप उन्हें लॉस फंक्शन के लिए पूर्व-निर्धारित लगभग-निश्चित बाउंड की आवश्यकता के बिना "बुरे इवेंट्स" ( $\cup \bar{E}_k$ ) के यूनियन को बाउंड करने की अनुमति देता है।
सामान्यीकृत ABC स्थिति (Generalized ABC Condition):
विश्लेषण यह मानता है कि ग्रेडिएंट नॉइज़ $\|G_k\|^2 \le A\|\nabla f(x_k)\|^2 + B(f(x_k)-f^\star) + C$ का पालन करता है। यह मानक बाउंडेड वेरिएंस धारणाओं को सामान्यीकृत करता है, जिससे उन परिदृश्यों का विश्लेषण संभव होता है जहाँ नॉइज़ ग्रेडिएंट मैग्नीट्यूड के साथ स्केल होता है (जो सबसैंपलिंग में सामान्य है)।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

प्रथम यूनिफॉर्म-इन-टाइम हाई-प्रोबेबिलिटी बाउंड: यह शोध पत्र PL स्थिति के तहत मार्कोवियन नॉइज़ के लिए पहला हाई-प्रोबेबिलिटी बाउंड प्रदान करता है जो सभी इटरेशन $k \ge 0$ के लिए यूनिफॉर्म रूप से लागू होता है।
इष्टतम अभिसरण दरें (Optimal Convergence Rates):
- हाई-प्रोबेबिलिटी बाउंड: कम से कम $1-\delta$ संभाव्यता के साथ, सबऑप्टिमलिटी गैप इस प्रकार घटता है:
  $\Delta_k = O\left( \frac{t_{mix}^2 \log(k/\delta)}{\mu^2 k} \right)$
  जहाँ $t_{mix}$ अंतर्निहित मार्कोव चेन का मिक्सिंग टाइम है।
- एक्स्पेक्टेड बाउंड: अपेक्षित सबऑप्टिमलिटी गैप इस प्रकार घटता है:
  $\mathbb{E}[\Delta_k] = O\left( \frac{t_{mix}}{\mu^2 k} \right)$
- $O(1/k)$ की दर स्ट्रॉन्गली कॉन्वेक्स/PL समस्याओं के लिए इष्टतम दर से मेल खाती है, हालांकि हाई-प्रोबेबिलिटी बाउंड में $t_{mix}$ पर द्विघात निर्भरता (quadratic dependence) होती (पॉइसन डीकंपोजिशन और यूनियन बाउंड के कारण), जबकि अपेक्षित बाउंड $t_{mix}$ के प्रति रैखिक (linear) है।
अनबाउंडेड नॉइज़ को संभालना: यह ढांचा नॉइज़ को संभालता है जो फंक्शन वैल्यू के साथ बढ़ता है, जिससे यह प्राइवेसी-प्रिजर्विंग लर्निंग और विकेंद्रीकृत अनुकूलन जैसे व्यावहारिक सेटिंग्स के लिए लागू हो जाता है।
नवीन प्रमाण तकनीक: लगभग-निश्चित बाउंड उपलब्ध न होने पर यूनिफॉर्म बाउंड स्थापित करने के लिए प्रोबेबिलिस्टिक इंडक्शन पद्धति एक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक योगदान है।

4. परिणाम और अनुप्रयोग (Results and Applications)

सैद्धांतिक ढांचे को तीन विशिष्ट अनुप्रयोगों के माध्यम से मान्य किया गया है जहाँ मार्कोवियन नॉइज़ स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है:

टोकन-आधारित विकेंद्रीकृत लीनियर रिग्रेशन (Token-Based Decentralized Linear Regression):
- परिदृश्य: एजेंट एक नेटवर्क में स्थानीय अपडेट करते हैं। एक "टोकन" जो इटरेट को ले जाता है, नेटवर्क पर एक रैंडम वॉक (मार्कोव चेन) करता है।
- परिणाम: ग्लोबल ऑब्जेक्टिव (Least Squares) PL स्थिति को संतुष्ट करता है। प्राप्त बाउंड पुष्टि करते हैं कि अभिसरण टोकन के रैंडम वॉक के मिक्सिंग टाइम पर निर्भर करता है।
प्राइवेसी एम्प्लीफिकेशन के लिए सबसैंपिंग के साथ सुपरवाइज्ड लर्निंग (Supervised Learning with Subsampling for Privacy Amplification):
- परिदृश्य: डिफरेंशियल प्राइवेट SGD जिसमें डेटा पॉइंट्स को प्राइवेसी सुनिश्चित करने के लिए स्टेट-डिपेंडेंट मार्कोव प्रक्रिया के आधार पर सैंपल किया जाता है।
- परिणाम: यह शोध पत्र दिखाता है कि वाइड न्यूरल नेटवर्क PL स्थिति को संतुष्ट करते हैं और विशिष्ट सबसैंपिंग नॉइज़ मार्कोवियन फ्रेमवर्क में फिट बैठता है, जो प्राइवेसी-सेंसिटिव लर्निंग के लिए अभिसरण गारंटी प्रदान करता है।
ऑनलाइन सिस्टम आइडेंटिफिकेशन (Online System Identification):
- परिसूची: एक लीनियर डायनेमिकल सिस्टम के मापदंडों का अनुमान लगाना जहाँ अवलोकन (observations) एक मार्कोव प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न होते हैं।
- परिणाम: स्थिरता संबंधी धारणाओं के तहत सिस्टम आइडेंटिफिकेशन के लिए लॉस फंक्शन PL स्थिति को संतुष्ट करता है, और एल्गोरिदम अवलोकनों में टेम्पोरल कोरिलेशन के बावजूद अभिसरण करता है।

5. महत्व (Significance)

यह कार्य ऑप्टिमाइज़ेशन थ्योरी के एक महत्वपूर्ण अंतर को पाटता है। जबकि SGD आधुनिक मशीन लर्निंग की रीढ़ है, सैद्धांतिक गारंटी ऐतिहासिक रूप से दो क्षेत्रों में अभ्यास से पीछे रही है:

गैर-उत्तलता (Non-Convexity): अधिकांश टाइट फाइनाइट-टाइम बाउंड्स ने उत्तलता (convexity) को माना था, जबकि PL स्थिति नॉन-कॉन्वेक्स डीप लर्निंग मॉडल्स के विश्लेषण के लिए मानक है।
सह-संबंधित नॉइज़ (Correlated Noise): वास्तविक दुनिया के वितरित और ऑनलाइन सिस्टम सह-संबंधित (मार्कोवियन) नॉइज़ उत्पन्न करते हैं, फिर भी अधिकांश सैद्धांतिक बाउंड्स i.i.d. या मार्टिंगेल नॉइज़ मानकर चलते हैं।

इन यथार्थवादी स्थितियों के तहत हाई-प्रोबेबिलिटी (केवल अपेक्षित नहीं) गारंटी प्रदान करके, यह शोध पत्र विकेंद्रीकृत, प्राइवेसी-सेंसिटिव और ऑनलाइन लर्निंग वातावरण में SGD के उपयोग के लिए मजबूत सैद्धांतिक औचित्य प्रदान करता है। प्रोबेबिलिस्टिक इंडक्शन तकनीक का परिचय शोधकर्ताओं को उन स्टोकेस्टिक एल्गोरिदम का विश्लेषण करने के लिए एक नया उपकरण प्रदान करता है जहाँ लगभग-निश्चित बाउंड उपलब्ध नहीं हैं।