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Ciphertext-Policy ABE for $\mathsf{NC}^1$ Circuits with Constant-Size Ciphertexts from Succinct LWE

यह शोध पत्र $\mathsf{NC}^1$ सर्किट के लिए एक चयनात्मक रूप से सुरक्षित (selectively secure), लैटिस-आधारित सिफरटेक्स्ट-पॉलिसी एट्रिब्यूट-आधारित एन्क्रिप्शन स्कीम प्रस्तुत करता है जो संक्षिप्त LWE धारणा (succinct LWE assumption) के तहत सर्किट गहराई से स्वतंत्र, स्थिर-आकार के सिफरटेक्स्ट और सार्वजनिक कुंजियों को प्राप्त करता है।

मूल लेखक: Jiaqi Liu, Yuanyi Zhang, Fang-Wei Fu

प्रकाशित 2026-03-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jiaqi Liu, Yuanyi Zhang, Fang-Wei Fu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक उच्च-सुरक्षा वाली तिजोरी (vault) के प्रबंधक हैं। आपके पास एक मास्टर की (master key) है, लेकिन आप पूरी तिजोरी को सिर्फ एक व्यक्ति को नहीं देना चाहते। इसके बजाय, आप लोगों को ऐसे "चाबियाँ" देना चाहते हैं जो केवल तिजोरी के विशिष्ट हिस्सों को खोल सकें, और वह भी केवल तभी जब वे कुछ शर्तों को पूरा करते हों।

यह Ciphertext-Policy Attribute-Based Encryption (CP-ABE) की दुनिया है।

यहाँ इस शोध पत्र (paper) का एक सरल विवरण दिया गया है, जिसे रोजमर्रा के उदाहरणों का उपयोग करके समझाया गया है।

1. समस्या: "बहुत बड़ी" ताली (The "Too Big" Lock)

पारंपरिक एन्क्रिप्शन में, यदि आप किसी समूह को एक गुप्त संदेश भेजना चाहते हैं, तो आपको आमतौर पर हर एक व्यक्ति के लिए अलग से उसे एन्क्रिप्ट करना पड़ता है, या आप एक ऐसी प्रणाली का उपयोग करते हैं जहाँ "ताला" (ciphertext) बहुत बड़ा हो जाता है जैसे-जैसे लोगों की संख्या या नियमों की जटिलता बढ़ती है।

कल्पना कीजिए कि आप एक क्लब के 1,000 सदस्यों को एक गुप्त पत्र भेजना चाहते हैं।

पुराना तरीका: लिफाफा (ciphertext) इतना बड़ा हो जाता है कि वह एक ट्रक भर देता है क्योंकि इसमें हर सदस्य के लिए एक अलग ताला लगा होता है।
लक्ष्य: हम चाहते हैं कि लिफाफा हमेशा एक ही आकार का रहे (जैसे एक साधारण पोस्टकार्ड), चाहे क्लब में 10 सदस्य हों या 1 करोड़, और चाहे उसे खोलने के नियम कितने भी जटिल क्यों न हों।

2. समाधान: एक "जादुई पोस्टकार्ड" (A "Magic Postcard")

लेखकों ने एक नए प्रकार के डिजिटल लॉक सिस्टम का निर्माण किया है।

लिफाफा (Ciphertext): यह अब निश्चित आकार (constant size) का है। चाहे आप 10 लोगों को संदेश भेज रहे हों या 10,000 को, एन्क्रिप्टेड संदेश हमेशा एक ही छोटे आकार का रहता है। यह एक ऐसे जादुई पोस्टकार्ड की तरह है जो सही व्यक्ति की चाबी के लिए खुद को ढाल लेता है, लेकिन कार्ड खुद कभी बड़ा नहीं होता।
नियम (Access Policy): आप जटिल नियम सेट कर सकते हैं। उदाहरण के लिए: "केवल तभी खोलें यदि उपयोगकर्ता एक 'मैनेजर' है AND ('सीनियर' OR 'सिक्योरिटी')।" सिस्टम इन जटिल लॉजिक पहेलियों (जिन्हें NC1 सर्किट्स कहा जाता है) को कुशलतापूर्वक संभालता है।
चाबियाँ (The Keys): उपयोगकर्ता की चाबी छोटी होती है, लेकिन यह इस आधार पर थोड़ी बढ़ जाती है कि उनके पास कितने "बैज" (attributes) हैं। यदि आपके पास केवल एक बैज है, तो आपकी चाबी बहुत छोटी होगी।

3. उन्होंने यह कैसे किया: "यूनिवर्सल मास्टर की" का कमाल (The "Universal Master Key" Trick)

इस जादू को हासिल करने के लिए, लेखकों ने क्वांटम-प्रतिरोधी गणित से जुड़ी एक अवधारणा का उपयोग किया है जिसे Lattice-based cryptography (विशेष रूप से "Succinct LWE") कहा जाता है।

इसे इस तरह समझें:

पुराना तरीका: किसी उपयोगकर्ता की पहचान सत्यापित करने के लिए, सिस्टम को नामों की एक विशाल सूची की जांच करनी पड़ती थी।
नया तरीका: लेखकों ने एक Matrix Commitment का उपयोग किया है। एक विशाल, जादुई फाइलिंग कैबिनेट की कल्पना करें। यह साबित करने के लिए कि कैबिनेट के अंदर कौन सी फाइलें हैं, हर एक फाइल की सूची बनाने के बजाय, आप बस एक छोटा सा "रसीद" (commitment) दिखाते हैं जो यह प्रमाणित करता है कि कैबिनेट में सही फाइलें मौजूद हैं।
"Succinct" (संक्षिप्त) वाला हिस्सा: उन्होंने एक ऐसे गणितीय अनुमान का उपयोग किया है जो उन्हें एक "छोटा" प्रमाण (proof) बनाने की अनुमति देता है। यह यह साबित करने जैसा है कि आपके बैंक में एक अरब रुपये हैं, बिना एक अरब बैंक स्टेटमेंट दिखाए; आप बस एक रहस्यमय, अटूट रसीद दिखाते हैं जिस पर बैंक भरोसा करता है।

4. "ब्रॉडकास्ट" बोनस (The "Broadcast" Bonus)

इस तकनीक का एक सबसे शानदार उप-लाभ Broadcast Encryption है।

परिदृश्य: कल्पना कीजिए कि एक टीवी स्टेशन 10 लाख ग्राहकों को एक पे-पर-व्यू मूवी भेजना चाहता है।
पुरानी समस्या: सिग्नल आमतौर पर प्रत्येक व्यक्तिगत ग्राहक के लिए डेटा के साथ भारी हो जाता है।
नया समाधान: इस नई प्रणाली के साथ, टीवी स्टेशन एक ही एकल, छोटा सिग्नल भेजता है।
- यदि आप एक सब्सक्राइबर हैं, तो आपकी "चाबी" (जो छोटी है) ताले में फिट बैठती है।
- यदि आप नहीं हैं, तो ताला बंद रहता है।
- सिग्नल का आकार इस बात की परवाह नहीं करता कि 100 उपयोगकर्ता हैं या 10 करोड़; यह छोटा ही रहता है।

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है (क्वांटम का पहलू)

अधिकांश वर्तमान एन्क्रिप्शन उन गणितीय समस्याओं पर आधारित हैं जिन्हें भविष्य का क्वांटम कंप्यूटर आसानी से हल कर सकता है (जैसे मास्टर की से तिजोरी तोड़ना)।

यह नया सिस्टम Lattice problems पर बना है, जो क्वांटम कंप्यूटरों के प्रति प्रतिरोधी माने जाते हैं।
यह लकड़ी के ताले (जिसे नए औजार से आसानी से तोड़ा जा सकता है) को टाइटेनियम के ताले में अपग्रेड करने जैसा है, जिसे सुपर-टूल भी नहीं तोड़ सकता।

सारांश उपमा (Summary Analogy)

एक विशाल पुस्तकालय (एन्क्रिप्टेड डेटा) की कल्पना करें।

पुरानी प्रणाली: लोगों को अंदर आने देने के लिए, आपको हर व्यक्ति के लिए एक अनूठा, विशाल नक्शा छापना पड़ता था जिसमें दिखाया जाता था कि उन्हें कहाँ चलना है। जितने अधिक लोग होते, आपको उतने ही अधिक कागज की आवश्यकता होती।
इस पेपर की प्रणाली: आप सभी को एक छोटा, मानक आईडी कार्ड देते हैं। पुस्तकालय के दरवाजे पर एक स्मार्ट स्कैनर लगा है। स्कैनर आईडी कार्ड को पढ़ता है और एक छोटे, जादुई "नियम पुस्तिका" (constant-size ciphertext) की जांच करता है।
- यदि आपका आईडी नियमों से मेल खाता है (जैसे, "लाइब्रेरियन होना चाहिए AND रेड बैज होना चाहिए"), तो दरवाजा खुल जाता है।
- दरवाजे का स्कैनर और नियम पुस्तिका का आकार वही रहता है, भले ही पुस्तकालय में लाखों नई किताबें या लाखों नए आगंतुक जुड़ जाएं।

संक्षेप में: लेखकों ने इस तरह से गुप्त संदेश भेजने का एक तरीका बनाया है जहाँ संदेश का आकार कभी नहीं बढ़ता, चाबियाँ छोटी रहती हैं, और पूरा सिस्टम भविष्य के क्वांटम कंप्यूटरों से सुरक्षित है।

यहाँ शोध पत्र "Ciphertext-Policy ABE for NC1 Circuits with Constant-Size Ciphertexts from Succinct LWE" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र जटिल एक्सेस पॉलिसियों (विशेष रूप से NC1 सर्किट्स) के लिए कुशल साइफरटेक्स्ट-पॉलिसी एट्रिब्यूट-बेस्ड एन्क्रिप्शन (CP-ABE) स्कीम्स बनाने की चुनौती को संबोधित करता है, जबकि साइफरटेक्स्ट के आकार को न्यूनतम रखता है।

संदर्भ: CP-ABE में, एक साइफरटेक्स्ट को एक एक्सेस पॉलिसी $f$ के तहत एन्क्रिप्ट किया जाता है, और एक उपयोगकर्ता केवल तभी डिक्रिप्ट कर सकता है जब उनके एट्रिब्यूट्स $x$ द्वारा $f(x) = 0$ (या कन्वेंशन के आधार पर 1) संतुष्ट हो।
बाधा (The Bottleneck): मौजूदा लैटिस-आधारित CP-ABE स्कीम्स अक्सर ऐसे साइफरटेक्स्ट साइज से ग्रस्त होती हैं जो एक्सेस पॉलिसी की जटिलता (जैसे कि सर्किट की गहराई $d$ या आकार $s$ ) के साथ रैखिक रूप से (linearly) बढ़ते हैं। यह ब्रॉडकास्ट एन्क्रिप्शन जैसे बड़े पैमाने के अनुप्रयोगों के लिए, जहाँ उपयोगकर्ताओं की संख्या $N$ बहुत अधिक होती है, इन्हें अव्यवहारिक बनाता है।
लक्ष्य: एक ऐसा CP-ABE स्कीम बनाना जहाँ साइफरटेक्स्ट का आकार स्थिर (constant) हो (सर्किट की गहराई $d$ और आकार $s$ से स्वतंत्र), जबकि मानक लैटिस धारणाओं (lattice assumptions) पर आधारित सुरक्षा बनी रहे जो क्वांटम हमलों के प्रति प्रतिरोधी हो।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक नवीन निर्माण प्रस्तावित करते हैं जो लीनियर सीक्रेट शेयरिंग स्कीम्स (LSSS), मैट्रिक्स कमिटमेंट्स (Matrix Commitments), और सक्सिन्ट LWE (Succinct LWE) धारणा को जोड़ता है।

A. मुख्य धारणा: सक्सिन्ट LWE (Core Assumption: Succinct LWE)

इसकी सुरक्षा $\ell$ -succinct LWE धारणा (वी, CRYPTO 2024 द्वारा पेश की गई) पर आधारित है।

मानक LWE के विपरीत, इस धारणा में एक "सक्सिन्ट" संरचना शामिल है जहाँ एक ट्रैपडोर $T$ , $[I_\ell \otimes B \mid W]$ के रूप में एक मैट्रिक्स के लिए शॉर्ट प्री-इमेज सैंपलिंग की अनुमति देता है, जहाँ $W$ सांख्यिकीय रूप से यूनिफॉर्म के करीब है।
यह योजना को बड़े आयामों ( $\ell$ ) को संभालने की अनुमति देता है बिना सार्वजनिक मापदंडों (public parameters) या साइफरटेक्स्ट के $\ell$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ने के।

B. तकनीकी नवाचार (Technical Innovations)

संपीड़न के लिए मैट्रिक्स कमिटमेंट (Matrix Commitment for Compression):
- लेखक मैट्रिक्स कमिटमेंट स्कीम (वी 2025 से) को अनुकूलित करते हैं। एक्सेस स्ट्रक्चर को दर्शाने वाली एक बड़ी मैट्रिक्स के तहत संदेश को एन्क्रिप्ट करने के बजाय, वे एक छोटी कमिटमेंट मैट्रिक्स $C$ का उपयोग करके मैट्रिक्स $U$ (जो पॉलिसी और पब्लिक पैरामीटर्स से प्राप्त होता है) के लिए कमिट करते हैं।
- साइफरटेक्स्ट में केवल कमिटमेंट $C$ और कुछ LWE सैंपल्स होते हैं, न कि पूरी मैट्रिक्स के घटक।
DKW21 स्कीम का संशोधन (Modification of the DKW21 Scheme):
- यह निर्माण दत्ता, कुरोसावा और वी (DKW21) के CP-ABE स्कीम पर आधारित है, जो LSSS-आधारित पॉलिसियों का समर्थन करता है।
- मुख्य परिवर्तन: DKW21 में, साइफरटेक्स्ट का आकार LSSS मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या ( $\ell$ ) के साथ बढ़ता है। लेखक स्पष्ट मैट्रिसेस $\{A_u\}$ और वेक्टर्स $\{v_j\}$ को एक एकल कमिटमेंट मैट्रिक्स $C$ और एक एकल मैट्रिक्स $B$ से बदल देते हैं।
- एन्क्रिप्शन: साइफरटेक्स्ट तीन घटकों से बना है:
  - $c_1 \approx s^\top B$ (मानक LWE सैंपल)।
  - $c_2 \approx s^\top (A + C)$ (संपीड़ित पॉलिसी जानकारी)।
  - $c_3 \approx s^\top y + \text{msg}$ (संदेश एनकोडिंग)।
- यहाँ, $C$ मैट्रिक्स $U$ का कमिटमेंट है जिसे पॉलिसी $M$ और एट्रिब्यूट्स से बनाया गया है।
डिक्रिप्शन तंत्र (Decryption Mechanism):
- डिक्रिप्ट करने के लिए, उपयोगकर्ता अपने सीक्रेट की (जो एट्रिब्यूट्स से जुड़ी है) और कमिटमेंट की वेरिफिकेशन मैट्रिक्स $V$ का उपयोग करता है।
- वे $c_2 V + c_1 Z$ (जहाँ $Z$ कमिटमेंट का ओपनिंग है) की गणना करते हैं ताकि विशिष्ट एट्रिब्यूट्स के अनुरूप अंतर्निहित LWE सैंपल्स को रिकवर किया जा सके, जो प्रभावी रूप से पूरी पॉलिसी को प्रकट किए बिना पॉलिसी के प्रासंगिक हिस्सों के लिए कमिटमेंट को "ओपन" करता है।
- इसके बाद संदेश को रिकवर करने के लिए LSSS के रिकंस्ट्रक्शन कोएफिशिएंट्स लागू किए जाते हैं।
सुरक्षा प्रमाण रणनीति (Security Proof Strategy - Hybrid Games):
- प्रमाण वास्तविक स्कीम से रैंडम स्कीम तक संक्रमण करने के लिए हाइब्रिड गेम्स के एक अनुक्रम का उपयोग करता है।
- मुख्य चुनौती: मास्टर ट्रैपडोर का उपयोग किए बिना अनधिकृत एट्रिब्यूट सेट्स के लिए सीक्रेट की जेनरेट करना (जो LWE धारणा को तोड़ देगा)।
- समाधान: लेखक सक्सिन्ट LWE धारणा से ट्रैपडोर $T$ का उपयोग करके ऑन-द-फ्लाई $[I \otimes B \mid W']$ के रूप में मैट्रिसेस के लिए नए ट्रैपडोर जेनरेट करते हैं। यह सिम्युलेटर को LWE सैंपल्स में उपयोग किए गए सीक्रेट $s$ को जाने बिना अनधिकृत सेट्स के लिए सीक्रेट की क्वेरी का उत्तर देने की अनुमति देता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि साइफरटेक्स्ट रैंडम से अविभेद्य (indistinguishable) रहे।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

स्थिर-आकार के साइफरटेक्स्ट (Constant-Size Ciphertexts): यह स्कीम $O(1)$ साइफरटेक्स्ट आकार प्राप्त करती है (सर्किट की गहराई $d$ और आकार $s$ से स्वतंत्र), जो सुरक्षा पैरामीटर $\lambda$ में बहुपद कारकों (polynomial factors) तक एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम है।
NC1 सर्किट सपोर्ट (NC1 Circuit Support): यह NC1 सर्किट्स (लॉगारिदमिक गहराई और बहुपद आकार वाले सर्किट) द्वारा प्रतिनिधित्व की गई एक्सेस पॉलिसियों का समर्थन करता है, जो बूलियन फॉर्मूला और लॉजिक गेट्स के एक व्यापक वर्ग को कवर करता है।
पब्लिक पैरामीटर ऑप्टिमाइज़ेशन (Public Parameter Optimization): हालांकि पब्लिक की का आकार शुरू में सर्किट आकार $s$ के साथ बढ़ता है, लेखक नोट करते हैं कि नॉन-यूनिफॉर्म हिस्सा छोटा ( $poly(\lambda)$ ) है। बाकी हिस्से को एक साइडोरेन्डम जनरेटर (PRG) के माध्यम से जेनरेट किया जा सकता है, जो व्यावहारिक रूप से पब्लिक पैरामीटर्स को $O(1)$ तक संपीड़ित कर देता है।
इष्टतम ब्रॉडकास्ट एन्क्रिप्शन (Optimal Broadcast Encryption): एक प्रत्यक्ष अनुप्रयोग के रूप में, यह स्कीम $N$ $N$ उपयोगकर्ताओं के लिए एक ब्रॉडकास्ट एन्क्रिप्शन स्कीम प्रदान करती है जिसमें:
- साइफरटेक्स्ट का आकार: $poly(\lambda)$ ( $\log N$ से स्वतंत्र)।
- की (Key) का आकार: $poly(\lambda, \log N)$ ।
- इसे सक्सिन्ट LWE धारणा के तहत ब्रॉडकास्ट एन्क्रिप्शन के लिए इष्टतम माना जाता है।

4. परिणाम और पैरामीटर्स (Results and Parameters)

माना कि $\lambda$ सुरक्षा पैरामीटर है, $d$ सर्किट की गहराई है, $s$ सर्किट का आकार है, और $\ell$ इनपुट बिट लेंथ है।

**साइफरटेक्स्ट का आकार ($|ct| $):**$ O(1) $($ poly(\lambda) $को छुपाता है)।$ d, s, \ell$ से स्वतंत्र।
**पब्लिक की का आकार ($|pk| $):**$ O(s)$ (PRG के माध्यम से $O(1)$ तक संपीड़ित किया जा सकता है)।
**सीक्रेट की का आकार ($|sk| $):**$ O(\ell) $(एट्रिब्यूट्स की संख्या पर निर्भर करता है; यदि उपयोगकर्ताओं के पास स्थिर संख्या में एट्रिब्यूट्स हैं तो$ O(1)$ हो सकता है)।
सुरक्षा मॉडल: स्टैंडर्ड मॉडल में सिलेक्टिवली सिक्योर (Selectively secure)।
धारणा: $poly(\lambda)$ -succinct LWE पर आधारित, जिसमें सब-एक्सपोनेंशियल मॉड्यूलस-टू-नॉइज़ रेशियो है।

5. महत्व (Significance)

क्वांटम प्रतिरोध (Quantum Resistance): बाइनिलियर पेयरिंग्स के बजाय लैटिस-आधारित धारणाओं (LWE) पर भरोसा करके, इस स्कीम को क्वांटम हमलों के विरुद्ध सुरक्षित माना जाता है।
स्केलेबिलिटी (Scalability): स्थिर-आकार का साइफरटेक्स्ट बड़े पैमाने की प्रणालियों जैसे ब्रॉडकास्ट एन्क्रिप्शन और सुरक्षित डेटा शेयरिंग के लिए एक बड़ी सफलता है। पिछली स्कीम्स में साइफरटेस्ट का आकार उपयोगकर्ताओं की संख्या या पॉलिसी की जटिलता के साथ बढ़ता था, जिससे वे विशाल यूजर बेस के लिए अक्षम हो जाती थीं।
सैद्धांतिक प्रगति (Theoretical Advancement): यह कार्य जटिल एक्सेस स्ट्रक्चर के साथ न्यूनतम ओवरहेड के साथ कुशल क्रिप्टोग्राफिक प्रिमिटिव्स बनाने में सक्सिन्ट LWE और मैट्रिक्स कमिटमेंट्स की शक्ति को प्रदर्शित करता है। यह सैद्धांतिक सक्सिन्टनेस और व्यावहारिक CP-ABE निर्माण के बीच के अंतर को पाटता है, जो न्यूनतम ओवरहेड के साथ जटिल एक्सेस स्ट्रक्चर को संभालने के लिए एक नया प्रतिमान (paradigm) पेश करता है।
तुलना (Comparison): हाल के कार्यों (जैसे वी 2025) की तुलना में, यह स्कीम सर्किट की गहराई और इनपुट लंबाई से स्वतंत्र साइफरटेक्स्ट आकार प्रदान करती है, हालांकि यह सामान्य मामलों में थोड़े बड़े सीक्रेट की साइज के साथ समझौता करती है (हालांकि फिर भी कुशल है)।

संक्षेप में, यह शोध पत्र अत्यधिक कुशल फाइन-ग्रेंड एक्सेस कंट्रोल को सक्षम करके पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी में एक महत्वपूर्ण कदम प्रस्तुत करता है, जहाँ एन्क्रिप्टेड डेटा का आकार एक्सेस पॉलिसी की जटिलता के साथ नहीं बढ़ता है।