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The Structure of the Continuum Limit of Spin Foams

यह शोध पत्र स्पिन फोम आयामों (spin foam amplitudes) की निरंतरता सीमा (continuum limit) के लिए एक स्वयंसिद्ध ढांचे (axiomatic framework) को स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि जबकि प्रबल अभिसरण (strong convergence) अपरिहार्य रूप से एक टोपोलॉजिकल सिद्धांत की ओर ले जाता है, रिफाइंड अलब्रािक क्वांटाइजेशन (Refined Algebraic Quantisation) से प्रेरित एक वितरण संबंधी दृष्टिकोण (distributional approach) सफलतापूर्वक एक सुपरिभाषित भौतिक हिल्बर्ट स्थान (physical Hilbert space) प्रदान करता है और गुरुत्वाकर्षण पथ समाकल (gravitational path integral) की व्याख्या एक रिगिंग मानचित्र (rigging map) के रूप में करता है।

मूल लेखक: Matteo Bruno, Eugenia Colafranceschi, Fabio M. Mele, Carlo Rovelli

प्रकाशित 2026-03-19

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Matteo Bruno, Eugenia Colafranceschi, Fabio M. Mele, Carlo Rovelli

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, परिवर्तनशील परिदृश्य का एक आदर्श, अनंत-रिज़ॉल्यूशन वाला मानचित्र बनाने की कोशिश कर रहे हैं। यह क्वांटम ग्रेविटी (Quantum Gravity) की चुनौती है: यह वर्णन करने की कोशिश करना कि स्थान और समय का ताना-बाना कैसा दिखता है जब वह चिकना और निरंतर नहीं होता, बल्कि छोटे, अलग-अलग "पिक्सेल" या टुकड़ों से बना होता है।

आप जिस शोध पत्र के बारे में पूछ रहे हैं, वह एक सैद्धांतिक जांच है कि कैसे हम इन छोटे, पिक्सेलेटेड टुकड़ों (जिन्हें स्पिन फोम्स - Spin Foams कहा जाता है) को ले सकते हैं और यह पता लगा सकते हैं कि जब हम ज़ूम आउट करते हैं, तो एक चिकना, निरंतर ब्रह्मांड कैसा दिखता है।

यहाँ उनकी खोज की कहानी सरल शब्दों में दी गई है।

1. समस्या: "पिक्सेलेटेड" ब्रह्मांड

वर्तमान क्वांटम ग्रेविटी के सिद्धांतों को एक कम-रिज़ॉल्यूशन वाले वीडियो गेम की तरह समझें। दुनिया ब्लॉकों से बनी है। आप गणना कर सकते हैं कि चीजें एक ब्लॉक से दूसरे ब्लॉक में कैसे चलती हैं, लेकिन आप वास्तविक पहाड़ या बहती हुई नदी के चिकने वक्रों (curves) को नहीं देख सकते। वास्तविक चित्र पाने के लिए, आपको रिज़ॉल्यूशन को अनंत रूप से बढ़ाने की आवश्यकता है—ब्लॉकों को एक चिकनी सतह में बदलना होगा।

लेखकों ने पूछा: "यदि हम ब्लॉकों को छोटा और छोटा करते जाते हैं, तो खेल के नियम क्या होते हैं?"

2. पहला प्रयास: "स्थिर" जाल (The "Static" Trap)

शोधकर्ताओं ने पहले ज़ूम आउट करने का एक सरल तरीका आजमाया। उन्होंने अपने मानचित्र के किनारों (सीमा/boundary) को स्थिर रखा और बस अंदर अधिक ब्लॉक जोड़ दिए।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक कमरे की फोटो है। आप कमरे के अंदर अधिक पिक्सेल जोड़ते रहते हैं, लेकिन आप फोटो के फ्रेम को कभी नहीं बदलते।
परिणाम: उन्होंने पाया कि यदि आप ऐसा करते हैं, तो ब्रह्मांड टोपोलॉजिकल (Topological) हो जाता है।
इसका क्या अर्थ है? एक "टोपोलॉजिकल" ब्रह्मांड में, चीजों के बीच की दूरी मायने नहीं रखती, और समय एक नदी की तरह नहीं बहता। यह एक रबर की चादर की तरह है जिसे आप खींच और मरोड़ सकते हैं, लेकिन वास्तव में कुछ भी हिलता या बदलता नहीं है। यह एक स्थिर, जमे हुए संसार जैसा है।
बुरी खबर: हमारा वास्तविक ब्रह्मांड ऐसा नहीं है। चीजें चलती हैं, गुरुत्वाकर्षण खींचता है, और समय बहता है। इसलिए, ज़ूम आउट करने का यह सरल तरीका बहुत कमजोर था। इसने उस भौतिकी (physics) को खत्म कर दिया जिसकी हमें आवश्यकता है।

3. दूसरा प्रयास: "अनंत" दीवार (The "Infinite" Wall)

इसके बाद, उन्होंने एक स्मार्ट तरीका आजमाया। उन्होंने केवल अंदर ब्लॉक नहीं जोड़े; उन्होंने पूरे मानचित्र को, जिसमें किनारे भी शामिल थे, परिष्कृत (refine) किया। उन्होंने एक सीढ़ी की कल्पना की जहाँ प्रत्येक पायदान ब्रह्मांड का एक थोड़ा अधिक विस्तृत संस्करण है।

उपमा: एक ऐसी सीढ़ी की कल्पना करें जहाँ प्रत्येक पायदान उसी दृश्य की एक बेहतर, अधिक स्पष्ट फोटो है। आप सीढ़ी पर चढ़ते हैं, और एक "परफेक्ट" छवि के करीब पहुँचते हैं।
परिणाम: उन्होंने एक "नो-गो थ्योरम" (No-Go Theorem) को सिद्ध किया। यह एक फैंसी तरीका है यह कहने का कि: "यदि आप इस सीढ़ी पर चढ़कर परफेक्ट इमेज खोजने की कोशिश करेंगे, तो आप अभी भी उसी ठहरे हुए, टोपोलॉजिकल ब्रह्मांड में समाप्त होंगे जहाँ कुछ भी नहीं होता।"
क्यों? क्योंकि एक पूर्ण, चिकने ब्रह्मांड में, "पिक्सेल" इतने छोटे होते हैं कि यदि आप उत्तर को एक एकल, साफ संख्या (एक सामान्य वेक्टर) के रूप में जबरदस्ती फिट करने की कोशिश करते हैं, तो गणित टूट जाता है। ब्रह्मांड एक साफ बॉक्स में फिट होने के लिए बहुत अधिक अनियंत्रित है।

4. सफलता: "घोस्ट" समाधान (The "Ghost" Solution)

यहीं पर यह शोध पत्र वास्तव में चतुर हो जाता है। चूंकि "परफेक्ट इमेज" एक सामान्य, ठोस वस्तु के रूप में मौजूद नहीं है, इसलिए लेखक सुझाव देते हैं कि हमें इसे एक डिस्ट्रीब्यूशन (distribution) या एक घोस्ट (ghost) के रूप में देखना चाहिए।

उपमा: एक छाया (shadow) के बारे में सोचें। आप छाया को छू नहीं सकते, और इसका कोई द्रव्यमान नहीं होता, लेकिन यह आपको बताती है कि वस्तु कहाँ है। या एक संगीतमय कॉर्ड (chord) के बारे में सोचें। आप पूरे कॉर्ड का प्रतिनिधित्व करने वाले किसी एक "नोट" की ओर इशारा नहीं कर सकते, लेकिन कॉर्ड नोट्स के बीच एक संबंध के रूप में मौजूद होता है।
समाधान: ब्रह्मांड के एक ठोस "स्टेट" (state) को खोजने के बजाय, वे एक रिगिंग मैप (Rigging Map) की तलाश करते हैं।
- कल्पना कीजिए कि आपके पास कच्चे डेटा का एक ढेर (Kinematical states) है।
- "रिगिंग मैप" एक विशेष फिल्टर या छलनी की तरह है। यह उस बिखरे हुए ढेर को लेता है और केवल उन हिस्सों को छानता है जो भौतिकी के नियमों का पालन करते हैं (Physical states)।
- परिणाम एक ठोस वस्तु नहीं है जिसे आप पकड़ सकें; यह एक डिस्ट्रीब्यूशन है। यह एक गणितीय "आकार" है जो आपको बताता है कि विभिन्न भौतिक परिदृश्य कितने संभावित हैं, भले ही वे पारंपरिक अर्थों में "वास्तविक" न हों।

5. नया जोड़ने का नियम: "कन्वोल्यूशन" (The "Convolution")

पुराने, सरल सिद्धांतों (Topological Quantum Field Theories) में, यदि आप पहेली के दो टुकड़ों को जोड़ना चाहते थे, तो आप उन्हें लेगो ब्रिक्स की तरह पूरी तरह से जोड़ देते थे।

लेकिन इस नए, वास्तविक क्वांटम ग्रेविटी में, टुकड़े पूरी तरह से फिट नहीं होते क्योंकि वे "धुंधले" (fuzzy) होते हैं।

उपमा: लेगो ब्रिक्स को आपस में जोड़ने के बजाय, दो बादलों को मिलाने की कल्पना करें। आप उन्हें केवल जोड़ नहीं सकते; आपको उन्हें मिलाना (blend) होगा। आपको यह देखना होगा कि एक बादल में पानी की बूंदें दूसरे के साथ कैसे मिल सकती हैं।
परिणाम: लेखक "कन्वोल्यूशन" (Convolution) नामक एक नया नियम प्रस्तावित करते हैं। यह इन धुंधले बादलों को मिलाने के लिए एक गणितीय रेसिपी की तरह है। यह ब्रह्मांड को स्थानीय डिग्री ऑफ फ्रीडम (चीजें जो चलती और बदलती हैं) रखने की अनुमति देता है, बिना गणित को तोड़े।

मुख्य निष्कर्ष

यह शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि क्वांटम ग्रेविटी का "कंटीनम लिमिट" (smooth universe जो हम देखते हैं) परफेक्ट, ठोस अवस्थाओं का संग्रह नहीं है।

इसके बजाय, यह एक डिस्ट्रिब्यूशनल स्ट्रक्चर (distributional structure) है।

सिलेंडर (समय): समय का प्रवाह एक फिल्टर (Rigging Map) की तरह कार्य करता है जो हमारे कच्चे, अव्यवस्थित संभावित अवस्थाओं को उस भौतिक वास्तविकता में बदल देता है जिसे हम अनुभव करते हैं।
एम्प्लीट्यूड (Amplitudes): ब्रह्मांड कैसे विकसित होता है, इसके "उत्तर" वे संख्याएँ नहीं हैं जिन्हें आप कागज के टुकड़े पर लिख सकते हैं; वे डिस्ट्रीब्यूशंस (जैसे छाया या कॉर्ड) हैं जो केवल तभी समझ में आते हैं जब आप देखते हैं कि वे भौतिक दुनिया के साथ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं।

संक्षेप में: लेखकों ने एक गणितीय ढांचा बनाया है जो दिखाता है कि क्वांटम ग्रेविटी से एक वास्तविक, गतिशील ब्रह्मांड प्राप्त करने के लिए, हमें "परफेक्ट चित्रों" की तलाश करना बंद करना होगा और "गणितीय छायाओं" की तलाश शुरू करनी होगी जो भौतिकी को निर्देशित करती हैं। यह एक ठोस मूर्ति बनाने की कोशिश करने के बजाय एक नदी के प्रवाह को समझने की ओर एक बदलाव है।

यहाँ मॅटेओ ब्रूनो, यूजीनिया कोलाफ्रांचेस्की, फैबियो एम. मेले, और कार्लो रोवेली के शोध पत्र "The Structure of the Continuum Limit of Spin Foams" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण (Problem Statement)

स्पिन फोम दृष्टिकोण (Spin Foam approach) क्वांटम ग्रेविटी के लिए एक कोवेरियंट पाथ-इंटीग्रल सूत्रीकरण प्रदान करने का लक्ष्य रखता है, जो लूप क्वांटम ग्रेविटी (LQG) से संबंधित है। हालाँकि, स्पिन फोम एम्प्लीट्यूड (amplitudes) डिस्क्रीट स्पेसटाइम संरचनाओं (विशेष रूप से, त्रिकोणीयकरण या 2-complexes) पर परिभाषित होते हैं। एक केंद्रीय खुला प्रश्न इन डिस्क्रीट एम्प्लीट्यूड के कंटीन्यूम लिमिट (continuum limit) को समझना है।

लेखक दो परस्पर जुड़े हुए प्रश्नों को संबोधित करते हैं:

जब ट्रांज़िशन एम्प्लीट्यूड के माध्यम से सूत्रित किया जाता है, तो क्वांटम ग्रेविटी की गैर-परतत्व (non-perturbative) संरचना क्या होती है?
इन डिस्क्रीट सन्निकटन (approximations) के लिमिट को लेने का गणितीय अर्थ क्या है?

चुनौती यह है कि एक सहज (naive) कंटीन्यूम लिमिट अक्सर एक टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी (TQFT) की ओर ले जाता है, जिसमें स्थानीय प्रसारित होने वाले डिग्री ऑफ फ्रीडम (local propagating degrees of freedom) का अभाव होता है (जो $d > 3$ में गुरुत्वाकर्षण के लिए आवश्यक है), या यह पूरी तरह से अभिसरण (converge) करने में विफल रहता है। यह शोध पत्र एक कठोर कंटीन्यूम लिमिट को परिभाषित करने का प्रयास करता है जो भौतिक हिल्बर्ट स्पेस (physical Hilbert space) को पुनः प्राप्त करता है और बिना TQFT के जाल में फंसे स्थानीय गतिकी (local dynamics) की अनुमति देता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक मॉडल-स्वतंत्र अक्षिोंमेटिक ढांचे (model-independent axiomatic framework) का उपयोग करते हैं, जो एटिए (Atiyah) द्वारा TQFTs के सूत्रीकरण से प्रेरित है, लेकिन क्वांटम ग्रेविटी के विशिष्ट प्रतिबंधों के अनुकूल बनाया गया है।

अक्सियोमैटिक सेटअप (Axiomatic Setup): वे एक स्पिन फोम मॉडल को बाउंड्री त्रिकोणीयकरण (boundary triangulations) को हिल्बर्ट स्पेस असाइन करने वाले मानचित्र और बल्क त्रिकोणीयकरण को वेक्टर्स (एम्प्लीट्यूड) असा करने वाले मानचित्र के रूप में परिभाषित करते हैं, जो इन्वोल्यूशन (Involution), फैक्टराइजेशन (Factorisation), और ग्लूइंग (Gluing) जैसे सिद्धांतों का पालन करते हैं। महत्वपूर्ण रूप से, वे डिस्क्रीट स्तर पर Identity axiom को बाहर कर देते हैं, क्योंकि एक सिलेंडर का कोई भी त्रिकोणीयकरण किनेमैटिकल हिल्बर्ट स्पेस पर आइडेंटिटी के रूप में कार्य नहीं करता है।
लिमिट प्रक्रियाएं (Limit Procedures): वे त्रिकोणीयकरणों के निर्देशित सेटों (directed sets) पर नेट्स (nets) (सामान्यीकृत अनुक्रम) की गणितीय अवधारणा का उपयोग करके विभिन्न प्रकार के "रिफाइनमेंट" (जैसे- त्रिकोणीयकरण को सूक्ष्म बनाना) की जांच करते हैं।
- Weak Order: बल्क को परिष्कृत (refine) करना जबकि बाउंड्री त्रिकोणीयकरण को स्थिर रखना।
- Strong Order (Refinement): स्टेलर सबडिवीजन (stellar subdivisions/Alexander moves) के माध्यम से बल्क और बाउंड्री दोनों को परिष्कृत करना।
अभिसरण स्थान (Convergence Spaces): वे तीन अलग-अलग स्थानों में अभिसरण का विश्लेषण करते हैं:
1. बाउंड्री हिल्बर्ट स्पेस ( $H_\delta$ )।
2. बाउंड्री डिस्क्रीटाइजेशन में परिवर्तन को संभालने के लिए निर्मित बाउंड्री हिल्बर्ट स्पेस का इंडक्टिव लिमिट ( $H^{\text{ind}}_\Sigma$ )।
3. एक जेलफ ट्रिपल ( $D_\Sigma \subset H^{\text{ind}}_\Sigma \subset D'_\Sigma$ ) का उपयोग करते हुए एक सघन डोमेन $D_\Sigma \subset H^{\text{ind}}_\Sigma$ का एल्जेब्रिक ड्यूअल ( $D'_\Sigma$ )।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. स्ट्रॉन्ग कन्वर्जेंस के लिए "नो-गो" प्रमेय (The "No-Go" Theorem for Strong Convergence)

लेखक एक महत्वपूर्ण नो-गो थ्योरम (Theorem 5.1) सिद्ध करते हैं:

यदि हम यह मानते हैं कि स्पिन फोम एम्प्लीट्यूड का नेट, रिफाइनमेंट ऑर्डर के तहत जो बाउंड्री को संशोधित करता है, इंडक्टिव हिल्बर्ट स्पेस ( $H^{\text{ind}}_\Sigma$ ) के भीतर एक तत्व की ओर अभिसरित होता है, तो परिणामी कंटीन्यूम थ्योरी अनिवार्य रूप से एक टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी (TQFT) होगी।
निहितार्थ: एक सिद्धांत जो 4D क्वांटम ग्रेविटी का वर्णन करता है (जिसमें स्थानीय डिग्री ऑफ फ्रीडम होनी चाहिए), उसके एम्प्लीट्यूड इंडक्टिव हिल्बर्ट स्पेस में नॉर्मलाइज़ेबल अवस्थाओं की ओर अभिसरित नहीं हो सकते। स्ट्रॉन्ग कन्वर्जेंस सिद्धांत को टोपोलॉजिकल बना देता है (जैसे 3D में पोंज़ानो-रेगे मॉडल)।

B. डिस्ट्रीब्यूशनल कंटीन्यूम लिमिट और रिगिंग मैप (Distributional Continuum Limit and Rigging Map)

नो-गो थ्योरम से बचने के लिए, लेखक अभिसरण के एक कमजोर विचार का प्रस्ताव करते हैं: डिस्ट्रीब्यूशनल कन्वर्जेंस (distributional convergence)।

वे यह मानते हैं कि एम्प्लीट्यूड हिल्बर्ट स्पेस में नहीं, बल्कि एक सघन डोमेन $D_\Sigma \subset H^{\text{ind}}_\Sigma$ के एल्जेब्रिक ड्यूल $D'_\Sigma$ में अभिसरित होते हैं।
द रिगिंग मैप (The Rigging Map): इस धारणा के तहत, सिलेंडर ( $\Sigma \times I$ $Σ \times I$ ) से जुड़ा एम्प्लीट्यूड एक रिगिंग मैप $\eta: D_\Sigma \to D'_\Sigma$ $η : D_{Σ} \to D_{Σ}^{'}$ को परिभाषित करता है (Theorem 5.2)।
- यह मानचित्र एंटी-लीनियरिटी (anti-linearity), रियलिटी (reality), और पॉजिटिव सेमी-डेफिनेटनेस (positive semi-definiteness) का पालन करता है।
- यह हैमिल्टोनियन बाधा (Hamiltonian constraint) के कर्नेल पर एक सामान्यीकृत प्रोजेक्टर के रूप में कार्य करता है, जो रिफाइंड एल्जेब्रिक क्वांटाइजेशन (RAQ) प्रक्रिया को लागू करता है।

C. फिजिकल हिल्बर्ट स्पेस का निर्माण (Construction of the Physical Hilbert Space)

रिगिंग मैप का उपयोग करते हुए, लेखक फिजिकल हिल्बर्ट स्पेस ( $H^{\text{phys}}_\Sigma$ ) का निर्माण करते हैं:

$H^{\text{phys}}_\Sigma$ को रिगिंग मैप द्वारा प्रेरित आंतरिक उत्पाद (inner product) के सापेक्ष $D_\Sigma / \ker(\eta)$ के पूर्णता (completion) के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह स्थान विशिष्ट त्रिकोणीयकरण से स्वतंत्र है और डिफ़ॉर्मेशन-इनवेरिएंट (diffeomorphism-invariant) भौतिक अवस्थाओं के स्थान का प्रतिनिधित्व करता है।

D. ग्लूइंग और कन्वोल्यूशन (Gluing and Convolution)

मानक TQFT से एक बड़ा विचलन ग्लूइंग (gluing) का उपचार है:

TQFT में, ग्लूइंग एक आंतरिक उत्पाद (रैखिक मानचित्रों का संयोजन) है।
इस कंटीन्यूम स्पिन फोम ढांचे में, एम्प्लीट्यूड $Z(M)$ , $H^{\text{phys}}_\Sigma$ पर डिस्ट्रीब्यूशन (रैखिक फलन) हैं, न कि हिल्बर्ट स्पेस के तत्व।
फलस्वरूप, ग्लूइंग गुण को एक कन्वोल्यूशन गुण (Conjecture 6.5) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एक ग्लू किए गए मैनिफोल्ड $M \cup_\Sigma N$ का एम्प्लीट्यूड रिगिंग मैप (प्रोपगेटर) द्वारा भारित मध्यवर्ती अवस्थाओं पर योग करके प्राप्त किया जाता है, न कि एक साधारण आंतरिक उत्पाद द्वारा।
यह संरचना स्थानीय डिग्री ऑफ फ्रीडम के अस्तित्व की अनुमति देती है, जो इसे एक टोपोलॉजिकल सिद्धांत से अलग करती है।

4. महत्व (Significance)

कंटीन्यूम समस्या का समाधान: यह शोध पत्र एक TQFT जाल में फंसे बिना स्पिन फोम के कंटीन्यूम लिमिट को परिभाषित करने के लिए एक गणितीय रूप से कठोर मार्ग प्रदान करता है। यह स्पष्ट करता है कि क्वांटम ग्रेविटी के भौतिक अवस्थाएं डिस्ट्रीब्यूशन हैं, न कि किनेमैटिकल हिल्बर्ट स्पेस में नॉर्मलाइज़ेबल वेक्टर्स।
RAQ के साथ संबंध: यह कॉवेरियंट (स्पिन फोम) और कैनोनिकल (LQG) दृष्टिकोणों को औपचारिक रूप से जोड़ता है, यह दिखाते हुए कि सिलेंडर एम्प्लीट्यूड स्वाभाविक रूप से RAQ में आवश्यक रिगिंग मैप को लागू करता है जो हैमिल्टोनियन बाधा को हल करता है।
संरचनात्मक अंतर्दृष्टि: यह स्थापित करता है कि गुरुत्वाकर्षण के "भौतिक" स्वरूप की विशेषता इसके एम्प्लीट्यूड की डिस्ट्रीब्यूशनल प्रकृति है। कंटीन्यूम लिमिट वेक्टर्स का लिमिट नहीं है, बल्कि फंकशनल्स (functionals) का लिमिट है।
TQFT का सामान्यीकरण: यह कार्य एटिए के अक्सिओम्स का सामान्यीकरण करता है। जहाँ TQFTs हिल्बर्ट स्पेस और रैखिक मानचित्र असाइन करते हैं, वहीं कंटीन्यूम स्पिन फोम्स हिल्बर्ट स्पेस और डिस्ट्रीब्यूशन असाइन करते हैं, जिसमें ग्लूइंग को कन्वोल्यूशन के माध्यम से साकार किया जाता है। यह ढांचा किसी भी $d > 3$ आयाम के लिए लागू है जहाँ गुरुत्वाकर्षण गैर-टोपोलॉजिकल है।

कंटीन्यूम संरचना का सारांश (Summary of the Continuum Structure)

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि एक स्पिन फोम मॉडल का कंटीन्यूम लिमिट निम्नलिखित असाइन करता है:

एक बंद $(d-1)$ -मैनिफोल्ड $\Sigma$ के लिए: एक हिल्बर्ट स्पेस $H_\Sigma$ (फिजिकल हिल्बर्ट स्पेस)।
एक $d$ -मैनिफोल्ड $M$ के लिए: $H_{\partial M}$ पर एक डेंसली डिफाइंड फंकशनल $Z(M)$ ।
ग्लूइंग: एक कन्वोल्यूशन नियम जिसमें रिगिंग मैप शामिल है, न कि एक मानक आंतरिक उत्पाद।

यह सूत्रीकरण गुरुत्वाकर्षण पाथ इंटीग्रल को भौतिक अवस्थाओं पर कार्य करने वाले एक सुपरिभाषित डिस्ट्रीब्यूशनल ऑब्जेक्ट के रूप में वर्णित करता है, जो क्वांटम ग्रेविटी की गैर-परतत्व गतिकी के लिए एक सटीक गणितीय आधार प्रदान करता है।