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Growing Alphabets Do Not Automatically Amplify Shuffle Privacy: Obstruction, Estimation Bounds, and Optimal Mechanism Design

यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि बढ़ते हुए वर्णमाला (alphabets) स्वाभाविक रूप से शफल प्राइवेसी (shuffle privacy) में सुधार नहीं करते हैं, क्योंकि यह एक तीक्ष्ण सार्वभौमिक सीमा (sharp universal bound) को सिद्ध करता है और बाधा परिवारों (obstruction families) की पहचान करता है, और साथ ही एक "ऑगमेंटेड GRR" के रूप में इष्टतम आवृत्ति अनुमान तंत्र (optimal frequency estimation mechanism) को अभिलक्षित करता है जो एक अद्वितीय थिनिंग सिद्धांत (thinning principle) का उपयोग करता है जो लोकल डिफरेंशियल प्राइवेसी (local differential privacy) में अनुपस्थित है।

मूल लेखक: Alex Shvets

प्रकाशित 2026-03-20

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Alex Shvets

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, गुप्त सर्वेक्षण के आयोजक हैं। आपके पास n लोग (उपयोगकर्ता) हैं जो एक प्रश्न का उत्तर देना चाहते हैं, लेकिन वे गोपनीयता को लेकर चिंतित हैं। वे नहीं चाहते कि कोई ठीक से जान सके कि उन्होंने क्या कहा है, लेकिन वे चाहते हैं कि आप समूह का सामान्य रुझान जान सकें।

यह शोध पत्र इस डेटा को एकत्र करने के एक विशिष्ट तरीके के बारे में है जिसे शफल मॉडल (Shuffle Model) कहा जाता है।

सेटअप: द "ब्लाइंडफोल्डेड मैसेंजर" गेम (आंखों पर पट्टी बांधे हुए संदेशवाहक का खेल)

लोकल रैंडमाइज़र (स्थानीय यादृच्छिक बनाने वाला): प्रत्येक व्यक्ति अपना उत्तर एक कागज पर लिखता है, उसे एक डिब्बे में रखता है, और उसमें कुछ नकली "शोर" (रैंडम उत्तर) मिलाकर उसे हिलाता है ताकि यदि कोई उनका विशिष्ट डिब्बा चुरा भी ले, तो वे शत-प्रतिशत यकीन से न कह सके कि असली उत्तर क्या था।
द शफ़लर (मिक्सर): सभी डिब्बों को एकत्र किया जाता है और एक विशाल, अपारदर्शी मिक्सर में डाल दिया जाता है। मिक्सर उन्हें इतनी अच्छी तरह से मिला देता है कि कोई नहीं जानता कि कौन सा कागज किस व्यक्ति का था।
द एनालाइज़र (विश्लेषक): मिक्सर कागजों का ढेर बाहर निकाल देता है। विश्लेषक बस ढेर में मौजूद प्रत्येक उत्तर की गिनती करता है।

बड़ा सवाल: क्या संभावित उत्तरों की सूची (अल्फाबेट) को बड़ा करने से सिस्टम स्वाभाविक रूप से अधिक निजी बनता है?

उदाहरण के लिए, यदि आप पूछते हैं "आपका पसंदीदा रंग क्या है?" (26 विकल्प) बनाम "आपका पसंदीदा नंबर क्या है?" (1,000,000 विकल्प), तो क्या विकल्पों की विशाल संख्या यह जानने में कठिन बना देती है कि किसने क्या कहा था?

मुख्य खोज: "बड़ा होना हमेशा बेहतर नहीं होता"

शोध पत्र का शीर्षक कहता है: "बढ़ते अल्फाबेट स्वाभाविक रूप से शफल प्राइवेसी को नहीं बढ़ाते।"

यहाँ वह सरल सत्य है जो लेखकों ने पाया:

पुरानी धारणा: "यदि मैं लोगों को विकल्पों का एक विशाल मेनू देता हूँ (जैसे 10 लाख रंग), और वे थोड़ा झूठ बोलते हैं, तो शफ़लर उन्हें इतनी अच्छी तरह से छिपा देगा कि गोपनीयता पूर्ण होगी।"
वास्तविकता: जरूरी नहीं कि ऐसा हो। लेखकों ने एक विशिष्ट "ट्रैप" (बाधा परिवार/obstruction family) बनाया। उन्होंने दिखाया कि आप एक ऐसा सिस्टम बना सकते हैं जिसमें दस लाख विकल्प हों, फिर भी गोपनीयता बिल्कुल वैसी ही होगी जैसी केवल दो विकल्पों (जैसे "हाँ/नहीं") के मामले में होती है।

उपमा (Analogy):
कल्पना कीजिए कि आप एक जार में लाल मार्बल छिपाने की कोशिश कर रहे हैं।

परिदृश्य A: आपके पास 10 मार्बल का एक जार है (1 लाल, 9 नीले)। आप इसे हिलाते हैं। यह अनुमान लगाना कठिन है कि लाल वाला कौन सा है।
परिदृश्य B: आपके पास 1,000,000 मार्बल का एक जार है। लेकिन, आपने लाल मार्बल को एक विशिष्ट, अनुमानित स्थान पर रखा है, और बाकी सभी नीले हैं। भले ही जार बहुत बड़ा है, लेकिन लाल मार्बल का "पैटर्न" इतना स्पष्ट है कि शफ़लर उसे छिपाने में आपकी मदद उतना ही करेगा जितना परिदृश्य A में कर रहा था।

पेपर यह सिद्ध करता है कि आकार मायने नहीं रखता; पैटर्न मायने रखता है। यदि झूठ बोलने का तरीका एक विशिष्ट "बुरे पैटर्न" का पालन करता है, तो अधिक विकल्प जोड़ने से कुछ भी नहीं बदलता।

"थिनिंग" (Thinning) सिद्धांत: असली गुप्त नुस्खा

यदि केवल अधिक विकल्प जोड़ना काम नहीं करता है, तो हम सबसे अच्छा सिस्टम कैसे डिज़ाइन करें?

लेखकों ने एक चतुर ट्रिक खोजा जिसे "थिनिंग" (Thinning) कहा जाता है।

कल्पना कीजिए कि आप सर्वेक्षण का उत्तर देने वाले व्यक्ति हैं। अपने "शोर" (अपने झूठ) को सभी संभावित उत्तरों में समान रूप से फैलाने के बजाय, आपको अपना "सिग्नल" केंद्रित करना चाहिए।

पुराना तरीका (GRR): आपके पास सच बोलने की 1% संभावना है, और 99% संभावना है कि आप पूरे मेनू से एक रैंडम झूठ चुनेंगे। आप अपने "सिग्नल" को बहुत पतला फैला देते हैं।
नया तरीका (Augmented GRR): आप एक सिक्का उछालते हैं।
- हेड्स (50% संभावना): आप आक्रामक रूप से कार्य करते हैं। आप सच बोलते हैं या विकल्पों के एक छोटे, गुप्त उपसमूह (subset) से एक बहुत ही विशिष्ट झूठ बोलते हैं। आप शोर मचाते हैं और स्पष्ट होते हैं, लेकिन केवल एक छोटे समूह के लिए।
- टेल्स (50% संभावना): आप कुछ नहीं कहते (या एक "नल" सिंबल कहते हैं)। आप पूरी तरह से शांत रहते हैं।

यह क्यों काम करता है:
कुछ लोगों के शांत रहने और दूसरों के एक छोटे, रैंडम समूह के भीतर "तेज" होने से, शफ़लर एक बहुत बेहतर छलावरण (disguise) बनाता है। यह एक जासूसी नेटवर्क की तरह है: हर जासूस द्वारा सभी को एक कमजोर, भ्रमित करने वाला संदेश भेजने के बजाय, आधे जासूस घर पर ही रहते हैं, और बाकी आधे एक छोटे, भरोसेमंद समूह को मजबूत, स्पष्ट संदेश भेजते हैं। शफ़लर इन सबको मिला देता है, और परिणाम को क्रैक करना बहुत कठिन हो जाता है।

यह "थिनिंग" सिद्धांत शफल मॉडल के लिए अद्वितीय है। अन्य गोपनीयता मॉडलों में, आप केवल लोगों को चुप नहीं रख सकते; आपको उन्हें कुछ न कुछ कहने के लिए मजबूर करना पड़ता है।

"ऑब्स्ट्रक्शन" (बाधा) बनाम "समाधान"

यह पेपर इन सिस्टमों को दो प्रकारों में विभाजित करता है:

द ऑब्स्ट्रक्शन (द पर्सिस्टेंट टाइप - बाधा/स्थिर प्रकार): ये वे सिस्टम हैं जहाँ गोपनीयता निम्न स्तर पर ही अटकी रहती है, चाहे आप कितने भी विकल्प जोड़ दें। झूठ का "पैटरल" बहुत मजबूत है। यह एक अंधेरे कमरे में चमकीले नियॉन साइन को केवल कमरे को बड़ा करके छिपाने की कोशिश करने जैसा है; साइन अभी भी सबसे चमकदार चीज़ है।
द डाइल्यूटिंग (द गुड टाइप - पतला करने वाला/अच्छा प्रकार): ये वे सिस्टम हैं जहाँ अधिक विकल्प जोड़ने से मदद मिलती है, क्योंकि जैसे-जैसे मेनू बढ़ता है, झूठ का "पैटर्न" कमजोर होता जाता है।

डिजाइनरों के लिए निचोड़

यदि आप एक गोपनीयता प्रणाली बना रहे हैं:

मुफ्त गोपनीयता की उम्मीद में केवल अधिक विकल्प न जोड़ें। आप शायद एक "ऑब्स्ट्रक्शन" बना रहे हैं जहाँ गोपनीयता वैसी ही रहेगी।
"थिनिंग" रणनीति का उपयोग करें। अपने शोर को हर जगह न फैलाएं। कुछ उपयोगकर्ताओं को शांत रहने दें और अन्य लोगों को एक छोटे, रैंडम समूह के भीतर अपना "सच बोलना" केंद्रित करने दें।
"Augmented GRR" विजेता है। लेखकों ने सिद्ध किया कि यह विशिष्ट "शांत बनाम आक्रामक" मिश्रण, विशेष रूप से जब आपका बजट सीमित हो, डेटा को सबसे सटीक प्राप्त करने और गोपनीयता जोखिम को कम करने का गणितीय रूप से सबसे उत्तम तरीका है।

एक वाक्य में सारांश

केवल अपने विकल्पों की सूची को बड़ा करना आपको सुरक्षित नहीं बनाता है; गोपनीयता का रहस्य यह है कि कुछ लोग शांत रहें जबकि अन्य एक छोटे, रैंडम समूह को जोर से बोलकर सूचित करें, यह एक ऐसी चाल है जो केवल "शफल" मॉडल में काम करती है।

यहाँ एलेक्स श्वेट्स के शोध पत्र "Growing Alphabets Do Not Automatically Amplify Shuffle Privacy: Obstruction, Estimation Bounds, and Optimal Mechanism Design" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र 'शफल मॉडल' (Shuffle Model) के अंतर्गत डिफरेंशियल प्राइवेसी (DP) की जांच करता है, जहाँ इनपुट/आउटपुट वर्णमाला (alphabet) का आकार $d$ अनंत की ओर ( $d \to \infty$ ) बढ़ता है।

संदर्भ: शफल मॉडल में, $n$ उपयोगकर्ता अपने निजी इनपुट पर स्थानीय रैंडमाइज़र (local randomizers) लागू करते हैं, और एक विश्वसनीय शफ़लर (shuffler) आउटपुट के हिस्टोग्राम (multiset) को जारी करने से पहले संदेशों को गुमनाम कर देता है। यह ज्ञात है कि शफलिंग "गुमनामी द्वारा गोपनीयता प्रवर्धन" (privacy amplification by anonymity) प्रदान करती है।
प्रश्न: एक सामान्य अंतर्ज्ञान (intuition) यह सुझाव देता है कि वर्णमाला का आकार $d$ बढ़ाने से (जैसे, $d$ -ary Generalized Randomized Response का उपयोग करके) गोपनीयता स्वतः ही बेहतर होनी चाहिए क्योंकि युग्मवार संभावना अनुपात (pairwise likelihood ratios) अधिक प्रतीकों के बीच "तनु" (diluted) हो जाते हैं।
अंतराल (Gap): जबकि पिछले कार्यों ने स्थापित किया कि विशिष्ट तंत्र जैसे GRR बड़े $d$ से लाभान्वित होते हैं, यह अज्ञात था कि क्या सभी $\varepsilon_0$ -स्थानीय रूप से डिफरेंशियल प्राइवेट (LDP) चैनल बढ़ते वर्णमाला से लाभान्वित होते हैं, और इस शासन (regime) में इष्टतम तंत्र डिजाइन (optimal mechanism design) कैसा दिखता है।

2. कार्यप्रणाली और ढांचा (Methodology and Framework)

लेखक एक कठोर सांख्यिकीय और सूचना-सैद्धांतिक ढांचे का उपयोग करते हैं:

लाइकलीहुड रेशियो (LR) कोटिएंट कम्प्रेशन: शोध पत्र यह स्थापित करता है कि सटीक सांख्यिकीय प्रयोग शफल किए गए हिस्टोग्राम का केवल नुल वितरण (null distribution) के तहत युग्मवार लाइकलीहुड रेशियो $w_{ab,d}(y) = W_d(y|b)/W_d(y|a)$ के पुशफॉरवर्ड लॉ (pushforward law) पर निर्भर करता है। कच्चा वर्णमाला आकार $d$ अपरिवर्तनीय (invariant) नहीं है; लाइकलीहुड रेशियो का वितरण ही अपरिवर्तनीय है।
ची-स्क्वायर डाइवर्जेंस ( $\chi^2$ ): विश्लेषण का केंद्र युग्मवार $\chi^2$ डाइवर्जेंस, $I_{0,d}(a,b) = \chi^2(W_d(\cdot|b) \| W_d(\cdot|a))$ है, जो गोपनीयता और सांख्यिकीय कठिनाई के मानक माप के रूप में कार्य करता है।
ज्यामितीय द्विशाख (Geometric Dichotomy): शोध पत्र चैनल परिवारों को तनुकरण करने वाले (diluting - जहाँ $d \to \infty$ होने पर $\chi^2 \to 0$ होता है) और स्थिर (persistent - जहाँ $\chi^2$ शून्य से दूर सीमित रहता है) श्रेणियों में वर्गीकृत करता है।
तंत्र डिजाइन (Mechanism Design): लेखक एक निश्चित युग्मवार $\chi^2$ बजट के तहत फ्रीक्वेंसी एस्टीमेशन (आवृत्ति अनुमान) के लिए स्थानीय रैंडमाइजर्स को अनुकूलित करते हैं, और मानक तंत्रों की तुलना नए निर्मित इष्टतम तंत्रों से करते हैं।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. गोपनीयता संरचना: अवरोध प्रमेय (Privacy Structure: The Obstruction Theorem)

यह शोध पत्र इस अंतर्ज्ञान का खंडन करता है कि बड़ा वर्णमाला आकार स्वतः ही बेहतर गोपनीयता प्रदान करता है।

सटीक संपीड़न प्रमेय (Exact Compression Theorem - Theorem 3.2): शफल किया गया प्रयोग लाइकलीहुड रेशियो के स्तर सेट (level sets) पर एक मल्टीनोमियल प्रयोग के समान है। गोपनीयता वक्र (privacy curve) पूरी तरह से इन अनुपातों के वितरण द्वारा निर्धारित होता है।
सार्वभौमिक चरम सीमा बाउंड (Universal Extremal Bound - Theorem 4.2): किसी भी $\varepsilon_0$ -LDP चैनल के लिए, युग्मवार $\chi^2$ डाइवर्जेंस $(e^{\varepsilon_0}-1)^2/e^{\varepsilon_0}$ द्वारा सीमित है। यह बाउंड तीक्ष्ण (sharp) है और केवल तभी प्राप्त होता है जब लाइकलीहुड रेशियो का मान ठीक दो मानों वाला (two-point distribution) हो।
स्पष्ट अवरोध परिवार (Explicit Obstruction Family - Theorem 5.2): लेखक सम वर्णमाला $d$ $d$ पर एक "हाफ-ब्लॉक साइक्लिक चैनल" (half-block cyclic channel) का निर्माण करते हैं। इस चैनल के लिए, युग्मवार $\chi^2$ $χ^{2}$ डाइवर्जेंस स्थिर रहता है (यूनिवर्सल बाउंड को संतृप्त करता है), चाहे $d$ $d$ कितना भी बड़ा क्यों न हो जाए। फलस्वरूप, शफल की गोपनीयता वक्र सभी $d$ $d$ के लिए बाइनरी रैंडमाइज्ड रिस्पॉन्स के समान ही रहती है।
- निष्कर्ष: बढ़ते वर्णमाला आकार स्वचालित रूप से शफल प्राइवेसी को प्रवर्धित नहीं करते; यह पूरी तरह से तंत्र की ज्यामिति (geometry) पर निर्भर करता है।

B. एस्टीमेशन बाउंड्स: मिनिमैक्स लोअर बाउंड्स (Estimation Bounds: Minimax Lower Bounds)

यह शोध पत्र शफल मॉडल में फ्रीक्वेंसी एस्टीमेशन की सटीकता की मौलिक सीमाओं को व्युत्पन्न करता है।

सार्वभौमिक निचला बाउंड (Universal Lower Bound - Theorems 8.1 & 8.4): किसी भी चैनल $W$ $W$ और किसी भी एस्टिमेटर के लिए, मिनिमैक्स $\ell_2^2$ $ℓ_{2}^{2}$ जोखिम $\Omega\left(\frac{d-1}{n \chi^*(W)}\right)$ $Ω (\frac{d - 1}{n χ ^{*} ( W )})$ द्वारा निम्न-बद्ध (lower-bounded) है, जहाँ $n \chi^*(W) \gtrsim d^2$ $n χ^{*} (W) ≳ d^{2}$ है।
- यहाँ, $\chi^*(W)$ सबसे खराब स्थिति वाला युग्मवार $\chi^2$ डाइवर्जेंस है।
- यह सिद्ध करता है कि $\chi^*(W)$ न केवल एक गोपनीयता अपरिवर्तनीय (privacy invariant) है, बल्कि एक सार्वभौमिक सांख्यिकीय अवरोध (universal statistical obstruction) भी है।
सिमेट्राइजेशन (Symmetrization - Theorem 9.1): यूनिफॉर्म-पॉइंट फिशर मानदंड के लिए, एक व्यक्ति यूनिफॉर्म-परम्यूटेशन-इक्विविएंट (permutation-equivariant) चैनलों पर ध्यान केंद्रित कर सकता है। परम्यूटेशन पर औसत निकालने से फिशर आइजनवैल्यू (eigenvalues) समान हो जाते हैं और $\chi^2$ बजट में वृद्धि नहीं होती है।

C. इष्टतम तंत्र डिजाइन (Optimal Mechanism Design)

यह शोध पत्र एक निश्चित $\chi^2$ बजट के तहत फ्रीक्वेंसी एस्टीमेशन के लिए इष्टतम स्थानीय रैंडमाइज़र की पहचान करता है, विशेष रूप से निम्न-बजट शासन ( $0 < C \le C^*(d)$ ) में।

मानक GRR की विफलता: कैलिब्रेटेड जनरलाइज्ड रैंडमाइज्ड रिस्पॉन्स (GRR) सार्वभौमिक रूप से इष्टतम नहीं है।
थिनिंग सिद्धांत (The Thinning Principle - Theorem 10.2 & 11.2): इष्टतम तंत्र एक ऑगमेंटेड GRR (Augmented GRR) चैनल है।
- तंत्र: उपयोगकर्ताओं का एक अंश $p$ एक विशिष्ट पैरामीटर $\lambda^* = \sqrt{d}-1$ के साथ एक "आक्रामक" (aggressive) GRR लागू करता है, जबकि शेष अंश $(1-p)$ एक सामान्य नल सिंबल (कोई जानकारी नहीं) भेजता है।
- अंतर्ज्ञान: शोर को सभी $d$ प्रतीकों में समान रूप से फैलाने (जैसा कि GRR करता है) के बजाय, इष्टतम रणनीति सिग्नल को यादृच्छिक, सूचनात्मक उपसमुच्चय (subset) के उपयोगकर्ताओं/संदेशों पर केंद्रित करती है। यह "थिनिंग" (thinning) शफल मॉडल के लिए विशिष्ट है और शुद्ध लोकल DP में इसका कोई समकक्ष नहीं है।
इष्टतमता (Optimality): यह सिद्ध किया गया है कि यह ऑगमेंटेड GRR निम्न-बजट शासन में प्रोजेक्टेड अनबायस्ड इनवर्स-एस्टिमेटर जोखिम के लिए सभी परम्यूटेशन-इक्विविएंट चैनलों के बीच एकमात्र इष्टतम तंत्र है।
उपसमुच्चय चयन (Subset Selection): शोध पत्र आगे सिद्ध करता है (Theorem 12.1) कि उपसमुच्चय-चयन तंत्रों के परिवार के भीतर, मानक GRR ( $s=1$ ) एकमात्र ऑप्टिमाइज़र है, और उपसमुच्चय का आकार $s$ बढ़ाने से जोखिम बढ़ता है।

4. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

"अधिक बेहतर है" (More is Better) का खंडन: यह शोध पत्र इस विश्वास के विरुद्ध एक निर्णायक उदाहरण प्रदान करता है कि शफल मॉडल में वर्णमाला का आकार बढ़ाने से स्वाभाविक रूप से गोपनीयता में सुधार होता है। गोपनीयता प्रवर्धन तंत्र-निर्भर है, न कि वर्णमाला-निर्भर।
नया इष्टतम तंत्र: यह फ्रीक्वेंसी एस्टीमेशन के लिए ऑगमेंटेड GRR (थिन्ड मैकेनिज्म) को इष्टतम डिजाइन के रूप में पेश करता है। यह तंत्र शफ़लर की गुमनामी का लाभ उठाकर उपयोगकर्ताओं के एक उपसमुच्चय को "आक्रामक" (उच्च सिग्नल) होने की अनुमति देता है, जबकि अन्य मौन रहते हैं—एक ऐसी रणनीति जो शुद्ध लोकल DP में असंभव है।
एकीकृत अपरिवर्तनीय (Unified Invariant): यह कार्य युग्मवार $\chi^2$ डाइवर्जेंस (और लाइकलीहुड रेशियो का वितरण) को शफल मॉडल में गोपनीयता प्रवर्धन और सांख्यिकीय एस्टीमेशन दक्षता दोनों को नियंत्रित करने वाले मौलिक अपरिवर्तनीय के रूप में स्थापित करता है, जो कच्चे वर्णमाला आकार $d$ का स्थान लेता है।
ज्यामितीय अंतर्दृष्टि: परिणाम दर्शाते हैं कि शफल मॉडल की इष्टतम ज्यामिति स्थानीय DP के चरम मानों के बजाय ऑर्बिट संरचनाओं और लाइकलीहुड रेशियो वितरण द्वारा शासित होती है।

5. निष्कर्ष (Conclusion)

यह शोध पत्र बढ़ते वर्णमाला के लिए शफल प्राइवेसी के भविष्यगामी व्यवहार को यह दिखाकर हल करता है कि गोपनीयता प्रवर्धन स्वचालित नहीं है। यह एस्टीमेशन त्रुटि और गोपनीयता के बीच के ट्रेड-ऑफ का पूर्ण लक्षण वर्णन प्रदान करता है, यह सिद्ध करते हुए कि इष्टतम रणनीति शोर को समान रूप से फैलाने के बजाय उपयोगकर्ताओं के यादृच्छिक उपसमुच्चय पर सिग्नल को केंद्रित करने (thinning) में निहित है। यह कार्य शफल मॉडल के तंत्रों के डिजाइन प्रतिमान को सरल लोकल DP के सामान्यीकरण से बदलकर, शफ़लर की गुमनामी का लाभ उठाने वाले विशिष्ट निर्माणों की ओर मौलिक रूप से बदल देता है।