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Theory of Two-Qubit $T_2$ Spectroscopy of Quantum Many-Body Systems

यह शोध पत्र अनुकूलित पल्स अनुक्रमों (pulse sequences) का उपयोग करके एक टू-क्यूबिट $T_2$ स्पेक्ट्रोस्कोपी विधि प्रस्तावित करता है जो पर्यावरणीय प्रतिक्रिया और शोर को स्वतंत्र रूप से निकालने में सक्षम है, जिससे क्वांटम मेनी-बॉडी सिस्टम में स्थानिक-कालिक सहसंबंध प्रसार (spatio-temporal correlation spreading), लाइट-कोन डायनेमिक्स और विशिष्ट परिवहन व्यवस्थाओं (transport regimes) को हल करना संभव हो जाता है।

मूल लेखक: Hossein Hosseinabadi, Pavel E. Dolgirev, Sarang Gopalakrishnan, Amir Yacoby, Eugene Demler, Jamir Marino

प्रकाशित 2026-03-20

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Hossein Hosseinabadi, Pavel E. Dolgirev, Sarang Gopalakrishnan, Amir Yacoby, Eugene Demler, Jamir Marino

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, अराजक शहर में मौसम को समझने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास दो बहुत ही संवेदनशील मौसम केंद्र (qubits) हैं जो अलग-अलग स्थानों पर रखे गए हैं। अतीत में, वैज्ञानिक आमतौर पर केवल एक स्टेशन का उपयोग करते थे। वे आपको बता सकते थे कि ठीक वहीं बारिश हो रही है या नहीं, लेकिन वे आसानी से यह नहीं बता पाते थे कि बारिश कैसे शुरू हुई, वह शहर में कैसे आगे बढ़ी, या एक कोने की हवा दूसरे कोने की बारिश को कैसे प्रभावित करती है।

यह शोध पत्र इस बात का प्रस्ताव देता है कि पूरे शहर के मौसम के पैटर्न को वास्तविक समय (real-time) में मैप करने के लिए दो मौसम केंद्रों का एक साथ उपयोग करने का एक चतुर नया तरीका क्या है। यहाँ उनके विचार का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. सेटअप: दो संवेदनशील कान

"मेनी-बॉडी सिस्टम" (वह जटिल पदार्थ जिसका अध्ययन किया जा रहा है) को एक स्टेडियम में मौजूद एक विशाल, शोर भरे भीड़ की तरह समझें। दो क्यूबिट्स उन दो लोगों की तरह हैं जो भीड़ में खड़े हैं और जिनके पास सुपर-सेंसिटिव कान हैं।

समस्या: भीड़ शोर भरी है। शोर (उतार-चढ़ाव/fluctuations) सुनने वालों के लिए स्पष्ट रूप से सुनना कठिन बना देता है।
पुराना तरीका: यदि आप केवल एक कान से सुनते हैं, तो आपको केवल यह पता चलता है कि आपके विशिष्ट स्थान पर शोर कितना है। आप यह नहीं जानते कि शोर बाईं ओर से आ रहा है, दाईं ओर से, या यह भीड़ के माध्यम से चलती हुई एक लहर है।
नया तरीका: दो श्रोताओं का उपयोग करने और आपस में बात करने से (विशिष्ट पल्स अनुक्रमों का उपयोग करके), वे दो अलग-अलग चीजें पता लगा सकते हैं:
1. शोर (The Noise): भीड़ कितनी बेतरतीब ढंग से हलचल कर रही है (सांख्यिकीय सहसंबंध/Statistical Correlation)।
2. प्रतिक्रिया (The Response): जब एक श्रोता भीड़ को उकसाता है या छेड़ता है, तो भीड़ कैसे प्रतिक्रिया देती है (रिस्पॉन्स कोरिलेशन/Response Correlation)।

2. दो तरकीबें (प्रोटोकॉल)

लेखक इस बारे में दो अलग-अलग "खेल" बताते हैं जो क्यूबिट्स खेलते हैं ताकि इस जानकारी को निकाला जा सके:

खेल A: "उकसाना और सुनना" (रिस्पॉन्स सेंसिंग)
कल्पना करें कि एक श्रोता (Qubit 1) पूरी तरह से स्थिर रहता है, एक चट्टान की तरह। दूसरा श्रोता (Qubit 2) एक डांसर है, जो घूम रहा है।
- "चट्टान" जैसा श्रोता केवल वहां होने मात्र से भीड़ को थोड़ा विक्षेपित (disturb) करता है।
- "डांसर" जैसा श्रोता उस विक्षेभ के प्रति भीड़ की प्रतिक्रिया को महसूस करता है।
- परिणाम: यह हमें बताता है कि सिस्टम एक धक्के या दबाव के प्रति कैसी प्रतिक्रिया देता। यह एक ड्रम को थपथपाने और ड्रम के आकार को समझने के लिए उसकी गूँज को सुनने जैसा है।
खेल B: "जुगलबंदी" (नॉइज़ सेंसिंग)
अब, दोनों श्रोता एक ही समय में नाचना (घूमना) शुरू करते हैं।
- वे भीड़ को उकसा नहीं रहे हैं; वे बस शोर के बीच तैर रहे हैं।
- यदि उनके दो स्थानों पर शोर आपस में जुड़ा हुआ है (जैसे, शोर की एक लहर दोनों के नीचे से गुजरती है), तो उनका नृत्य एक विशिष्ट, सहसंबंधित (correlated) तरीके से तालमेल से बाहर हो जाएगा।
- परिकीणाम: यह हमें बताता है कि शोर स्थान और समय में कैसे फैला हुआ है। यह दो सर्फर्स की तरह है जो अपने नीचे से गुजरने वाली लहर को महसूस करते हैं; अपने आंदोलनों की तुलना करके, वे लहर की गति और दिशा का मानचित्रण कर सकते हैं।

3. वे क्या देख सकते हैं ("लाइट कोन")

जब वैज्ञानिक इन दो क्यूबिट्स से प्राप्त डेटा को देखते हैं, तो वे एक सुंदर चीज़ देखते हैं: "लाइट कोन" (The Light Cone)।

कल्पना कीजिए कि एक तालाब में पत्थर गिराया जाता है। लहरें एक घेरे में बाहर की ओर फैलती हैं। यदि आपके पास दो सेंसर हैं, तो आप देख सकते हैं कि लहर ठीक कब पहले वाले को और फिर दूसरे को छूती है।

एक सामान्य पदार्थ में: "लहरें" (सहसंबंध/correlations) एक अधिकतम गति से यात्रा करती हैं। डेटा एक स्पष्ट त्रिकोणीय आकार (लाइट कोन) दिखाता है जहाँ शोर फैलता है।
एक "ड्रिवन" सिस्टम (गैर-संतुलन/non-equilibrium) में: यदि आप तालाब को हिलाते हैं (सिस्टम को ड्राइव करते हैं), तो आप सामान्य घेरे के बाहर अजीब लहरें दिखाई दे सकती हैं। यह वैज्ञानिकों को बताता है कि सिस्टम असंतुलित है और एक अराजक, रोमांचक तरीके से व्यवहार कर रहा है।

4. ट्रैफिक जाम बनाम हाईवे (ट्रांसपोर्ट रिजीम्स)

यह पेपर भी बताता है कि चीजों के माध्यम से कैसे गति होती है:

बैलिस्टिक (हाईवे): कल्पना करें कि खाली हाईवे पर कारें चल रही हैं। वे सीधी रेखा में पूरी गति से चलती हैं। शोर तेजी से और दूर तक यात्रा करता है।
डिफ्यूसिव (ट्रैफिक जाम): कल्पना करें कि भारी ट्रैफिक में कारें चल रही हैं, जो लगातार रुक और चल रही हैं। शोर धीरे-धीरे फैलता है और "धुंधला" (smudged) हो जाता है।
क्रॉसओवर: दो-क्यूबिट विधि यह दिखा सकती है कि समय के साथ सिस्टम ठीक किस बिंदु पर "हाईवे" से "ट्रैफिक जाम" में बदल जाता है।

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है

पहले, वैज्ञानिकों को यह अनुमान लगाना पड़ता था कि जटिल पदार्थों के माध्यम से शोर कैसे चलता है या इसके लिए बहुत महंगे, बड़े पैमाने के उपकरणों का उपयोग करना पड़ता था।

ब्रेकथ्रू: यह तरीका केवल दो छोटे सेंसरों (जैसे कि पेपर में उल्लेखित डायमंड्स में नाइट्रोजन-वैकेंसी सेंटर) का उपयोग करता है जो एक हाई-डेफिनिशन कैमरे की तरह काम करते हैं।
उपमा: यह एक सिम्फनी को पीछे की पंक्ति में बज रहे एक अकेले वायलिन को सुनकर समझने और दो वायलिनों का उपयोग करने के बीच के अंतर जैसा है, जो आपस में बात कर सकते हैं ताकि यह मैप किया जा सके कि हर वाद्य यंत्र कहाँ बज रहा है और वे एक-दूसरे के साथ कैसे इंटरैक्ट कर रहे हैं।

सारांश

यह पेपर वैज्ञानिकों को क्वांटम सेंसिंग के लिए एक नया "सुपर-पावर" देता है। दो क्यूबिट्स को एक टीम के रूप में उपयोग करके, वे शोर को प्रतिक्रिया से अलग कर सकते हैं, यह देख सकते हैं कि सूचना एक लहर की तरह पदार्थ के माध्यम से कैसे यात्रा करती है, और यह पहचान सकते हैं कि पदार्थ एक सुचारू हाईवे की तरह व्यवहार कर रहा है या एक अराजक ट्रैफिक जाम की तरह। यह एक साधारण माप को क्वांटम दुनिया की एक विस्तृत, वास्तविक समय की फिल्म में बदल देता है।

यहाँ "Theory of Two-Qubit T2 Spectroscopy of Quantum Many-Body Systems" (होसेनाबादी एवं अन्य द्वारा) का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

क्वांटम सेंसिंग पारंपरिक रूप से सामग्रियों में स्थानीय उतार-चढ़ाव ( $T_1$ और $T_2$ रिलैक्सेशन) को मापने के लिए सिंगल-क्यूबिट प्रोब्स (जैसे NV सेंटर्स, सुपरकंडक्टिंग क्यूब्स) पर निर्भर रही है। हालांकि ये साम्यावस्था (equilibrium) गुणों और स्थानीय शोर (local noise) के लिए प्रभावी हैं, लेकिन सिंगल-क्यूबिट सेंसरों की कुछ सीमाएँ हैं:

स्थानिक रिज़ॉल्यूशन (Spatial Resolution): वे मुख्य रूप से स्थानीय उतार-चढ़ाव तक ही सीमित रहते हैं, जिससे स्थानिक सहसंबंधों (spatial correlations) और विक्षोभों के प्रसार (propagation of disturbances) के बारे में सीमित जानकारी मिलती है।
शोर और प्रतिक्रिया का पृथक्करण (Separation of Noise and Response): गैर-साम्यावस्था (non-equilibrium) प्रणालियों में, फ्लक्चुएशन-डिसिपेशन थ्योरम (FDT) विफल हो जाता है। सिंगल-क्यूबिट प्रोटोकॉल अक्सर सममित शोर (fluctuations) और असममित प्रतिक्रिया (dissipation/retarded Green's function) को मिला देते हैं, जिससे दोनों के बीच अंतर करना कठिन हो जाता है।
परिवहन लक्षण वर्णन (Transport Characterization): विभिन्न परिवहन व्यवस्थाओं (बैलिस्टिक बनाम डिफ्यूसिव) के बीच अंतर करना और क्वांटम मेनी-बॉडी सिस्टम (MBS) में सहसंबंधों के स्थान-कालिक प्रसार (spatio-temporal spreading) की पहचान करना मानक सिंगल-प्रोब तकनीकों के साथ चुनौतीपूर्ण बना हुआ है।

लेखक इन सीमाओं को दूर करने के लिए एक टू-क्यूबिट T2 स्पेक्ट्रोस्कोपी फ्रेमवर्क प्रस्तावित करते हैं, जो मेनी-बॉडी सिस्टम से जुड़े दो क्यूब्स के माध्यम से शोर और प्रतिक्रिया कार्यों को अलग-अलग निकालने और सहसंबंधों की स्थान-कालिक संरचना को मैप करने में सक्षम बनाता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक एकीकृत सैद्धांतिक ढांचा विकसित करते हैं जो एक मेनी-बॉडी सिस्टम (MBS) से जुड़े दो पूरक पल्स प्रोटोकॉल पर आधारित है। क्यूब्स एक क्षेत्र $\hat{B}_z(\mathbf{r}, t)$ से जुड़े होते हैं जो MBS द्वारा उत्पन्न होता है।

A. सैद्धांतिक मॉडल (Theoretical Model)

सिस्टम को इस हैमिल्टोनियन द्वारा वर्णित किया गया है:
$\hat{H} = \frac{\Delta}{2}\sum_{i=1,2}\hat{\sigma}_z^i + \frac{1}{2}\sum_{i=1,2}\lambda_i \hat{\sigma}_z^i \hat{B}_z(\mathbf{r}_i, t) + \hat{H}_{MBS}$
लक्ष्य सममित सहसंबंध फलन (शोर) $C$ और असममित सहसंबंध फलन (प्रतिक्रिया) $\chi$ को मापना है:

प्रतिक्रिया (Response): $\chi(\mathbf{r}_2, t_2; \mathbf{r}_1, t_1) = -i\Theta(t_2-t_1)\langle [\hat{B}_z(\mathbf{r}_2, t_2), \hat{B}_z(\mathbf{r}_1, t_1)] \rangle$
शोर (Noise): $C(\mathbf{r}_1, t_1; \mathbf{r}_2, t_2) = \frac{1}{2}\langle \{ \hat{B}_z(\mathbf{r}_1, t_1), \hat{B}_z(\mathbf{r}_2, t_2) \} \rangle$

B. पल्स प्रोटोकॉल (Pulse Protocols)

लेखक इन कार्यों को अलग करने के लिए दो विशिष्ट रामसे-आधारित प्रोटोकॉल का उपयोग करते हैं:

रिस्पॉन्स कोरिलेशन सेंसिंग (असममित प्रोटोकॉल) [Response Correlation Sensing (Asymmetric Protocol)]:
- सेटअप: क्यूब 1 को ग्राउंड स्टेट ( $|\uparrow\rangle$ ) में रखा जाता है, जो एक स्थिर विक्षोभ (static perturbation) के रूप में कार्य करता है। क्यूब 2 को सुपरपोजिशन ( $|\rightarrow\rangle$ ) में तैयार किया जाता है।
- तंत्र (Mechanism): क्यूब 1, MBS को विक्षोभित करता है, जिससे क्यूब 2 द्वारा अनुभव किए जाने वाले स्थानीय क्षेत्र में परिवर्तन आता है। क्यूब 2 द्वारा संचित चरण (phase) में क्यूब 1 पर विक्षोभ के प्रति MBS की रिटार्डेड रिस्पॉन्स (retarded response) का योगदान होता है।
- परिणाम: यह इंटीग्रेटेड रिस्पॉन्स फंक्शन $X_{12}^{Ram}$ को मापता है, जो असममित है।
फ्लक्चुएशन कोरिलेशन सेंसिंग (सममित प्रोटोकॉल) [Fluctuation Correlation Sensing (Symmetric Protocol)]:
- सेटअप: दोनों क्यूब्स को सुपरपोजिशन ( $|\rightarrow\rangle$ ) में तैयार किया जाता है।
- तंत्र: दोनों क्यूब्स साझा शोर क्षेत्र के कारण एक साथ डीफेज (dephase) होते हैं। दो-क्यूब कोहेरेंस $\langle \hat{\sigma}_1^-(t) \hat{\sigma}_2^+(t) \rangle$ का क्षय शोर के सममित सहसंबंध फलन द्वारा नियंत्रित होता है।
- परिणाम: यह इंटीग्रेटेड शोर सहसंबंध $N_{12}^{Ram}$ को मापता है।
स्पिन इको वेरिएंट्स (Spin Echo Variants):
- स्टैटिक डिसऑर्डर और स्ट्रै (stray) फील्ड्स (जो क्यूब फ्रीक्वेंसी $\Delta$ को शिफ्ट करते हैं) को समाप्त करने के लिए, लेखक लोकल स्पिन इको (LSE) और ग्लोबल स्पिन इको (GSE) का प्रस्ताव करते हैं।
- महत्वपूर्ण रूप से, वे एक लीनियर कॉम्बिनेशन आइडेंटिटी व्युत्पन्न करते हैं: $X_{12}^{Ram} = X_{12}^{GSE} - 2X_{12}^{LSE}$ । यह पूर्ण रामसे रिस्पॉन्स (जो लो-फ्रीक्वेंसी शोर को प्रोब करता है) के पुनर्निर्माण की अनुमति देता है, जिसे स्पिन-इको अनुक्रमों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है जो स्वाभाविक रूप से लो-फ्रीक्वेंसी शोर को दबाते हैं।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

शोर और प्रतिक्रिया का पृथक्करण (Decoupling Noise and Response): यह ढांचा स्वतंत्र रूप से सममित (फ्लक्चुएशन) और असममित (रिस्पॉन्स) सहसंबंध फलनों को निकालने का एक तरीका प्रदान करता है, जो उन गैर-साम्यावस्था प्रणालियों के अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण है जहाँ FDT लागू नहीं होता है।
स्थान-कालिक मैपिंग (Spatio-Temporal Mapping): सहसंबद्ध डीफेजिंग सिग्नल सीधे स्थान और समय में सहसंबंधों के प्रसार को एनकोड करता है, जो कम-ऊर्जा उत्तेजनाओं (low-energy excitations) के विक्षेपण संबंधों (dispersion relations) को प्रकट करता है।
परिवहन व्यवस्था की पहचान (Transport Regime Identification): यह विधि बैलिस्टिक प्रसार ( $r \propto t$ ) और डिफ्यूसिव ब्रोडनिंग ( $r \propto \sqrt{t}$ ) के बीच अंतर कर सकती है और उनके बीच के क्रॉसओवर की पहचान कर सकती है।
गैर-साम्यावस्था डिटेक्शन (Non-Equilibrium Detection): यह दृष्टिकोण गैर-साम्यावस्था ड्राइविंग के संकेतों का पता लगाता है, जैसे कि "लाइट-कोन" प्रोफाइल का उदय और विशिष्ट मोमेंटम मोड को ड्राइव करने पर लाइट-कोन के बाहर अतिरिक्त इंटरफेरेंस फ्रिंज का बनना।

4. परिणाम और अनुप्रयोग (Results and Applications)

लेखक कई उदाहरणों के माध्यम से अपने सिद्धांत को सत्यापित करते हैं:

क्लासिकल मार्कोवियन नॉइज़ (Classical Markovian Noise): यह दर्शाता है कि क्लासिकल शोर के लिए, रिस्पॉन्स शून्य हो जाता है, और सहसंबद्ध डीफेजिंग सीधे स्थानिक शोर प्रोफाइल $\gamma(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)$ को मैप करती है।
हारमोनिक बाथ (गैप्ड बनाम गैपलेस) [Harmonic Bath (Gapped vs. Gapless)]:
- गैप्ड सिस्टम्स: सहसंबद्ध डीफेजिंग एक लाइट-कोन संरचना प्रदर्शित करती है। दूरियाँ $r > ct $(जहाँ$ c$ प्रसार गति है) के लिए सहसंबंध शून्य हो जाते हैं और लंबे समय तक संतृप्त (saturate) रहते हैं।
- गैपलेस सिस्टम्स: डीफेजिंग समय के साथ अनिश्चित रूप से बढ़ती है (स्केलिंग $t^{3-D/z}$ के रूप में) और इसमें लाइट-कोन संरचना बनी रहती है लेकिन बिना संतृप्ति के।
- गैर-साम्यावस्था ड्राइविंग: विशिष्ट मोमेंटम मोड ( $k_{dr}$ ) को ड्राइव करने से शोर प्रोफाइल में लंबी दूरी के फ्रिंज (fringes) उत्पन्न होते हैं। लो-मोमेंटम ड्राइविंग से लाइट-कोन के बाहर तक फैलने वाले फ्रिंज बनते हैं, जबकि परिमित-मोमेंटम (finite-momentum) ड्राइविंग स्थानिक रूप से आवधिक फ्रिंज बनाती है।
डिफ्यूसिव डायनेमिक्स (Diffusive Dynamics):
- मॉडल बैलिस्टिक परिवहन (लघु समय $t < \tau_D$ पर) से डिफ्यूसिव परिवहन (लंबे समय $t > \tau_D$ पर) के बीच क्रॉसओवर को कैप्चर करता है।
- स्थानिक प्रोफाइल एक तीक्ष्ण लाइट-कोन फ्रंट से डिफ्यूसिव ब्रोडनिंग ( $r \propto \sqrt{t}$ ) में परिवर्तित हो जाता है।
डायमंड में NV सेंटर्स (NV Centers in Diamond - Non-Local Coupling):
- लेखक अपने सिद्धांत को NV सेंटरों तक विस्तारित करते हैं, जहाँ चुंबकीय क्षेत्र सामग्री के चुंबकत्व (डाइपोल कर्नेल) का एक नॉन-लोकल इंटीग्रल है।
- यह एक मोमेंटम फिल्टर फंक्शन ( $e^{-2d|k|}$ ) पेश करता है जो प्रोब-सैंपल दूरी $d$ से बहुत छोटे लंबाई के पैमानों के प्रति संवेदनशीलता को कम करता है।
- परिणाम दिखाते हैं कि $r \ll d$ के लिए, क्यूब्स ओवरलैपिंग क्षेत्रों (उच्च सहसंबंध) को प्रोब करते हैं, जबकि $r \gg d$ के लिए, यह विधि सामग्री में लंबी दूरी के सहसंबंधों को सफलतापूर्वक हल करती है।

5. महत्व (Significance)

यह कार्य मेनी-बॉडी फिजिक्स के टूल के रूप में मल्टी-क्यूबिट क्वांटम सेंसिंग के लिए एक मजबूत सैद्धांतिक आधार स्थापित करता है। इसका महत्व निम्नलिखित है:

सिंगल-क्यूबिट सीमाओं से परे: यह स्थानीय सेंसिंग से आगे बढ़कर शोर और सहसंबंधों की संरचना को प्रोब करता है, जो पर्यावरण का एक "टोमोग्राफिक" दृश्य प्रदान करता है।
गैर-साम्यावस्था भौतिकी (Non-Equilibrium Physics): यह उन प्रणालियों के लिए एक व्यावहारिक डायग्नोस्टिक है जो साम्यावस्था से बहुत दूर हैं, जहाँ मानक ऊष्मप्रवैगिकी संबंध विफल हो जाते हैं।
प्रायोगिक व्यवहार्यता (Experimental Feasibility): प्रोटोकॉल मानक रामसे और स्पिन-इको अनुक्रमों पर आधारित हैं, जिससे वे सुपरकंडक्टिंग क्यूब्स, ट्रैप्ड आयन और NV सेंटर्स जैसे मौजूदा प्लेटफॉर्मों के लिए तुरंत लागू करने योग्य बन जाते हैं।
परिवहन डायग्नोस्टिक्स (Transport Diagnostics): यह उच्च-तापमान सुपरकंडक्टिविटी, स्पिन लिक्विड्स और अन्य विलक्षण अवस्थाओं को समझने के लिए एक स्पष्ट, वास्तविक-समय विधि प्रदान करता है।

संक्षेप में, यह पेपर सिद्ध करता है कि टू-क्यूबिट T2 स्पेक्ट्रोस्कोपी क्वांटम मेनी-बॉडी सिस्टम के स्थान-कालिक गतिकी (spatio-temporal dynamics) को हल करने के लिए एक शक्तिशाली, एकीकृत ढांचा है, जो सहसंबंध प्रसार, परिवहन व्यवस्था और गैर-साम्यावस्था घटनाओं के बारे में नई अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।